Question:
Sur la nature complexe de la fonction d'onde?
yayu
2011-04-05 09:25:40 UTC
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Pourquoi la fonction d'onde est-elle complexe? J'ai rassemblé quelques explications profanes mais elles sont incomplètes et insatisfaisantes. Cependant, dans le livre de Merzbacher dans les premières pages, il fournit une explication pour laquelle j'ai besoin d'aide: que la longueur d'onde de Broglie et la longueur d'onde d'une onde élastique ne présentent pas des propriétés similaires sous une transformation galiléenne. Il dit fondamentalement que les deux sont équivalents sous une transformée de jauge et aussi, séparément par des transformées de Lorentz. Ceci, accompagné de l'observation que $ \ psi $ n'est pas observable, donc il n'y a aucune "raison pour que cela soit réel". Quelqu'un peut-il me donner un prélude intuitif par ce qu'est une transformation de jauge et pourquoi donne-t-elle le même résultat qu'une transformation de Lorentz dans un cadre non relativiste? Et finalement comment dans ce "grand schéma" la nature complexe de la fonction d'onde devient évidente ... d'une manière qu'un mannequin comme moi peut comprendre.

2.

Une fonction d'onde peut être considérée comme un champ scalaire (a une valeur scalaire en chaque point ($ r, t $) donnée par $ \ psi: \ mathbb {R ^ 3} \ times \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {C} $ et aussi comme un rayon dans l'espace de Hilbert (un vecteur). Comment ces deux perspectives sont-elles les mêmes (c'est peut-être quelque chose d'élémentaire que je manque, ou que je me trompe dans les définitions et la terminologie, si c'est le cas où j'ai désespérément besoin d'aide;)

3.

Une façon dont j'ai pensé à la question ci-dessus est que la fonction wave peut être écrite de manière équivalente in $ \ psi: \ mathbb {R ^ 3} \ times \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 2 $ ie, comme une fonction d'onde est complexe, l'équation de Schroedinger pourrait en principe être écrite de manière équivalente comme différentielle couplée équations en deux fonctions réelles qui staisfy les conditions de Cauchy-Riemann. e, si $$ \ psi (x, t) = u (x, t) + i v (x, t) $$ et $ u_x = v_t $; $ u_t = -v_x $ et nous obtenons $$ \ hbar \ partial_t u = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ partial_x ^ 2v + V v $$ $$ \ hbar \ partial_t v = \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ partial_x ^ 2u - V u $$ (..in 1-D) Si cela est correct, quelles sont les interprétations de $ u, v $ .. et pourquoi n'est-ce pas utile. (Je suppose que les problèmes physiques ont toujours un $ \ psi (r, t) $).

Salut Yayu. J'ai toujours trouvé intéressant un article de Leon Cohen, "Rules of Probability in Quantum Mechanics", * Foundations of Physics * ** 18 **, 983 (1988), qui aborde cette question un peu de côté, à travers des fonctions caractéristiques. Cohen vient d'un milieu de traitement du signal, où les transformées de Fourier sont très souvent une chose naturelle à faire. Les transformées de Fourier et les nombres complexes sont bien sûr assez proches de la hanche.
Voici quelques observations simples qui pourraient être utiles. (1) Vous pouvez décrire les ondes stationnaires avec des fonctions d'ondes à valeur réelle, par exemple, on peut presque toujours s'en tirer avec cela en physique des structures nucléaires à basse énergie. (2) Le w.f. d'un photon est simplement les champs électriques et magnétiques. Ceux-ci sont observables et ont une valeur réelle. (3) Si l'électron w.f. était réelle et observable, la longueur d'onde devrait être invariante sous un boost galiléen, ce qui violerait la relation de Broglie. (4) Même pour les ondes à valeur réelle, les opérateurs sont complexes, par exemple, l'élan dans la région classiquement interdite.
@yayu Une fonction analytique complexe est une fonction allant des nombres complexes aux nombres complexes.Et les équations de Cauchy-Riemann concernent de telles fonctions.Choisir x et t comme si l'axe t était un axe imaginaire et l'axe x était un axe réel et que y et z n'existaient pas est très déroutant.
"Tl; DR: Les nombres imaginaires décrivent la phase d'un objet quantique."Alors, la signification physique des nombres imaginaires indique les particules virtuelles avec une probabilité particulière?
Connexes: http://physics.stackexchange.com/q/32422/
Je suis un peu préoccupé par le fait que de nombreux physiciens pensent que la fonction d'onde * doit être complexe * à cause d'arguments qui supposent déjà intrinsèquement que nous entrons dans des domaines complexes (comme on le voit dans les réponses).Cela pourrait être un * énorme * obstacle sur la voie d'une interprétation intuitive des lois fondamentales de la nature.Bien sûr, la fonction d'onde n'est * pas * intrinsèquement complexe.Les nombres complexes (comme de nombreuses constructions en mathématiques) ne sont qu'une manière élégante d'écrire des choses.Les nombres complexes sont un outil de notation pour envelopper les systèmes de coordonnées polaires en «nombres» avec lesquels nous sommes plus familiers.
Quatorze réponses:
#1
+55
Jerry Schirmer
2011-04-06 17:26:30 UTC
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Plus physiquement que beaucoup d'autres réponses ici (dont beaucoup reviennent à "le formalisme de la mécanique quantique a des nombres complexes, donc la mécanique quantique devrait avoir des nombres complexes), vous pouvez expliquer la nature complexe de la fonction d'onde en l'écrivant comme $ \ Psi (x) = | \ Psi (x) | e ^ {i \ phi (x)} $, où $ i \ phi $ est un facteur de phase complexe. Il s'avère que ce facteur de phase est pas directement mesurable, mais a de nombreuses conséquences mesurables, telles que l'expérience de la double fente et l ' effet Aharonov-Bohm.

Pourquoi les nombres complexes sont-ils essentiels pour expliquer ces choses? Parce que vous avez besoin une représentation qui n'induit pas à la fois des dépendances non physiques de temps et d'espace de l'ordre de $ | \ Psi (x) | ^ {2} $ (comme le ferait une multiplication par des phases réelles), ET que FAIT pour les effets d'interférence comme ceux cités ci-dessus. La manière la plus naturelle de le faire est de multiplier l'amplitude de l'onde par une phase complexe.

