Une dérivation signifie une série d'étapes logiques qui commence par certaines hypothèses et aboutit au résultat souhaité. À peu près tout peut être «dérivé», tant que vous modifiez les hypothèses. Donc, quand les gens disent "X ne peut pas être dérivé", ils veulent dire "à votre niveau actuel de compréhension, il n'y a aucun moyen de dériver X qui jette plus de lumière sur pourquoi X est vrai, au lieu de simplement supposer qu'il l'est".

Par exemple, pouvez-vous "déduire" que l'élan est $ p = mv $ ? Il y a plusieurs réponses possibles.

• Vous posez cette question en tant qu'étudiant d'introduction à la physique. Certains pourraient dire yes. Par exemple, vous pouvez partir de l'énergie cinétique $ K = mv ^ 2/2 $ , puis supposer $ K = p ^ 2 / 2m $ . La combinaison de ces équations et la résolution de $ p $ donne $ p = mv $ , donc ceci est une dérivation.
• Vous posez cette question en tant qu'étudiant d'introduction à la physique. Certains pourraient dire no. La dérivation ci-dessus est tout simplement absurde. Partir de $ K = p ^ 2 / 2m $ est fondamentalement la même chose que de supposer le résultat final, et si vous êtes autorisé à le faire, ce n'est pas mieux que prenant simplement $ p = mv $ par définition. C'est comme "dériver" $ 1 + 1 = 2 $ en définissant $ 2 $ comme étant $ 1 + 1 $ .
• Vous posez cette question en tant qu'étudiant en mécanique avancée. La plupart diraient yes. Vous partez de l'idée plus profonde que les symétries sont liées aux quantités conservées, ainsi que de la définition selon laquelle l'élan devrait être la quantité conservée associée à la symétrie de translation. Les assembler donne le résultat.

Le fait est que vous pouvez créer une dérivation pour n'importe quoi - mais vous n'êtes peut-être pas à un stade de votre éducation où une telle dérivation est utile du tout. Si la dérivation ne fonctionne qu'en formulant des hypothèses ad hoc qui sont fondamentalement aussi démotivées que ce que vous essayez de prouver, cela n'aide pas à la compréhension. Certaines personnes pensent que c'est vrai pour l'équation de Schrödinger, bien que je pense personnellement que ses dérivations élémentaires sont très utiles. (Le classique est expliqué dans une réponse ultérieure ici.)

Il y a souvent confusion ici parce que les dérivations en physique fonctionnent très différemment des preuves en mathématiques.

Par exemple, en physique, vous pouvez souvent exécuter des dérivations dans les deux sens: vous pouvez utiliser X pour dériver Y, et aussi Y pour dériver X. Ce n'est pas un raisonnement circulaire, car le réel la prise en charge de X (ou Y) n'est pas qu'elle peut être dérivée de Y (ou X), mais qu'elle est supportée par des données expérimentales D.Cette dérivation bidirectionnelle vous indique alors que si vous avez des données D prenant en charge X ( ou Y), il prend également en charge Y (ou X).

Une fois que vous avez terminé de mettre les mathématiques du secondaire sur une base rigoureuse, les mathématiques du premier cycle se développent généralement vers le haut . Par exemple, vous ne pouvez pas utiliser le théorème de Stokes pour prouver le théorème fondamental du calcul, même s'il le subsume techniquement comme un cas particulier, car sa preuve dépend en premier lieu du théorème fondamental du calcul. En d'autres termes, tant que vos cours sont rigoureux, il serait très étrange d'entendre "nous ne pouvons pas obtenir ce résultat important maintenant, mais nous le tirerons l'année prochaine" - ce serait en danger de circularité logique.

