La réponse est non, car bien qu’une «théorie de tout» signifie une méthode de calcul pour décrire une situation, elle ne vous permet pas de prédire le résultat final de l’évolution un temps infini dans le futur, mais seulement pour avancer, prédisant le résultat petit à petit au fur et à mesure.

Le théorème de Gödel est une affirmation qu'il est impossible de prédire le comportement temporel infini d'un programme informatique.

Théorème: étant donné toute manière précise de produire des déclarations sur les mathématiques, c'est-à-dire, étant donné tout programme informatique qui crache des déclarations sur les mathématiques, ce programme informatique soit produit des mensonges, soit ne produit pas toutes les déclarations vraies.

Preuve: Étant donné le programme "THEOREMS" qui produit des théorèmes (il pourrait faire des déductions en Peano Arithmetic, par exemple), écrivez le programme informatique SPITE pour faire ceci:

• SPITE imprime le sien code dans une variable R
• SPITE exécute THEOREMS et analyse la sortie à la recherche du théorème "R d oes not halt "
• S'il trouve ce théorème, il s'arrête.

Si vous y réfléchissez, au moment où THEOREMS dit que" R ne s'arrête pas ", il prouve vraiment que "SPITE ne s'arrête pas", puis SPITE s'arrête, faisant de THEOREMS un menteur. Donc si "THEOREMS" ne produit que de vrais théorèmes, SPITE ne s'arrête pas, et THEOREMS ne le prouve pas. Il n'y a aucun moyen de contourner cela, et c'est vraiment trivial.

La raison pour laquelle il a la réputation d'être compliqué est due aux propriétés suivantes de la littérature logique:

• Les logiciens étudient les systèmes formels, ils ont donc tendance à être trop formels lorsqu'ils écrivent. Cela enlève la littérature logique dans l'obscurité inutile et freine le développement des mathématiques. Il n'y a pas grand-chose à faire à ce sujet, à part les exhorter à essayer de clarifier leur littérature, comme les physiciens s'efforcent de le faire.
• Les logiciens ont pris la décision dans les années 1950 de ne pas autoriser le langage informatique dans la description des algorithmes dans le domaine de la logique. Ils l'ont fait à dessein, afin de séparer la discipline naissante du CS de la logique, et de garder les hordes non lavées de programmeurs informatiques hors de la littérature logique.

Quoi qu'il en soit, ce que j'ai présenté est le preuve entière du théorème de Gödel, en utilisant une traduction moderne de la méthode originale de Gödel en 1931. Pour un aperçu rapide des autres résultats et pour plus de détails, consultez cette réponse MathOverflow: https://mathoverflow.net/a/72151/36526.

Comme vous pouvez le voir, le théorème de Gödel est une limitation à la compréhension du comportement éventuel d'un programme informatique, dans la limite d'un temps de fonctionnement infini. Les physiciens ne s'attendent pas à comprendre le comportement éventuel de systèmes arbitraires. Ce qu'ils veulent faire, c'est donner un programme informatique qui suivra l'évolution d'un système donné en temps fini.

Un ToE est comme le jeu d'instructions de l'ordinateur de l'univers. Il ne vous dit pas quelle est la sortie, seulement quelles sont les règles. Un ToE serait inutile pour prédire l'avenir, ou plutôt, il n'est pas plus utile pour la prédiction que la mécanique newtonienne, les statistiques et quelques mécaniques quantiques occasionnelles pour le monde quotidien. Mais c'est extrêmement important du point de vue philosophique, car quand vous le trouvez, vous avez compris les règles de base, et il n'y a plus de surprises en dessous.

Incorporer des commentaires

Il y avait des commentaires que je incorporera dans cette réponse. Il semble que les commentaires ne sont censés être que temporaires, et certaines de ces observations sont, je pense, utiles.