Y a-t-il une onde ou une vibration qui ne peut / doit être décrite avec un formalisme de nombres complexes?
Mais quelles sont les différences entre les ondes sonores et la fonction d'onde?Pourquoi le second doit être complexe, alors que le premier peut aussi interférer?Et nous pouvons écrire la fonction d'onde notre à travers des sinus et des cosinus, donc la valeur $ \ psi ^ {T} \ psi $ fait également référence à l'invariant dans ce cas.
@AndrewMcAddams: la différence est que l'amplitude d'une onde sonore est une observable, alors que seule l'amplitude du module au carré est une observable en mécanique quantique.Je peux voir la phase d'une onde d'eau, mais je ne peux voir la phase d'une onde électronique que par des effets d'interférence.
C'est l'explication la plus concise et la plus facile à comprendre que j'ai jamais lue concernant le «pourquoi».Je vous remercie.Tant de manuels sur la mécanique quantique ne parviennent pas à communiquer ce fait.
Mais @Jerry Schirmer, vous dites que l'utilisation de la phase complexe est la façon la plus naturelle de modéliser le comportement quantique, est-ce la SEULE façon?
@docscience: bien sûr que non - vous n'avez même pas besoin de nombres complexes pour faire le calcul des nombres complexes, après tout.C'est juste un moyen simple et agréable de les faire.Et les gens ont essayé de reformuler la mécanique quantique en utilisant des quarternions, mais je ne sais pas jusqu'où ils sont vraiment allés, c'est en dehors de mon domaine d'expertise.
@JerrySchirmer "vous avez besoin d'une représentation qui à la fois n'induit pas de dépendances temporelles et spatiales de la magnitude de | Ψ (x) | 2", mais lorsque nous résolvons l'équation de Schroedinger pour l'évolution temporelle de la fonction d'onde et la quadrillons, elle a un espace etdépendances temporelles.Pouvez-vous expliquer en quoi je me trompe par cette déclaration?
@ruskin23: Je ne pense pas que ce soit le cas.Car si c'était le cas, la probabilité totale de trouver une particule dépendrait du temps.Mais ce n'est pas vrai, car il doit être 1 à tout moment.
@ruskin23: J'aurais dû dire les dépendances de temps et d'espace non physiques dans la fonction d'onde.Lorsque vous résolvez l'équation de Schrödinger et que vous obtenez une réponse qui dépend des variables spatiales, cela vous donne des informations réelles sur l'emplacement de la particule.C'est différent lorsque vous multipliez par une phase - cela ne vous donne pas d'informations sur l'emplacement de la particule, cela vous donne des informations sur la façon dont cette particule pourrait interférer avec d'autres particules.
Pour une formulation mathématique de cette idée ("Parce que vous avez besoin d'une représentation qui à la fois n'induit pas de dépendances non physiques dans le temps et dans l'espace de la grandeur de | Ψ (x) | 2 (comme le ferait une multiplication par des phases réelles), ET qui permeteffets d'interférence comme ceux cités ci-dessus. ") voir ma réponse ci-dessous: https://physics.stackexchange.com/a/414029/1648
Pourquoi pensez-vous que le facteur de phase ne peut pas être mesuré directement?Si phi (x) = p_0 x, et psi constant un, vous avez une particule avec un moment p_0.L'élan peut sûrement être mesuré, n'est-ce pas?
@lalala vous avez le même état physique après avoir multiplié par une phase constante arbitraire.
Oui.Mais vous ne parliez pas spécifiquement de phase constante.Votre réponse écrit phi (x).
@lalala bien sûr, mais indépendamment, la mesure de l'impulsion ne dépend pas de la valeur littérale de la phase.La phase elle-même n'est pas mesurable.
Peut-être que je ne comprends pas tout à fait ce que vous dites, mais je ne suis pas seulement la phase des états propres de l'élan (valeur absolue constante).De quoi dépend alors, à votre avis, la mesure du momentum?
#2
+26
pcr
2011-04-08 08:41:07 UTC
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Discussion alternative par Scott Aaronson: http://www.scottaaronson.com/democritus/lec9.html

  1. D'après le postulat de l'interprétation des probabilités, nous concluons que l'opérateur d'évolution temporelle $ \ hat {U} (t) $ doit être unitaire pour que la probabilité totale soit toujours égale à 1. Notez que la fonction d'onde n'est pas encore nécessairement complexe.

  2. Du site Web: "Pourquoi Dieu a-t-il choisi les nombres complexes et non les nombres réels? Réponse: Eh bien, si vous voulez chaque opération unitaire doit avoir une racine carrée, alors il faut aller aux nombres complexes ... "$ \ hat {U} (t) $ doit être complexe si l'on veut encore une transformation continue. Cela implique une fonction d'onde complexe.

L'opérateur devrait donc être: $ \ hat {U} (t) = e ^ {i \ hat {K} t} $ pour hermitien $ \ hat {K} $ afin de conserver la norme de la fonction d'onde.

Personnellement, je préfère la réponse de Jerry Schirmer car elle nécessite moins de postulat et utilise à la place des faits expérimentaux directement. =)
J'aime beaucoup votre réponse, autant que celle de Jerry. Mais j'ajouterais deux choses: premièrement, le truc de la racine carrée est un peu obtus: je le mettrais comme suit pour ceux qui comme moi qui sont un peu lents à l'absorption: .... (ctd) ...
"Toutes les valeurs propres des opérateurs unitaires ont une magnitude unitaire. Ainsi, le seul opérateur unitaire non trivial avec toutes les valeurs propres réelles est un avec un mélange de + 1s et -1s comme valeurs propres - disons $ M $ - sinon c'est l'opérateur d'identité $ I $. Puisque $ U (t) $ et ses valeurs propres varient continuellement, $ U (t) $ ne peut pas atteindre $ M $ à partir de sa valeur de départ $ U (0) = I $ à moins qu'au moins une valeur propre passe par toutes les valeurs du demi-cercle unitaire pour atteindre la valeur -1 ". ... (suite) ...
Deuxièmement, l'argument ne volera pas tout à fait tel quel: il existe des groupes unitaires à valeur matricielle réelle et non triviaux $ \ mathbf {SO} (N) $ (dont les membres ont des valeurs propres complexes mais sont néanmoins des matrices réelles) qui réaliseront le $ U ( t) = \ exp (i \, K \, t) $ dans votre argument, donc les états quantiques peuvent toujours être toutes des fonctions d'onde réelles si elles sont réelles à $ t = 0 $. Je n'ai pas vraiment de solution à ce problème, vous pourriez peut-être faire appel à une expérience. C'est un joli argument, alors je vais continuer à réfléchir.
#3
+26
Terry Bollinger
2012-12-06 06:25:11 UTC
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Cette question vieille d'un an a surgi de façon inattendue lorsque je me suis connecté, et c'est une question intéressante. Donc, je suppose que ce n'est pas grave d'ajouter une "réponse complémentaire" au niveau de l'intuition aux excellentes réponses beaucoup plus complètes fournies il y a longtemps.

