Question:
Quelle est la signification physique de la connexion et du tenseur de courbure?
Sklivvz
2011-01-02 20:30:51 UTC
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Concernant la relativité générale:

  • Quelle est la signification physique du symbole de Christoffel ($ \ Gamma ^ i _ {\ jk} $)?
  • Quels sont les ( de préférence physiques) entre le tenseur de courbure de Riemann ($ R ^ i _ {\ jkl} $), le tenseur de Ricci ($ R_ {ij} $) et le scalaire de Ricci ($ R $)? Par exemple, pourquoi les équations d'Einstein incluent le tenseur et le scalaire de Ricci, mais pas le tenseur de Riemann?

Pour être clair, par «signification physique», je veux dire quelque chose comme - quel effet physique font ces les composants génèrent? Ou, ils font que les solutions GR s'écartent de Newton à cause du facteur xxx ... ou quelque chose de similaire physiquement intuitif.

Quatre réponses:
#1
+54
Jerry Schirmer
2011-01-02 21:18:52 UTC
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La manière la plus simple d'expliquer le symbole Christoffel est de les regarder dans un espace plat. Normalement, le laplacien d'un scalaire en trois dimensions plates est:

$$ \ nabla ^ {a} \ nabla_ {a} \ phi = \ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partiel x ^ {2}} + \ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial y ^ {2}} + \ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial z ^ {2} } $$

Mais ce n'est pas le cas si je passe du système de coordonnées $ (x, y, z) $ aux coordonnées cylindriques $ (r, \ theta, z) $. Maintenant, le laplacien devient:

$$ \ nabla ^ {a} \ nabla_ {a} \ phi = \ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial r ^ {2}} + \ frac {1} {r ^ {2}} \ gauche (\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial \ theta ^ {2}} \ droite) + \ frac {\ partial ^ {2 } \ phi} {\ partial z ^ {2}} - \ frac {1} {r} \ left (\ frac {\ partial \ phi} {\ partial r} \ right) $$

La chose la plus importante à noter est le dernier terme ci-dessus - vous avez maintenant non seulement des dérivés secondaires de $ \ phi $, mais vous avez également maintenant un terme impliquant un premier dérivé de $ \ phi $. C'est précisément ce que fait un symbole Christoffel. En général, l'opérateur laplacien est:

$$ \ nabla_ {a} \ nabla ^ {a} \ phi = g ^ {ab} \ partial_ {a} \ partial_ {b} \ phi - g ^ {ab} \ Gamma_ {ab} {} ^ {c} \ partial_ {c} \ phi $$

Dans le cas des coordonnées cylindriques, ce que fait le terme supplémentaire est d'encoder le fait que la coordonnée système n'est pas homogène dans l'opérateur dérivé - les surfaces à $ r $ constant sont beaucoup plus grandes loin de l'origine qu'elles ne sont proches de l'origine. Dans le cas d'un espace (temps) courbe, ce que font les symboles de Christoffel, c'est expliquer les inhomogénéités / courbure / quoi que ce soit de l'espace (temps) lui-même.

En ce qui concerne les tenseurs de courbure - ce sont des contractions les uns des autres. Le tenseur de Riemann est simplement un anticommutateur d'opérateurs dérivés - $ R_ {abc} {} ^ {d} \ omega_ {d} \ equiv \ nabla_ {a} \ nabla_ {b} \ omega_ {c} - \ nabla_ {b } \ nabla_ {a} \ omega_ {c} $. Il mesure la différence entre la translation parallèle d'un vecteur / forme unique si vous allez dans la direction 1 puis dans la direction 2 ou dans l'ordre inverse. Le tenseur de Riemann est une chose difficile à utiliser, cependant, ayant quatre indices. Il s'avère qu'il est antisymétrique sur les deux premiers et les deux derniers indices, cependant, il n'y a donc en fait qu'une seule contraction (contraction = multiplier par le tenseur métrique et somme sur tous les indices) que l'on peut faire dessus, $ g ^ {ab} R_ {acbd} = R_ {cd} $, et cela définit le tenseur de Ricci. Le scalaire de Ricci n'est qu'une contraction supplémentaire de ceci, $ R = g ^ {ab} R_ {ab} $.

Maintenant, en raison de la relativité spéciale, Einstein savait déjà que la matière devait être représentée par un tenseur à deux indices qui combinait les pressions, les courants et les densités de la distribution de la matière. Cette distribution de matière, si elle est physiquement significative, devrait également satisfaire une équation de continuité: $ \ nabla_ {a} T ^ {ab} = 0 $, qui dit fondamentalement que la matière n'est ni créée ni détruite dans la distribution, et que le taux de temps de le changement d'un courant est le gradient de pression. Quand Einstein écrivait ses équations de champ, il voulait qu'une quantité créée à partir du tenseur métrique qui satisfasse également cela (appelez-le $ G ^ {ab} $) soit égale à $ T ^ {ab} $. Mais cela signifie que $ \ nabla_ {a} G ^ {ab} = 0 $. Il s'avère qu'il n'existe qu'une seule combinaison de termes impliquant des dérivées première et seconde du tenseur métrique: $ R_ {ab} - \ frac {1} {2} Rg_ {ab} + \ Lambda g_ {ab} $, où $ \ Lambda $ est une constante arbitraire. C'est donc ce qu'Einstein a choisi pour son équation de champ.