Le programme de Hilbert était une tentative d'établir que la théorie des ensembles mathématiques est cohérente en utilisant uniquement des moyennes finitaires. Il y a une interprétation du théorème de Gödel qui va comme ceci:

• Gödel a montré qu'aucun système ne peut prouver sa propre cohérence
• La théorie des ensembles prouve la cohérence de Peano Arithmetic
• Par conséquent, Gödel tue le programme de Hilbert consistant à prouver la cohérence de la théorie des ensembles en utilisant l'arithmétique.

Cette interprétation est fausse et ne reflète pas le point de vue de Hilbert, à mon avis. Hilbert a laissé ouverte la définition de «finitaire». Je pense que c'était parce qu'il n'était pas sûr de ce qui devait être admis comme finitaire, même si je pense qu'il était assez sûr de ce qui ne devrait pas être admis comme finitaire:

1. Pas de nombres réels, pas d'analyse, pas de sous-ensembles arbitraires de $ \ Bbb Z $. Seuls les axiomes et les déclarations exprimables dans le langage de Peano Arithmetic.
2. Aucune structure que vous ne pouvez réaliser explicitement et de manière constructive, comme un entier. Donc pas d'ordinaires indénombrables, par exemple.

Contrairement à ses adeptes, il n'a pas dit que «finitaire» signifie «prouvable en Peano Arithmetic» ou «prouvable en arithmétique récursive primitive ", parce que je ne pense pas qu'il pensait que c'était assez fort. Hilbert avait de l'expérience avec l'induction transfinie, et sa puissance, et je pense que lui, contrairement à d'autres qui l'ont suivi dans son programme, était prêt à accepter que l'induction transfinie prouve plus de théorèmes qu'une simple induction Peano ordinaire.

Quoi il ne voulait pas accepter d'axiomes basés sur une métaphysique de l'existence d'ensemble. Des choses comme l'axiome Powerset et l'axiome du choix. Ces deux axiomes produisent des systèmes qui non seulement violent l'intuition, mais qui ne sont pas non plus manifestement fondés sur l'expérience, de sorte que les axiomes ne peuvent pas être vérifiés par l'intuition.

Ceux qui ont suivi Hilbert ont interprété le finitaire comme "prouvable en Peano Arithmetic". ou un fragment plus faible, comme PRA. Compte tenu de cette interprétation, le théorème de Gödel tue le programme de Hilbert. Mais cette interprétation est folle, étant donné ce que nous savons maintenant.

Hilbert a écrit un livre sur les fondements des mathématiques après le théorème de Gödel, et j'aimerais qu'il soit traduit en anglais, car je ne lis pas l'allemand. Je suppose qu'il dit là-dedans ce que je suis sur le point de dire ici.

Ce que signifie finitaire

La définition de finitaire est tout à fait évidente aujourd'hui, après 1936. Une déclaration finitaire est une vraie déclaration sur les objets calculables, les choses qui peuvent être représentées sur un ordinateur. Cela revient à dire qu’un énoncé finitaire est une proposition sur les entiers qui peuvent être exprimés (pas nécessairement prouvés ) dans le langage de Peano Arithmetic.

Cela inclut les entiers, les graphes finis, les chaînes de texte, les manipulations symboliques, en gros, tout ce que Mathematica gère, et cela inclut aussi les ordinaux. Vous pouvez représenter les ordinaux jusqu'à $ \ epsilon_0 $, par exemple, en utilisant un encodage de chaîne de texte de leur forme Cantor Normal.

Les ordinaux qui peuvent être entièrement représentés par un ordinateur sont limités par Church-Kleene ordinal, que j'appellerai $ \ Omega $. Cet ordinal est relativement petit en théorie des ensembles traditionnelle, car il s'agit d'un ordinal dénombrable, qui est facilement dépassé par $ \ omega_1 $ (le premier ordinal indénombrable), $ \ omega_ \ Omega $ (l'ordinal indénombrable de Church-Kleene-ème) et l'ordinal d'un énorme cardinal. Mais il est important de comprendre que toutes les représentations informatiques des ordinaux sont toujours inférieures à cela.