Votre question de noyau semble être la suivante: "Pourquoi la fonction wave est-elle complexe ? "

Ma réponse intentionnellement informelle est la suivante:

Parce que par l'observation expérimentale, le comportement quantique d'une particule ressemble beaucoup plus à celui d'une corde en rotation (par exemple un saut corde) que d'une corde qui ne fait que monter et descendre.

Si chaque point d'une corde marque un cercle en se déplaçant, alors une manière très naturelle et économique de représenter chaque point le long de la longueur de la corde est aussi une grandeur complexe. Vous n'avez certainement pas à le faire de cette façon, bien sûr. En fait, utiliser des coordonnées polaires serait probablement un peu plus simple.

Cependant, la chose intéressante à propos des nombres complexes est qu'ils fournissent un moyen simple et efficace en termes de calcul de représenter un tel système de coordonnées polaires. Vous pouvez entrer dans les détails sanglants des détails mathématiques du pourquoi, mais il suffit de dire que lorsque les premiers physiciens ont commencé à utiliser des nombres complexes dans ce seul but, leurs avantages ont continué alors même que les problèmes devenaient beaucoup plus complexes. En mécanique quantique, leurs avantages sont devenus si énormes que les nombres complexes ont commencé à être acceptés à peu près comme la "réalité" de la façon de représenter de telles mathématiques.

Cette fusion conceptuelle de quantités complexes avec la physique réelle peut perturber vos intuitions un peu. Par exemple, si vous regardez la corde à sauter en mouvement, il n'y a pas de distinction entre les axes «réel» et «imaginaire» dans les rotations réelles de chaque point de la corde. Il en va de même pour les représentations quantiques: c'est la phase et l'amplitude qui comptent, les autres distinctions entre les axes du plan de phase étant le résultat de la façon dont vous utilisez ces phases dans des constructions mathématiques plus compliquées.

Donc, si les fonctions d'onde quantique se comportaient uniquement comme des cordes se déplaçant de haut en bas le long d'un seul axe, nous utiliserions des fonctions réelles pour les représenter. Mais ils ne le font pas. Comme ils ressemblent davantage à ces cordes à sauter, il est beaucoup plus facile de représenter chaque point le long de la corde avec deux valeurs, une "réelle" et une "imaginaire" (et aucune dans un espace XYZ réel) pour sa valeur.

Enfin, pourquoi prétendre qu'une seule particule quantique a une fonction d'onde qui ressemble à celle d'une corde à sauter en mouvement? L'exemple classique est le problème de la particule dans une boîte, où une seule particule rebondit entre les deux extrémités de l'axe X de la boîte. Une telle particule forme une, deux, trois ou plusieurs régions (ou anti-nœuds) dans lesquelles la particule est plus susceptible de se trouver.

Si vous empruntez Y et Z (perpendiculaire à la longueur de la boîte) pour représenter les amplitudes réelles et imaginaires de la fonction d'onde de particule en chaque point le long de X , il est intéressant de voir ce que vous obtenez. Cela ressemble exactement à une corde à sauter en action, une dans laquelle les régions où l'électron est le plus susceptible de se trouver correspondent un pour un à une, deux, trois ou plusieurs boucles de la corde à sauter en mouvement. (Les skip-ropers de fantaisie savent tout sur un plus grand nombre de boucles.)

L'analogie ne s'arrête pas là. Le volume entouré par toutes les boucles, normalisé à 1, vous indique exactement quelles sont les chances de trouver l'électron le long d'une section le long de la boîte dans l'axe X . Le tunneling est représenté par l'électron apparaissant des deux côtés des nœuds immobiles de la corde, ces nœuds étant des régions où il n'y a aucune chance de trouver l'électron. La continuité de la corde d'un point à l'autre capture une approximation approximative des équations différentielles qui attribuent des coûts énergétiques élevés aux virages serrés de la corde. La vitesse de rotation absolue de la corde représente la masse-énergie totale de l'électron, ou du moins peut être utilisée de cette façon.

Enfin, et un peu plus compliqué, vous pouvez diviser ces boucles simples en d'autres composants d'onde en utilisant la transformée de Fourier. Tout aspect simple peut également être considéré comme deux ondes hélicoïdales (comme faire tourner un tuyau pour le libérer) allant dans des directions opposées. Ces deux composants représentent l'idée qu'une fonction d'onde à boucle unique comprend en fait des représentations hélicoïdales du même électron allant dans des directions opposées , en même temps. «En même temps» est très caractéristique de la fonction quantique en général, puisque ces fonctions contiennent toujours plusieurs «versions» de l'emplacement et des mouvements de la particule unique qu'elles représentent. C'est vraiment ce qu'est une fonction d'onde, en fait: une sommation des ondes simples qui représentent chaque emplacement et situation d'impulsion probable dans laquelle la particule pourrait se trouver.

Mécanique quantique complète est bien plus complexe que cela, bien sûr. Vous devez travailler dans trois dimensions spatiales, d'une part, et vous devez gérer les probabilités composites de nombreuses particules interagissant. Cela vous pousse à utiliser des concepts plus abstraits tels que les espaces de Hilbert.

Mais en ce qui concerne la question "pourquoi complexe au lieu de réel?", L'exemple simple du la similitude des fonctions quantiques avec les cordes rotatives tient toujours: tous ces cas plus compliqués sont complexes car, au fond, chaque point en eux se comporte comme s'il tournait dans un espace abstrait, d'une manière qui le maintient synchronisé avec les points immédiatement points voisins dans l'espace.

