Si une onde $ f (x, t) $ est quelque chose qui satisfait l'équation d'onde $ Lf = 0 $ où $ L $ est l'opérateur différentiel $ \ partial_t ^ 2-c ^ 2 \ nabla ^ 2 $ alors,car $ L $ est linéaire, toute combinaison linéaire $ \ lambda f + \ mu g $ de solutions $ f $ et $ g $ est à nouveau une solution: $ L (\ lambda f + \ mu g) = \ lambda Lf + \ mu Lg= 0 $.

En général, il peut y avoir des choses qui se propagent (pas exactement des ondes, mais puisque la question concerne des ondes de tout type) déterminées par d'autres équations différentielles.Si l'équation est de la forme $ Lf = 0 $ avec $ L $ un opérateur linéaire, le même argument s'applique et le principe de superposition est vrai.

Comme l'écrivait Coconut, le principe de superposition vient de la linéarité de l'opérateur impliqué. C'est le cas du rayonnement électromagnétique sous vide. Les approximations des vagues d'eau sont également linéaires (car il s'agit d'une approximation) mais auront probablement de petites parties non linéaires. La théorie des champs quantiques libres est également linéaire, vous avez donc là un principe de superposition. Avec les interactions et la renormalisation, je pense que ce n'est plus linéaire.

La gravité telle que décrite par la relativité générale est hautement non linéaire. Par conséquent, il n'a pas de principe de superposition. Les ondes gravitationnelles n'ont pas de principe de superposition. Cependant, à de très grandes distances, ces ondes peuvent être approximées. Et alors cet opérateur peut être linéaire et vous pouvez raisonnablement reparler de superpositions.

L'approximation habituelle d'une vague, $$ \ left (\ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ mathrm d ^ 2} {\ mathrm dt ^ 2} - \ nabla ^ 2 \ right) \ phi (x, t) = 0 \, $$ est linéaire par définition. Beaucoup d'ondes peuvent être décrites ainsi que des ondes linéaires avec des perturbations non linéaires (ondes d'eau, ondes EM en milieu). Strictement parlant, ils ne sont pas linéaires dès le départ une fois qu'ils ont la plus petite perturbation non linéaire.

Non

Malgré ce que plusieurs réponses sur ce fil vous diront, il y a plein de phénomènes qui méritent parfaitement le terme «vague» qui ne satisfont pas au principe de superposition. En langage technique, le principe de superposition est respecté chaque fois que la dynamique sous-jacente est linéaire. Cependant, il existe de nombreuses situations qui n'obéissent pas à cette hypothèse.

Quelques exemples:

• Vagues déferlantes sur une plage: la dynamique sous-jacente des vagues de surface de l’eau est linéaire lorsque l’amplitude est faible, mais cette hypothèse se décompose lorsque l’amplitude est comparable à la profondeur de l'eau.

  

  L'expérience de tous les jours devrait vous dire qu'une vague plus haute se brisera plus loin du rivage, tandis qu'une vague avec une plus petite amplitude se brisera plus près de la plage. Ceci est manifestement incompatible avec le principe de superposition.

• Solitons, qui reposent sur des effets non linéaires pour conserver leur forme même en présence de dispersion, et qui apparaissent sous forme d'ondes de surface de l'eau et dans la fibre optique , ainsi que des domaines plus ésotériques.

• Lumière se propageant dans un matériau à des intensités suffisamment élevées, à quel point l ' effet Kerr (c'est-à-dire une modulation non linéaire de l'indice de réfraction $ n = n_0 + n_2I $ en fonction de l'intensité $ I $ ) se déclenchera, résultant en des effets utiles (comme le verrouillage du modèle de l'objectif Kerr) et nuisibles (comme l'auto-concentration catastrophique en fuite).

• Plus largement, l'optique n'est linéaire que dans le vide (et même alors, à un moment donné, vous commencez à vous heurter à la production de paires et à la diffusion de la lumière). En présence de médias, il existe de nombreux phénomènes utiles qui utilisent la réponse non linéaire des matériaux, tombant dans ce que l'on appelle l'optique non linéaire.

  Cela va de phénomènes perturbatifs tels que la lentille de Kerr et les processus de mélange de fréquences comme la génération de deuxième harmonique (tels que ceux utilisés dans les pointeurs laser verts ) jusqu'aux processus hautement non perturbateurs comme la génération d'harmoniques d'ordre élevé, où le doublement de l'intensité peut changer radicalement le spectre des harmoniques émises (c'est-à-dire presque doubler la coupure des ordres harmoniques que vous pouvez produire ).

