Question:
Pourquoi utilisons-nous des produits croisés en physique?
hezizzenkins
2019-12-08 21:10:26 UTC
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Nous pouvons définir mathématiquement des produits croisés comme si nous prenons deux vecteurs, nous pouvons trouver un autre vecteur avec certaines propriétés mais pourquoi l'utilisons-nous en physique, si nous considérons une quantité physique hypothétique comme la force qui est égale au produit croisé de certainsvecteurs?

Par exemple, la force exercée sur une charge en mouvement dans un champ magnétique uniforme.

Pourquoi en est-il ainsi?Pourquoi cette force doit-elle être un produit croisé de deux vecteurs?

Est-il possible de les trouver alors que nous observons simplement la nature?

J'ai supprimé certains commentaires indiquant que des compétences ont été publiées en tant que réponses, et des réponses.(Certains d'entre eux étaient de * bonnes * réponses! D'autres non.) Veuillez utiliser les commentaires pour suggérer des améliorations à la question.
Si vous êtes intéressé par la façon dont les produits croisés et les produits scalaires ont fait leur apparition dans le passé, vous pouvez consulter l'article suivant de History of Science and Mathematics SE: https://hsm.stackexchange.com/q/2087/, etliens qui y figurent.
Huit réponses:
#1
+82
tparker
2019-12-08 23:35:59 UTC
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C'est une excellente question. Les produits dot et cross semblent très mystérieux lorsqu'ils sont présentés pour la première fois à un nouvel étudiant. Par exemple, pourquoi le produit scalaire (point) a-t-il un cosinus et le produit vectoriel (croisé) a un sinus, plutôt que l'inverse? Et pourquoi ces deux méthodes très peu évidentes de "multiplication" des vecteurs se présentent dans tant de contextes différents?

La réponse fondamentale (qui malheureusement peut ne pas être très accessible si vous êtes un nouvel étudiant) est qu'il n'y a que deux tenseurs algébriquement indépendants qui sont invariants sous des rotations arbitraires dans $ n $ dimensions (on dit qu'elles sont " $ \ mathrm {SO} (n) $ invariantes"). Ce sont le delta de Kronecker $ \ delta_ {ij} $ et le symbole Levi-Civita $ \ epsilon_ {ijk \ cdots} $ . La contraction de deux vecteurs avec ces symboles donne respectivement les produits de points et croisés (ce dernier ne fonctionne qu'en trois dimensions). Étant donné que les lois de la physique semblent être isotropes (c'est-à-dire invariantes en rotation), il est logique que toute méthode physiquement utile pour combiner des quantités physiques comme des vecteurs ensemble soit également isotrope. Les produits point et croix se révèlent être les deux seules options multilinéaires possibles.

(Pourquoi les cartes multilinéaires sont si utiles en physique est une question encore plus profonde et fondamentale, mais quelles réponses à cette question sont satisfaisantes est probablement intrinsèquement une question d'opinion.)

