Question:
Toutes les ondes de quelque nature que ce soit satisfont-elles au principe de superposition?
StackOverflowOfficial
2017-01-20 09:27:54 UTC
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Est-ce une partie inhérente de la définition de quelque chose comme une vague?

Dites si j'avais quelque chose qui a été modélisé comme une vague.Quand cette chose rencontre autre chose, obéira-t-elle au principe de superposition.Vont-ils se traverser?

Eh bien, je voudrais d'abord vous demander ce que vous entendez par vague. La meilleure réponse à laquelle je puisse penser est de sortir une «équation de vague»."Si cela satisfait ceci / l'une de ces équations, c'est une vague."Beaucoup (je ne sais pas si tout) ce que nous appelons les ondes sont linéaires.Mais sachez que notre classification des ondes est arbitraire.
Question connexe: [Comment savoir si un PDE décrit le comportement des ondes?] (Http://math.stackexchange.com/questions/1800989/how-can-one-tell-if-a-pde-describes-wave-behaviour/ 1806368 # 1806368).Il existe des PDE non linéaires qui ont des solutions d'ondes (voir par exemple [solitons] (https://en.wikipedia.org/wiki/Soliton)) qui ne satisfont pas le principe de superposition.
@Winther En fait, certaines équations non linéaires montrent une sorte de principe de superposition et c'est en effet une des particularités présentées par les solitons.Dans ces cas, vous ajoutez deux solitons et vous vous retrouvez avec un nouveau soliton.
Ma première pensée est qu'un "handwave" ne le fait pas, mais après y avoir réfléchi un peu plus peut-être. Les mains qui se heurtent s'annulent / interfèrent, et une foule de mains agitant est amplifiée dans le sens où cela peut être vud'une distance plus éloignée qu'une seule onde manuelle pourrait ... Hmm ...
La réponse que vous avez acceptée n'est pas ... c'est exact;par exemple, selon cette réponse, la lumière laser à haute intensité n'est "pas exactement des ondes".[Ce] (http://physics.stackexchange.com/a/306682/71860) pourrait être un meilleur choix.Parfois, la première réponse qui apparaît et semble correcte obtient la plupart des votes positifs.Cela ne veut pas dire que c'est la meilleure réponse.
@Fermiparadox Aucune vague n'est idéale, mais si elles le sont, elles seraient linéaires
Six réponses:
#1
+37
coconut
2017-01-20 13:20:26 UTC
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Si une onde $ f (x, t) $ est quelque chose qui satisfait l'équation d'onde $ Lf = 0 $ où $ L $ est l'opérateur différentiel $ \ partial_t ^ 2-c ^ 2 \ nabla ^ 2 $ alors,car $ L $ est linéaire, toute combinaison linéaire $ \ lambda f + \ mu g $ de solutions $ f $ et $ g $ est à nouveau une solution: $ L (\ lambda f + \ mu g) = \ lambda Lf + \ mu Lg= 0 $.

En général, il peut y avoir des choses qui se propagent (pas exactement des ondes, mais puisque la question concerne des ondes de tout type) déterminées par d'autres équations différentielles.Si l'équation est de la forme $ Lf = 0 $ avec $ L $ un opérateur linéaire, le même argument s'applique et le principe de superposition est vrai.