Ce n'est pas le cas en physique: la physique du premier cycle construit généralement vers le bas .Chaque année, vous apprenez une nouvelle théorie qui englobe tout ce que vous avez appris précédemment comme un cas particulier, qui est complètement indépendant de ces théories antérieures.En fait, vous n'avez besoin d'aucun résultat de la mécanique classique pour définir complètement la mécanique quantique: c'est une nouvelle couche construite en dessous de la mécanique classique plutôt qu'au-dessus.C'est pourquoi les définitions peuvent maintenant devenir des éléments dérivés plus tard, une fois que vous avez appris le niveau inférieur.Et cela signifie que dans la pratique, les physiciens doivent deviner le niveau inférieur en ayant uniquement accès au niveau supérieur;c'est la raison fondamentale pour laquelle la science est difficile!

Bien que la réponse de knzhou fasse un bon point en soulignant la possibilité que ce qui est pris comme point de départ au niveau d'introduction puisse devenir la conséquence d'un principe plus fondamental, je pense qu'il y a un point clé qui devrait être souligné plus clairement.

En physique, quel que soit l'outil conceptuel que nous développons doit être ancré, et sa motivation vient du besoin de décrire et de prédire ce qui se passe dans le monde réel.

Chaque théorie que nous avons, ce n'est pas seulement une équation mais elle est basée sur certaines définitions (toujours conventionnelles; les définitions peuvent être utiles ou pas, mais jamais vraies ou fausses), sur un appareil formel et sur un ensemble de principes sont un moyen pratique de résumer une grande partie de l'activité expérimentale.

Une équation comme $ \ vec F = m \ vec a $ , dans la mécanique classique peut être prise comme un principe (Newton) o elle pourrait être "dérivée" d'un point de vue plus géométrique, en se référant à des groupes de transformations sur des variétés symplectiques. Mais ce qui ne doit pas être oublié, c'est qu'il s'agit d'une équation au sein d'une théorie décrivant le comportement dynamique des corps macroscopiques dans un certain ensemble de conditions.

Au-delà de la gamme d'applicabilité de la mécanique classique, une nouvelle physique entre dans le jeu. La nouvelle physique signifie que certaines découvertes expérimentales ne sont plus décrites par les équations de Newton (indépendamment si elles sont supposées comme principes ou dérivées dans une approche plus générale) et il faut trouver une nouvelle théorie.

C'est ce passage d'une théorie (ou mieux d'un ensemble de théories équivalentes) à un autre ensemble qui est l'étape irréductible qui justifie l'affirmation que l'équation de Schrödinger ne peut pas être dérivée .Pour être plus précis, l'équation d'Schrödinger peut être dérivée, si on suppose comme point de départ une équation équivalente.Mais il ne peut pas être dérivé de points de départ qui ne sont pas cohérents avec la mécanique quantique.Par exemple, il n'y a aucun moyen de déduire l'équation de Schrödinger de la mécanique classique.Le mieux que l'on puisse faire est de refondre la mécanique classique sous la forme la plus proche de la mécanique quantique, mais à un moment donné, une différence conceptuelle clé, justifiée par des expériences, doit apparaître.Sans cela, la physique serait une branche des mathématiques.

Une perspective légèrement différente des autres réponses:

J'étais une fois dans un étrange cours de physique en tant que premier cycle, où un vieux professeur de 90 ans marmonnait tout seul en dessinant terriblement sur une tablette connectée à un projecteur. Tout le monde obtenait des A par défaut, donc personne ne ferait attention, en fait, certains jours, je serais le seul à apparaître, mais c'était "la physique moderne", et je voulais être physicien alors j'ai prêté attention, en essayant d'apprendre tout ce que je pouvais.

Une chose que je n'oublierai jamais:

l'ancien professeur a dit que tout le monde says que l'équation de Schrodinger est un axiome, mais que vous pouvez en faire dériver!

Si vous vous imaginez dans la peau de Schrodinger. Les expériences montrent que les choses avec la matière ont des propriétés ondulatoires. Existe-t-il des équations de mouvement qui décrivent un «comportement ondulatoire»? Nous savons comment certaines ondes fonctionnent en mécanique classique. Maintenant typiquement dans E&M classique, nous jetons la partie imaginaire de $ e ^ {ik - \ omega t} $ pour travailler avec $ \ cos (\ omega t) $ , mais que se passe-t-il si vous gardez simplement la partie imaginaire de l'onde plane?