• Ondes sonores suffisamment puissantes pour entrer dans le régime d'acoustique non linéaire, y compris les bangs soniques, la lévitation acoustique et l'imagerie médicale par ultrasons.

• Sauts hydrauliques, qui se forment partout, des barrages aux mascarets en passant par l'évier de votre cuisine.

• La dynamique des ondes non linéaires de la mécanique quantique des condensats de Bose-Einstein qui obéissent aux équations Gross-Pitaevskii et non-linéaire Schrödinger, et les modèles associés.

• ... ce dernier, d'ailleurs, est également utile pour modéliser le comportement non linéaire en fibre optique et dans les vagues d'eau.

• À bien y penser, du point de vue de la base, toute dynamique des fluides est par nature non linéaire. La première approximation est en effet non linéaire, mais de nombreux phénomènes sont bien décrits par l'étape suivante, c'est-à-dire incluant une faible non-linéarité, vous donnant quelque chose appelé ondes cnoïdales.

Je pourrais continuer, mais vous comprenez. Vous pouvez, si vous le souhaitez, restreindre le terme «vague» aux seuls phénomènes qui obéissent à une dynamique linéaire. Cependant, si vous le faites, vous laissez explicitement tous les phénomènes ci-dessus de côté, et je dirais que ce n'est pas vraiment ce que nous entendons par le terme.

Le simple fait d'appeler quelque chose une "vague" ne suffit pas pour qu'une superposition de solutions satisfasse l'équation d'onde dominante.Lors de la dérivation des équations d'onde, la linéarité est obtenue en exigeant des oscillations de "petite amplitude", donc dans la nature, lorsque de grandes amplitudes sont impliquées, le principe de superposition ne s'applique pas en général.

En fait, aucun d'entre eux ne satisfait complètement la superposition.Premièrement, la superposition nécessite une linéarité et la linéarité n'est pas parfaite dans la plupart des cas.Même dans le cas des théories linéaires, la théorie n’est qu’un modèle et elle a ses frontières.

Par exemple, les équations de Maxwell sont linéaires, et donc les ondes lumineuses se superposent.Si vous croisez deux faisceaux laser, ils se croisent totalement sans aucun changement.Mais:

• Si les poutres sont suffisamment fortes pour induire la production de paires, ce n'est plus vrai.
• Si les faisceaux ont un tenseur masse-énergie suffisamment important pour induire des effets relativistes généraux, ils s’affecteront les uns les autres de manière gravitationnelle (ce qui est assez intéressant, par exemple cela peut même être répulsif).

Bien sûr, aucun de ces effets n'est suffisamment puissant pour être induit par un pointeur laser.

Les ondes linéaires ne sont pour la plupart qu'une approximation - dès qu'une certaine non-linéarité est présente, la linéarité se rompt et la superposition n'est plus vraie. En fait, vous obtenez généralement la production d'harmoniques plus élevées. La plupart des cas impliquant de la matière ont au moins une certaine non-linéarité qui devient plus prononcée à des amplitudes plus importantes.

Les équations de Maxwell donnent naissance à une équation d'onde parfaitement linéaire dans le vide, mais dans la matière, vous avez des effets non linéaires, comme l ' effet Kerr. L'optique non linéaire utilise cela - pour les faisceaux autofocus, la génération d'harmoniques plus élevées (le doublement de fréquence pour les lasers est utilisé dans certains pointeurs laser pour produire du vert à partir de l'infrarouge).

Les vagues d'eau sont des exemples très connus qui ne sont pas linéaires (il suffit de regarder la forme de la vague changer et se renverser sur elle-même lorsqu'elle atteint le rivage).

Pour les ondes sonores dans les gaz, la non-linéarité devient apparente lorsque la pression acoustique devient comparable à la pression ambiante (ce qui signifie que les parties à faible densité de l'onde sonore sont proches du vide), et même avant cela, comme la loi des gaz parfaits non tient bien plus longtemps. La non-linéarité peut conduire à la formation d'ondes de choc.

En général: toute réponse non linéaire du milieu sur le déplacement aura pour conséquence:

• la superposition ne tient plus
• dépendance du comportement (fréquence, vitesse de propagation) sur l'amplitude
• les ondes sinusoïdales harmoniques ne conserveront pas leur forme avec le temps
• des harmoniques plus élevées seront produites
• l'onde interfère avec elle-même par non-linéarité et, en tant que telle, modifie sa direction / forme / fréquence