Il y a environ 10 $ ^ {23} $ étoiles dans l'univers observable. Grâce à l'expansion de l'univers, ces étoiles sont actuellement réparties sur une sphère d'environ $ d = 2,8 \ fois 10 ^ {10} $ parsecs.

Bien sûr, certaines étoiles seront mortes pendant que leur lumière voyageait vers nous, mais d'autres seront nées, donc je vais ignorer cette complication.

Si on imagine les étoiles uniformément réparties dans ce volume $ ^ {*} $, elles ont une densité numérique de $ n = 3 \ fois 10 ^ {- 58} $ m $ ^ {- 3} $ (ou $ \ sim 10 ^ {- 8} $ pc $ ^ {- 3} $). Si nous définissons ensuite un rayon moyen pour une étoile $ R $, nous pouvons demander combien d'étoiles se trouvent à moins de $ R $ d'un avion qui traverse la Terre. Le volume occupé par cette tranche est de 2 $ \ pi d ^ 2 R / 4 $ et le nombre d'étoiles dans ce volume est $$ N = \ pi d ^ 2 R n / 2. $$

Si $ R \ sim 1 R _ {\ odot} $ (beaucoup d'étoiles sont beaucoup plus grandes, la plupart des étoiles sont un peu plus petites), alors $ N \ sim 2 \ times 10 ^ 5 $. Ma conclusion surprenante (pour moi en tout cas) est que beaucoup d’étoiles seraient «découpées» par un avion traversant tout l’univers observable.

$ * $ NB: Les étoiles ne sont pas distribuées uniformément - elles sont concentrées dans les galaxies et ces galaxies sont organisées en groupes, amas et superstructures filamenteuses. Cependant, aux plus grandes échelles, l'univers est plutôt homogène (voir le fond cosmique des micro-ondes) et donc, au premier ordre, la non-uniformité à plus petite échelle n'affectera pas une estimation du nombre total moyen d'étoiles "tranchées" dans l'univers observable, mais cela peut signifier qu'il y a une plus grande variance dans la réponse que ne le suggèrent de simples statistiques de Poisson.

Le regroupement d'étoiles pourrait-il affecter la conclusion? Cela pourrait si le regroupement est suffisamment fort pour que le nombre médian d'étoiles à moins de $ R $ du plan devienne $ <1 $, mais avec le nombre moyen inchangé. À titre d'exemple, considérons un modèle bimodal extrême où toutes les étoiles se trouvent dans des galaxies de $ N _ * $ étoiles, où la densité moyenne est de $ n _ * $. La "structure" de l'univers pourrait alors être caractérisée par des "cubes" galactiques uniformément répartis de côté $ L = (N _ * / n _ *) ^ {1/3} $ et de vides de côté $ (n _ * / n) ^ {1/3} L = (N_g / n) ^ {1/3} $. La densité numérique des galaxies est le nombre de galaxies divisé par le volume de l'univers observable $ n_g = (10 ^ {23} / N _ *) / (\ pi d ^ 3/6) $

Le nombre de galaxies intersectées par l'avion sera $$ N_g \ sim \ left (\ frac {6 \ times 10 ^ {23}} {\ pi d ^ 3 N _ *} \ right) \ left (\ frac {\ pi d ^ 2} {4} \ right) L = 1,5 \ fois 10 ^ {23} \ gauche (\ frac {L} {N_ * d} \ droite) $$ et dans chacune de ces galaxies, il y aura $ \ sim L ^ 2 R n_ * = R N _ * / L $ intersections avec une étoile.

Si nous laissons $ n _ * = 0,1 $ pc $ ^ {- 3} $ (la densité stellaire locale dans notre galaxie) et $ N_ * = 10 ^ {11} $ (la taille de notre galaxie), alors $ L = 10 ^ 4 $ pc, $ N_g = 5 \ fois 10 ^ {5} $ et le nombre d'intersections stellaires par galaxie sera d'environ 0,25. ainsi le nombre moyen d'intersections sera à peu près le même (par conception) mais la variance ne sera pas non plus très différente.

Je pense que la seule façon dont les contrastes de densité pourraient donner une chance appréciable d'absence d'intersection est si $ N_g<1 $, et donc $ L / N_ * < 2 \ times 10 ^ {- 13} $ - c'est-à-dire si les galaxies / structures contiennent beaucoupplus d'étoiles et sont très denses de sorte qu'il y a de bonnes chances que l'avion ne croise pas une seule "galaxie".Par exemple, si $ N_ * = 10 ^ {21} $ et $ n_ * = 10 ^ 3 $ pc $ ^ {- 3} $, alors $ L = 10 ^ 6 $ pc et $ N_g \ sim 0,05 $.Dans cette circonstance (qui ne ressemble en rien à notre univers), il y a de fortes chances que l'avion ne croise pas l'une des 100 grandes "galaxies", mais si c'était le cas, il y aurait environ 10 $ ^ 7 $intersections stellaires.