Si vous commencez avec une onde plane:

$ \ Psi = e ^ {i (k z - \ omega t)} $ et vous trouvez son dérivé

$ \ frac {d \ Psi} {dt} = -i \ omega e ^ {i (k z + \ omega t)} $

si vous utilisez l'idée d'Einstein selon laquelle l'énergie est quantifiée en paquets d'énergie (c'est-à-dire que E = hf $ \ implique f = E / h \ implique \ omega = E / \ hbar $ ) cela devient:

$ \ frac {d \ Psi} {dt} = -i \ frac {E} {\ hbar} e ^ {i (pz - \ omega t)} $

Où nous avons le même plan auparavant, mais nous étiquetons simplement k comme l'élan p. Cela devient immédiatement

$ i \ hbar \ frac {d \ Psi} {dt} = E \ Psi $

et puisque l'hamiltonien représente l'opérateur d'énergie totale, nous pouvons faire ceci:

$ i \ hbar \ frac {d \ Psi} {dt} = H \ Psi $

C'est exactement l'équation de Schrödinger!

Maintenant, cela contredit ce que même Feyman dit: "D'où vient cette (équation)? Nulle part. Il n'est pas possible de la dériver de quoi que ce soit que vous savez. Elle est sortie de l'esprit de Schrödinger."

J'étais curieux après le cours et je lui ai posé quelques questions à ce sujet. Quoi qu'il en soit, il doit toujours y avoir un axiome! Il a répondu en disant que oui, il doit y avoir un point de départ, mais c'est ainsi qu'il imagine que Schrodinger l'a inventé, car il s'agit d'une manière très simple et naturelle de l'obtenir en utilisant les connaissances de l'époque.

Pour moi, ce qui est remarquable dans cette "dérivation", c'est qu'il suffit de commencer par deux choses:

1. L'état de votre observation a la forme d'une onde plane: $ \ Psi = e ^ {i (k z - \ omega t)} $
2. Et cette énergie est quantifiée en paquets: $ E = h f $

Et c'est tout! Vous n'avez même pas besoin de l ' hypothèse de Broglie!

EDIT: Certaines personnes sont curieuses de savoir pourquoi l'hamiltonien pour l'équation de Schrödinger a une forme si étrange: H = $ \ nabla ^ 2/2 + V (x) $ C'est aussi très simple, il vous suffit de brancher la définition de l'opérateur momentum dans l'équation de l'hamiltonien (qui n'est classiquement que l'énergie cinétique + l'énergie potentielle)

$ H = \ frac {p ^ 2} {2m} + V (x) $

$ p = -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} $

$ H = - \ frac {\ nabla ^ 2} {2m} + V (x) $

C'est aussi simple que ça!

Maintenant, si vous êtes également curieux de savoir d'où vient $ p = -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} $ , c'est aussi simple . Pour les ondes classiques, la valeur "k" est considérée comme la quantité de mouvement. Donc, si nous faisons ce que nous avons fait avant, mais que nous trouvons maintenant la dérivée par rapport à la position au lieu du temps:

$ \ frac {d \ Psi} {dz} = i \ frac {p} {\ hbar} e ^ {i (kz - \ omega t)} $ span>

$ \ frac {d \ Psi} {dz} = i \ frac {p} {\ hbar} \ Psi $

$ - i \ frac {d \ Psi} {dz} = \ frac {p} {\ hbar} \ Psi $

$ p \ Psi = (-i \ hbar \ frac {d} {dz}) \ Psi $

Cela suggère que chaque fois que vous utilisez $ p \ Psi $ , vous pouvez l'échanger avec $ (- i \ hbar \ frac {d} {dz}) \ Psi $ , et c'est pourquoi les gens disent "L'opérateur momentum est $ (- i \ hbar \ frac {d} {dz}) $ dans la base de position. "

Commencez par l'expression énergétique classique non relativiste.Faites l'hypothèse de De Broglie que la matière, pas seulement la lumière, peut être décrite par des vagues.En conséquence, identifiez E avec $ \ frac {\ hbar} {i} \ partial_t $ et similaire pour P. Là, vous avez l'équation de Schrödinger.

