Permettez-moi d'ajouter quelques éléments à ce qui a déjà été mentionné. Je pense que la meilleure source de QFT pour les mathématiciens est les deux volumes IAS. Mais comme ceux-ci sont assez longs et que certaines parties ne sont pas faciles pour les mathématiciens (j'ai un peu participé à les écrire, et je sais que cela a été en grande partie écrit par des gens qui à l'époque ne comprenaient pas bien ce qu'ils écrivaient), alors si vous voulez vraiment comprendre le sujet de manière mathématique, je vous suggère l'ordre suivant:

1) Assurez-vous de bien comprendre la mécanique quantique (il existe de nombreuses introductions mathématiques à la mécanique quantique; celle que j'aime particulièrement est le livre de Faddeev et Yakubovsky http://www.amazon.com/Lectures-Mechanics-Mathematics-Students-Mathematical/dp/082184699X)

2) Obtenez un peu de compréhension ce qu'est la théorie quantique des champs (mathématiquement). La source que j'aime ici est les axiomes de Wightman (comme quelque chose que vous pourriez souhaiter dans QFT, mais qui ne tient presque jamais) tels que présentés dans le 2e volume du livre de Reed et Simon sur l'analyse fonctionnelle; pour une discussion un peu plus approfondie, regardez les conférences de Kazhdan dans les volumes de l'IAS.

3) Comprenez comment fonctionne la théorie des champs conformes à 2 dimensions. Si vous voulez une introduction plus élémentaire et plus analytique (et plus "physique"), regardez les conférences de Gawedzki dans les volumes de l'IAS. Si vous voulez quelque chose de plus algébrique, regardez les notes de Gaitsgory au même endroit.

4) Étudiez le QFT perturbatif (diagrammes de Feynmann): c'est bien couvert dans les volumes IAS (pour un mathématicien; un physicien aurait besoin beaucoup plus de pratique que ce qui se fait ici), mais sur place je ne me souviens pas exactement où (mais devrait être facile à trouver).

5) Essayez de comprendre comment les théories quantiques des champs super-symétriques travail. Ce sujet est le plus difficile pour les mathématiciens, mais c'est aussi la source de la plupart des applications aux mathématiques. Ceci est discuté dans les conférences de Witten dans le 2ème volume de l'IAS (il y en a environ 20, je pense) et ce n'est vraiment pas facile - par exemple, cela nécessite une bonne connaissance pratique de certains aspects de la géométrie super-différentielle (également abordés ici), qui est une matière purement mathématique mais il y a très peu de mathématiciens qui la connaissent.

Il n'y a pas beaucoup de mathématiciens qui ont traversé tout cela, mais si vous voulez vraiment pouvoir parler aux physiciens, je pense quelque chose comme le schéma ci-dessus est nécessaire (au fait: je n'ai pas inclus la théorie des cordes dans ma liste - c'est un sujet supplémentaire; il y a une bonne introduction à cela dans les conférences de D'Hoker dans les volumes de l'IAS).

Edit: De plus, si vous voulez une introduction purement mathématique à la théorie des champs topologiques, vous pouvez lire les notes de Segal http://web.archive.org/web/20000901075112/http://www. cgtp.duke.edu/ITP99/segal/; c'est une lecture très accessible (et agréable)! Une approche mathématique moderne (et techniquement beaucoup plus difficile) du même sujet est développée par Jacob Lurie http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/cobordism.pdf (il n'y a pas motivation physique dans cet article, mais mathématiquement, c'est probablement la bonne façon de penser aux théories topologiques des champs).

Si vous êtes mathématicien et que vous voulez comprendre QFT, vous allez devoir vous attaquer à la renormalisation tôt ou tard. Votre vie sera plus facile si vous comprenez dès le début que la philosophie de la «théorie efficace des champs» de Wilson-Weinberg-etc est le principe d'organisation essentiel de l'ensemble du sujet. En particulier, vous allez avoir besoin de le savoir pour avoir le moindre espoir de comprendre l'intuition derrière les constructions rigoureuses existantes des QFT. Malheureusement, les explications de la renormalisation dans les manuels orientés vers la physique des particules que les mathématiciens consultent souvent en premier ne sont pas si bonnes.