En d'autres termes: «Oui» (étant donné une hypothèse raisonnable de ce qu'est une «vague»).
En d'autres termes: «Non» (étant donné une hypothèse raisonnable de ce qu'est une «vague»).
(Le fait est que beaucoup d'ondes sont non linéaires et n'obéissent pas au principe de superposition. La linéarisation peut ou peut ne pas avoir de sens selon la situation, et il y a beaucoup de cas où elle ne le fait pas.//en.wikipedia.org/wiki/Soliton) et [vagues déferlantes] (https://en.wikipedia.org/wiki/Breaking_wave) sont des exemples simples de choses que vous souhaitez inclure sous le terme «vague», maisqui ne suivent pas le principe de superposition.)
Cette réponse est mathématiquement correcte mais ignore la physique.Par exemple, deux ondes dans un solide peuvent toutes deux être linéaires, mais leur combinaison peut dépasser la limite élastique du matériau et donc être non linéaire.Mais comme le disait Feynman, «les physiciens ont toujours l'habitude de prendre l'exemple le plus simple de tout phénomène et de l'appeler« physique », laissant les exemples les plus compliqués devenir la préoccupation d'autres domaines.
@alephzero Habituellement, des perturbations suffisamment petites peuvent être traitées linéairement.Cette approximation s'applique à un large éventail de phénomènes physiques.Parfois, ce sont ceux auxquels il s'applique que l'on appelle les vagues
@EmilioPisanty On pourrait appeler des ondes solitons, mais peut-être qu'elles sont plus proches de ce que l'on pourrait comprendre par une particule (elles sont localisées, entre autres).Je dirais que l'OP signifie le genre de vagues que j'aborde dans ma réponse, bien que je puisse parfaitement me tromper.Quoi qu'il en soit, nous discuterions des noms ici.
En effet, nous le ferions, mais si vous êtes heureux d'appeler un tsunami une particule au lieu d'une vague, nous aurions de très forts désaccords sur les noms.Je dis juste.
@EmilioPisanty Dans ce cas, je dirais que l'usage informel du mot (qui est utilisé pour tout ce qui se propage dans l'eau, entre autres) ne correspond pas au terme physique.Par exemple, dans la dualité onde-particule, nous refusons d'appeler une onde quelque chose juste pour la raison qu'elle est localisée
@coconut Le fait est que la question demande littéralement "est-ce que * toutes * les vagues de * toute * sorte satisfont le principe de superposition", et il y a * tonnes * d'exemples qui ne le font pas;voir ma réponse pour plus.Votre réponse cache juste sa tête dans le sable et décrète arbitrairement qu'un tas de phénomènes d'ondes, des solitons optiques aux booms sonores en passant par les vagues à la plage, ne sont pas des «vagues» parce que votre réponse n'aime pas les mathématiques qu'elles suivent.C'est une position intenable, devrais-je dire.
@EmilioPisanty Non. La réponse ne décrète rien de tout cela, ni n'aime ni n'aime les mathématiques.Je pense qu'il déclare correctement que chaque fois qu'une équation différentielle est d'une certaine forme, les solutions obéissent au principe de superposition.Quand ce n'est pas le cas, ils le peuvent ou non.Que vous vouliez appeler l'une de ces * ondes * dépend de vous, mais cela ne change pas la physique
Je suis surpris par le nombre de votes positifs et la coche verte pour cette réponse qui ne répond pas vraiment à la question.L'une des caractéristiques intéressantes de ce site est que la ou les premières (quelques) réponses ne sont souvent pas les meilleures mais sont souvent celles qui sont le plus créditées.Je partage beaucoup avec @EmilioPisanty en ce qui concerne ses commentaires et toutes les autres réponses informatives.
#2
+27
Martin Ueding
2017-01-20 13:32:31 UTC
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Comme l'écrivait Coconut, le principe de superposition vient de la linéarité de l'opérateur impliqué. C'est le cas du rayonnement électromagnétique sous vide. Les approximations des vagues d'eau sont également linéaires (car il s'agit d'une approximation) mais auront probablement de petites parties non linéaires. La théorie des champs quantiques libres est également linéaire, vous avez donc là un principe de superposition. Avec les interactions et la renormalisation, je pense que ce n'est plus linéaire.

La gravité telle que décrite par la relativité générale est hautement non linéaire. Par conséquent, il n'a pas de principe de superposition. Les ondes gravitationnelles n'ont pas de principe de superposition. Cependant, à de très grandes distances, ces ondes peuvent être approximées. Et alors cet opérateur peut être linéaire et vous pouvez raisonnablement reparler de superpositions.

