Le dernier livre que j'ai lu sur "les mathématiques pour les physiciens" était "Mathematics for Physics" de Stone et Goldbart, et j'ai beaucoup apprécié. (Depuis, j'ai eu tendance à utiliser les livres de mathématiques pures, mais c'est une autre histoire).

Encore mieux, une version du livre est disponible en ligne sur la page Web de Paul Goldbart . * Si l'URL ci-dessus ne fonctionne pas; essayez celui-ci: http://goldbart.gatech.edu/PG_MS_MfP.htm *

Voici une liste de sujets:

  * Calcul de variations * Espaces de fonctions * Equations différentielles ordinaires linéaires * Opérateurs différentiels linéaires * Fonctions vertes * Equations différentielles partielles * Les mathématiques des ondes réelles * Fonctions spéciales * Equations intégrales * Vecteurs et tenseurs * Calcul différentiel sur les collecteurs * Intégration sur les collecteurs * Une introduction à Topologie différentielle * Groupes et représentations de groupes * Groupes de mensonges * La géométrie des faisceaux de fibres * Analyse complexe I * Analyse complexe II * Fonctions spéciales et variables complexes o Annexe A: Revue d'algèbre linéaire o Annexe B: Série de Fourier et intégrales  

Les Notes de cours sur la relativité générale de Sean Carroll contiennent une superbe introduction aux mathématiques de GR (géométrie différentielle sur les variétés de Riemann). Ceux-ci ont également été publiés sous une forme modifiée dans son livre, Spacetime and Geometry.

Le Calculus on Manifolds de Spivak est un joyau.

L'analyse de tension de Bishop on Manifolds est une excellente introduction au sujet, et publié par Douvres, est très bon marché (moins de 10 $ sur Amazon).

Lie Algebras In Particle Physics de Georgi est agréable et rapide, mais saute probablement trop pour être utilisé comme une première exposition adéquate.

Les Méthodes géométriques de physique mathématique de Shutz et Un premier cours de Relativité générale.

Malgré son titre incroyablement pompeux, The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe de Penrose offre une vue agréable de haut niveau sur une vaste étendue de physique mathématique.

Comme mentionné par Cédric, je suis un grand fan de la structure et de l'interprétation de la mécanique classique de Sussman and Wisdom et du mémo de géométrie différentielle fonctionnelle associé. Les citations dans ces publications pointeront également vers beaucoup de bons matériaux et il y a plus de goodies si vous fouillez dans le code source.

Pour une approche générale des mathématiques impliquées dans la physique classique et quantique, l'un de mes livres préférés est:

- "Mathématiques de la physique classique et quantique", Byron & Fuller.

Dans le côté plus géométrique, en plus des livres déjà mentionnés, vous pouvez essayer:

- "La géométrie de la physique. Une introduction", Theodore Frankel.

Et, comme une référence générale, le texte habituel est «Méthodes mathématiques pour les physiciens» d'Arfken.

Mais, à mon humble avis, si vous voulez bien comprendre les outils mathématiques de la physique, vous devez utiliser «Méthodes de physique théorique», en Morse & Feshbach. C'est un vieux livre, mais indispensable si vous voulez comprendre l'électrodynamique classique de Jackson ou la mécanique quantique de Messiah.

J’ai trouvé que Mathematical Methods in the Physical Sciences de Mary Boas était un très bon livre couvrant les bases. Vous aurez évidemment besoin d'autres livres, mais si vous cherchez un livre pour une revue solide des bases, ce livre est excellent.

Voici les titres des chapitres:

1. Série infinie, série puissance
2. Nombres complexes
3. Algèbre linéaire
4. Différenciation partielle
5. Intégrales multiples
6. Vecteur analyse
7. Séries de Fourier et transformées
8. Equations différentielles ordinaires
9. Calcul des variations
10. Analyse Tensor
11. Fonctions spéciales
12. Solutions en série d'équations différentielles, fonctions legendre, bessel, hermite et laguerre
13. Equations différentielles partielles
14. Fonctions d'une variable complexe
15. Probabilités et statistiques

Je considère également The Road to Reality de Roger Penrose un bon livre avec un large champ de mathématiques avec une orientation plus théorique.

Bonne question. Je ne connais pas grand-chose à la géométrie différentielle ou à la topologie algébrique, mais après avoir étudié un peu les groupes, je pense que je peux fournir quelques références pour les groupes de Lie. Voici donc les livres que j'ai trouvés utiles

• Samelson, Notes on Lie Algebras écrits dans un style Definition, Theorem, Proof , donc c'est peu difficile à saisir (je recommande la relecture multiple) mais donne un bon aperçu de la structure, de la classification (systèmes de racines et diagrammes de Dynkin) et des représentations (théorie des poids les plus élevés) des algèbres de Lie.