Je peux peut-être fournir un peu de motivation, avant d'ajouter à la liste des lectures recommandées.

Dans un système avec une infinité de degrés de liberté (comme la théorie des champs sur un espace-temps de dimension au moins 2), vous devez organiser les degrés de liberté d'une manière ou d'une autre, avant même de pouvoir commencer à parler de leur interaction. Dans QFT, nous organisons fréquemment les degrés de liberté en demandant leur taille, par rapport à une échelle de distance fixe. (La décomposition de Fourier du champ électromagnétique en est un exemple. Nous considérons le champ électromagnétique comme une somme d'ondes sin / cos de différentes longueurs d'onde.) Ainsi, lorsque nous parlons d'une théorie des champs, ce que nous avons vraiment à l'esprit est un séquence d'approximations, qui commence par un ensemble de degrés de liberté dont l'échelle caractéristique est comparable à l'échelle de référence, puis en ajoute systématiquement de nouvelles dont les échelles caractéristiques sont plus éloignées de notre échelle de référence.

L'idée de base de la philosophie efficace de la théorie des champs est qu'au lieu de penser aux degrés de liberté que nous utilisons près de l'échelle de référence comme étant ceux qui restent lorsque nous jetons tous les autres, nous devrions penser à ces degrés de la liberté comme étant une description approximative «efficace» du système que nous obtenons en faisant la moyenne de ces autres degrés de liberté. Si vous adoptez ce point de vue, vous constaterez fréquemment que les degrés de liberté à l'échelle de référence ressemblent à ceux que nous aurions obtenus en ignorant aveuglément les degrés de liberté les plus courts, et leurs interactions ont la même forme de base, sauf que les constantes de couplage sont toutes différentes. La procédure de renormalisation qui apparaît partout dans QFT consiste à calculer comment les interactions entre les degrés de liberté à l'échelle de référence sont déterminées en termes d'interactions entre les degrés de liberté appropriés à une distance plus courte, en particulier à déterminer quelles interactions deviennent plus fortes et qui plus faible.

Cette philsophie a ses origines dans la mécanique statistique, la troisième patte souvent négligée du tabouret QFT. (L'intégrale de chemin de QFT est étroitement liée aux calculs de la fonction de partition qui apparaissent dans la mécanique statistique des systèmes de champs.) Si vous voulez comprendre QFT, vous devez étudier la QM, la relativité et les statistiques mécaniques. Le stat mech n'est pas vraiment facultatif.

Quelques références:

• Tim Hollowood "Cutoffs & Continuum Limits: A Wilsonian Approach to Field Theory" est un excellente introduction.

• La Mécanique statistique de Kerson Huang a un bon traitement du modèle d'Ising, qui est à peu près l'ur-exemple du sujet.

• Le QFT & Critical Phenomena de Zinn-Justin traite ces idées de manière très détaillée.

• David Brydges "Lectures on the Renormalization Group" dans le volume IAS / Park City Statistical Mechanics est plutôt génial.

• Battle's "Wavelets & Renormalization" traite de manière approfondie et mathématiquement rigoureuse l'intégrale du chemin euclidien pour la théorie des champs scalaires 3D, dans l'esprit de la philosophie de renormalisation.

• Glimm & Jaffe "Physique quantique: un point de vue fonctionnel intégral" explique un grand nombre de machines mathématiques comme les espaces nucléaires et les mesures cylindriques qui peuvent être utilisées pour faire mathématiquement l'idée efficace de la théorie des champs précise, et utilise cette machinerie pour construire des théories de champ scalaires 2D et prouver des faits non triviaux à leur sujet.

Il y a deux aspects à cette question:

1) Quelles sources essaient de communiquer l'histoire de physique vague et spéculative habituelle d'une manière que les mathématiciens sont plus susceptibles d'apprécier?

