Question:
Seriez-vous en apesanteur au centre de la Terre?
freeside
2011-01-03 20:28:09 UTC
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Si vous pouviez voyager au centre de la Terre (ou de n'importe quelle planète), y seriez-vous en apesanteur?

En supposant que nous ignorons la gravité due à d'autres corps dans le système planétaire ...?
@codeMonk, cela n'aurait d'importance que si vous considérez le type d'effets de marée du 2ème ordre de ces corps.
[Cette question] (http://physics.stackexchange.com/q/18446/5646) et [ma réponse] (http://physics.stackexchange.com/a/18452/5646) sont étroitement liées, même si je ne Je ne pense pas que cette question soit une copie exacte.
Cinq réponses:
#1
+30
John Alexiou
2011-01-03 20:33:59 UTC
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Correct. Si vous divisez la terre en coquilles sphériques, alors la gravité des coquilles "au-dessus" s'annule et vous ne sentez que les coquilles "en dessous" de vous. Lorsque vous êtes au milieu, il n'y a rien de "en dessous" de vous.

Référence de Wikipedia Gauss & Théorème du shell.

{J'utilise des termes simplistes, mais je ne veux pas pour briser les intégrales de surface et les équations de flux radial}


Edit: Bien que l'intérieur de la coque soit en apesanteur classiquement , il sera ont également une gravité non nulle relativiste . Au centre parfait, les forces peuvent s'équilibrer, produisant une solution instable , ce qui signifie qu'une petite perturbation de position entraînera des forces qui exagéreront cette perturbation.

Juste pour vous étendre, vous vous sentiriez en fait en apesanteur * n'importe où * à l'intérieur de la Terre, pas seulement au centre!
@Noldorin: en fait, vous ressentez la gravité de toute la masse terrestre à un rayon inférieur au vôtre (sinon vous commenceriez à flotter à chaque fois que vous entrez dans un sous-sol). Si je me souviens bien, l'accélération gravitationnelle à l'intérieur d'une sphère solide de densité uniforme est proportionnelle à $ r $.
@mbq - l'équilibre sera stable et non instable. Les forces tombent à zéro linéairement de la surface au centre de masse de la Terre. Il n'y aura pas de force de rappel forte pour les petits déplacements mais il y aura * une force * qui augmente linéairement vers 1g à la surface. Qu'est-ce qui vous fait dire que c'est "très instable"? Pour moi, cela implique que toute petite déviation entraînera une force éloignée du centre, ce qui est le contraire de ce qui se passerait.
@David: Damit, vous avez raison. Je pensais à une coquille sphérique. Dans ce cas, n'importe où dans la sphère, il n'y a pas de force nette.
@mbq: ce n'est pas du tout un équilibre instable. Au contraire, il sert d'oscillateur harmonique presque parfait. Cela peut être mieux vu en creusant un tunnel à travers la Terre et en y mettant une balle.
@JustJeff: est sûr que cela _semble_ que ce serait le cas, mais si vous faites le calcul, vous constatez que ce n'est pas le cas. En supposant que la coque soit parfaitement sphérique, vous ne ressentirez aucune force gravitationnelle à l'intérieur même si vous êtes proche de la surface intérieure. Fondamentalement, la raison est que la force du petit morceau de masse directement au-dessus de vous est équilibrée par la force du grand reste de la masse en dessous de vous. Pour plus de détails, regardez les articles Wikipédia liés dans la réponse de jalexiou. (Celui sur le théorème du shell est probablement un peu plus facile à suivre)
@Marek @inflector: Vous avez évidemment raison, désolé; panne de courant transitoire. Je supprimerai ce commentaire pour éviter toute confusion.
@Marek: pas vraiment un bon oscillateur harmonique pour les oscillations de grande amplitude, car le potentiel n'est pas quadratique. Bien sûr, pour les oscillations de petite amplitude, * tout * est comme un HO
La boule de matière homogène @Jeremy: est un oscillateur harmonique * parfait *. Essayez de faire le calcul ;-) La Terre est presque parfaite car elle n'est pas homogène et ce n'est pas une balle.
@David Zaslavsky: ok, point concédé. J'aurais dû réaliser que ce serait la même chose que pourquoi il n'y a pas de champ électrique à l'intérieur d'un générateur vandegraff, ce dont je me souviens avoir résolu les équations pour (devoirs, à l'époque), alors j'ai supprimé mon commentaire de bonehead précédent.
Tout le monde a arrêté de supprimer les commentaires! Cela rend le fil très difficile à suivre.
Une légère complication avec l'argument Shell est que tout suppose que la gravité newtonienne est valide ici - ce qui ne sera pas le cas. Ce sera une solution GR qui, si elle est similaire à Schwarzchild, introduira un petit terme $ 1 / r ^ 3 $ près du centre. Cela invalide le théorème de Shell, mais un argument de symétrie suggère toujours zéro au centre. Je pense que cela pourrait cependant introduire une légère instabilité. Alors ne percez pas les étoiles à neutrons en espérant vous reposer jusqu'à ce que cela soit clarifié.
@ja72 Pouvez-vous me montrer pourquoi je ne sens que les coquilles en dessous de moi, sans utiliser la loi de Gauss.Je ne comprends pas bien cela.
@AsifIqubal - La masse au-dessus de vous s'annule car deux particules diamétralement opposées sur la coque produisent une force de gravité égale et opposée.Même en s'éloignant du centre, il y aura plus de particules plus éloignées (de l'autre côté) et moins proches, ce qui annule toujours la gravité.
#2
+21
inflector
2011-01-04 02:30:25 UTC
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La façon la plus simple d'y penser est qu'il y a une masse tout autour de vous au centre de la Terre, donc vous obtenez une "attraction" gravitationnelle égale dans toutes les directions. Les pulls s'annulent donc vous n'obtenez aucune accélération.