Je ne sais pas si le PO en est conscient, mais il met l'accent sur votre commentaire "il ne doit pas en être ainsi". Matrices réelles de la forme $ \ left (\ begin {array} {cc} a & -b \\ b & a \ end {array} \ right) = I a + ib $ où maintenant $ I $ est l'identité $ 2 \ times2 $ et $ i = \ left (\ begin {array} {cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {array} \ right) $ forment un champ entièrement isomophique à $ \ mathbb {C} $. En particulier, un retard de phase correspond à la multiplication par la matrice de rotation $ \ exp \ left (-i \, \ omega \, t \ right) = \ left (\ begin {array} {cc} \ cos \ omega t & - \ sin \ omega t \\ \ sin \ omega t & \ cos \ omega t \ end {array} \ right) = I \ cos \ omega t + i \ sin \ omega t $.
Rod, oui. Une astuce similaire peut être faite pour les quaternions. Je suis en fait un fanatique du quaternion: j'aime penser que bon nombre des nombres complexes utilisés en physique sont vraiment des quaternions trop généralisés, dans lesquels notre biais 3D intégré nous empêche de remarquer que l'axe imaginaire d'un nombre complexe est en fait juste un pointeur d'unité quaternion dans l'espace XYZ. Vous perdez beaucoup de richesse de représentation en faisant cela, car par exemple vous abandonnez par inadvertance l'option intrigante de traiter les changements dans l'orientation de la vue quaternion * i * comme une symétrie locale de l'espace XYZ.
Bien que je suppose du point de vue des OP, il serait erroné de l'appeler une astuce - il existe de nombreuses façons d'encoder les types de propriétés que font les nombres complexes et celui-ci EST des nombres complexes (un champ isomorphe). Quant aux quaternions, oui, c'est dommage que Hamilton, Clifford et Maxwell n'aient jamais dominé Heaviside.
Êtes-vous en train de dire qu'une fonction d'onde est complexe parce qu'elle ressemble essentiellement à une lumière polarisée circulaire?
Oui, sauf que pour la lumière polarisée circulaire voyageant le long de Z, la rotation a lieu dans le plan XY réel perpendiculaire à Z. Dans une fonction d'onde quantique, le mouvement circulaire est dans un plan complexe séparé qui ne correspond à aucune des directions XYZ ordinaires.
@Terry Bollinger Feynman serait fier de votre réponse
J'espère que je ne viole pas l'étiquette de Stack Exchange en vous remerciant pour votre aimable remarque.Je regrette toujours de ne jamais avoir eu la chance de rencontrer Richard Feynman en personne.Il était unique.
#4
+15
Luboš Motl
2011-04-05 10:27:28 UTC
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Entre autres choses, l'OP a réimprimé une page d'un manuel, en demandant de quoi il s'agissait. Je pense qu'il est impossible de répondre à ce genre de questions car le problème du PO est totalement indéterminé, et les personnes qui offrent leurs réponses pourraient écrire leurs propres manuels, sans résultats.

La vague La fonction en mécanique quantique doit être complexe car les opérateurs satisfont des choses comme $$ [x, p] = xp-px = i \ hbar. $$ C'est le commutateur définissant le principe d'incertitude. Parce que le côté gauche est anti-hermitien, $$ (xp-px) ^ \ dagger = p ^ \ dagger x ^ \ dagger - x ^ \ dagger p ^ \ dagger = (px-xp) = - (xp-px ), $$ il s'ensuit que s'il s'agit d'un nombre $ c $, ses valeurs propres doivent être purement imaginaires. Il s'ensuit que $ x $ ou $ p $ ou les deux doivent avoir des éléments de matrice non réels.

Également, l'équation de Schrödinger $$ i \ hbar \, \, {\ rm d / d} t | \ psi \ rangle = H | \ psi \ rangle $$ contient un facteur $ i $. L'équivalent $ i $ apparaît dans les équations de Heisenberg pour les opérateurs et dans l'intégrale $ \ exp (iS / \ hbar) $ de l'intégrale de chemin de Feynman. Les amplitudes doivent donc inévitablement apparaître comme des nombres complexes. Cela est également lié au fait que les états propres d'énergie et d'impulsion, etc. ont la dépendance de l'espace ou du temps, etc. $$ \ exp (Et / i \ hbar) $$ qui est complexe. Un cosinus ne suffirait pas car un cosinus est une fonction paire (et le sinus est une fonction étrange) donc il ne pourrait pas distraire le signe de l'énergie. Bien entendu, l'apparition de $ i $ dans la phase est liée au commutateur au début de cette réponse. Voir aussi

http://motls.blogspot.com/2010/08/why-complex-numbers-are-fundamental-in.html
Pourquoi les nombres complexes sont fondamentaux en physique

Concernant la deuxième question, dans le jargon de la physique, nous choisissons de souligner qu'une fonction d'onde n'est pas un champ scalaire. Une fonction d'onde n'est pas du tout observable alors qu'un champ l'est. Classiquement, les champs évoluent de manière déterministe et peuvent être mesurés par une seule mesure - mais la fonction d'onde ne peut pas être mesurée. Les champs quantiques sont des opérateurs - mais la fonction d'onde ne l'est pas. De plus, la similitude mathématique d'une fonction d'onde avec un champ scalaire en dimensions 3 + 1 ne vaut que pour la description d'une particule sans spin, pas pour des systèmes plus compliqués.

Concernant la dernière question, ce n'est pas utile décomposer des nombres complexes en parties réelles et imaginaires exactement parce que "un nombre complexe" est un nombre et non deux nombres. En particulier, si on multiplie une fonction d'onde par une phase complexe $ \ exp (i \ phi) $, ce qui n'est possible que si l'on permet aux fonctions d'onde d'être complexes et que l'on utilise la multiplication de nombres complexes, la physique ne change pas du tout. C'est tout l'intérêt des nombres complexes que nous les traitons comme une seule entité.