2) Quelles sources essaient de donner un traitement mathématique réel de QFT, quelque chose qui est à la hauteur d'être mathématique?

Pour la première, Deligne et al's Quantum Fields and Strings est probablement la meilleure réponse à ce jour.

Mais il y a aussi beaucoup à dire sur la deuxième question. Beaucoup de progrès ont été accomplis ici ces dernières années. En décembre (2011), un volume AMS qui rassemble des enquêtes et des articles originaux sur ce sujet apparaît:

Sati, Schreiber (éd.) Mathematical Foundations of Quantum Field Theory and Perturbative String Theory AMS (2011) Actes des symposiums en mathématiques pures, volume: 83.

L'introduction avec plus de liens se trouve à arXiv: 1109.0955

[Edit: au vu de la discussion ci-dessous, je dois dire que je ne veux pas du tout dire "vague et spéculative" d'une manière péjorative. C'est juste un fait que du point de vue des mathématiques, une grande partie de la physique, certainement une grande partie de la théorie quantique des champs et de la théorie des cordes, aussi bien établie et robuste soit-elle, est vague et spéculative. Pour avoir une idée de la vérité, il peut être utile de s'adresser à un mathématicien pur qui souhaite en savoir plus sur le sujet mais qui n'a aucune expérience en la matière et qui essaie de lui enseigner. On en apprend que de nombreux textes écrits par des physiciens qui prétendent être «pour les mathématiciens» ne le sont en fait pas. Il y a une assez grande distance entre un physicien théorique conscient des mathématiques et un mathématicien pur sans expérience dans les connaissances habituelles de la physique. De nombreux physiciens ne sont pas conscients de cette distance.]

Moshe a déjà abordé de nombreux points. Vous pourriez être intéressé par la Théorie quantique des champs de Folland: un guide touristique pour les mathématiciens. Il essaie de faire autant de choses que possible d'une manière mathématiquement rigoureuse, et souligne les points où cela ne peut pas être fait.

Quant au contexte mathématique: une certaine familiarité avec les équations aux dérivées partielles et la théorie des distributions sera pratique.

Ceci concerne la théorie quantique des champs "conventionnelle". Vous pourriez également être intéressé par la théorie des champs quantiques topologiques qui est beaucoup plus de nature mathématique.

QFT est un sujet énorme, sous-jacent à une grande partie de la physique théorique moderne. Je pense que dans l'ensemble, la communauté mathématique s'est intéressée à des cas simples spéciaux (par exemple, QFT topologique ou rationnel), donc la mise en garde standard concernant l'éléphant proverbial est très pertinente ici.

Une bonne enquête est celle cours d'un an donné à l'IAS pour les mathématiciens, qui couvre beaucoup de terrain. Il existe un livre en deux volumes utile non seulement aux mathématiciens, et un site Web: http://www.math.ias.edu/qft. Cela vous donnera un aperçu des sujets centraux et (en fonction de ce qui vous intéresse), le contexte nécessaire.

Quant aux tentatives de formalisation générale de QFT, il y en a beaucoup. Puisque dans le traitement moderne (post-Wlison) du sujet, les propriétés déterminantes de QFT ont toutes à voir avec le processus de renormalisation, j'ai posé une question à cet effet ici Formalisation de la théorie des champs quantiques, les réponses peuvent vous donner une idée de ce qui existe sur ce front.

En plus de ces excellentes réponses, je voudrais recommander les livres,

1. Une introduction mathématique à la théorie des champs conformes par M. Schottenloher
2. Supersymétrie pour les mathématiciens: une introduction par VS Varadarajan
3. Symétrie miroir par C. Vafa, E. Zaslow, et. al
4. Un peu de physique pour les mathématiciens par L. Gross

Le premier livre développe certaines des analyses nécessaires aux CFT (chapitre 8) comme ainsi que la théorie des compactifications conformes (chapitres 1, 2) et la théorie des algèbres de Witt et de Virosoro (chapitres 4-6). Le livre se termine par une discussion sur les règles de fusion et comment construire formellement un CFT (à partir de quelque chose d'analogue aux axiomes de Wightman). Je crois que Schottenloher est un analyste, donc vous pouvez obtenir une sensation plus analytique [lire: connaître une analyse fonctionnelle et une théorie de la représentation de base] de ce livre.