Si l'on suppose une densité constante pour la Terre (ce qui n'est pas à proprement parler vrai mais c'est assez proche pour cette illustration) l'accélération gravitationnelle chute linéairement de 1g à la surface à 0 au centre de la Terre. Vous obtiendrez donc un zéro si vous montiez sur une échelle au centre de la Terre.

L'explication la plus compliquée est que l'accélération due à la gravité est la dérivée du potentiel gravitationnel. Ce potentiel est un minimum au centre de la Terre et croît quadratiquement jusqu'à la surface. Il continue ensuite d'augmenter à un rythme moindre. Puisque le centre exact est plat (comme le fond d'une vallée), la dérivée qui est une mesure du taux de changement est zéro et il n'y a pas d'accélération.

Fait intéressant, même si vous seriez en apesanteur là-bas, les effets de la gravité sont les plus élevés au centre de la Terre. Vous obtenez par exemple plus de dilatation du temps gravitationnel qu'en surface.

Je pense que cette réponse ajoute de manière significative à celle de Jalexiou parce qu'elle souligne qu'un simple argument de symétrie conduit à l'apesanteur au centre de la Terre. Par conséquent, les spécificités de la loi de la pesanteur (son inverse carré) ne sont pas vraiment importantes pour cette question.
De plus, puisque la Terre-Lune tourne autour d'un point à 4000 km du centre de la Terre, vous seriez en apesanteur dans un beignet autour du centre.
J'aimerais que vous développiez votre affirmation concernant l'augmentation de la dilatation du temps au centre.
@Fernando Le taux de votre temps propre par rapport à un observateur distant est d'environ 1 $ + V / c ^ 2 $ où $ V $ est le potentiel gravitationnel (qui est négatif). Comparé à quelqu'un loin de la Terre (mais à la même distance du Soleil), quelqu'un à la surface de la Terre perdrait environ deux secondes par siècle, et quelqu'un au centre, environ trois.
#3
+15
finbot
2011-02-28 18:39:56 UTC
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J'aime les réponses qui font appel à la symétrie, alors je réponds à celle-ci par une question: Si vous étiez au centre, dans quel sens tomberiez-vous? Cela nous indique que vous pourriez rester à flotter là-bas.

-1: cet argument oublie le fait que la terre tourne et tourne autour du soleil.
#4
+8
user82794
2015-06-07 03:58:57 UTC
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Dans ce qui suit, le terme «charge» fait référence soit à la masse, soit à la charge électrique et le terme «loi carrée inversée» se réfère respectivement à la loi gravitationnelle de Newton ou à la loi de Coulomb.


SECTION 1

A. La loi carrée inverse pour les sphères à densité de charge de surface uniforme

Proposition A: Soit une sphère de rayon $ \: \ rm {R} \: $ avec une densité de charge de surface uniforme $ \: \ rho_ {s} \: $ et intérieur vide. Alors:

(a1) la force exercée sur une charge ponctuelle $ \: \ xi \: $ à l'intérieur ou à la surface de la sphère, comme sur la figure 01, est zéro (annule). En termes de potentiels, la sphère entière (surface + intérieur) est une région équi-potentiel .

(a2) la force exercée sur une charge ponctuelle $ \: \ xi \ : $ à l'extérieur de la sphère, comme sur la figure 03, est égal à la force exercée par une particule ponctuelle au centre de la sphère avec une charge égale à sa charge de surface totale $ \: \ Xi_ {s} = \ rho_ {s} \ cdot4 \ pi {\ rm {R}} ^ {2} \: $. En termes de potentiels, le potentiel à l'extérieur de la sphère est égal à celui créé par sa charge surfacique totale $ \: \ Xi_ {s} \: $ concentrée sur son centre.