Merci de répondre. J'ai une question, ne sachant pas encore les intégrales de chemin de Feynman, je suppose que ce que vous dites est la même chose que: si nous faisons la transformation $ \ psi (r, t) = e ^ {i \ frac {S ( r, t)} {\ hbar}} $ alors l'équation de Schrödinger se réduit aux équations classiques de Hamilton Jacobi (si les termes contenant $ i $ et $ \ hbar $ étaient négligeables)?
Cher yayu, merci pour votre question. Premièrement, l'apparition de $ \ exp (iS / \ hbar) $ dans l'approche de Feynman n'est pas une transformation de variables: l'exponentielle est une intégrale qui apparaît dans une intégrale utilisée pour calculer toute amplitude de transition. Deuxièmement, $ \ psi $ est complexe et $ S $ est réel, donc $ \ psi = \ exp (iS / \ hbar) $ ne peut pas être un "changement de variables". Vous pouvez écrire $ \ psi = \ sqrt {\ rho} \ exp (i S / \ hbar) $, auquel cas l'équation de Schrödinger peut être (anormalement) réécrite comme deux équations réelles, une équation de continuité pour $ \ rho $ et le Equation de Hamilton-Jacobi pour $ S $ avec quelques corrections quantiques supplémentaires.
J'ai édité ma question en supprimant les réimpressions et en essayant d'énoncer mon problème sans eux ... cela prendra un certain temps pour réfléchir à certains points que vous avez déjà soulevés dans la réponse.
Je pense qu'une meilleure explication n'utiliserait pas l'idée du formalisme des opérateurs, car lorsque Schrödinger a proposé son équation, le formalisme n'était pas encore développé.
Désolé mais Schrödinger n'est venu avec sa "mécanique des ondes" que presque un an après la découverte de la mécanique quantique par Heisenberg et ses amis sous la forme de la "mécanique matricielle".Malgré les idées fausses populaires, Schrödinger n'est même pas l'un des fondateurs de la mécanique quantique et il n'a jamais correctement compris le sens de la théorie.
#5
+8
Cayley
2011-10-13 12:14:23 UTC
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Si la fonction d'onde était réelle, effectuer une transformée de Fourier dans le temps conduira à des paires d'états propres d'énergie positive-négative. Les énergies négatives sans limites inférieures sont incompatibles avec la stabilité. Donc, des fonctions d'onde complexes sont nécessaires pour la stabilité.

Non, la fonction d'onde n'est pas un champ. Cela ne lui ressemble que pour une seule particule, mais pour N particules, c'est une fonction dans un espace de configuration dimensionnel 3N + 1.

#6
+3
Helder Velez
2011-04-05 16:05:06 UTC
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EDIT add:
Ma réponse est centrée sur GA et après les commentaires, j'ai ressenti le besoin de dire quelques mots sur la beauté de l ' Algèbre géométrique:
Sur la 2ème page de la conférence Oersted Medal (lien ci-dessous):

(3) GA Réduit «grad, div, curl et tout ça» en un seul dérivé vectoriel qui, entre autres, combine l'ensemble standard de quatre Les équations de Maxwell en une seule équation et fournit de nouvelles méthodes pour la résoudre.

Géométrie Algèbre (GA) englobe dans un seul cadre pour tout cela:
Géométrie synthétique, Coordonnées Géométrie, variables complexes, quaternions, analyse vectorielle, algèbre matricielle, spineurs, tenseurs, formes différentielles. C'est un langage pour toute la physique.
Probablement Schrödinger, Dirac, Pauli, etc ... auraient utilisé GA s'il existait à l'époque.
A la question: POURQUOI la fonction d'onde est-elle complexe? Cette réponse n'est pas utile: parce que la fonction d'onde est complexe (ou comporte un i ). Nous devons essayer quelque chose de différent, qui n'est pas écrit dans votre livre.
Dans les résumés, j'ai mis en gras les preuves que les articles parlent des POURQUOI . Si quelqu'un mendie un poisson, j'essaierai de lui donner une canne à pêche.
Je suis un ancien analyste informatique qui serait au chômage si je n'avais pas évolué. La physique évolue aussi.
end EDIT

Récemment, j'ai trouvé l ' Algèbre géométrique , Grassman, Clifford et David Hestenes.

Je ne détaillerai pas ici le sujet du PO car chacun de nous a besoin de suivre des chemins, de trouver de nouvelles idées et de prendre le temps de lire. Je ne fournirai que quelques chemins avec une partie des résumés:

Présentation de l'algèbre géométrique en physique

Conférence Oersted Medal 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics (un bon début)

Dans cette conférence, Hestenes plaide pour une réforme de la manière dont les mathématiques sont enseignées aux physiciens. Il affirme que l'utilisation de l'algèbre géométrique facilitera la compréhension des principes fondamentaux de physique, car le langage mathématique sera plus clair et plus uniforme.

Chasse aux Snarks en mécanique quantique

Résumé. Un débat de longue date sur l’interprétation de la mécanique quantique s’est centré sur la signification de la fonction d’onde de Schroedinger ψ pour un électron. De manière générale, il existe deux grandes écoles opposées. D'un côté, l'école de Copenhague (dirigée par Bohr, Heisenberg et Pauli) soutient que ψ fournit une description complète d'un état à un seul électron; par conséquent, l'interprétation de probabilité de ψψ * exprime une incertitude irréductible dans le comportement des électrons qui est de nature intrinsèque. De l'autre côté, l'école réaliste (dirigée par Einstein, de Broglie, Bohm et Jaynes) soutient que ψ représente un ensemble statistique d'états d'électrons possibles; il s'agit donc d'une description incomplète d'un état à un seul électron. Je soutiens que les débatteurs ont négligé des faits cruciaux sur l'électron révélés par la théorie de Dirac. En particulier, l'analyse du zitterbewegung électronique (d'abord remarqué par Schroedinger) ouvre une fenêtre sur la sous-structure des particules en mécanique quantique qui explique la signification physique du facteur de phase complexe dans ψ . Cela a conduit à un modèle testable pour la sous-structure de particules avec un soutien surprenant par des preuves expérimentales récentes. Si l'explication est confirmée par de nouvelles recherches, elle résoudra le débat en faveur de l'école réaliste. Je donne des détails. Les périls de la recherche sur les fondements de la mécanique quantique ont été prévus par Lewis Carroll dans The Hunting of the Snark!

