Question:
Question fondamentale sur l'analyse dimensionnelle
Jubilee
2011-03-28 02:21:58 UTC
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Dans l'analyse dimensionnelle, cela n'a pas de sens, par exemple, d'additionner ensemble deux nombres avec des unités différentes. Il n'a pas non plus de sens d'exponentielle deux nombres avec des unités différentes (ou d'ailleurs, avec des unités du tout) ensemble; ces expressions n'ont aucun sens:

$$ (5 \: \ mathrm {m}) ^ {7 \: \ mathrm {s}} $$

$$ (14 \ : \ mathrm {A}) ^ {3 \: \ mathrm {A}} $$

Maintenant ma question est clairement la suivante: pourquoi n'ont-ils pas de sens? Pourquoi ne fait que multiplier les nombres avec des unités et ne pas, par exemple, les exponentiellement ensemble? Je comprends qu'élever un nombre avec une unité à la puissance d'un autre nombre avec une unité est assez peu intuitif - cependant, ce n'est pas vraiment une bonne raison, n'est-ce pas?

Pouvez-vous confirmer que toutes les valeurs considérées sont lues (plutôt que complexes)?Il y a quelques discussions subtiles à avoir si les valeurs «complexes» sont autorisées.
Cinq réponses:
#1
+42
dmckee --- ex-moderator kitten
2011-03-28 02:52:40 UTC
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Un argument standard pour refuser la possibilité d'insérer des quantités dimensionnelles dans des fonctions transcendantales est l'expression suivante pour l'expansion de Taylor de par ex. $ \ exp (\ cdot) $:

$$ e ^ x = \ sum_n \ frac {x ^ {n}} {n!} = 1 + x + \ frac {x ^ 2} { 2} + \ dots \,. \ Tag1 $$

Ici, nous ajouterions des quantités de dimensions différentes, ce que vous avez déjà accepté n'a aucun sens.

OTOH, il y a un argument (papier paywall), que dans l'extension de Taylor où les dérivées sont prises "correctement", vous obtiendrez quelque chose comme ce qui suit pour une fonction $ f $:

\ begin {multiligne} f (x + \ delta x) = f (x) + \ delta x \ frac {df (x)} {dx} + \ frac {\ delta x ^ 2} 2 \ frac {d ^ 2f (x) } {dx ^ 2} + \ frac {\ delta x ^ 3} {3!} \ frac {d ^ 3f (x)} {dx ^ 3} + \ dots = \\ = f (x) + \ sum_ { n = 1} ^ \ infty \ frac {\ delta x ^ n} {n!} \ frac {d ^ nf (x)} {dx ^ n}, \ tag2 \ end {multline}

et les dimensions des dérivés sont celles de $ 1 / dx ^ n $, qui annulent celles des termes $ \ delta x ^ n $, rendant l'argument ci-dessus spécieux.