Les lois de la physique (du moins classiquement) sont également invariantes par réflexion, mais le produit croisé ne l'est pas.Le produit de coin est.
@mr_e_man En êtes-vous sûr?Avez-vous un exemple d'expérience de pensée qui illustrerait où le produit croisé donne la mauvaise réponse dans un miroir?
@Luaan Serrez un boulon tout en le regardant dans le miroir.Les boulons suivent la règle de la main droite, mais si vous essayez d'appliquer la règle de la main droite à l'image dans le miroir, vous tournez le boulon dans le mauvais sens.(Je crois que c'est aussi la raison pour laquelle il est difficile de tourner un boulon à l'envers. Si votre cerveau fait une réflexion plutôt qu'une rotation de 180, il obtient la mauvaise réponse au moment de décider dans quel sens tourner).
@Luaan: (plus difficile à visualiser que l'exemple de Cort Ammon, mais plus physiquement basique) Prenez une particule chargée se déplaçant dans un champ magnétique;la force résultante est le produit croisé de son vecteur vitesse et du vecteur représentant le champ magnétique.Si vous reflétez les vecteurs de vitesse et de champ magnétique dans un miroir, puis calculez leur produit croisé, vous n'obtiendrez pas la mise en miroir de la force d'origine;vous obtiendrez son négatif.Le fait est que si la force et la vitesse «sont vraiment» des vecteurs, le champ magnétique ne l’est pas, et sa représentation en tant que vecteur implique un choix dépendant de l’orientation.
Et pour continuer avec la question du `` pourquoi '', il y a une raison pour laquelle les mathématiciens et les physiciens célèbres sont célèbres - parce que ce n'est pas un exploit facile de prendre des observations de la nature et, grâce à une combinaison d'intuition et d'expérimentation, de les modéliser avec des constructions mathématiques traitables.Les produits de points et croisés sont courants en physique parce que * ils fonctionnent * - ils sont des éléments critiques pour produire un modèle précis de la réalité.Les idées de cette réponse sont venues de mathématiciens des années après que la physique a incorporé ces constructions - en fait, même les physiciens ne comprenaient pas le «pourquoi» à l'époque.
@mr_e_man Je pense que cela a à voir avec les [pseudovecteurs] (https://en.wikipedia.org/wiki/Pseudovectorhttps://en.wikipedia.org/wiki/Pseudovector).
@PLL Bien, j'ai automatiquement supposé que vous devriez refléter les charges ainsi que la symétrie C (/ P (/ T)).Si vous ne le faites pas, certains bits qui sont abitraires deviennent arbitrairement _ faux_: D
@CortAmmon-ReinstateMonica Donc, en général, si vous ne faites pas l'inversion de parité (et l'inversion de charge pour l'électromagnétisme, etc.), le produit croisé pointe dans le mauvais sens.Je ne pensais pas que "invariant par réflexion" n'inclurait pas l'échange de la parité et des frais, mais si ce n'est pas le cas, il est évident que les choses se brisent.Maintenant, je ne sais pas si les lois classiques de la physique sont invariantes par réflexion, cependant: D
@Luaan Non, l'inversion de parité de charge est totalement indépendante de l'inversion de parité de produit croisé.Vous pouvez toujours reproduire correctement toutes les prédictions d'E & M uniquement à partir de cette dernière - le champ magnétique change de direction par rapport à la loi de Biot-Savart, mais cet effet est annulé par le * deuxième * produit croisé dans la loi de force de Lorentz.
@Luaan Que "les lois classiques de la physique soient invariantes par réflexion" est une question de sémantique.Les pseudovecteurs comme le moment cinétique et le champ magnétique changent formellement de direction, mais l'orientation d'un pseudovecteur n'est jamais directement mesurable de toute façon - seuls les vrais vecteurs avec un nombre pair de produits croisés sont toujours directement mesurables, il n'y a donc pas de moyen expérimental de détecter de quelle manière les pseudovecteurspointent.Tant que vous choisissez de vous en tenir à la règle de la main droite ou à la règle de la main gauche, vous obtenez toujours les réponses physiquement correctes de toute façon.
@Luaan J'en discute à https://physics.stackexchange.com/a/412565/92058.
Tu m'as perdu à 'exemple'
Ce n'est pas très pertinent pour la question, mais techniquement, vous pouvez également définir un produit croisé entre des vecteurs en 7 dimensions https://en.wikipedia.org/wiki/Seven-dimensional_cross_product.Dans ce cas, il n'est pas invariant SO (7), mais seulement invariant sous un sous-groupe $ G_2 $.
@asperanz Pour être un peu pédant, cela dépend de la façon dont vous définissez le terme «produit croisé».En fonction des propriétés du produit croisé tridimensionnel que vous considérez comme définitionnelles, il existe des généralisations au-delà de la 3D qui fonctionnent dans n'importe quel nombre de dimensions, certaines ne fonctionnent que dans 7 dimensions, et d'autres qui ne fonctionnent dans aucunenombre de dimensions.Si vous définissez un produit croisé comme "une application bilinéaire invariante en rotation $ V ^ 2 \ à V $", il n'y a pas de produits croisés à sept dimensions.
Je ne sais pas si c'est ma confusion dans votre réponse ou dans les propriétés des tenseurs, mais quand vous dites "seulement deux tenseurs algébriquement indépendants qui sont invariants sous des rotations arbitraires", parlez-vous de faire des tenseurs avec $ \ epsilon\ delta $ en ajoutant des facteurs de $ \ det (g) $?Ces symboles seuls sont invariants sous toute transformation pour autant que je sache (ce qui les rend également non tenseurs).
@danielunderwood Vous avez raison de dire que le "symbole" de Levi-Civita est en fait une densité de tenseur plutôt qu'un tenseur, et vous devez multiplier par une puissance de $ | \ det (g) | $ pour le transformer en tenseur.(Je fais en fait référence au tenseur de Levi-Civita dans ma réponse ci-dessus, mais je ne voulais pas entrer dans cette subtilité.) Mais vous * n'avez * pas à multiplier le delta de Kronecker par $ | \ det (g) | $;c'est déjà un tenseur légitime.
@danielunderwood Une autre chose que vous pouvez faire dans l'espace euclidien (ou espace-temps de Minkowski) est de ne considérer que les isométries globales entre les systèmes de coordonnées cartésiens, plutôt qu'entre les systèmes de coordonnées généraux.Dans ce cas $ | \ det (g) |\ equiv 1 $ et vous n'avez pas à vous soucier de la distinction entre les tenseurs et les densités de tenseurs que vous augmentez.
#2
+32
Cort Ammon
2019-12-09 03:00:34 UTC
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Un produit croisé est étroitement lié à un autre concept, le produit extérieur (ou produit de coin). Un produit extérieur est un produit très naturel qui se produit en algèbre. Le produit extérieur de deux vecteurs est un bivecteur, dont les directions sont très naturelles (alors que le couple en tant que vecteur est perpendiculaire à la force et au bras de levier, dans le produit extérieur, il s'agit simplement d'un bivecteur défini par deux directions - la force et le bras levant).