Donc, quand vous faites des mathématiques finitaires, cela signifie que vous parlez d'objets que vous pouvez représenter sur une machine, vous devrait vous limiter aux ordinaux moins que Church-Kleene. Ce qui suit soutient qu'il ne s'agit pas du tout de restriction, puisque l'ordinal Church-Kleene peut établir la cohérence de n'importe quel système.

Religion ordinale

Le théorème de Gödel est mieux interprété comme suit: Étant donné tout système axiomatique (cohérent, oméga-cohérent), vous pouvez le rendre plus fort en ajoutant l'axiome «consis (S)». Il existe plusieurs façons de renforcer le système, et certaines d'entre elles ne sont pas simplement liées à cette extension, mais considérez celle-ci.

Étant donné n'importe quel système et un ordinal calculable, vous pouvez itérer le processus de renforcement jusqu'à l'ordinal. Il y a donc une carte des ordinaux à la force de cohérence. Cela implique ce qui suit:

• Les théories naturelles sont ordonnées linéairement par force de cohérence.
• Les théories naturelles sont bien fondées (il n'y a pas de chaîne descendante infinie de théories $ A_k $ tel que $ A_k $ prouve la cohérence de $ A_ {k + 1} $ pour tout k).
• Les théories naturelles se rapprochent de l'ordinal de Church Kleene en force, mais ne l'atteignent jamais.

Il est naturel de supposer ce qui suit:

• Etant donné une suite d'ordinaux qui s'approche de l'ordinal Church-Kleene, les théories correspondant à cet ordinal prouveront chaque théorème d'arithmétique, y compris le cohérence de théories cohérentes arbitrairement fortes.

De plus, les preuves de cohérence sont souvent également effectuées en logique constructive, donc vraiment:

• Chaque théorème qui peut être prouvé, dans la limite de l'ordinal de Church-Kleene, obtient une preuve constructive.

Ce n'est pas une contradiction avec le théorème de Gödel, car générer une suite ordinale qui s'approche de $ \ Omega $ cann ot être fait par algorithme, cela ne peut pas être fait sur un ordinateur. De plus, tout emplacement fini n'est pas vraiment philosophiquement beaucoup plus proche de Church-Kleene que de l'endroit où vous avez commencé, car il y a toujours infiniment plus de structure non décrite.

Donc $ \ Omega $ sait tout et prouve tout, mais vous ne peut jamais le comprendre pleinement. Vous ne pouvez vous rapprocher que par une série d'approximations que vous ne pouvez jamais spécifier précisément, et qui sont toujours d'une manière ou d'une autre infiniment insuffisantes.

Vous pouvez croire que ce n'est pas vrai, qu'il y a des déclarations qui restent indécidables, quelle que soit la distance à laquelle vous vous rapprochez de Church-Kleene, et je ne sais pas comment vous convaincre du contraire, autrement qu'en pointant des conjectures de longue date qui aurait pu être absolument indépendant, mais tombé à des méthodes suffisamment puissantes. Croire qu'un système formel suffisamment fort résout toutes les questions d'arithmétique est un article de foi, explicitement articulé par Paul Cohen dans Théorie des ensembles et hypothèse du continu . Je le crois, mais je ne peux pas le prouver.

Analyse ordinale

Donc, étant donné toute théorie, comme ZF, on s'attend à ce qu'il y ait un ordinal calculable qui puisse prouver sa cohérence. À quel point en sommes-nous arrivés à faire cela?

Nous savons comment prouver la cohérence de Peano Arithmetic --- cela peut être fait en PA, en PRA ou en Heyting Arithmetic (constructive Peano Arithmetic), en utilisant seul l'axiome

• Chaque compte à rebours de $ \ epsilon_0 $ se termine.

Cela signifie que l'ordinal théorique de preuve de Peano Arithmetic est $ \ epsilon_0 $. Cela vous indique que l'arithmétique de Peano est cohérente, car il est manifestement évident que $ \ epsilon_0 $ est un ordinal, donc tous ses comptes à rebours se terminent.