L'ORIGINE CINÉMATIQUE DE LA FONCTION D'ONDE COMPLEXE

Résumé. Une reformulation de la théorie de Dirac révèle que īh a une signification géométrique le reliant au spin électronique . Ceci fournit la base d'une interprétation physique cohérente des théories de Dirac et Sch¨odinger où le facteur de phase complexe exp (−iϕ / ¯h) dans la fonction d'onde décrit le zitterbewegung d'électrons, un mouvement circulaire localisé générant le spin électronique et le moment magnétique. Les interactions de Zitterbewegung génèrent également des résonances qui peuvent expliquer la quantification , di ff raction, et le principe de Pauli.

Calcul Géométrique Universel un cours, et suivez:
III. Implications pour la mécanique quantique

L'origine cinématique des fonctions d'ondes complexes
L'algèbre de Clifford et l'interprétation de la mécanique quantique
L'interprétation de Zitterbewegung de Mécanique quantique
Mécanique quantique à partir de l'auto-interaction
Zitterbewegung dans les processus radiatifs
Découplage des probabilités de la cinématique dans la mécanique quantique
Modélisation de Zitterbewegung
Structure spatio-temporelle des interactions faibles et électromagnétiques


pour garder plus de références ensemble:
Algèbre géométrique et son application à la physique mathématique (Thèse de Chris)

(ce qui m'amène à ce chemin étonnant était un article de Joy Christian " Révélation du théorème de Bell")
"Bon voyage", "bon voyage", "boa viagem"

Pourquoi les votes Down?
@Helder Les votes négatifs ne viennent pas de moi, mais je pense que votre réponse ne répond pas beaucoup à la question, donc je pense qu'ils sont justifiables uniquement sur ce point. Plus important encore, citer Hestenes est problématique à moins que vous ne soyez très précis sur ce que vous lui enlevez, auquel cas vous pourriez aussi facilement citer quelqu'un d'autre qui ne fait pas de déclarations aussi exagérées. Un trop grand nombre des affirmations de Hestenes ne sont pas suffisamment justifiables, et toutes doivent être lues d'un œil critique pour trouver ce qui est intéressant, ce qui prend du temps. Gardez votre intelligence sur vous en suivant le chemin d'Hestène.
@Helder; J'ai beaucoup de respect pour le travail du Dr Hestenes, envoyez-moi un courriel si vous voulez en parler. Son travail porte directement sur la nature complexe de la gestion de la qualité. Je attribuerai +1 à votre réponse lorsque je récupérerai mes votes (je les utilise toujours).
@Helder Velez Je suis l'un de vos votants négatifs car je l'ai vu comme une réponse * très * large avec beaucoup de références et de résumés reproduits qui ont peu à voir avec le contexte spécifique dans lequel j'ai essayé de formuler ma question. De plus, je ne suis pas du tout intéressé par l'aspect interprétatif de la mécanique quantique, à mon stade.
@Carl Brannen Est-ce que vous votez pour une réponse simplement parce qu'elle cite le travail de quelqu'un que vous respectez, bien que cela puisse être peu pertinent par rapport à la question?
@yayu; Non, je vais le voter parce que j'ai lu les articles liés et je sais qu'ils sont exactement appropriés pour la question. Je peux donner une brève description de l'argument: dès que vous utilisez spin-1/2, vous avez que $ \ sigma_x \ sigma_y \ sigma_z = i $ est une unité imaginaire en ce sens qu'il est carré à -1 et commute avec les autres éléments . Ceci est également inhérent à l'équation de Dirac. Ce que Hestenes continue à montrer, c'est que le «i» dans l'équation de Schroedinger découle de l'examen de l'équation de Pauli avec un spin fixe.
@Carl Brannen ma question est introductive et concerne l'équation de Schrodinger non relativiste pour une particule sans spin. est-ce pertinent dans ce contexte.
@yayu; Les réponses sur Stack Exchange sont lues par plus que la personne qui demande. Spin-1/2 (et les matrices de spin de Pauli) seront traités dans toute introduction à QM; c'est l'espace de Hilbert non trivial le plus simple possible. Cela ne devient pas beaucoup plus simple que cela. Mais en général, même s'il ne convenait qu'à Albert Einstein, il doit être affiché ici. Sur SE, les questions en double sont fermées. C'est la seule occasion de répondre à la question pour tous les lecteurs.
Eh bien, même si une autre question est fermée en double de celle-ci, les gens peuvent toujours publier des réponses supplémentaires ici.
Particule @yayu ** spinless **? Il semble qu'il n'y ait pas besoin d'être complexe. Lien KINEMATIC ci-dessus ou le commentaire de Carl précédent votre commentaire «sans rotation».
Soit dit en passant, très peu de gens votent beaucoup ici. Malgré mon arrivée quelques mois après le lancement du site, j'ai la tête du nombre total de votes effectués: http://physics.stackexchange.com/users?tab=voters&filter=all
Suppression du vote défavorable en ajoutant un +1. J'ai trouvé ce post informatif et détaillé et je ne me soucie pas vraiment de savoir s'il répondait précisément à la question d'origine ou non.
#7
+3
Len
2011-10-13 08:46:47 UTC
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Cette question a été posée depuis Dirac

En fait, la réponse de Dirac est disponible pour 100 $ de JSTOR dans un article de Dirac de 1935 je crois?

Une réponse récente de James Wheeler - est-ce que la métrique Killing à signature zéro d'un nouveau jaugeage en 8 dimensions, à valeur réelle, du groupe conforme rend compte du caractère complexe de la mécanique quantique

Référence est Pourquoi la mécanique quantique est complexe, James T . WheelerArXiv: hep-th9708088

Bien que cela puisse théoriquement répondre à la question, [il serait préférable] (// meta.stackoverflow.com/q/8259) d'inclure ici les parties essentielles de la réponse et de fournir le lien pour référence.
#8
+2
Carl Brannen
2011-04-06 06:56:36 UTC
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D'après le principe d'incertitude de Heisenberg, si nous en savons beaucoup sur l'élan d'une particule, nous pouvons en savoir très peu sur sa position. Cela suggère que nos mathématiques devraient avoir un état quantique qui correspond à une onde plane $ \ psi (x) $ avec un moment précis connu mais une position entièrement inconnue.