Malheureusement, les produits extérieurs sont difficiles à enseigner dès le début. Ils prennent beaucoup de maths. Les produits croisés sont beaucoup plus faciles à expliquer. Et, en fait, en 3 dimensions, les produits croisés et les produits extérieurs sont isométriques. Ils se transforment de la même manière. Si vous faites le calcul avec des produits croisés, vous obtenez la même réponse que si vous les faisiez avec des produits extérieurs. Cela ne fonctionne pas dans toutes les dimensions (les produits croisés sont une chose en 3 dimensions, tandis que les produits extérieurs peuvent être réalisés dans n'importe quel nombre de dimensions), mais cela fonctionne en 3, et beaucoup de physique se fait en trois dimensions!

Les produits extérieurs sont-ils vraiment plus difficiles à enseigner que les produits croisés?Ils sont simplement générés par addition et multiplication scalaire, sont associatifs et satisfont $ x \ wedge x = 0 $.Il est également assez facile de voir ce qui se passe géométriquement avec les bonnes images.
@user76284 le problème est que le produit extérieur vit dans un espace complètement différent de celui des facteurs.L'écrire en notation vectorielle coordonnée n'a en général pas de sens, il est donc difficile de donner des exemples / exercices d'enseignement.Des définitions purement algébriques sont possibles, oui, mais l'OMI ne donne pas du tout beaucoup d'intuition en elle-même, et a également des problèmes d'existence / unicité incertaines.
Je n'appellerais même pas cela beaucoup plus difficile à enseigner si on le fait correctement.Personnellement, j'appellerais même beaucoup de parties de la physique beaucoup plus intuitives si l'on prend toujours soin de distinguer les vecteurs (k-), les (k-) covecteurs ainsi que les formes différentielles, etc.Le problème est que tout le reste est essentiellement écrit dans la notation établie, il est donc important que vos élèves le sachent également.Et l'enseignement des deux n'est souvent pas faisable en raison des contraintes de temps ...
@mlk ne vous méprenez pas, je suis tout à fait en faveur de l'enseignement de la géométrie abstraite appropriée au lieu de simplement «calcul de tableaux de nombres».Mais je ne pense pas qu'il soit utile de commencer cela avec uniquement des axiomes algébriques - cela nécessite d'abord une certaine intuition sur le comportement d'un espace vectoriel, puis des cartes linéaires et des produits tensoriels dessus._Alors_ le produit extérieur devient très intuitif.Le produit croisé peut être parfaitement bien introduit sans aucune de ces conditions préalables.
w.r.t.ces questions sur la facilité d'enseigner les produits croisés par rapport aux produits extérieurs - pourquoi ce truc n'est-il pas abordé via l'algèbre géométrique plutôt que l'algèbre linéaire?Cela me semblait être beaucoup plus facile via l'algèbre géométrique (pas de contestation, vraiment).Suis-je seul là-dedans?
@davidbak Ce serait une bonne question pour l'une des SE de l'éducation comme [les enseignants en mathématiques] (https://matheducators.stackexchange.com/).Étant donné la direction que prend les mathématiques aux États-Unis avec le tronc commun, il se peut que l'algèbre géométrique soit plus facile dans quelques années grâce aux étudiants formés à penser de cette façon.Des sujets comme celui-ci ne sont certainement pas enseignés dans le vide.Et ce n'est certainement pas la première fois que cette discussion a lieu.D'après ce que je comprends, il y a deux écoles de pensée sur la façon d'enseigner les tenseurs, avec une division similaire entre elles.