Il existe des théories constructives des ensembles dont l'ordinal de la théorie de la preuve est également bien compris , voir ici: "Analyse ordinale: Théories avec des ordinaux théoriques plus grands".

Pour aller plus loin, il faut une avancée dans nos systèmes de notation ordinale, mais il n'y a pas de limitation de principe établir la cohérence des théories des ensembles aussi fortes que ZF par des ordinaux calculables qui peuvent être compris.

Cela complèterait le programme de Hilbert - cela supprimerait tout besoin d'une ontologie d'ensembles infinis dans les mathématiques. Vous pouvez ne pas croire à l'ensemble de tous les nombres réels, et accepter toujours la cohérence de ZF, ou de cardinaux inaccessibles (en utilisant un plus grand ordinal), et ainsi de suite dans la chaîne des théories.

Autres interprétations

Tout le monde n'est pas d'accord avec les sentiments ci-dessus. Certaines personnes considèrent les propositions indécidables comme celles fournies par le théorème de Gödel comme ayant en quelque sorte une valeur de vérité aléatoire, qui n'est déterminée par rien du tout, de sorte qu'elles sont absolument indécidables. Cela rend les mathématiques fondamentalement aléatoires à sa fondation. Ce point de vue est souvent défendu par Chaitin. De ce point de vue, l'indécidabilité est une limitation fondamentale de ce que nous pouvons savoir sur les mathématiques, et ressemble donc à une interprétation erronée populaire du principe d'incertitude de Heisenberg, qui la considère comme une limitation de ce que nous pouvons savoir sur la position et l'élan simultanés d'une particule. (comme si c'étaient des variables cachées).

Je crois que le théorème de Gödel n'a absolument aucune ressemblance avec cette mauvaise interprétation du principe d'incertitude de Heisenberg. L'interprétation préférée du théorème de Gödel est que chaque phrase de Peano Arithmetic est toujours vraie ou fausse, pas aléatoire, et cela devrait être prouvable dans une réflexion assez forte de Peano Arithmetic. Le théorème de Gödel ne nous empêche pas de connaître éventuellement la réponse à chaque question de mathématiques.

Le programme de Hilbert est bien vivant, car il semble que les ordinaux dénombrables inférieurs à $ \ Omega $ résolvent chaque question mathématique. Cela signifie que si une déclaration est insoluble dans ZFC, elle peut être réglée en ajoutant une chaîne appropriée d'axiomes de la forme "ZFC est cohérent", "ZFC + consis (ZFC) est cohérent" et ainsi de suite, itéré de manière transfinie jusqu'à un ordinal calculable dénombrable, ou de la même manière commençant par PA, ou PRA, ou arithmétique de Heyting (peut-être en parcourant l'échelle de la théorie en utilisant une taille de pas différente, comme l'ajout d'une induction transfinie à la limite de tous les ordinaux bien ordonnés dans la théorie)

Le théorème de Gödel n'établit pas l'indécidabilité, seulement l'indécidabilité par rapport à une axiomatisation fixe, et cette procédure produit un nouvel axiome qui doit être ajouté pour renforcer le système. C'est un ingrédient essentiel de l'analyse ordinale, et l'analyse ordinale n'est que le programme de Hilbert comme on l'appelle aujourd'hui. En général, tout le monde se trompe, sauf la poignée de personnes restantes dans l'école allemande d'analyse ordinale. Mais c'est une de ces choses qui peut être corrigée en criant assez fort.

Torkel Franzén

Il y a des livres sur le théorème de Gödel qui sont plus nuancés, mais qui, je pense, le comprennent toujours pas tout à fait juste. Greg P ​​dit à propos de Torkel Franzén:

Je pensais que le livre de Franzen évitait tout le «théorème de Goedel était la mort du programme Hilbert». En tout cas, il n'était pas si simpliste et à sa lecture, on dirait seulement que le programme a été «transformé» en ce sens que les gens ne se limiteront pas à un raisonnement finitaire. En ce qui concerne les choses dont vous parlez, le livre de John Stillwell "Roads to Infinity" est meilleur. Mais le livre de Franzen est bon pour des questions telles que la question de BCS (le théorème de Godel ressemble-t-il au principe d'incertitude).