Comme approximation approximative facile à essayer avec un enfant, vous pouvez essayer ceci:

1. Trouvez ou imprimez une grande carte des étoiles ou une photo du ciel. Quelque chose comme ça.

2. Jetez un long bâton étroit dessus. Voyez s'il dépasse les étoiles.

Ce ne sera pas très précis car toutes les étoiles ne sont pas visibles et la luminosité cache la taille réelle des étoiles. Mais cela devrait clairement démontrer que les chances qu'un avion au hasard frappe une étoile sont assez bonnes.

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Update: Cela semble être une réponse assez populaire. Cependant, je suis d'accord avec les commentaires selon lesquels l'exactitude de cet exemple est très médiocre et peut en fait induire en erreur. Il pourrait donc être judicieux de poursuivre avec une discussion sur ses limites, qui, à tout le moins, sert à illustrer la complexité réelle pour obtenir une réponse précise à la question simple.

Quelques points à considérer:

• De quelle taille de papier auriez-vous besoin pour représenter avec précision la taille des étoiles? Une carte du ciel entier devrait mesurer environ 1 000 kilomètres pour que la plupart des étoiles visibles aient un diamètre de 1 millimètre. Des étoiles plus éloignées seraient de plus en plus petites en projection en perspective.

• Combien d'étoiles sont invisibles? Vous pouvez voir environ 5 000 étoiles à l'œil nu, mais il y a 10¹⁹ étoiles dans l'univers.

• Quelle est l'épaisseur du bâton? Même un cheveu serait plus large qu'une étoile lointaine, donc idéalement, vous auriez besoin d'un bord infiniment fin pour des résultats précis.

Et puis la plus grande incertitude, déjà mentionnée dans la question:

• Quelle est la taille réelle de l'univers? Se limiter à l'univers observable est une possibilité, mais ce n'est probablement pas ainsi que la question a été formulée à l'origine.

Voici le champ ultra-profond Hubble, une photographie longue exposition prise par le télescope spatial Hubble.

• Il contient environ 10 000 galaxies.Chacun de ceux-ci contient en moyenne 100 milliards d'étoiles.
• Il montre une très petite portion ($ \ frac {1} {13 \ 000 \ 000}) $ du ciel entier.La diagonale est un dixième du diamètre de la pleine lune.
• Il a été choisi car il a une faible densité d’étoiles brillantes en champ proche.Il semble complètement noir à l'œil nu ou aux télescopes courants.
• Il ressemble beaucoup à d'autres parties du ciel et les galaxies sont très loin.La distribution aurait la même apparence partout ailleurs dans l'univers.

Je n'ai pas réussi à trouver une seule ligne évitant les galaxies.Selon la bonne réponse de @RobJeffries, une ligne traversera en moyenne 100 galaxies sur cette seule image et coupera environ 25 étoiles.

Cette question n'est qu'une version à deux dimensions du paradoxe d'Olber.Dans un univers homogène infini, toute ligne de visée se termine à la surface d'une étoile.Par conséquent, dans un tel univers, chaque ligne dans un plan donné passe par une étoile.En conséquence, chaque avion dans un tel univers tranche beaucoup d'étoiles.

Tout d'abord, notez que si quelque chose a 1 chance sur X de se produire à chaque «essai» et qu'il y a Y «essais», la formule exp (-Y / X) donne une estimation approximative de la probabilité de ça n'arrive pas. Ainsi, par exemple, si vous lancez un dé six fois, la probabilité (à deux décimales) de ne pas en obtenir est de 33,49%, tandis que l'approximation que j'ai donnée ci-dessus donne 36,78%. À mesure que X et Y augmentent, cette approximation s'améliore. Si Y est significativement plus grand que X, alors la probabilité est quasiment nulle. Alors, combien de "tentatives" y a-t-il et quelle est la probabilité pour chaque "essai"?

Supposons que nous ayons un système d'unités dans lequel le rayon des étoiles est 1. (Notez que mes calculs sont des estimations approximatives, donc je ne m'inquiéterai pas de la variation de quantités telles que les rayons des étoiles, et contrairement à @Rob Jeffries, Je ne garderai pas trace de ces «petites» constantes telles que $ \ pi $. Dans les calculs qui suivent, il y a probablement plusieurs points auxquels une personne à l'esprit mathématique pourrait trouver que je suis décalé par un tel facteur, mais cela ne devrait pas ne modifie pas la réponse finale.)

Disons maintenant que la distance entre les étoiles est D et que le rayon de l'univers est U (encore une fois, ils sont mesurés en unités de rayon des étoiles). Ensuite, chaque avion a U ² "essaie" d'obtenir une étoile, donc notre Y est U ² , et notre X est D ³ . Notre probabilité est donc exp (-U ² / D ³ ). Le rayon de l'univers est d'environ 10 ¹¹ années-lumière, donc si le rayon d'une étoile est d'environ 10 ^-4 années-lumière, alors U = 10 ^{15 sup >. Si la distance entre les étoiles est, par exemple, de 10 1 années-lumière, alors D = 10 5 . Cela donne (10 15 ) 2 / (10 5 ) 3 = 10 30 sup> / 10 15 = 10 15 . exp (10 -15 ) est pratiquement nul pour des raisons pratiques; c’est littéralement un nombre astronomiquement petit.}