L'approximation habituelle d'une vague, $$ \ left (\ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ mathrm d ^ 2} {\ mathrm dt ^ 2} - \ nabla ^ 2 \ right) \ phi (x, t) = 0 \, $$ est linéaire par définition. Beaucoup d'ondes peuvent être décrites ainsi que des ondes linéaires avec des perturbations non linéaires (ondes d'eau, ondes EM en milieu). Strictement parlant, ils ne sont pas linéaires dès le départ une fois qu'ils ont la plus petite perturbation non linéaire.

Surprenant et contre-intuitif.Êtes-vous sûr?La gravité statique classique suit sûrement la superposition (je peux simplement ajouter la gravitation de deux masses. Tout le reste serait impossible.) Est-ce vraiment pour que les ondes gravitationnelles ne se superposent pas?Que font-ils d'autre?
Les équations de champ d'Einstein sont des équations différentielles non linéaires du second ordre.Si vous avez deux trous noirs, on ne peut pas simplement prendre la solution Schwarzschild deux fois, il faut trouver une nouvelle solution.
@PeterA.Schneider La gravité statique classique n'a pas d'ondes, et oui, elle est linéaire, bien qu'elle ne fonctionne qu'avec des objets ponctuels, pas des champs.Il n'est pas non plus d'accord avec GR - il se rapproche juste assez bien pour les observateurs externes de champs à relativement faible énergie.Je suis sûr que vous trouverez beaucoup d'exemples de "l'ancienne théorie est plus simple mais plus ou moins fausse" en science :) Après tout, SR est un autre bel exemple - l'ancienne théorie cinétique supposait des vitesses ajoutées linéairement, Lorentz et co.a montré que ce n'est pas vraiment vrai.
@Luaan Points valides ;-).
Les ondes de l'eau et les ondes électromagnétiques (en dehors de celles * sous vide *) sont-elles vraiment linéaires?Qu'en est-il des [solitons] (https://en.wikipedia.org/wiki/Soliton)?
J'étais trop rapide avec les vagues d'eau, si vous regardez assez près, elles sont probablement non linéaires aussi.L'approximation habituelle est linéaire, mais c'est une tautologie.Les ondes électromagnétiques sont * vraiment * linéaires dans le vide si vous regardez les équations de Maxwell.Dans les médias, il y a un effet non linéaire (cf. doublage de fréquence).Une fois que vous regardez l'électrodynamique quantique, la théorie de l'interaction n'est probablement pas strictement linéaire non plus.
#3
+17
Emilio Pisanty
2017-01-21 23:11:16 UTC
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Non

Malgré ce que plusieurs réponses sur ce fil vous diront, il y a plein de phénomènes qui méritent parfaitement le terme «vague» qui ne satisfont pas au principe de superposition. En langage technique, le principe de superposition est respecté chaque fois que la dynamique sous-jacente est linéaire. Cependant, il existe de nombreuses situations qui n'obéissent pas à cette hypothèse.

Quelques exemples:

  • Vagues déferlantes sur une plage: la dynamique sous-jacente des vagues de surface de l’eau est linéaire lorsque l’amplitude est faible, mais cette hypothèse se décompose lorsque l’amplitude est comparable à la profondeur de l'eau.

    L'expérience de tous les jours devrait vous dire qu'une vague plus haute se brisera plus loin du rivage, tandis qu'une vague avec une plus petite amplitude se brisera plus près de la plage. Ceci est manifestement incompatible avec le principe de superposition.

  • Solitons, qui reposent sur des effets non linéaires pour conserver leur forme même en présence de dispersion, et qui apparaissent sous forme d'ondes de surface de l'eau et dans la fibre optique , ainsi que des domaines plus ésotériques.