Finitaire signifie calcul, et une preuve de cohérence a juste besoin d'un ordinal de complexité suffisante.

Greg P ​​a répondu:

Le problème est alors de savoir ce qu'est «finitaire». Je suppose que j'ai supposé que cela excluait des choses comme l'induction transfinie. Mais on dirait que vous appelez ça finitaire. Quel est donc un exemple de raisonnement non finitaire?

Lorsque l'ordinal n'est pas calculable, s'il est plus grand que l'ordinal Church-Kleene, alors il est infinitaire. Si vous utilisez l'ensemble de tous les réels, ou l'ensemble de puissance de $ \ Bbb Z $ comme un ensemble d'éléments discrets, c'est infinitaire. Les ordinaux qui peuvent être représentés sur un ordinateur sont finitaires, et c'est le point de vue que je pense Hilbert pousse dans le Grundlagen , mais il n'est pas traduit.

Je pense que Le jeu de la vie de Conway est un excellent exemple ici. Nous avons la "Théorie de tout" pour Game Of Life de Conway - les lois qui déterminent le comportement de chaque système. Ils sont extrêmement simples, juste quelques phrases! Ces simples "règles du jeu" sont analogues à une "théorie de tout" qui satisferait un physicien vivant dans l'univers Game Of Life.

D'un autre côté, vous pouvez construire un ordinateur complet de Turing dans Le jeu de la vie, ce qui signifie que vous pouvez formuler des questions sur le jeu de la vie qui n'ont pas de réponse mathématiquement prouvable. Les questions ressembleraient à quelque chose comme:

Voici une configuration compliquée de trillions de cellules. À partir de cette configuration, lancez Game of Life pendant un nombre infini d'étapes. La cellule à telle ou telle coordonnée sera-t-elle jamais activée?

Ces deux choses ne sont pas vraiment liées. Bien sûr, nous pouvons comprendre la théorie de tout "extrêmement simple pour le Game Of Life. En même temps, bien sûr, nous ne pouvons pas prouver mathématiquement la réponse à toutes les questions comme celle ci-dessus, sur le comportement asymptotique de configurations très complexes de points dans le Game Of Life.

De même, nous pouvons (un espère) trouver la ToE pour notre univers. Mais nous ne pourrons certainement pas prouver mathématiquement tous les théorèmes possibles sur le comportement asymptotique des choses suivant les lois de l'univers. Personne ne s'attendait à le faire de toute façon.

Les gens ont tendance à prendre le théorème de Gödel et à le plier, à l'étirer, à le déformer, à l'appliquer de manière erronée et en général à faire des choses qui, si vous les faisiez à un cafard au Texas, vous feraient arrêter pour cruauté envers les animaux. Mais il existe un livre, Franzén (2005), qui devrait suffire à inoculer tout adulte responsable contre un comportement aussi vilain. Quelques remarques faites par Franzén:

1. Le théorème de Gödel ne s'applique qu'aux systèmes axiomatiques formels.
2. Le théorème de Gödel ne s'applique qu'aux systèmes qui peuvent décrire "une certaine quantité d'arithmétique" (qui est défini d'une manière technique spécifique).
3. Le théorème de Gödel nous dit que toute théorie cohérente aura certaines déclarations indécidables. Cependant, ces affirmations ne présentent généralement aucun intérêt.
4. En plus de la notion de cohérence, il y en a une de cohérence relative .

Chacun de ces éléments suffit pour montrer que le théorème de Gödel n'a aucune pertinence pour l'entreprise de la physique. Prenons-les un à la fois.