@CortAmmon-ReinstateMonica - merci je peux demander là-bas - même si je ne suis pas sûr de ce que le tronc commun a à voir avec ça - j'ai pris les mathématiques à HMC il y a plusieurs décennies et j'ai appris l'algèbre linéaire dans un non-vide encore des années plus tard quand j'ai découvert des choses d'algèbre géométriquece qui auparavant avait semblé complètement démotivé (sinon arbitraire, comme les déterminants) a soudainement pris beaucoup de sens.
@davidbak Common core encourage beaucoup de compréhension à travers la géométrie et des techniques de visualisation similaires.Bien que nous puissions discuter des expériences individuelles avec les méthodes d'enseignement aussi longtemps que nous le souhaitons, la réalité est que nous allons voir un afflux d'étudiants qui ont déjà été préparés à rechercher la compréhension géométrique plutôt que de simplement manipuler les nombres.
@leftaroundabout Je comprends ce que vous dites, mais je pensais plutôt à une approche intermédiaire.Vous pouvez introduire de nombreux concepts sans d'abord donner un cours complet de théorie.Dans le cas du produit extérieur pour les vecteurs, vous constatez que deux vecteurs couvrent un plan (dans de nombreux exemples physiques c'est le plan de rotation), qui est orienté (attention à ne pas utiliser la normale pour cela) de l'ordre des vecteurs etobtient une certaine quantité qui lui est associée par l'aire du parallélogramme étendu.À partir de là, vous définissez une notation.Peut-être que j'ai vraiment besoin d'écrire un livre de physique à un moment donné ...
#3
+11
John Alexiou
2019-12-09 01:56:00 UTC
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Je me concentre sur la géométrie des produits croisés

Les produits croisés sont utilisés lorsque nous nous intéressons au bras de moment d'une quantité. C'est la distance minimale d'un point à une ligne dans l'espace.

  1. La Distance à un rayon de Origin. Un rayon le long du vecteur unitaire $ \ boldsymbol {e} $ passe par un point $ \ boldsymbol {r} $ span> dans l'espace.

    $$ d = \ | \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {e} || \ tag {1} $$

    $ d $ est la distance perpendiculaire au rayon (également appelée bras des moments de la ligne).

  2. Le bras de force moment (vecteur de couple) . Une force $ \ boldsymbol {F} $ le long de $ \ boldsymbol {e} $ provoque le couple suivant sur l'origine

    $$ \ boldsymbol {\ tau} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {F} \; \; \ rightarrow \ | \ boldsymbol {\ tau} \ | = d \, \ | \ boldsymbol {F} \ | \ tag {2} $$

  3. Le bras moment de rotation (vecteur de vitesse) . Une rotation $ \ boldsymbol {\ omega} $ autour de l'axe $ \ boldsymbol {e} $ provoque le un corps à déplacer à l'emplacement d'origine par

    $$ \ boldsymbol {v} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {\ omega} \; \; \ rightarrow \ | \ boldsymbol {v} \ | = d \, \ | \ boldsymbol {\ omega} || \ tag {3} $$

  4. Le bras moment de Momentum (moment angulaire) . Une particule classique avec un momentum $ \ boldsymbol {p} $ le long de $ \ boldsymbol {e} $ a angulaire élan sur l'origine

    $$ \ boldsymbol {L} = \ boldsymbol {r} \ times \ boldsymbol {p} \; \;\ rightarrow \ |\ boldsymbol {L} \ |= d \, \ |\ boldsymbol {p} \ |\ tag {4} $$

#4
+5
jamesqf
2019-12-09 09:54:31 UTC
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C'est vraiment beaucoup plus simple que les autres réponses jusqu'à présent l'ont laissé entendre.Nous utilisons les produits croisés et ponctuels (et toutes les autres mathématiques) car ils nous permettent de créer des modèles mathématiques assez simples (c'est-à-dire les lois de la physique) qui représentent avec précision ce que fait réellement l'univers.