Le deuxième livre est écrit du point de vue de quelqu'un qui est un analyste fonctionnel avec une solide formation en théorie des représentations. Les deux premiers chapitres donnent une introduction mathématique décente à QFT ainsi que certains des résultats les plus théoriques de représentation que l'on pourrait trouver intéressants. L'auteur présente également une partie de la géométrie algébrique que l'on pourrait trouver dans une analyse formelle de QFT (qui bien sûr est élucidée dans toute sa splendeur dans Champs et chaînes quantiques .

Le Le troisième livre provient d'une école d'été pour à la fois étudiants diplômés en mathématiques et en physique. En tant que tel, il présente une grande variété de sujets et fournit une introduction quelque peu formelle à QFT.

Enfin, les notes de cours de la classe de Leonard Gross sur la théorie quantique des champs sont une bonne introduction formelle pour les mathématiciens ayant a) une formation en analyse et b) aucune physique supérieure à la mécanique classique. Il s'agit d'un ensemble de notes faciles à lire avec de bonnes références historiques. Alors que j'étudiais à la fois la physique et les mathématiques, j'ai trouvé que ces notes étaient ma référence préférée pour QFT (peut-être parce que je préfère l'analyse et la géométrie différentielle à l'algèbre et à la géométrie algébrique).

Si vous cherchez quelque chose de plus simple et de plus pédagogique, vous devriez jeter un œil au merveilleux livre de Baez et Muniain intitulé Gauge Fields, Knots and Gravity . Ce livre développe le formalisme mathématique de la théorie des jauges d'une manière conviviale et divertissante, et sa lecture nécessite très peu de connaissances. Si vous voulez en savoir plus sur les aspects physiques de la théorie quantique des champs, vous voudrez peut-être chercher ailleurs, mais ce livre donne une introduction mathématique complètement autonome à la théorie de Chern-Simons, une théorie quantique des champs avec des applications importantes en mathématiques pures.

Un autre livre très convivial sur la théorie quantique des champs pour les mathématiciens est Frobenius Algebras and 2D Topological Quantum Field Theories de J. Kock. C'est un bon point de départ si vous souhaitez étudier les travaux récents de Jacob Lurie sur la classification des théories topologiques quantiques des champs. Le seul problème avec ce livre est qu'il ne dit pas grand-chose sur la façon dont les théories quantiques des champs sont utilisées pour calculer les invariants d'espaces topologiques. Je pense donc qu'il est préférable de compléter ce livre par quelque chose d'autre - peut-être le papier classique d'Atyah.

C'était censé être un commentaire, pas une réponse, mais je n'ai pas assez de réputation. Fondamentalement, j'ai fait une maîtrise en mathématiques (mathématiques pures), puis une maîtrise en physique (QFT), puis un doctorat en mathématiques (géométrie pure et algébrique). Donc, je devais m'attaquer au problème que vous essayez de résoudre. Je pense qu'il sera difficile d'obtenir une bonne réponse car vous ne spécifiez pas la raison pour laquelle vous voulez apprendre QFT. Quelques commentaires alors:

Si vous allez travailler sur des choses comme les équations de Seiberg-Witten d'un point de vue mathématique, alors je suppose le livre de Baez et Muniain appelé Gauge Fields, Knots and Gravity (mentionné par Bob Jones ci-dessus) est génial car vous n'aurez pas besoin de quantifier les choses de toute façon.