Une définition naturelle de la probabilité de trouver la particule à la position $ x $ est $ | \ psi (x) | ^ 2 $. Cette définition a du sens à la fois pour une fonction d'onde réelle et une fonction d'onde imaginaire.

Pour qu'une onde plane n'ait aucune information de position, cela signifie que $ | \ psi (x) | $ ne dépend pas de la position et est donc constante. Par conséquent, nous devons avoir $ \ psi $ complex; sinon il n'y aurait aucun moyen de stocker les informations "quel est le momentum de la particule".

Donc, à mon avis, la nature complexe des fonctions d'onde découle de l'interaction entre la nécessité de (1) a interprétation des probabilités, (2) le principe d'incertitude de Heisenberg, et (3) ondes planes.

Veuillez dissiper certains doutes pour moi. ** 1. ** L'interprétation des probabilités: je pense qu'elle a suivi _depuis_ que la fonction d'onde était complexe et que la signification physique ne pouvait être attribuée qu'à une valeur réelle. Si nous faisons une construction $ \ psi ^ * \ psi $ alors nous arrivons à l'équation de continuité à partir de l'équation de Schrodinger et l'interprétation peut maintenant être faite que la quantité $ \ rho = \ psi ^ * \ psi $ est la densité de probabilité. Partant d'une interprétation comme $ \ rho = \ psi ^ * \ psi $, je ne vois aucun moyen de revenir en arrière et je soutiens de manière convaincante que l'amplitude $ \ psi $ doit être complexe.
les relations d'incertitude découlent de l'identification de la particule libre comme onde plane. Je suppose que votre réponse va dans la bonne direction, je travaille également sur (2) comme suggéré dans la réponse de Lubos et j'essaie de comprendre pourquoi $ \ psi $ est une valeur complexe en conséquence, mais je ne vois pas comment quoi que ce soit sauf (2) est pertinent pour le montrer de manière concluante.
@yayu: voir mon post - il y a deux faits expérimentaux essentiels: 1) la phase n'est pas directement mesurable; 2) les effets d'interférence se produisent dans une large gamme de matériaux quantiques. Il est difficile de concilier ces choses sans utiliser de nombres complexes.
Bien que je sois d'accord avec les idées fondamentales de cette réponse, je ne suis pas d'accord avec la conclusion que cela nécessite des nombres complexes.Il n'y a rien de perdu, par exemple, en exprimant la transformée de Fourier (complexe) comme deux transformées de Fourier sinus / cosinus réelles.Cela ne nécessite pas de nombres complexes, bien qu'ils puissent être pratiques.
@ConfusinglyCuriousTheThird Salut!Ma modeste contribution (actuellement la troisième en dessous de celle-ci), en développant un peu la réponse de Carl, fournit-elle une réponse que vous pouvez accepter?RGDS - iSeeker
#9
+2
asmaier
2018-06-28 02:10:05 UTC
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La question est bonne et a également été posée par Ehrenfest (1932): "Einige die Quantenmechanik betreffende Erkundigungsfragen". La réponse a été donnée par Pauli (1933): "Einige die Quantenmechanik betreffenden Erkundigungsfragen". Malheureusement, je ne connais pas de traduction en anglais de ces deux publications. Cependant, on peut trouver une forme légèrement différente de la réponse également dans le livre de Pauli "Principes généraux de la mécanique quantique" p.16. Dans ce livre, Pauli écrit

une seule fonction réelle n'est pas suffisante pour construire à partir de fonctions d'onde de la forme (3.1) une fonction de probabilité non négative qui est constant dans le temps lorsqu'il est intégré sur tout l'espace.

Je vais essayer de résumer ses arguments ici:

Un paquet d'ondes pour décrire une seule particule (essentiellement l'idée de DeBroglie) peut s'écrire généralement $$ u (x, t) = \ int U (k) e ^ {i (kx- \ omega t)} dk = \ int U (k) e ^ {ikx} dk \, e ^ {- i \ omega t} $$ où $ U (k) $ est la transformée de Fourier de $ u (x, 0) $. Le conjugué complexe de ce paquet d'ondes est $$ u ^ * (x, t) = \ int U ^ * (k) e ^ {- i (kx- \ omega t)} dk = \ int U ^ * (k) e ^ {- ikx} dk \, e ^ {i \ omega t} $$ On peut également définir de tels paquets d'ondes en électrodynamique. Mais en mécanique quantique, nous avons une condition supplémentaire, à savoir que la probabilité $ P (x, t) $ de trouver une particule doit toujours être positive et la probabilité totale de trouver une seule particule quelque part doit être un, donc $$ P (x, t) \ geq 0 \\ \ int P (x, t) \, dx = 1 $$ Pauli soutient que l'ansatz le plus simple pour construire une telle fonction $ P (x, t) $ à partir de $ u (x, t) $ est une forme quadratique définie à partir des fonctions $ u $ et $ u ^ * $, cela signifie $$ P (x, t) = a u ^ 2 + b {u ^ *} ^ 2 + c u u ^ * $$ Maintenant sous la forme $ u (x, t) $ et $ u ^ * (x, t) $ nous voyons $$ u ^ 2 \ sim e ^ {- 2i \ omega t} \ \ text {et} \ {u ^ *} ^ 2 \ sim e ^ {2i \ omega t} $$ et une intégrale dans l'espace sur ces deux fonctions ne peut jamais être indépendante du temps.Ainsi, les constantes $ a $ et $ b $ doivent être nulles dans l'ansatz pour $ P (x, t) $.Seul le produit d'un paquet d'ondes et son conjugué complexe donnera une probabilité totale indépendante du temps: $$ 1 = \ int P (x, t) \, dx = \ int uu ^ * \, dx = \ iiint U (k) U ^ * (k ') e ^ {i (kx-k'x)} \,e ^ {- i \ omega t} e ^ {i \ omega t} dk dk 'dx \\ = \ iint U (k) U ^ * (k ') \ delta (k-k') dk dk '= \ int \ left | {U (k)} \ right | ^ 2 dk = \ int P (k)\, dk $$ Puisque le produit $ uu ^ * = Re [u] ^ 2 + Im [u] ^ 2 $, il s'ensuit que - comme Pauli l'a dit - afin de calculer une probabilité significative à partir de paquets d'ondes de la forme $ u (x, t)$ on a besoin des parties réelle et imaginaire de $ u (x, t) $ et la fonction d'onde en mécanique quantique doit être complexe.