Juste un ajout trivial: une puissance générale $ x ^ y $ peut être écrite comme $ \ exp (y \ ln x) $ donc elle a le même problème si $ y $ ne parvient pas à être sans dimension. ... De la même manière, les exposants doivent toujours être Grassmann-even (pas "fermioniques"), et ainsi de suite.
J'ai reçu un vote négatif aujourd'hui, ce qui, je suppose, est raisonnable étant donné l'état misérable de cette ré[email protected], pourriez-vous au moins le refuser?Pour que quelque chose de réellement défendable puisse apparaître en haut.
@dmckee Je suis confus.Cette réponse est-elle fausse?Si oui, pourquoi ne pas le supprimer?J'espère que ce n'est pas impoli.
@dmckee Pourquoi ne pas présenter l'essentiel de l'article dans la réponse?L'erreur de l'expansion de Taylor est un fait assez intéressant (bien qu'elle présente aussi quelques problèmes).Je cherchais si quelqu'un avait déjà écrit une telle explication (et allait le faire moi-même sinon), mais puisque vous l'avez trouvée, il serait très utile que vous la mettiez dans votre réponse.
@Ruslan J'espérais qu'alancalvitti écrirait une réponse basée sur le papier car c'est lui qui l'a portée à mon attention.Puis le temps a passé et j'ai oublié cette affaire.Je * devrais * apporter les conclusions de l'article, mais je ne sais pas quand je pourrais y arriver.Je fais donc la réponse au wiki communautaire et quiconque s'en soucie suffisamment peut le faire.
@dmckee J'ai presque complètement changé votre réponse (en utilisant votre licence Community Wiki), veuillez la regarder.
@Ruslan et dmckee, n'est-ce pas une mauvaise idée de changer une réponse "presque complètement" après que 32 personnes ont voté dessus et qu'elle a été acceptée?
@pentane Généralement oui, mais comme Jubilee n'est pas revenu, il semble que cette réponse restera acceptée à moins que j'utilise les pouvoirs de modérateur pour la supprimer complètement.J'aurais fait cela si alancalcitti avait écrit une réponse basée sur le papier.
Je pense qu'il est malhonnête de changer complètement une réponse et de garder les 30 votes positifs que la communauté a attribués à la réponse précédente attachés à la nouvelle réponse.Il ne représente pas les opinions de la communauté.Pourquoi ne pas supprimer cette réponse et demander à Ruslan de la publier comme une nouvelle réponse pour que la communauté puisse voter à partir de zéro?Clairement, vous * pouvez * le supprimer, comme vous l'avez déjà fait une fois.
@pentane Si cela vous tient à cœur, pourquoi ne pas en faire une méta afin que nous puissions voir ce que la base d'utilisateurs en pense?En dehors de cela, la suppression / annulation de la suppression était un test lorsque j'ai remarqué que j'avais supposé que je ne pouvais pas supprimer la réponse à cause de l'acceptation (ce qui est le cas habituel) mais que j'avais ignoré mon statut de modérateur (ce qui devrait autorisermoi de supprimer quoi que ce soit).
Ne prenez rien de tout cela personnellement;Je pense que vous êtes l'une des personnes les plus cool de ce site.Mais en tant que mod, je suppose que je m'attends à ce que vous soyez un modèle.Si quelqu'un publie une question hautement votée dont il se rend compte qu'elle est fausse, il doit la supprimer et publier la bonne réponse.Ils ne doivent pas modifier la réponse déjà votée pour qu'elle soit «correcte».Ce n'est pas juste pour les gens qui n'ont pas eu la chance de lire ce sur quoi ils apposaient leur approbation.Ou ai-je tort à votre avis?
@dmckee: ce n'est pas un argument invalide et l'article [est disponible sur Dropbox d'un auteur] (http://www.cmatta.ca/journal-articles/).En fait, l'argument est un argument standard également utilisé pour traiter, par exemple$ \ exp (\ hat A) $ où $ \ hat A $ est une matrice: ** puisque nous n'avons pas de sens littéral à cette expression, nous * la définissons * par le développement de Taylor de la fonction pure **.Cette expansion de Taylor, il s'avère, viole l'analyse dimensionnelle et il n'y a pas de meilleure façon de le faire.Le contrefactuel de l'auteur «si l'argument * était * dimensionné, alors cette expansion * serait * serait OK» est un hareng rouge.
@ChrisDrost en fait oui, je pensais que le contre-argument est imparfait.Il dit qu'il est possible de définir la fonction de manière cohérente avec l'analyse dimensionnelle.Mais par incohérence de la définition de $ (1) $, celle cohérente ne serait en aucun cas une continuation analytique.Il peut même ne pas être continu à $ 0 $ (qui est à la fois dimensionnel et sans dimension).Mais dans ce cas, nous pourrions simplement appeler la fonction n'importe quoi, pas par exemple$ \ exp $ ou $ \ sin $ tel qu'il était à l'origine.Si vous avez envie d'améliorer la réponse, n'hésitez pas à le faire - c'est Community Wiki :)
-1
Le commentaire sur l'article Matta est incorrect.Les auteurs ne concluent pas que la valeur dimensionnée peut être utilisée avec des fonctions transcendantales.Ils critiquent simplement l'argument de l'expansion de Taylor de Wikipedia, sans nier la conclusion.Citant: «Si nous écrivons l'expansion formelle de Taylor, [l'équation] montre que, * si $ f (x) $ est dimensionné *, alors chaque terme de l'expansion a les mêmes dimensions que $ f (x) $, car ledimensions de $ (\ partial x ^ n / 1) \ times (1 / \ partial x ^ n) $ cancel. "(Je souligne le mien).
Poursuivant dans le même paragraphe: << La raison de la nécessité de n'inclure que des nombres réels sans dimension dans les arguments de la fonction transcendantale n'est pas due à la non-homogénéité dimensionnelle de l'expansion de Taylor, mais plutôt à l'absence de sens physique de l'inclusion des dimensions et des unités dansles arguments de ces fonctions. "
@MarkH Tout à fait.Je n'avais pas remarqué que du texte avait été ajouté.Je l'ai remis à quelque chose comme la dernière version que j'ai écrite avant de créer tout le wiki communautaire.
@dmckee Personnellement, je trouve l'argument d'expansion de Taylor convaincant pour expliquer pourquoi certaines fonctions ne peuvent pas prendre des valeurs dimensionnées comme * entrées *.L'argument de l'article montre seulement que les développements de Taylor sont valides pour les fonctions dont la * sortie * est sans dimension.La fonction doit encore être capable de prendre des entrées dimensionnées en premier lieu, ce que l'argument d'expansion de Taylor prétend montrer est impossible pour les fonctions transcendantales et autres.
#2
+23
Roan
2014-10-05 12:47:38 UTC
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(Je sais que je réponds à une vieille question, mais je pense que ce qui suit est une bonne façon d'expliquer aux jeunes étudiants.)