• Humphreys, Introduction à l'algèbre de mensonge et à la théorie des représentations moins lourd en théorème et plus bavard que Samelson et contient un grand nombre de bons exercices.

• Fulton, Harris, Théorie de la représentation Un premier cours discute plus ou moins de tout ce qu'un physicien doit savoir sur les groupes (mentionne également certains groupes finis). Manque l'approche systématique basée sur le théorème des deux livres ci-dessus, mais possède de grandes explications et de belles images. Je le suggérerais comme une bonne première lecture sur les groupes si ce n'était pour sa longueur.

• Goodman, Wallach, Représentations et invariants des groupes classiques c'est une bible ultime sur les groupes. Les auteurs adoptent une approche géométrique algébrique des groupes de Lie (au lieu de la géométrie différentielle habituelle), ce qui rend le livre un peu difficile à lire pour un physicien ordinaire. Mais en plus de cela, le livre fournit un regard en profondeur sur de nombreuses représentations concrètes (par exemple, les représentations tensorielles et la connexion avec un groupe symétrique; ceci est souvent omis ailleurs), discute de la théorie des poids les plus élevés à grande longueur, fournit une belle introduction aux spineurs et mentionne également règles de branchement. Et plein d'autres trucs. Absolument recommandé.

• Un livre assez mathématique mais classique sur les variétés de Riemannain est: Semi-Riemannian Geometry by O'Neill.

• Quelques notes accessibles sur l'algèbre de mensonge sont disponibles ici, elles sont conçues pour nécessiter peu de connaissances: Notes de cours sur l'algèbre de mensonge.

• Mon livre préféré à propos de la topologie algébrique / différentielle est: Calcul de la cohomologie. Ce livre est extrêmement accessible, ne nécessitant que du calcul multivariable et de l'algèbre linéaire pour le comprendre complètement. Je ne saurais trop le recommander, en particulier pour la physique.

Aussi, je troisième Road to Reality. C'est un livre très amusant / intéressant!

• Géométrie différentielle fonctionnelle , Gerald Jay Sussman et Jack Wisdom. Du MIT, à propos de la géométrie différentielle fonctionnelle.

Quel livre fascinant et inhabituel! La géométrie différentielle expliquée comme des algorithmes informatiques.

- WetSavannaAnimal aka Rod Vance

Le domaine des algèbres d'opérateurs a un lien étroit avec la théorie quantique et est certainement une exigence nécessaire pour étudier de nombreuses littératures de la physique moderne. S. Attal, A. Joye, C.A. Pillet, Editors, Open Quantum Systems 1, l'approche hamiltonienne. Springer, Notes de cours en mathématiques, vol. 1880, (2006).

B. Blackadar, algèbres d'opérateurs. Springer, Encyclopédie des sciences mathématiques, vol. 122, (2006).

O. Bratteli, D. W. Robinson, Algèbres d'opérateurs et mécanique statistique quantique 1, $ C ^ * $ - et $ W ^ * $ - algèbres, groupes de symétrie, décomposition d'états. Springer, Textes et monographies de physique, 2e édition, 2e impression, (2002).

Connes, A., Géométrie non commutative. Academic press, Inc. (1994).

Garcia-Bondia, J.M., Varilly, J.C., Figueroa, H., Elements of noncommutative geometry. Birkhauser Advanced Texts, Birkhauser, (2000).

N. P. Landsman, Thèmes mathématiques entre mécanique classique et quantique. Springer, Monographies en mathématiques, (1998).

M. Takesaki, Théorie des algèbres d'opérateurs I, II, II. Springer, Encyclopédie des sciences mathématiques, vol. 124, (2002).

N. Weaver, quantification mathématique. Etudes en mathématiques avancées, Chapman et Hall / CRC, (2001).

En plus des livres ci-dessus, pour une liste plus complète de références générales sur $ C ^ * $ - algèbres et algèbres d'opérateurs. comme pour une lecture facile pour les débutants, voir mes notes de cours sur $ C ^ * $ - algèbres ici.

Le meilleur livre de mathématiques que j'ai jamais lu en ce qui concerne son utilité pour la physique est

• Calcul vectoriel, algèbre linéaire et formes différentielles: une approche unifiée (2e édition), par Hubbard et Hubbard .