C'est une affirmation inutilement vague, comment nous permettent-ils de créer des modèles?Qu'est-ce qui peut être modélisé à l'aide d'un produit croisé?Quels phénomènes peuvent être décrits en utilisant le produit croisé?Pourquoi le produit croisé et pas un autre produit similaire?
Il est exact que la principale raison * pour laquelle * ils sont utilisés est qu'ils donnent la bonne réponse.C'est tout ce qu'on peut en dire.Tout le monde répond à un niveau différent de «pourquoi».
@Tom: Je ne suis pas d'accord pour dire que c'est inutile.Les détails de ce qui peut être modélisé appartiennent vraiment à un cours de physique 101.(Au moins la version technique, si ce n'est la "Physique pour les majors des arts libéraux".) Mais retournez la question.Bien que je ne sois pas un historien des mathématiques ou des sciences, je suppose que la seule raison pour laquelle nous avons même un produit croisé, ou un produit scalaire, est qu'ils proviennent naturellement de la physique et remplacent des méthodes plus compliquées comme les quaternions: https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#History
@Tom Ce doit être le produit croisé car il donne la bonne réponse.Tout autre produit (qui se distingue du produit croisé) donnera la mauvaise réponse.Par exemple.la force réelle semble être donnée par $ \ vec {F} = q \ vec {v} \ times \ vec {B} $, donc toute autre description devra être mathématiquement équivalente à cela.
#5
+3
mmesser314
2019-12-08 23:37:07 UTC
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Les produits croisés sont souvent utilisés avec des pseudovecteurs (aka vecteurs axiaux). Moins avec des vecteurs (aka vecteurs polaires). Comprendre la différence entre les vecteurs axiaux et polaires aide ici.

Les vecteurs axiaux et polaires sont ce que les mathématiciens considéreraient comme un vecteur. Les deux sont un ensemble de 3 coordonnées. Ils sont souvent dessinés sous forme de flèches. Ils peuvent être additionnés et multipliés par des nombres comme des flèches.

Les physiciens ont besoin de quelque chose de plus pour considérer une quantité comme un vecteur. Ils doivent représenter une quantité physique qui se transforme de la bonne manière lorsque vous changez la base.

Les vecteurs polaires représentent des quantités telles que la distance, la vitesse, l'accélération et la force. Ceux-ci peuvent décrire le mouvement d'une particule ponctuelle avec une magnitude et une direction.

Les vecteurs axiaux représentent un ensemble différent de grandeurs, comme la vitesse angulaire et le moment cinétique. Ceux-ci décrivent des choses comme le mouvement rotatif dans un avion. Ils sont une grandeur et une orientation de l'avion. Cela équivaut au mouvement autour d'un axe. Ils sont souvent représentés par une flèche, où la flèche est parallèle à l'axe et perpendiculaire au plan. L'orientation du plan inclut l'idée de sens horaire vs anti-horaire. Ceci est représenté en plaçant la flèche d'un côté ou de l'autre de l'avion comme dicté par la règle de la main droite.


Les vecteurs axiaux sont souvent le produit de deux vecteurs polaires perpendiculaires. $ \ vec \ omega = (\ vec r \ times \ vec v) / r ^ 2 $ .

Pour un objet rigide fixé à un axe, chaque point ne peut se déplacer qu'avec $ v $ perpendiculaire à $ r $ . Mais une particule libre peut se déplacer dans n'importe quelle direction. Dans ce cas, le produit croisé sélectionne le composant de $ v $ qui est perpendiculaire à $ r $ , le composant qui contribue à la rotation autour de l'axe. Le résultat est un vecteur perpendiculaire à $ v $ et $ r $ selon la règle de la main droite.