Maintenant, $ R_ {ab} $ a le même nombre d'indices que le tenseur énergie-contrainte. Ainsi, une manière simple de regarder ce que signifie $ R_ {ab} $ est de dire qu'il vous indique la "partie de la courbure" qui dérive de la présence de matière. Où cela laisse-t-il les composants restants de $ R_ {abc} {} ^ {d} $ dont $ R_ {ab} $ ne dépend pas? Eh bien, le moyen le plus simple (pas COMPLÈTEMENT correct, mais le plus simple) est d'appeler ces parties de la courbure dérivées de la dynamique du champ gravitationnel lui-même - un espace-temps vide contenant uniquement un rayonnement gravitationnel, par exemple, satisfera $ R_ {ab } = 0 $ mais aura également $ R_ {abc} {} ^ {d} \ neq 0 $. Idem pour un espace-temps contenant uniquement un trou noir. Ces composants supplémentaires de $ R_ {abc} {} ^ {d} $ vous donnent des informations sur la dynamique gravitationnelle de l'espace-temps, indépendamment de la matière que contient l'espace-temps.

Cela devient long, je vais donc en rester là.

#2
+13
Ron Maimon
2011-09-18 13:25:22 UTC
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La connexion a une signification physique - c'est le champ gravitationnel. La métrique est le potentiel gravitationnel.

Le fait que les symboles de Christoffel ne soient pas des tenseurs ne change pas le fait qu'ils sont significatifs. Ils peuvent être amenés à disparaître à tout moment par une transformation de coordonnées, mais dans GR, cela signifie simplement que vous pouvez faire disparaître le champ gravitationnel en choisissant un cadre de coordonnées tombant librement. C'est une déclaration physique sur le champ gravitationnel.

La loi de transformation pour les symboles de Christoffel est bien définie, et une façon de penser au concept mathématique de la connexion abstraite consiste à identifier deux descriptions de symboles différentes lorsqu'elles ne diffèrent que par transformation de coordonnées. La connexion abstraite n'a pas de valeur à un point, mais elle a des valeurs d'holonomie sur les boucles.

Il n'y a pas d'observables invariants de jauge locale dans une théorie généralement covariante, vous devez donc vous contenter de transformer les coordonnées comme le tenseur métrique et la connexion.

"Il n'y a pas d'observables invariants de jauge locale dans une théorie généralement covariante." Contre-exemple: le scalaire de Kretschmann.
@BenCrowell: Ce n'est pas un invariant de jauge, en ce qu'une transformation de jauge le change par la dérivée du scalaire de Kretschmann. La déclaration que j'ai faite est correcte et bien connue, et triviale - elle dit que les transformations de jauge dans GR déplacent les points intérieurs autour de la variété, donc une fonction invariante de jauge est constante.
#3
+9
Marek
2011-01-03 00:49:20 UTC
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Notez qu'il n'y a pas de signification physique des symboles Christoffel car ce ne sont pas des tenseurs. Il est toujours possible de choisir des coordonnées locales telles que tout $ \ Gamma $ disparaisse.

Mais leur signification mathématique est qu'elles forment un pseudotenseur. Techniquement, si nous avons deux dérivées covariantes $ \ nabla_1 $ et $ \ nabla_2 $ alors leur différence $ \ Gamma: = \ nabla_1 - \ nabla_2 $ satisfait de belles propriétés mathématiques (à savoir qu'il s'agit d'un opérateur ultralocal) et donc son action sur tout objet est juste local et peut être représenté par un tenseur.

Pour $ \ nabla_1 $, nous prenons généralement la dérivée covariante qui nous intéresse (par exemple une dérivée covariante métrique avec une torsion de disparition induite par un tenseur métrique $ g $). Pour $ \ nabla_2 $, il existe deux choix généraux (et largement utilisés). On peut soit utiliser la dérivée covariante de coordonnées $ \ partial $ (qui anéantit le vecteur de coordonnées $ {\ partial \ over \ partial x} $ et les champs de covector $ {\ rm d} x $ et cela donne l'expression usuelle $ \ nabla = \ partial + \ Gamma_ {Christoffel} $. L'autre choix (qui généralise le précédent) est une dérivée covariante $ \ bar \ partial $ qui annihile une certaine tétrade $ e $ (dans le cas précédent nous avions la tétrade $ {\ rm d} x $ qui est très spécifique; pour la tétrade générale il n'y a pas besoin de coordonnées associées) .Cela conduit au formalisme de la tétrade et on écrit $ \ nabla = \ bar \ partial + \ gamma $ où $ \ gamma $ sont des coefficients de rotation de Ricci.