1. Le théorème de Gödel ne s'applique qu'aux systèmes axiomatiques formels.

Presque aucune théorie physique utile et réelle n'a jamais été énoncée comme des systèmes axiomatiques formels (une exception étant Fleuriot, 2001). Aucune formalisation de ce type n'a jamais été utilisée pour faire de la physique réelle (c'est-à-dire le genre de chose que vous pourriez publier dans un journal). «Système axiomatique formel» signifie quelque chose de très différent pour un logicien de ce qu'un physicien pourrait imaginer. Cela signifie réduire toutes les déclarations possibles de la théorie à des chaînes de caractères, et tous les axiomes de la théorie à des règles de manipulation de ces chaînes, énoncées si explicitement qu'un ordinateur pourrait les vérifier. Ce type de formalisation n'est ni nécessaire ni suffisant pour rendre une théorie physique valide, utile ou intéressante.

2. Le théorème de Gödel ne s'applique qu'aux systèmes qui peuvent décrire "une certaine quantité d'arithmétique".

C'est plus une limitation que vous ne l'imaginez. Dans notre culture scientifique actuelle, nous allons à l'école et apprenons l'arithmétique, puis la géométrie et le système des nombres réels. Cela nous fait imaginer que les entiers sont un système mathématique simple et les réels comme un système plus compliqué construit au-dessus des entiers. Ce n'est rien de plus qu'un préjugé culturel. La théorie élémentaire des nombres réels est équivalente à la théorie élémentaire de la géométrie euclidienne. («Élémentaire» a une signification technique, équivalente à la logique du premier ordre.) La géométrie euclidienne élémentaire est incapable de décrire «une certaine quantité d'arithmétique» telle que définie dans le théorème de Gödel. Le théorème de Gödel ne s'applique donc pas à la théorie élémentaire des nombres réels, et en fait cette théorie s'est avérée cohérente et complète (Tarski, 1951). Il est fort possible qu'un ToE puisse être exprimé en langage géométrique, sans l'utilisation d'aucune arithmétique, ou dans le langage du système de nombres réels. Par exemple, le Principia est entièrement rédigé dans le langage des éléments d'Euclide, et il n'est pas non plus évident pour moi qu'il y ait une obstruction à énoncer des théories comme les équations de Maxwell ou la relativité générale dans le langage du système des nombres réels, en utilisant la logique élémentaire.

3. Le théorème de Gödel nous dit que toute théorie cohérente aura certaines déclarations indécidables. Cependant, ces déclarations ne sont généralement d'aucun intérêt.

Je pense que c'est assez explicite. Et je ne pense pas que la décidabilité soit une propriété nécessaire ou même particulièrement souhaitable pour une ToE; peu de théories intéressantes en mathématiques sont décidables, et pourtant la plupart des mathématiciens ne passent aucun temps à s’inquiéter à ce sujet.

4. En plus de la notion de cohérence, il y en a une de cohérence relative.

Il est possible de prouver qu'un système axiomatique est équiconsistant avec un autre, ce qui signifie que l'un est auto-cohérent si et seulement si l'autre l'est. Si nous avions un ToE, et que nous pourrions en faire un système axiomatique, et que c'était le type de système axiomatique auquel s'applique le théorème de Gödel, alors il serait probablement équiconsistant avec un autre système bien connu, comme une formulation d'analyse réelle . Tout doute sur la cohérence de la ToE équivaudrait alors à un doute sur la cohérence d'une analyse réelle - mais personne ne pense que l'analyse réelle manque de cohérence.

Enfin, pourquoi nous soucions-nous de la «cohérence»? J'utilise les citations effrayantes parce que nous parlons de physique. Quand je parle à un mathématicien de «l'auto-cohérence» d'une théorie, la réaction habituelle est un regard vide ou une correction condescendante. " Soi -" la cohérence est le seul type de cohérence dont un mathématicien se soucie jamais. Mais un physicien se soucie de plus que cela. Nous nous soucions de savoir si une théorie est cohérente avec expérience . Il n'y a aucune bonne raison de se soucier de savoir si une ToE ne peut pas être prouvée comme étant auto-cohérente, car il y a d'autres soucis qui sont beaucoup plus grands. La ToE pourrait être auto-cohérente, mais quelqu'un pourrait faire une expérience qui prouverait qu'elle était erronée.