Le champ magnétique est un vecteur axial. Voir Pourquoi le champ B est-il un vecteur axial? pour en savoir plus. Cela signifie qu'un courant génère un champ $ B $ autour de lui, décrit par des lignes de champ magnétique. Pour un courant de ligne droite, les lignes de champ sont planes et circulaires. Pour les courants plus complexes, ce sont toujours des courbes fermées. En tout point, la ligne de champ est "l'axe" qui est perpendiculaire au plan du champ magnétique.

Une force magnétique est générée lorsqu'une charge se déplace dans le plan de $ B $ . Autrement dit, lorsqu'une charge se déplace perpendiculairement à "l'axe" de B. Ceci est capturé par $ \ vec F = q \ vec v \ times \ vec B $ .

#6
+2
Peter
2019-12-10 13:58:41 UTC
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Les produits croisés sont intrinsèquement utiles pour décrire les rotations . Tout d'abord, examinons deux manières différentes de décrire les rotations dans $ \ mathbb {R} ^ {3} $ .

La première façon de faire est de donner l ' axe de rotation, qui est donné par une ligne dans $ \ mathbb {R} ^ {3} $ , et une grandeur (représentant l'angle), qui est donnée par un nombre dans $ \ mathbb {R} $ span >. En combinant ces deux choses, j'obtiens un vecteur, disons $ x \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ .

Une autre bonne façon de faire est de donner le plan dans lequel je tourne, que je peux représenter par deux lignes perpendiculaires dans $ \ mathbb {R} ^ {3} $ et une magnitude (représentant l'angle), qui est à nouveau un nombre dans $ \ mathbb {R } $ . J'encode ces choses en choisissant deux vecteurs $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ , et je dis que la magnitude est encodée par le produit de les longueurs $ \ | v \ | \ | w \ | $ . Cela signifie que beaucoup de paires différentes de $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ donnent la même rotation, mais ce n'est pas grave. (Je peux même autoriser plus de paires différentes, en ne supposant pas que $ v $ et $ w $ soient perpendiculaires , mais ensuite je dois remplacer leur produit par la zone des parallélogrammes qu'ils couvrent.)

Maintenant, le produit croisé nous donne un moyen de traduire entre ces différentes façons d'encoder les rotations. Pour être précis, si $ x \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ et la paire $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ décrivez la même rotation, puis $ x = v \ times w $ .

(Le fait que de nombreuses paires différentes $ v, w \ in \ mathbb {R} ^ {3} $ décrivent la même rotation signifie que $ x $ peut être écrit en tant que produit croisé de nombreuses manières différentes, c'est-à-dire qu'il y a beaucoup de $ v ', w' \ dans \ mathbb {R} ^ {3} $ tel que $ v '\ times w' = v \ times w = x $ .)

Maintenant, pourquoi cela se produit en physique n'a pas de réponse aussi claire, sauf que ces deux manières différentes de représenter les rotations ont leur utilité. Par exemple, dans votre exemple parlant d'une charge se déplaçant dans un champ électrique, je dirais que ce n'est qu'un fait de la nature qui a été établi expérimentalement.


Un aparté intéressant est que les rotations peuvent être composées, c'est-à-dire que, étant donné deux rotations, je peux d'abord en faire l'une puis l'autre pour obtenir une troisième rotation. Il pourrait être intéressant d'essayer de comprendre comment cela fonctionne dans l'une des images que j'ai données ci-dessus.

#7
+1
lalala
2019-12-09 01:11:39 UTC
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Le produit croisé est la représentation de l'algèbre de Lie so (3).Cela signifie que la rotation infinitésimale est représentée par le produit croisé.

#8
+1
Steven Thomas Hatton
2019-12-09 10:25:24 UTC
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Je ne sais pas à quel point vous êtes avancé mathématiquement, il est donc difficile de savoir combien ajouter, verbalement.De plus, je publie à partir d'une tablette, donc la saisie est fastidieuse.

Il n'y a pas de réponse unique, mais le produit croisé implique une sorte de rotation autour d'un axe.Que ce soit une rotation physique ou un déplacement mathématique dépend des circonstances.

Un des points où le produit croisé est assez facile à comprendre est la relation entre le moment cinétique, l'énergie cinétique de rotation et le couple.

Faites-moi savoir si vous pouvez suivre les calculs en vous basant sur le diagramme.Je parle des réservations dans les boîtes.Les éléments ci-dessous sont incomplets.

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Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 4.0 sous laquelle il est distribué.
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