Quant au tenseur de Riemann, il est encore une fois une représentation tensorielle d'un opérateur ultralocal, à savoir l'opérateur de courbure $ R (u, v) $. Il s'agit d'une boîte noire qui prend deux champs vectoriels (considérés comme une direction) et renvoie un opérateur ultralocal qui vous indique à quel point l'espace se courbe le long de ces directions. Plus précisément, il vous indique ce qui se passe avec un vecteur si vous le transportez en parallèle le long du polygone infinitésimal $ 0 \ vers u \ vers u + v \ vers v \ vers [u, v] \ vers 0 $; il peut être considéré comme un carré sauf que les deux champs n'ont pas besoin de se fermer et cela est mesuré par leur commutateur $ [u, v] $. Ainsi, vous pouvez l'exprimer comme $ R (e_a, e_b) e_c = {R_ {abc}} ^ d e_d $ et vous obtiendrez le tenseur de Riemann habituel.

Maintenant, grâce au (a) symétrie du tenseur de Riemann, deux contractions inéquivalentes sont possibles. L'un d'eux est la trace $ {R_ {abc}} ^ c $ et cela peut être considéré comme nul pour le tenseur de Riemann dérivé de la connexion Levi-Civita (plus généralement pour les connexions qui préservent les éléments de volume). L'autre contraction, $ {R_ {abc}} ^ a $ donne le tenseur de Ricci. Ce sera symétrique pour la connexion Levi-Civita (parce que la trace du tenseur de Riemann est nulle et que la torsion s'évanouit).

Une vue utile (assez mathématique cependant) du tenseur de Ricci est comme un "laplacien de la métrique ", $ R_ {ij} \ sim - {1 \ over 2} \ Delta g_ {ij} $ et par analogie avec les flux de chaleur cela relie les flux de Ricci qui sont un outil de base utilisé dans l'étude de la conjecture de Poincaré.

Maintenant, la signification géométrique du tenseur de Ricci est qu'il mesure la déformation de l'élément de volume en coordonnées géodésiques normales. Ce sont des coordonnées que vous pouvez obtenir autour de n'importe quel point si vous paramétrez le voisinage par des écoulements géodésiques. Ainsi, le tenseur de Ricci mesure la façon dont les géodésiques ont tendance à devenir plus denses ou plus clairsemées autour d'un point dans une direction donnée. Pensez à la façon dont une sphère à courbure positive a moins de volume parce que ses géodésiques convergent (ce sont les grands cercles sur la sphère) qu'un espace hyperbolique à courbure négative où les géodésiques divergent (il y a une infinité de lignes droites parallèles à une ligne donnée). En particulier, les variétés plates de Ricci (qui sont les solutions des équations d'Einstein dans le vide avec une constante cosmologique nulle) se comportent à cet égard comme l'espace euclidien habituel. Vous devez généraliser cela aux variétés d'Einstein (qui sont des solutions de vide avec une constante cosmologique non nulle) pour obtenir des analogues de sphère et d'espace hyperbolique (à savoir, deSitter et anti-deSitter).

Il y a beaucoup plus à dire sur ces sujets mais j'espère que cela vous sera au moins un peu utile.

c'est un point très important et devrait être voté! La connexion n'a AUCUNE signification PHYSIQUE. Bien que je ne dise pas parce que ce n'est pas un tenseur, mais plutôt parce qu'il ne dépend que des coordonnées et n'est pas invariant.
@Jeremy: Si nous sommes pédants, alors non non-scalaire est invariant - les choses qui portent des indices changent certainement sous un changement de coordonnées - ce sont des variantes co , pas invariant.
"pas de signification physique" est faux: montez à bord d'un roller coaster ou d'une plaque tournante et vous en ressentirez immédiatement la signification physique.Même assis sur une chaise, vous ressentez la signification physique de $ \ Gamma ^ a_ {bc} $ --- ou suivez toutes ces leçons de mécanique au lycée avec des forces telles que $ m {\ bf g} $ et des pressions telles que $ mgh$ n'ont "aucune signification physique"?
#4
+2
ghostRepeater
2014-02-04 14:09:33 UTC
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Quant à la «signification physique» des symboles de Christoffel, il y a un sens dans lequel ils n'ont pas de signification physique, car les informations qu'ils encodent ne sont pas vraiment des informations sur la courbure de l'espace mais sur la géométrie de la coordonnée système que vous utilisez pour décrire l'espace.

Quant à une intuition à leur sujet, ils codent combien les champs de vecteurs de base changent pour des changements infinitésimaux dans les coordonnées utilisées. C'est pourquoi dans un espace plat (c'est-à-dire localement) il est toujours possible de les rendre nuls: transformez en un système de coordonnées où les champs de vecteurs de base ne changent pas d'un point à l'autre.

courbes spatio-temporelles, vous pouvez voir comment la fonction métrique change d'un point à l'autre. Pour voir cela, vous pouvez regarder comment les vecteurs de base changent d'un point à l'autre (puisque la métrique est complètement déterminée par les vecteurs de base). Ce sont les informations que le symbole Christoffel code.



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