Vous n'avez pas besoin de connaître les extensions de Taylor. Rappelez-vous simplement la définition de l'exponentielle. Il satisfait l'équation différentielle

$$ \ frac {\ text dy} {\ text dx} = y (x) $$

Selon ceci, la dérivée de $ \ text e ^ x $ a la même dimension que $ \ text e ^ x $. Par conséquent, $ x $ doit être sans dimension, puisque la dérivée de $ \ text e ^ x $ a la dimension de $ \ text e ^ x $ divisée par $ x $. (Cette assertion vient de la définition du dérivé comme limite et elle est également suggérée par la notation $ \ text d / \ text d x $.)

Contrairement à l'argument d'extension taylor qui n'est pas correct, je pense que le vôtre est le bon, on pourrait le généraliser à d'autres fonctions comme $ \ sin (x), \ cos (x), \ log (x) $ satisfaisant $ \ dfrac {d ^ 2y (x)} {dx ^ 2} = - y (x), \ dfrac {dy (x)} {dx} = \ dfrac {1} {x} $ respectivement.
#3
+11
Manu
2011-03-28 02:28:14 UTC
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À cause de la façon dont une exponentielle est définie. Par une expression comme $ a ^ b $, nous voulons dire que la quantité $ a $ est multipliée $ b $ fois avec elle-même. Ainsi, une expression comme $ (5m) ^ {7s} $ signifierait $ 5m $ multiplié "7 secondes" fois avec lui-même, ce qui n'a pas de sens.

Une vision mathématiquement naïve de l'exponentiation, mais d'accord.
@MarkEichenlaub Pourriez-vous expliquer brièvement l'exponentiation comme vous l'entendez?
L'exponentiation @Marc C est un processus limitatif. C'est fondamentalement dans l'idée de l'analyse. À moins que votre exposant ne soit un entier, cela n'a pas de sens de dire que vous ne faites que multiplier une chose par elle-même un certain nombre de fois. Je ne sais pas pourquoi j'ai fait ce commentaire il y a six mois, cependant. Ce n'était pas très important pour cette question.
Comme l'a dit @Mark, c'est une manière très naïve de voir l'exponentation. La même logique (imparfaite) pourrait être utilisée pour dire que seuls les nombres naturels (0,1,2, ...) peuvent être des exposants. Même les MATRICES peuvent être des exposants, tout comme les clifs.
#4
+11
Roy Simpson
2011-03-28 03:24:54 UTC
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Un autre point à noter est que, strictement, on dit simplement que l'exposant est sans dimension, non qu'il ne contient pas d'expressions avec dimension. Ainsi, par exemple, nous pourrions avoir une expression comme $ X = a ^ {(E / E_0)} $ où l'exposant pour a est un rapport d'énergies.