Les équations ne sont pas «dérivées» d'une manière totalement rigoureuse en physique car la dérivation utilise toujours la physique dans certaines ou toutes ses étapes clés. Les physiciens ont également accès à des outils auxquels les mathématiciens n'ont pas accès car ils ne nécessitent pas une rigueur totale dans leur dérivation: les intégrales de chemin de Feyman en sont un excellent exemple.

À titre d'exemple, dans la dérivation de l'équation de Klein-Gordon, une étape clé consiste à prendre la racine carrée, puis à ne conserver que la racine positive même si la fonction racine carrée est à valeurs multiples, mais cela est physiquement raisonnable car le une racine carrée négative représenterait une solution d'énergie négative. C'est pourquoi je ne suis pas vraiment sûr de ce que je ressens à propos des tentatives de prendre des théories physiques et de les réduire à une forme entièrement axiomatique, car cela pourrait ne pas être toujours possible ou même utile.

La question dépend également de ce que vous entendez par dérivation. La dérivation des équations d'Einstein à partir de l'identité différentielle de Bianchi implique certaines hypothèses physiques clés et n'est donc probablement pas une dérivation `` réelle '' à vos yeux, mais ces mêmes équations peuvent être dérivées en prenant une variation de l'action d'Einstein-Hilbert et vous pourriez soutiennent que cette dérivation est légitime car elle repose sur un calcul standard des variations. Ce type de dérivation est essentiel dans la physique théorique moderne et remonte à Noether (peut-être le concept le plus important en physique théorique).

Vous pouvez consulter l'article original de Schrödinger dans lequel il présente l'équation. C'est en fait très bien écrit.

E.Schrödinger, une théorie ondulatoire de la mécanique des atomes et des molécules, revue physique (1926) Vol. 28, n ° 6 pp. 1049-1070

Comme les gens l'ont souligné, vous devez faire certaines hypothèses pour dériver l'équation. L'approche de Schrödinger était de dire: en optique, nous pouvons modéliser la lumière par ondes (optique ondulatoire) ou par rayons lumineux (optique géométrique); l'optique géométrique peut être obtenue comme une approximation à courte longueur d'onde de la théorie des ondes sous-jacente. La formulation de Hamilton de l'optique géométrique est en fait très similaire à sa formulation ultérieure de la mécanique classique, de sorte que Schrödinger recherchait une théorie sous-jacente (dispersive) des ondes qui produirait la mécanique classique comme limite de longueur d'onde courte.

En mécanique hamiltonienne / lagrangienne, il existe une quantité appelée action principale W: fixer un point de base x, alors pour tout y, W (y) est l'intégrale du lagrangien le long d'une trajectoire de minimisation d'action de x à y. Cette fonction satisfait l'équation de Hamilton-Jacobi $ \ partial W / \ partial t = -H $ . Si votre système est autonome (H est indépendant de t) alors vous obtenez $ \ partial ^ 2 W / \ partial t ^ 2 = 0 $ donc $ W = -Ct + S (x, y, z) $ pour une constante C et une fonction S.

En optique ondulatoire, les ondes satisfont l'équation d'onde (éventuellement dispersive).Pour accéder à l'optique géométrique, vous finissez par regarder des ondes $ e ^ {iW} $ , où W est le "eikonal", une fonction en optique géométrique qui joue lemême rôle que l'action principale en mécanique hamiltonienne.Ainsi Schrödinger a deviné que l'équation d'onde de la mécanique quantique devrait être l'équation d'onde dispersive avec la relation de dispersion choisie pour garantir que $ e ^ {iW} $ est une solution, oùW est l'action principale.L'identification de la constante C avec $ E / \ hbar $ est alors faite par cohérence avec Einstein / Planck / de Broglie.