J. Fleuriot, A Combination of Geometry Theorem Proving and Nonstandard Analysis with Application to Newton's Principia , 2001

T. Franzén, Théorème de Gödel: Un guide incomplet sur son utilisation et son abus , 2005

A. Tarski, Une méthode de décision pour l'algèbre élémentaire et la géométrie , 2e rév. ed., 1951 [Réimprimé dans ses Collected Papers , Vol. 3.]

Si une "théorie de tout" signifie une méthode de calcul pour décrire une situation, et qu'il existe de vraies formules arithmétiques (comme Gödel l'a montré) qui ne peuvent être prouvées, de vraies formules arithmétiques existent qui sont nécessaires pour décrire une situation qui ne peut être découverte par ordinateur, ou si découvert accidentellement, ne peut pas être prouvé vrai. Ainsi, par exemple, cette méthode de calcul pour être complète, aurait besoin de pouvoir prouver la validité des mathématiques et de la logique, sans utiliser les mathématiques et la logique, puisque les mathématiques et la logique sont séparées de la physique.

La définition ci-dessus "Le théorème de Gödel est une affirmation selon laquelle il est impossible de prédire le comportement temporel infini d'un programme informatique." est à la fois incorrecte et anachronique (au début, Gödel a rejeté la définition de Church-Turing de la «calculabilité», mais plus tard (c'est-à-dire en 1946) a finalement dû la découvrir par lui-même). De plus, Gödel n'était pas un informaticien même si sa logique leur serait utile plus tard. Le problème décrit ci-dessus est une application spécifique du théorème de Gödel appelé le «problème d'arrêt», mais son théorème est beaucoup plus large que cela et ses implications sont beaucoup plus grandes. Ce que dit le premier théorème de Gödel, c'est que:

Tout système axiomatique effectivement généré $ S $ ne peut pas être à la fois cohérent et complet. En particulier, pour tout système axiomatique généré efficacement $ S $ qui est cohérent qui prouve certaines conclusions de base vraies, il y a une vraie conclusion de base qui n'est pas prouvable dans ce système $ S $.

Pour tout système axiomatique formel effectivement généré $ S $, si $ S $ inclut une déclaration de sa propre cohérence, alors S est incohérent.

L'une des réponses ci-dessus a noté que:

1. Le théorème de Gödel ne s'applique qu'aux systèmes axiomatiques formels (ce qui est vrai)

Cependant, a poursuivi en suggérant que "Presque aucune théorie physique utile et réelle n'a jamais été déclarée comme des systèmes axiomatiques formels". Ceci est complètement faux étant donné la façon dont Gödel a défini les systèmes axiomatiques formels. Par systèmes axiomatiques formels, Gödel signifiait «calculable», ce qui signifie tout système capable de tirer des résultats (conclusions) à travers des fonctions (ou logique) calculables de manière algorithmique. La physique repose entièrement sur deux de ces systèmes: les mathématiques et la logique, ce qui signifie que la physique l'est aussi.

Est-ce vraiment suggéré que la physique n'est pas calculable? La physique fait des prédictions en utilisant les mathématiques et la logique, qui sont toutes deux des systèmes axiomatiques formels. La physique décrit également son comportement observé en utilisant les mêmes systèmes. La physique n'est rien de moins qu'un système axiomatique formel utilisé pour décrire la nature, bien qu'elle présuppose ces autres systèmes. Même si certains de ses axiomes sont observés ou mesurés, il en dérive des résultats, ou des lois les concernant par des fonctions calculables ($ E = MC ^ 2, F = MA $), donc Gödel s'applique absolument.