C'est un joyau absolu. Il vous guide à travers l'algèbre linéaire et les formes différentielles à partir de la case départ, en supposant que vous ne connaissez que l'algèbre et le calcul. Les preuves sont légitimes et dans certains cas vraiment créatives. La meilleure partie est qu'il s'adresse aux personnes qui souhaitent utiliser les mathématiques pour les applications. L'extrémisation des fonctions sur les variétés est très bien développée et les auteurs donnent des informations perspicaces sur la façon d'aborder numériquement les sujets analytiques présentés dans le livre. Des choses vraiment utiles comme trouver des séries de Taylor pour des fonctions implicites sont bien faites. Je ne peux vraiment pas donner assez d'approbation à ce livre.

Après avoir lu cela, j'ai lu

• Analysis On Manifolds par Munkres

Ce livre intègre formellement les formes différentielles. Pourtant, c'est incroyablement lisible, et je n'ai jamais trouvé une seule erreur dans tout le livre. Cette lecture a été excellente et a renforcé ma compréhension, mais n'était pas directement pertinente pour la physique.

Ensuite, j'ai lu

• Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, par Sean Carroll

qui est une excellente introduction aux collecteurs courbes. C'est bien parce qu'il explique clairement la différence entre les vecteurs et les co-vecteurs (indices "up" et "down") et relie tout cela à la vie réelle (c'est-à-dire la physique).

Demandez-vous un livre de niveau d'introduction ou un livre plus avancé pour quelqu'un qui a déjà une certaine expérience dans ces sujets?

Pour un niveau d'introduction, j'appuie le Schutz et Spivak recommandé ci-dessus. Penrose et Frankel ne conviennent que si vous avez déjà suivi un cours d'introduction à ces matières, à mon avis. L'introduction de Frankel aux variétés est très condensée, et Penrose fournit vraiment une vue d'ensemble tout en sautant de nombreux détails dont les débutants auraient besoin pour créer des intuitions de base.

Les meilleures notes d'introduction que j'ai rencontrées pour les variétés utilisées en GR sont ceux de David Malament, que vous pouvez télécharger ici.

«Modern Mathematical Physics» de Peter Szekeres est le meilleur livre que j'ai trouvé sur les fondements de la physique mathématique. C'est extrêmement clair et traduit une compréhension profonde dès la première lecture.

Il y a un aperçu d'Amazon ici: http://www.amazon.com/Course-Modern-Mathematical-Physics-Differential/dp/0521829607

Titres des chapitres:

1. Ensembles et structures

2. Groupes

3. Espaces vectoriels

4. Opérateurs linéaires et matrices

5. Espaces de produits intérieurs

6. Algèbres

7. Tenseurs

8. Algèbre extérieure

9. Relativité spéciale

10. Topologie

11. Théorie des mesures et intégration

12. Distributions (transformées de Fourier, Green's fonctions)

13. Espaces de Hilbert

14. Mécanique quantique

15. Géométrie différentielle

16. Formes différenciables

17. Intégration sur des variétés

18. Connexions et courbure

19. Groupes de mensonge et algèbre de mensonge

Cette réponse contient des ressources supplémentaires qui peuvent être utiles. Veuillez noter que les réponses qui énumèrent simplement les ressources mais ne fournissent aucun détail sont fortement déconseillées par la politique du site sur les questions de recommandation de ressources . Cette réponse est laissée ici pour contenir des liens supplémentaires qui n'ont pas encore de commentaire.

• Mathématiques pour la physique , Michael Stone Paul Goldbart
• Physique mathématique moderne , Peter Szekeres
• Géométrie pour la physique , T. Frankel
• Une introduction à Manifold s, Loring W. Tu
• Le chemin de la réalité , Roger Penrose
• Groupe de mensonge pour les piétons , H. Lipkin, une bonne introduction aux groupes de Lie du point de vue du physicien.
• Physics Reports 66: Gravitation, Gauge Theories, and Geometry , Eguchi, Gilkey et Hanson.

Le livre de Lee, Introduction to Smooth Manifolds est très bon et aborde le sujet de manière détendue et motivée. Autant que je me souvienne, cela ne lie pas cela à la physique de manière naturelle.

Gauge Fields, Knots & Gravity de Baez and Munian est également très lisible et couvre la théorie des faisceaux et des formes différentielles en physique d'une manière simple et facile à comprendre. Une caractéristique admirable du livre est que les exercices ne sont que des exercices, c'est-à-dire qu'ils apprennent à comprendre le matériel.

Les cent premières pages de Michors Natural Operations in Differential Geometry sont une contrepartie plus rigoureuse de ce matériel, ce traitement est hautement mathématique et très rigoureux.

Quant à la topologie algébrique, encore une fois le livre de Lee est un bon début, Une introduction aux variétés topologiques , puis pour la théorie plus avancée, le livre de Bott & Tu, Differential Formulaires en topologie algébrique .