Loi des grands nombres

Cette loi stipule simplement que si vous répétez un essai plusieurs fois, le résultat a tendance à être la valeur attendue.Par exemple, si vous lancez un dé à 6 faces, vous pouvez obtenir l'un des six résultats 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mais la moyenne des six résultats est de 3,5, et si vous lancez le dé à 6 facesun million de fois et prenez la moyenne de tous, vous êtes extrêmement susceptible d'obtenir une moyenne d'environ 3,5.

Mais vous 1) pourriez ne pas obtenir un nombre proche de 3,5, en fait il y a une chance non nulle que vous obteniez une moyenne de, par exemple, 2 ou 1, et 2) ne pouvez toujours pas prédire quel résultat vous obtiendrezlorsque vous lancez un seul dé.

De la même manière, vous ne pourrez peut-être pas prédire quand un seul atome se désintégrera (c'est-à-dire lorsque vous lancez un seul dé), mais vous pouvez faire de très bonnes prédictions lorsque vous avez beaucoup d'atomes (c'est-à-dire l'équivalent de lancer lemourir des millions de fois).

À titre d'illustration, nous pouvons simuler la désintégration radioactive, en utilisant différents nombres de départ d'atomes.Nous obtenons quelque chose comme ceci:

Les deux graphiques montrent la proportion d'atomes restants en fonction du temps.Le panneau du bas utilise une échelle logarithmique pour mieux voir ce qui se passe.Chaque courbe montre une simulation avec une population de départ donnée (de 1 à 1000 atomes). Comme vous pouvez le voir, lorsque vous augmentez le nombre d'atomes, les courbes convergent rapidement vers la courbe limite (en bleu).Étant donné que le nombre d'atomes dans de nombreux problèmes est beaucoup plus grand que 1000, il est logique d'utiliser la courbe limite pour modéliser la population d'atomes.

La désintégration radioactive est entièrement aléatoire et il est impossible de prédire quand un atome spécifique se désintégrera. Cependant, à tout moment, chaque atome radioactif d'un échantillon a la même probabilité de décomposition. Par conséquent, le nombre d'événements de désintégration (ou réduction du nombre d'atomes) $ - dN $ dans un petit intervalle de temps $ dt $ est proportionnel au nombre d'atomes $ N $ .

Donc $ - \ frac {dN} {dt} = kN $ . La solution de cette équation différentielle est $ N (t) = N (0) e ^ {- kt} $ .

Donc, quand il y a un nombre suffisamment grand d'atomes dans un échantillon, leur nombre peut être traité comme continu et une équation différentielle peut être utilisée pour résoudre la quantité d'échantillon.

En d'autres termes, après une demi-vie, il ne reste pas toujours exactement la moitié des atomes en raison du caractère aléatoire du processus. Mais quand de nombreux atomes identiques se désintègrent, c'est une assez bonne approximation de dire que la moitié des atomes restent après une demi-vie (pour un nombre suffisamment grand d'atomes, il est peu probable que de grandes fluctuations se produisent).

En gros, un nombre aléatoire est toujours distribué de Poisson, si nous avons un "grand" nombre d'événements possibles, dont chacun est "rare" et indépendant les uns des autres. Cela peut être montré mathématiquement (recherchez le processus de Poisson). Comme cela s'applique au nombre de spams reçus par heure et à la désintégration d'un isotope radioactif, les deux sont distribués comme $$ Pr (X = k) = \ frac {\ lambda ^ k e ^ {- \ lambda}} {k!} $$ où $ \ lambda $ est la constante de taux (sans dimension) du processus de Poisson, qui est égale à la valeur moyenne, $ E [X] = \ lambda $ ainsi qu'à la variance, $ Var [X] = \ lambda $ . En physique, nous remplaçons généralement $ \ lambda \ par \ tilde \ lambda \ cdot t $ , où $ \ tilde \ lambda $ a la dimension $ s ^ {- 1} $ .

Pour simplifier l'argument ci-dessus, on pourrait dire que la loi $ e ^ {- \ tilde \ lambda t} $ des isotopes radioactifs est due à un effet moyen .

La raison sous-jacente est due à la nature probabiliste des événements quantiques.Au niveau quantique, après une durée donnée, chaque événement a une probabilité particulière de se produire.Tout comme lancer un dé, vous ne savez jamais quand vous obtiendrez un six, mais vous savez qu'il en sera bientôt un.Si vous lancez des centaines ou des milliers de fois, les calculs de probabilité vous donneront une bonne idée de ce que sera la distribution des six.

Il en va de même pour la radioactivité.Vous ne savez jamais quand un atome donné "roulera un six" et se désintégrera.Mais vous savez quelle sera la distribution des événements de désintégration dans un bloc d'atomes.