  • Lumière se propageant dans un matériau à des intensités suffisamment élevées, à quel point l ' effet Kerr (c'est-à-dire une modulation non linéaire de l'indice de réfraction $ n = n_0 + n_2I $ en fonction de l'intensité $ I $ ) se déclenchera, résultant en des effets utiles (comme le verrouillage du modèle de l'objectif Kerr) et nuisibles (comme l'auto-concentration catastrophique en fuite).

  • Plus largement, l'optique n'est linéaire que dans le vide (et même alors, à un moment donné, vous commencez à vous heurter à la production de paires et à la diffusion de la lumière). En présence de médias, il existe de nombreux phénomènes utiles qui utilisent la réponse non linéaire des matériaux, tombant dans ce que l'on appelle l'optique non linéaire.

    Cela va de phénomènes perturbatifs tels que la lentille de Kerr et les processus de mélange de fréquences comme la génération de deuxième harmonique (tels que ceux utilisés dans les pointeurs laser verts ) jusqu'aux processus hautement non perturbateurs comme la génération d'harmoniques d'ordre élevé, où le doublement de l'intensité peut changer radicalement le spectre des harmoniques émises (c'est-à-dire presque doubler la coupure des ordres harmoniques que vous pouvez produire ).

  • Ondes sonores suffisamment puissantes pour entrer dans le régime d'acoustique non linéaire, y compris les bangs soniques, la lévitation acoustique et l'imagerie médicale par ultrasons.

  • Sauts hydrauliques, qui se forment partout, des barrages aux mascarets en passant par l'évier de votre cuisine.

  • La dynamique des ondes non linéaires de la mécanique quantique des condensats de Bose-Einstein qui obéissent aux équations Gross-Pitaevskii et non-linéaire Schrödinger, et les modèles associés.

  • ... ce dernier, d'ailleurs, est également utile pour modéliser le comportement non linéaire en fibre optique et dans les vagues d'eau.

  • À bien y penser, du point de vue de la base, toute dynamique des fluides est par nature non linéaire. La première approximation est en effet non linéaire, mais de nombreux phénomènes sont bien décrits par l'étape suivante, c'est-à-dire incluant une faible non-linéarité, vous donnant quelque chose appelé ondes cnoïdales.

Je pourrais continuer, mais vous comprenez. Vous pouvez, si vous le souhaitez, restreindre le terme «vague» aux seuls phénomènes qui obéissent à une dynamique linéaire. Cependant, si vous le faites, vous laissez explicitement tous les phénomènes ci-dessus de côté, et je dirais que ce n'est pas vraiment ce que nous entendons par le terme.

#4
+13
I.E.P.
2017-01-20 13:39:03 UTC
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Le simple fait d'appeler quelque chose une "vague" ne suffit pas pour qu'une superposition de solutions satisfasse l'équation d'onde dominante.Lors de la dérivation des équations d'onde, la linéarité est obtenue en exigeant des oscillations de "petite amplitude", donc dans la nature, lorsque de grandes amplitudes sont impliquées, le principe de superposition ne s'applique pas en général.