#10
+1
iSeeker
2018-01-11 18:59:04 UTC
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THIS LATE ANSWER (janvier 2018) développe un peu la réponse directe et (IMO) sous-estimée de Carl Brannen (montrant un peu plus haut, au moment de la publication), qui m'a rappelé un autre argument simple et convaincant à pourquoi la fonction d'onde devrait être complexe , exposé il y a de nombreuses années dans « Introduction to Quantum Mechanics » de Dicke & Wittke (1960; pp. 23-24).

Compte tenu de leur examen dans Ch 1 des raisons pour lesquelles une onde de mécanique quantique est sujette à la dualité onde-particule / la relation de De Broglie, ils procèdent comme suit:

Pour une onde-particule d'élan nettement défini:

λ = h / p (et donc, par Δxp> = h / 4π, complètement incertain - essentiellement uniforme - position)

… la distribution de probabilité | ψ | ^ 2 d'une onde plane doit être uniforme en position, ce qui ne peut être satisfait par une onde plane à valeur réelle

ψ = Un péché (kx - ωt + α)

… mais est satisfait (généralisant à une position arbitraire) par

ψ = A exp [i ( kx - ωt)], où le vecteur de propagation k = p / (h / 2π).

Dicke & Wittke explique ensuite comment la fonction d'onde à valeurs complexes tient compte des effets d'interférence (hors copyright et disponible en toute sécurité via https://archive.org/details/IntroductionToQuantumMechanics).

[NB Attention: googler le titre du livre / pdf - de nombreuses sources en ligne, contrairement à celle ci-dessus, ne sont pas sûres]

#11
  0
user11781
2012-12-06 05:08:28 UTC
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Du point de vue physique, la fonction d'onde doit être complexe pour expliquer l ' expérience de la double fente, également mentionnée dans le livre de The Feynman Lectures on Physics- III, je vous suggère de revoir les chapitres 1 & 3, où il est expliqué comment $ \ psi $ doit être considéré comme de nature probabiliste, selon le motif d'interférence, car «quelque chose» doit se comporter comme une onde au moment de traverser «chacune» des fentes. De plus, Bohm proclame que le chemin de la particule (électron, photon, etc.) peut être considéré comme classique, vous pouvez donc regarder celui-ci, car il suit les règles déjà connues à la macro. .. en ce sens, vous pouvez voir la référence suivante ou celle-ci pour considérer la covariance des lois de la mécanique.

#12
  0
J.G.
2018-08-15 01:58:11 UTC
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La fonction d'onde $ \ psi (x) $ est la projection du vecteur d'état du système physique $ | \ psi \ rangle $ sur le $ \ hat {x} $ eigenket $ | x \ rangle $ de valeur propre $ x $, à savoir. $ | \ psi \ rangle = \ int dx \ psi (x) | x \ rangle $. Il ne faut pas confondre la valeur scalaire $ \ psi (x) = \ langle x | \ psi \ rangle $ avec le vecteur $ | \ psi \ rangle $ qui vit dans un espace de Hilbert.

La première phrase de votre première question est, en termes techniques: pourquoi cet espace de Hilbert sur le champ $ \ mathbb {C} $ plutôt que, disons, $ \ mathbb {R} $? Si vous appuyez sur Ctrl + F sur "Nombres réels ou complexes" ici, vous obtiendrez une discussion détaillée de plusieurs raisons pour lesquelles la mécanique quantique devrait ressembler à cela. Un avantage d'une fonction d'onde complexe est qu'elle a à la fois une amplitude et une phase, mais seule la première affecte la densité de probabilité $ | \ psi | ^ 2 $, et la seconde nous donne des interférences quantiques en raison des identités trigonométriques telles que $ | 1+ \ exp i \ theta | = 2 | \ cos \ frac {\ theta} {2} | $. Cependant (pour continuer votre Q1), une transformation galiléenne doit inclure un déphasage donc l'équation de Schrödinger sera invariante; voir ici et ici pour plus d'informations. Une transformation de jauge comme celle galiléenne est simplement une manière de transformer des coordonnées, ou des champs (qui reviennent au même chose dans une théorie des champs lagrangiens), qui laissent l'action et ses équations de mouvement invariantes. (Au fait, vous devez faire attention à ne pas confondre les mots transformation et transformation.)

Votre Q2 dépend également de ne pas confondre $ \ psi $ avec $ | \ psi \ rangle $. Le rayon est l'ensemble des valeurs de $ \ exp i \ theta | \ psi \ rangle $ avec $ \ theta \ in \ mathbb {R} $, mais le passage d'une valeur de $ \ theta $ à une autre laisse $ \ psi $ invariant car $ \ langle x | $ est multiplié par $ (\ exp i \ theta) ^ \ ast = \ exp -i \ theta $.

En ce qui concerne Q3, il est plus utile de travailler avec le module et la phase du complexe $ \ psi $ plutôt que sa partie réelle et imaginaire, car sous les transformations unitaires, le premier est invariant, de même que les différences dans le second. p>

#13
  0
Pat Eblen
2019-09-04 19:25:44 UTC
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Déjà d'excellentes réponses à cette question souvent posée.En termes très simples, les états propres quantiques ont des valeurs de phase relatives associées, et le plan en phase et en quadrature (également étrangement mais conventionnellement appelé plan réel / imaginaire) permet de spécifier ces phases lors du traçage ou de la spécification d'une fonction d'onde.

Comme indiqué dans d'autres réponses, il existe d'autres méthodes mathématiques pour le faire, mais la méthode «complexe» est mathématiquement très pratique.

#14
-3
Tom
2014-09-10 05:11:31 UTC
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Puisque ni l'amplitude ni la longueur d'onde ne peuvent être connues simultanément avec précision, je pense que cela signifie qu'il y a des informations manquantes qui doivent encore être traitées en permanence. Ces informations sont commodément stockées dans la partie imaginaire d'un nombre complexe.

Ce n'est pas assez justifié pour être une réponse, et d'ailleurs, je suis tout à fait sûr que ce n'est pas une bonne façon de penser à cela.


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 2.0 sous laquelle il est distribué.
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