Il y a plusieurs restrictions sur l'espace (parfois vu comme un espace vectoriel) de quantités dimensionnelles: par exemple, les unités sont élevées à des valeurs rationnelles, mais pas irrationnelles. Cela permet à un théorème: Le théorème de Buckingham $ \ Pi $ de se former.

#5
+2
user4552
2016-10-31 20:59:58 UTC
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La réponse du wiki de la communauté semble être devenue un mélange d'opinions peu concluant, suivi d'un long fil de commentaires difficile à interpréter. Le document auquel il est fait référence est Matta et al., http://pubs.acs.org/doi/pdf/10.1021/ed1000476. L'article de Matta prétend corriger "les idées fausses et les erreurs courantes", mais en fait une grande partie de leur propre raisonnement est spécieux.

Comme le souligne Matta, il n'y a aucune raison pour qu'une fonction transcendantale doive prendre une entrée sans unité et donner une sortie sans unité. Par exemple, soit f (t) = (1 mètre) exp [t / (1 seconde)]. C'est une fonction transcendantale parfaitement sensible, et elle prend une entrée sans unité et donne une sortie sans unité. Si vous prenez sa série de Taylor, vous constaterez que les coefficients de la série ont les bonnes unités pour que f puisse être défini, si vous le souhaitez, en fonction de sa série de Taylor.

Tout ce que vous pouvez dire dans ce sens, c'est que de nombreuses fonctions standard nécessitent des entrées sans unité et donnent des sorties sans unité si vous les définissez par leur série de Taylor. C'est en aucun cas un argument concluant dans tous les cas, à la fois parce que nous pouvons avoir des fonctions autres que celles standard (comme le f défini ci-dessus) et parce que toutes les fonctions n'ont pas besoin d'être ou même ne peuvent être définies en termes de séries de Taylor.

Un bon exemple est la fonction racine carrée. Nous ne voudrions pas le définir en termes de sa série de Taylor sur x = 0, car il n'a pas une telle série de Taylor. Si nous voulions être pervers, alors nous pourrions le définir en fonction de sa série de Taylor autour d'un point b> 0. Alors tout ce qui se passerait serait que si b avait des unités, les coefficients de la série de Taylor le seraient aussi.

Lorsqu'il s'agit de journaux et d'exposants, il n'est pas évident de faire des choses comme prendre des journaux de quantités unitaires. Par exemple, vous pouvez dire que ln (5 mètres) = ln (5) + ln (mètres).

Matta se plaint que le journal (mètres) n'a pas de sens, car à quelle puissance élevez-vous pour obtenir des mètres? Tout ce qu'ils ont vraiment prouvé ici, c'est que y n'est pas une quantité qui rentre dans l'algèbre des quantités unitaires. C'est un argument faible, car en introduisant des quantités unitaires, nous avons déjà étendu l'algèbre des réels. Par exemple, si nous avons trois unités de base (m, kg, s), alors l'algèbre des quantités unitaires est isomorphe au produit direct RxQxQxQ. Par exemple, 7 newtons seraient représentés par le 4-tuple (7,1,1, -2), où les deuxième à quatrième entrées sont les exposants des unités de base, et l'opération de groupe pour la multiplication est définie en termes de multiplication la première entrée et en ajoutant les autres. Il est donc parfaitement raisonnable d'imaginer étendre cette algèbre pour inclure des choses comme ln (mètres). Une objection plus convaincante serait que cette algèbre n'a pas de bonnes propriétés, par exemple, ce n'est pas un champ.

Matta souligne à juste titre qu'il existe de très bonnes alternatives à l'écriture de choses comme ln (5 mètres). Par exemple, on peut écrire ln [(5 mètres) / (1 mètre)], et c'est le style préféré du journal dans lequel l'article a été publié. Mais ce n’est qu’une question de style, pas de logique.



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 2.0 sous laquelle il est distribué.
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