J'ai écrit un article de blog plus détaillé à ce sujet en 2012:

http://jde27.uk/blog/why-schrodinger.html

mais je recommande plutôt de lire l'article de Schrödinger!

Les équations différentielles partielles sont dérivées des principes de base de la physique, tels que la conservation de l'énergie ou la quantification de l'énergie. Ce ne sont pas des axiomes. Je préfère commencer par l'hamiltonien et le principe de moindre action via le calcul des variations, qui est en effet axiomatique.

PDE a un nombre infini de solutions. Ceux physiquement raisonnables sont choisis en supposant des conditions aux limites et initiales. Pour l'équation de Schrodinger, il s'agit généralement d'hypothèses sur le comportement en champ lointain, et ces hypothèses doivent être physiquement raisonnables, c'est-à-dire qu'elles ne peuvent pas violer ce que nous savons des expériences.

Les hypothèses physiques sont-elles des axiomes? C'est la principale différence entre les mathématiques pures et appliquées ou la physique mathématique - cette dernière reconnaît que les hypothèses physiques ne peuvent être ignorées et sont en un sens des axiomes. Je dirais que les hypothèses physiques peuvent être utilisées dans les preuves comme axiomes et ne compromettent pas la rigueur. Les mathématiciens purs seraient probablement en désaccord avec moi.

La dérivation d'onde plane ci-dessus est une hypothèse sur le comportement en champ lointain des solutions de l'équation de Schrödinger. Et étant donné l'affirmation "... puisque c'est une manière très simple et naturelle de l'obtenir en utilisant les connaissances de l'époque ", l'affirmation du professeur répond tout naturellement à l'objection de Feyman. Les ondes planes étaient très bien connues à l'époque de Schrödinger grâce à l'équation des vagues bien étudiée. La clé est que Schrödinger s'est rendu compte que l'équation décrivait des phénomènes autres que les ondes planes. Il répond parfaitement au "d'où vient l'équation".

Supposons que vous ayez conclu après avoir vu l'expérience de la double fente que la position d'une particule est dans une superposition (linéaire) de toutes les positions:

$$ | {\ psi} \ rangle = \ sum_i \ psi_i | x_i \ rangle \ xrightarrow [\ text {cont. limit}] {} \ int \ mathrm {dx} \ \ psi (x) | x \ rangle $$

tel que le carré absolu de $ \ psi (x) $ donne la distribution de probabilité de trouver la particule à $ x $ (la règle Born): $$ \ rho (x) \ equiv \ psi ^ * (x) \ psi (x) = | \ psi (x) | ^ 2 $$

En effet, si les coefficients $ \ psi (x) $ sont complexes, vous obtenez des termes d'interférence qui sont en accord avec l'expérience ( $ | \ psi (x) + \ phi (x) | ^ 2 = | \ psi (x) | ^ 2 + | \ phi (x) | ^ 2 + 2 \ Re {(\ psi ^ * ( x) \ phi (x)}) $ ). Les distributions de probabilité doivent être normalisées, ce qui signifie que les vecteurs d'état doivent être normalisés: $$ \ quad \ || \ psi \ rangle \ | = \ langle \ psi | \ psi \ rangle = \ int \ mathrm {dx} \ \ mathrm {dx '} \ \ psi ^ * (x) \ psi (x') \ underbrace {\ langle x | x '\ rangle } _ {\ delta_ {x ', x}} = \ int \ mathrm {dx} \ \ rho (x) = 1 $$