J'utilise le terme «linéarité» tel que décrit par les réponses ci-dessus.
Pouvez-vous expliquer la distinction entre grandes et petites amplitudes?Je n'ai jamais compris quelle distinction il pouvait y avoir.Ne pouvez-vous pas faire une petite amplitude grande simplement en changeant vos unités en quelque chose de minuscule?Comment cela peut-il affecter la physique?
Comme exemple élémentaire, considérons la dérivation classique de l'équation d'onde linéaire pour une chaîne 1d.La seule façon de produire la PDE linéaire est d'approximer ces termes d'ordre $ (df (x, t) / dx) << 1 $ (où f (x, t) est le déplacement de la chaîne à la position x, tempst).C'est ce qui constitue des «petites oscillations».Une autre façon de penser cette exigence est que, dans ce régime, nous analysons le comportement de «grande longueur d'onde» de notre système.
(suite) Dites $ f (x, t) = A \ text {sin} (kx- \ omega t) $, donc $ df (x, t) / dx = Ak \ text {cos} (kx- \oméga t) $.Le terme $ Ak $ est ce qui est petit et notez que les dimensions spatiales s'annulent - ainsi le redimensionnement de l'espace n'aura aucun effet sur la physique régissant notre système.
D'oh !!Bien sûr, cela a du sens ... Je n'avais absolument pas réalisé que c'était de cela que vous parlez.D'une manière ou d'une autre, j'ai complètement manqué ce que vous vouliez dire par votre deuxième phrase, même si c'est clair maintenant avec le recul.Désolé pour ça et merci pour la (re) explication!
Je suis heureux de vous aider!
#5
+9
peterh - Reinstate Monica
2017-01-20 18:16:04 UTC
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En fait, aucun d'entre eux ne satisfait complètement la superposition.Premièrement, la superposition nécessite une linéarité et la linéarité n'est pas parfaite dans la plupart des cas.Même dans le cas des théories linéaires, la théorie n’est qu’un modèle et elle a ses frontières.

Par exemple, les équations de Maxwell sont linéaires, et donc les ondes lumineuses se superposent.Si vous croisez deux faisceaux laser, ils se croisent totalement sans aucun changement.Mais:

  • Si les poutres sont suffisamment fortes pour induire la production de paires, ce n'est plus vrai.
  • Si les faisceaux ont un tenseur masse-énergie suffisamment important pour induire des effets relativistes généraux, ils s’affecteront les uns les autres de manière gravitationnelle (ce qui est assez intéressant, par exemple cela peut même être répulsif).

Bien sûr, aucun de ces effets n'est suffisamment puissant pour être induit par un pointeur laser.

Notez que les équations de Maxwell ne sont en principe que linéaires dans le vide;en présence d'un milieu, il y aura typiquement des composants non linéaires des susceptibilités électriques et magnétiques qui sont facilement accessibles aux intensités en laboratoire.
#6
+4
orion
2017-01-21 00:10:27 UTC
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Les ondes linéaires ne sont pour la plupart qu'une approximation - dès qu'une certaine non-linéarité est présente, la linéarité se rompt et la superposition n'est plus vraie. En fait, vous obtenez généralement la production d'harmoniques plus élevées. La plupart des cas impliquant de la matière ont au moins une certaine non-linéarité qui devient plus prononcée à des amplitudes plus importantes.

Les équations de Maxwell donnent naissance à une équation d'onde parfaitement linéaire dans le vide, mais dans la matière, vous avez des effets non linéaires, comme l ' effet Kerr. L'optique non linéaire utilise cela - pour les faisceaux autofocus, la génération d'harmoniques plus élevées (le doublement de fréquence pour les lasers est utilisé dans certains pointeurs laser pour produire du vert à partir de l'infrarouge).

Les vagues d'eau sont des exemples très connus qui ne sont pas linéaires (il suffit de regarder la forme de la vague changer et se renverser sur elle-même lorsqu'elle atteint le rivage).

Pour les ondes sonores dans les gaz, la non-linéarité devient apparente lorsque la pression acoustique devient comparable à la pression ambiante (ce qui signifie que les parties à faible densité de l'onde sonore sont proches du vide), et même avant cela, comme la loi des gaz parfaits non tient bien plus longtemps. La non-linéarité peut conduire à la formation d'ondes de choc.

En général: toute réponse non linéaire du milieu sur le déplacement aura pour conséquence:

  • la superposition ne tient plus
  • dépendance du comportement (fréquence, vitesse de propagation) sur l'amplitude
  • les ondes sinusoïdales harmoniques ne conserveront pas leur forme avec le temps
  • des harmoniques plus élevées seront produites
  • l'onde interfère avec elle-même par non-linéarité et, en tant que telle, modifie sa direction / forme / fréquence


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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