En une seule phrase, le premier théorème de Noether déclare qu'une symétrie continue, globale et hors coquille d'une action $ S $ implique une loi de conservation locale sur la coquille. Les mots on-shell et off-shell signifient si les équations de mouvement d'Euler-Lagrange sont satisfaites ou non.
Maintenant, la question demande si continu peut être remplacé par discrete?
Il faut immédiatement souligner que Noether Theorem est une machine qui pour chaque entrée sous la forme d'une symétrie appropriée produit un résultat sous la forme d'une loi de conservation. Pour affirmer qu'un théorème de Noether est derrière, il ne suffit pas de lister juste quelques paires (symétrie, loi de conservation).
Maintenant, où pourrait vivre une version discrète du théorème de Noether? Un bon pari est dans un monde en treillis discret, si on utilise des différences finies au lieu de la différenciation. Examinons la situation.
Notre idée intuitive est que les symétries finies, par exemple, la symétrie d'inversion du temps, etc., ne peuvent pas être utilisées dans un théorème de Noether dans un monde en treillis car elles ne fonctionnent pas dans un monde continu. Au lieu de cela, nous plaçons nos espoirs sur ces symétries discrètes infinies qui deviennent des symétries continues lorsque les espacements du réseau vont à zéro, peuvent être utilisées.
Imaginez pour simplifier une particule ponctuelle 1D qui ne peut être qu'à des positions discrètes $ q_t \ dans \ mathbb {Z} a $ sur un réseau 1D $ \ mathbb {Z} a $ avec un espacement du réseau $ a $, et ce temps $ t \ in \ mathbb {Z} $ est également discret. (Cela a été, par exemple, étudié dans JC Baez et JM Gilliam, Lett. Math. Phys. 31 (1994) 205; pointe du chapeau: Edward.) La vitesse est la différence finie
$$ v_ {t + \ frac {1} {2}}: = q_ {t + 1} -q_t \ in \ mathbb {Z} a, $$
et est également discret. L'action $ S $ est
$$ S [q] = \ sum_t L_t $$
avec Lagrangien $ L_t $ sur le formulaire
$$ L_t = L_t (q_t, v_ {t + \ frac {1} {2}}). $$
Définir l'élan $ p_ {t + \ frac {1} {2}} $ comme
$$ p_ {t + \ frac {1} {2}}: = \ frac {\ partial L_t} {\ partial v_ {t + \ frac {1} {2}}}. $$
Naïvement, l'action $ S $ doit être extrémisée. chemins discrets virtuels voisins $ q: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} a $ pour trouver l'équation du mouvement. Cependant, il ne semble pas possible d'extraire une équation d'Euler-Lagrange discrète de cette manière, essentiellement parce qu'il ne suffit pas de Taylor d'étendre au premier ordre de la variation $ \ Delta q $ lorsque la variation $ \ Delta q \ in \ mathbb {Z} a $ n'est pas infinitésimal. À ce stade, nous lançons nos mains en l'air et déclarons que le chemin virtuel $ q + \ Delta q $ (par opposition au chemin stationnaire $ q $) ne doit pas nécessairement se trouver dans le réseau , mais qu'il est libre de prendre des valeurs continues dans $ \ mathbb {R} $. Nous pouvons maintenant effectuer une variation infinitésimale sans nous soucier des contributions d'ordre supérieur,
$$ 0 = \ delta S: = S [q + \ delta q] - S [q] = \ sum_t \ left [\ frac { \ partial L_t} {\ partial q_t} \ delta q_t + p_ {t + \ frac {1} {2}} \ delta v_ {t + \ frac {1} {2}} \ right] $$ $$ = \ sum_t \ gauche [\ frac {\ partial L_t} {\ partial q_t} \ delta q_ {t} + p_ {t + \ frac {1} {2}} (\ delta q_ {t + 1} - \ delta q_t) \ right] $$$$ = \ sum_t \ left [\ frac {\ partial L_t} {\ partial q_t} - p_ {t + \ frac {1} {2}} + p_ {t- \ frac {1} {2}} \ droite] \ delta q_t + \ sum_t \ gauche [p_ {t + \ frac {1} {2}} \ delta q_ {t + 1} -p_ {t- \ frac {1} {2}} \ delta q_t \ right ]. $$
Notez que la dernière somme est télescopique. Cela implique (avec des conditions aux limites appropriées) l'équation discrète d'Euler-Lagrange
$$ \ frac {\ partial L_t} {\ partial q_t} = p_ {t + \ frac {1} {2}} - p_ {t- \ frac {1} {2}}. $$
Voici l'équation d'évolution. À ce stade, il n'est pas clair si une solution pour $ q: \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {R} $ restera sur le réseau $ \ mathbb {Z} a $ si nous spécifions deux valeurs initiales sur le réseau. Nous limiterons désormais nos considérations à de tels systèmes par souci de cohérence.
A titre d'exemple, on peut imaginer que $ q_t $ est une variable cyclique, c'est-à-dire que $ L_t $ ne dépend pas de $ q_t $. On a donc une symétrie de translation globale discrète $ \ Delta q_t = a $. Le courant Noether est le momentum $ p_ {t + \ frac {1} {2}} $, et la loi de conservation Noether est que l'impulsion $ p_ {t + \ frac {1} {2}} $ est conservée. C'est certainement une belle observation. Mais cela ne signifie pas nécessairement qu’un théorème de Noether est derrière.
Imaginez que l’ennemi nous ait donné une symétrie verticale globale $ \ Delta q_t = Y (q_t) \ in \ mathbb {Z} a $, où $ Y $ est une fonction arbitraire. (Les mots vertical et horizontal font référence à la translation dans la direction $ q $ et la direction $ t $, respectivement. Nous ne discuterons pas pour simplifier les symétries avec les composantes horizontales.) Le candidat évident pour le courant Noether nu est
$$ j_t = p_ {t- \ frac {1} {2}} Y (q_t). $$
Mais c'est il est peu probable que nous puissions prouver que $ j_t $ est simplement conservé à partir de la symétrie $ 0 = S [q + \ Delta q] - S [q] $, qui impliquerait désormais inévitablement des contributions d'ordre supérieur. Donc, même si nous nous arrêtons avant de déclarer un théorème de non-droit, cela ne semble certainement pas prometteur.
Peut-être que nous aurions plus de succès si nous discrétisons seulement le temps et laissons l'espace de coordonnées continu? Je pourrais revenir avec une mise à jour à ce sujet dans le futur.
Un exemple du monde continu qu'il serait peut-être bon de garder à l'esprit: considérez un pendule de gravité simple avec lagrangien
$$ L (\ varphi, \ dot {\ varphi}) = \ frac {m} {2} \ ell ^ 2 \ dot {\ varphi} ^ 2 + mg \ ell \ cos (\ varphi) . $$
Il a une symétrie périodique discrète globale $ \ varphi \ to \ varphi + 2 \ pi $, mais le moment (angulaire) $ p _ {\ varphi}: = \ frac {\ partial L } {\ partial \ dot {\ varphi}} = m \ ell ^ 2 \ dot {\ varphi} $ n'est pas conservé si $ g \ neq 0 $.