Cela signifie qu'une théorie du tout et en fait la physique doit soit être cohérente en interne, mais incomplète, ce qui signifie ne pas être en mesure de décrire toutes les situations possibles, ou elle doit être complète mais incohérente, ce qui signifie capable de décrire toutes les situations possibles, mais contenir des incohérences (auto- contradictions). Le fait que la physique exige que les mathématiques prouvent ses propres vérités montre que la physique est incomplète (puisqu'elle doit présupposer la cohérence des mathématiques en tant que système axiomatique) tout comme les mathématiques exigent de la logique pour prouver ses théorèmes (pour la même raison, les mathématiques ne peuvent pas prouver la logique, mais doit simplement le présupposer). Ceci est une preuve directe de l'affirmation de Gödel selon laquelle aucun système axiomatique ne peut prouver sa propre cohérence, et est donc incomplet. De plus, les gens ont également montré que le théorème d'incomplétude s'applique même à la mécanique quantique (qui est également cohérente, mais pas complète).

Toute «théorie de tout» ne peut être complète car elle ne peut pas expliquer les mathématiques, ni la logique, et il y aura un phénomène physique dont le comportement ne peut être calculé. Tout comme la physique elle-même, la physique d'une TOE, en plus de l'observation physique, nécessite des mathématiques et de la logique, montrant à quel point la physique en elle-même est incomplète (bien qu'elle soit cohérente).

Je ne suis pas d'accord avec votre déclaration du théorème de Gödel. Le théorème d'incomplétude de Gödel dit que dans tout langage formel suffisamment fort pour faire de l'arithmétique (c'est-à-dire que vous pouvez écrire les axiomes de Peano), il y aura toujours une déclaration vraie qui ne peut pas être prouvée. Ce que Gödel a fait pour prouver cela a été de construire quelque chose comme le paradoxe du menteur dans une telle langue:

Cette phrase n'est pas prouvable.

Je ne le fais pas. Je pense que cela a un effet sur l'existence ou non d'un ToE réalisable, mais je ne sais pas grand-chose sur ToE.

J'ai l'impression que le théorème d'incomplétude de Gödel est souvent mal compris. Il ne prétend pas si les déclarations sont vraies ou non, il dit simplement que nous ne pouvons pas prouver tout ce qui est vrai; il y a juste quelque chose.

Une façon de voir cela est en termes de sixième problème de Hilbert, c'est-à-dire axiomatiser la physique. Or, on peut dire que ce que Hilbert a compris de «axiomatiser» est réfuté par les résultats de Gödel (et de Gentzen). (Voir son deuxième problème.)

tl; dr; Tous les univers possibles sont d'échelle finie et sont «trop petits» pour pouvoir encoder toutes les conjectures possibles afin qu'ils ne puissent pas opérer sur eux et ne peuvent donc pas prouver leur véracité. Par conséquent, un modèle d'univers entièrement calculable ne peut pas violer le théorème de Gödel.

Des extraits à divers autres endroits dans les réponses:

Je pense que la réponse devient l'une des deux choses:

Option A: le théorème de Gödel n'empêche pas l'existence de moyens mécanistes pour déterminer la véracité d'une conjecture arbitraire. (Bien que je ne sois pas sûr que Gödel exclut cela, cela est exclu par la réduction au problème d'arrêt.)

Option B: ce théorème de Gödel implique que même avec une TOE valide et calculable, il n'y a pas de correspondance entre les conjectures arithmétiques et les états de l'univers de telle sorte qu'une propriété identifiable tiendra si les conjectures sont correctes. Cela pourrait être (et je suppose que c'est) vrai simplement parce que l'ensemble de toutes les conjectures possibles est plus grand (une infinité d'ordre supérieur ou des ordinaux plus grands) que l'ensemble de tous les états possibles d'univers qui peuvent exister sous la TOE.

En fait, le théorème d'incomplétude est le chemin vers une théorie de tout.

Le théorème dit en gros que vous avez besoin d'un supersystème pour prouver de manière cohérente et complète les axiomes d'un système.

Donc, ce que vous devez faire est d'envelopper nos mesures dans un système plus grand. Nous modélisons actuellement nos mesures de front.

Si nous pouvions les modéliser indirectement, afin qu'elles émergent de la théorie plutôt que de se supposer automatiquement, nous ferons une percée.

Le biocentrisme de Lanza est prometteur.