Pour définir la dynamique, il y a une opération qui fait évoluer le système dans le temps: $$ | \ psi \ rangle (t_1) \ xrightarrow {U} | \ psi \ rangle (t_2) $$ Puisque les états sont maintenant des vecteurs, cette opération doit respecter la structure de l'espace vectoriel; c'est-à-dire que $ U $ doit être un opérateur linéaire. De plus, il doit respecter que $ \ rho (x) $ est une distribution de probabilité: $$ | \ psi \ rangle (t_2) = U | \ psi \ rangle (t_1), \ quad \ langle \ psi | U ^ * U | \ psi \ rangle \ overset { !} {=} \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1 \ iff U ^ * U = \ mathbb {1} $$ c'est-à-dire peu importe ce que sont $ t_1 $ et $ t_2 $ , $ U $ doit être unitaire. En général, un opérateur unitaire peut être écrit sous la forme: $$ U = e ^ {A} $$ où $ A $ est un opérateur anti-hermitien: $$ A ^ * = -A $$ En effet, $ U ^ * U = e ^ {A ^ * + A} = e ^ 0 = \ mathbb {1} $ . Un opérateur anti-hermitien est l'unité imaginaire multipliée par un opérateur hermitien: $ A = i K $ . Maintenant: \ begin {align *} | \ psi \ rangle (t) & = U | \ psi \ rangle (t_0) \\ & = e ^ {iK} | \ psi \ rangle ( t_0) \\ \ frac {\ partial} {\ partial t} | \ psi \ rangle (t) & = \ frac {\ partial} {\ partial t} e ^ {iK} | \ psi \ rangle (t_0) = i \ frac {dK} {dt} e ^ {iK} | \ psi \ rangle (t_0) = i \ frac {dK} {dt} | \ psi \ rangle (t) \\ \ implique -i \ frac {\ partial} {\ partial t} | \ psi \ rangle (t) & = \ frac {dK} {dt} | \ psi \ rangle (t) \ end {align *} span > En identifiant l'opérateur hermitien $ H \ equiv \ frac {1} {\ hbar} \ frac {dK} {dt} $ avec l'hamiltonien, vous obtenez l'équation de Schrödinger.

En termes fantaisistes, les équations et mathématiques de QM peuvent être dérivées naturellement si l'on admet que les groupes de symétrie dans la nature (groupe de Poincaré) doivent être traités à travers une représentation unitaire (équation S.E. à partir de traductions de temps, comme nous l'avons vu plus haut). Woit aborde ce sujet magnifiquement dans son livre "Théorie quantique, groupes et représentations" (disponible gratuitement) ".

Comme d'autres l'ont dit, une dérivation signifie une dérivation à partir de postulats ou d'axiomes. Les postulats peuvent être motivés (comme par exemple dans le traitement original de Schrödinger), mais ils ne peuvent pas être dérivés. Donc, la question est vraiment "quels axiomes sont nécessaires pour un traitement mathématique de la mécanique quantique; l'équation de Schrödinger est-elle un axiome, ou est-ce un théorème?"

Les manuels sont généralement plus concernés par l'application pratique que par la structure mathématique et traitent généralement Schrödinger comme un postulat, mais il s'agit en fait d'un théorème et peut être dérivé des axiomes de Dirac – von Neumann. Un aperçu de la dérivation est donné à Dérivation de l'équation de Schrödinger. J'ai donné des dérivations détaillées dans L'espace de Hilbert des clauses conditionnelles et dans Une construction de QED complet utilisant l'espace de Hilbert à dimension finie

Le postulat clé est que les probabilités sont données par la règle Born (ou les attentes données par le produit interne). Il faut également que le comportement physique fondamental de la matière ne change pas. Ceci permet de montrer que l'interprétation des probabilités nécessite une évolution de temps unitaire satisfaisant les conditions du théorème de Stone, et la forme générale de l'équation de Schrödinger suit comme un simple corollaire.

L'équation de Schrödinger est également contrainte par des considérations relativistes, à partir desquelles on trouve l'équation de Dirac, et la forme de la densité d'interaction qui doit être composée d'opérateurs de champ obéissant à la condition de Localité (ou microcausalité), que les (anti-) commutateurs disparaissent à l'extérieur du cône lumineux. Les formes non relativistes de l'équation de Schrödinger sont considérées comme des approximations semi-classiques dans lesquelles l'opérateur de champ photonique est remplacé par son espérance.