Si vous voulez réellement comprendre le sujet qui inclut la perspective physique (ce que j'ai essayé de faire), alors je suggère de développer quelques connaissances en physique. Donc, je suggère de lire le livre de Sakurai en mécanique quantique (qui, de ma pure formation mathématique de l'époque, était un bon livre), ainsi que des livres destinés aux profanes: Feynman ´s QED et Weinberg´s La découverte des particules subatomiques . J'ai utilisé ces livres avec Peskin et Schroeder´s An Introduction To Quantum Field Theory .

En fait, j'ai essayé de suivre en même temps une approche plus "mathématiquement précise" de QFT - mais au final je pensais que c'était plus difficile que l'approche physique - parce que, je pense, vous finissez par dépenser un temps énorme pour aller n'importe où, et risquer de changer d'être enseveli dans un tas de formalisme mathématique avant de pouvoir faire des calculs simples.

Un dernier commentaire. D'après mon expérience, c'était super de parler aux physiciens (ils ont tendance à être plus bavards et à raconter plus d'histoires sur leur sujet que les mathématiciens). Donc, je pense qu'il est très rentable de passer du temps autour d'un groupe d'étudiants / professeurs de physique tout en étudiant QFT.

En tant que mathématicien amateur, j'ai trouvé la théorie quantique des champs de Franz Mandl & Graham Shaw une introduction rapide et concise. Cependant, il faudra avoir couvert une partie de la mécanique quantique auparavant. Le livre m'a été initialement recommandé.

Une bonne introduction est "Théorie quantique des champs pour les mathématiciens" de Ticciati. C'est génial dans le sens où il est assez rigoureux et autonome, et pourtant assez large dans sa présentation.

Une présentation un peu plus engagée et plus longue avec des sujets spécifiques est "Champs et chaînes quantiques: un cours pour Mathématiciens ". Il s'agit d'un ensemble de 2 volumes rempli de conférences par des personnes dans le domaine. Assez technique cependant.

Cette réponse contient des ressources supplémentaires qui peuvent être utiles. Veuillez noter que les réponses qui énumèrent simplement les ressources mais ne fournissent aucun détail sont fortement déconseillées par la politique du site sur les questions de recommandation de ressources . Cette réponse est laissée ici pour contenir des liens supplémentaires qui n'ont pas encore de commentaire.

• Kevin Costello, un mathématicien, a écrit un livre sur la théorie quantique des champs , en particulier les aspects perturbatifs. Le livre était autrefois disponible sur sa page Web, mais il a maintenant été publié par l'AMS. Vous pouvez trouver les liens sur sa page Web auxquels j'ai lié ci-dessus.
• E. Zeidler est en train d'écrire un traité en 6 volumes sous le titre général "Théorie quantique des champs: un pont entre mathématiciens et physiciens". Jusqu'à présent, 3 volumes sont apparus et sont également disponibles via springerlink.com (si l'on a le bon abonnement). Ce travail est assez accessible pour un mathématicien.
• Une excellente introduction aux mathématiques de QFT qui est vraiment un manuel (qui peut par exemple servir de support dans un cours de mathématiques de 1ère ou 2ème année) est «Quantum Mechanics and Quantum Field Theory, A Mathematical Primer» par Jonathan Dimock, Cambridge University Press, 2011.

• Pour la supersymétrie (qui, comme l'a dit à juste titre Alexander Braverman, est le plus important pour les applications mathématiques), le livre de Dan Freed ["Five Lectures on Supersymmetry".] [3]

• Quantum Field Theory (Mathematical Surveys and Monographs) par Folland

• Le chemin de la réalité: un guide complet des lois de l'univers

• Mécanique quantique et théorie des champs quantiques: un guide mathématique

• Aspects mathématiques de la théorie quantique des champs (Cambridge Studies in Advanced Mathematics

• QFT - Par le professeur CN Yang & le professeur Kenneth Young ( youtube)
• QFT - Par Sidney Coleman ( notes de cours)
• QFT - Par David Tong ( notes de cours)

Liens d'échange de piles physiques:

• Formalisation de la théorie quantique des champs;

• Rigueur dans la théorie quantique des champs;

• CFT et formalisation de la théorie quantique des champs