Vous voudrez peut-être encore savoir pourquoi les événements quantiques sont-ils probabilistes?Augh!C'est l'un des mystères les plus profonds de la vie.Les maths fonctionnent, c'est tout ce que nous pouvons dire avec certitude.

La raison sous-jacente à cela est la façon dont nous définissons le problème.

Si j'ai 100 particules radioactives individuelles identifiables, ma capacité à prédire si l'une d'entre elles se désintègre ou non n'est pas meilleure que le hasard. Cependant, dans les situations que vous décrivez, nous ne les traitons pas comme 100 particules radioactives identifiables individuelles. Toute décomposition est traitée de la même manière que toute autre décomposition.

C'est ici qu'intervient le théorème central de la limite. Parce que nous examinons la somme de toutes les particules qui se sont désintégrées, et que toute désintégration est la même que toute autre, le comportement commence à devenir plus prévisible. Nous ne savons pas quelles particules se désintégreront, mais nous pouvons être plus certains du nombre de particules qui se désintégreront à n'importe quel moment.

Obtenez un nombre suffisamment grand (disons quelques millions d'atomes), et vous constaterez que le nombre de désintégrations dans n'importe quelle période de temps est extrêmement prévisible. Ce n’est pas parce que la radioactivité est devenue plus prévisible, mais plutôt parce que vous choisissez de mesurer quelque chose de plus prévisible.

Parce qu'une valeur moyenne est unique ("déterministe"), contrairement à un seul résultat.

Je pense que ce qui vous trouble, c'est la façon dont nous utilisons des mots comme «aléatoire» et «imprévisible». Pensez à un dé à six faces. La matrice a une structure très spécifique. C'est très symétrique. Pour cette raison, nous pouvons dire avec beaucoup de certitude que si vous lancez ce dé 10 000 fois, environ 1 / 6ème du temps affichera un 2.

Le processus de désintégration radioactive pour des milliards d'atomes identiques est comme lancer des milliards de dés de structure uniforme. Chaque atome a la même structure et les mêmes propriétés. Nous pouvons donc dire avec beaucoup de certitude quelle fraction se détériorera avec le temps. Vous ne savez rien de ce que va faire un seul jet de dé, mais à cause de la structure du dé, vous pouvez dire quelque chose sur ce que vous attendez des résultats de dix mille lancers. Les atomes «font l'expérience de désintégration» (ou, dans un certain sens, «lancent le dé et décident en fonction de ce jet de se désintégrer ou non) des milliards de fois. Vous obtenez donc de beaux résultats uniformes, car de nombreuses expériences identiques sont effectuées .

Il peut sembler contradictoire que quelque chose d'aussi prévisible (taux global de décomposition) provienne de quelque chose où chaque action individuelle est "imprévisible". Mais la "prévisibilité" dans le cas du dé vient du fait que le dé lui-même n'est pas une chose aléatoire - il est très symétriquement structuré. De même, les propriétés d'un type particulier d'atome sont toujours les mêmes. C'est donc de là que vient la prévisibilité - elle reflète l'uniformité des propriétés de ce type particulier d'atome, tout comme le 1,2,3,4,5,6 uniformément distribué du dé est le reflet de la structure uniforme du dé.

Dans notre tête, nous pouvons mapper «aléatoire» et «imprévisible» au même endroit, mais c'est un peu trompeur.Pour beaucoup de choses où l'expérience individuelle a un résultat "aléatoire", il existe une structure ou propriété sous-jacente qui apparaît lorsque vous la répétez suffisamment.D'où la contradiction apparente d'obtenir des résultats hautement prévisibles à partir d'un processus "aléatoire".

C'est un principe courant en physique de faire émerger une quantité des propriétés collectives de la matière. Par exemple, considérons la «température», dans la théorie cinétique des gaz, la température est l'énergie cinétique moyenne de toutes les molécules de gaz. Mais notez maintenant que chaque gaz lui-même n'a pas de température.

Voici une autre façon de penser, imaginez aller à un aéroport par exemple. Si vous allez à l'aéroport et que vous vous dirigez vers des personnes au hasard et demandez "Pourquoi êtes-vous ici?" alors un pourcentage raisonnable de personnes sur le nombre total de personnes interrogées répondrait «voyager en avion». Mais il y a aussi des gens qui vont juste à l'aéroport pour voir partir leurs amis et leur famille. Notez que cette observation de la plupart des gens dans un aéroport pour voler en avion est le résultat direct du type d'endroit où se trouve un aéroport

Donc, ici, nous n'avons aucune idée que la particule va se désintégrer ou non dans un avenir immédiat. La façon dont nous «demandons» est de prendre des lectures expérimentales de la quantité de particules laissées de côté à la fin. Et, ces lectures dépendraient complètement du type de particule dont il s'agit (en faisant une analogie avec les aéroports)

J'espère que cela vous a aidé à mieux comprendre l'idée :) Veuillez laisser un commentaire s'il y avait une partie qui n'était pas claire