Figure01 Figure03 Figure03

Une conclusion intermédiaire dans la démonstration de cette proposition est que la grandeur de la force exercée par l'AKBMA "cup" de la sphère sur la charge ponctuelle $ \: \ xi \: $ de la figure 02 est proportionnel à $ \: \ sin ^ {2} \ omega \: $, où $ \: \ omega \: $ est l'angle selon lequel tout point du bord cyclique AMBA de la coupe observe le segment de droite $ \: b \ : $ (celle entre la charge $ \: \ xi \: $ et le centre de la sphère). Plus exactement, cette force est par magnitude:

\ begin {equation} \ vert \ mathbf {f} _ {AKBMA} \ vert = k \ cdot \ dfrac {\ Xi_ {s} \ cdot \ xi} {{\ rm {b}} ^ {2}} \ sin ^ {2} \ left (\ dfrac {\ omega} {2} \ right) = \ left (k \ cdot \ dfrac {4 \ pi \ rho_ { s} \ xi {\ rm {R}} ^ {2}} {{\ rm {b}} ^ {2}} \ right) \ sin ^ {2} \ left (\ dfrac {\ omega} {2} \ right) = constant \ cdot \ sin ^ {2} \ left (\ dfrac {\ omega} {2} \ right) \ tag {A-01} \ end {équation}

Mais cette force est annulée par la force exercée par la "coupe" CLDNC de la sphère qui est de grandeur égale, mais de direction opposée:

\ begin {equation} \ mathbf {f} _ { CLDNC} = \; - \; \ mathbf {f} _ {AKBMA} \ tag {A-02} \ end {equation}

Donc, si nous supprimons ces deux "tasses", la force ne fonctionne pas ' t changer. Mais si l'on agrandit la "cupule" AKBMA en déplaçant son bord cyclique AMBA vers la gauche, ce dernier coïncidera avec le bord cyclique CNDC de la cupule gauche CLDNC. Ensuite, retirer les deux coupes revient à supprimer toute la sphère en laissant la force nette inchangée, c'est-à-dire zéro.

Aussi sur la figure 02, nous avons

\ begin {équation} \ mathbf {f} _ {AMBDNCA} = \; \ mathbf {0} \ tag {A-03} \ end {équation}


B. La loi carrée inverse pour les sphères à densité de charge volumique uniforme

Proposition B: Soit une sphère de rayon $ \: \ rm {R} \: $ avec une densité de charge volumique uniforme $ \: \ rho_ {v} \: $. Alors:

(b1) la force exercée sur une charge ponctuelle $ \: \ xi \: $ à l'intérieur de la sphère située à une distance radiale $ \: \ rm {r} \: $ de son centre est égal, selon la proposition A , à celui exercé par la densité de charge volumique d'une sphère de rayon $ \: \ rm {r} \: $, $ \: \ Xi_ {v} \ left (\ rm {r} \ right) = \ rho_ {v} \ cdot \ dfrac {4} {3} \ pi {\ rm {r}} ^ {3} \: $, concentré sur le centre. L'amplitude de cette force est:

\ begin {équation} \ vert f_ {inside} \ vert = k \ cdot \ dfrac {\ Xi_ {v} \ left (\ rm {r} \ right) \ cdot \ xi} {{\ rm {r}} ^ {2}} = k \ cdot \ dfrac {\ rho_ {v} 4 \ pi \ xi {\ rm {r}} ^ {3}} {3 { \ rm {r}} ^ {2}} = constant \ cdot \ rm {r} \:, \ quad \ rm {r} \ le \ rm {R} \ tag {B-01} \ end {équation}

(b2) la force exercée sur une charge ponctuelle $ \: \ xi \: $ à l'extérieur de la sphère et à distance radiale $ \: \ rm {r} \: $ de son centre est égale , selon la Proposition A , à celle exercée par la densité de charge volumique d'une sphère de rayon $ \: \ rm {R} \: $, $ \: \ Xi_ {v} \ left (\ rm {R} \ right) = \ rho_ {v} \ cdot \ dfrac {4} {3} \ pi {\ rm {R}} ^ {3} \: $, concentré sur le centre. La magnitude de cette force est:

\ begin {equation} \ vert f_ {extérieur} \ vert = k \ cdot \ dfrac {\ Xi_ {v} \ left (\ rm {R} \ right) \ cdot \ xi} {{\ rm {r}} ^ {2}} = k \ cdot \ dfrac {\ rho_ {v} 4 \ pi \ xi {\ rm {R}} ^ {3}} {3 {\ rm {r}} ^ {2}} = constant \ cdot \ rm {r } ^ {- 2} \:, \ quad \ rm {r} > \ rm {R} \ tag {B-02} \ end {équation}


SECTION 2

Supposons que la Terre soit une sphère parfaite avec une densité de masse volumique uniforme. Alors:

Proposition C:

(c1) Un corps situé au centre de la Terre est en apesanteur.

(c2) Imaginez un tunnel de petite section traversant tout un diamètre, passant ainsi par le centre de la Terre. Un corps placé dans le tunnel à une distance radiale $ \: {\ rm {r}} _ {0} \: $ du centre exécutera une simple oscillation harmonique rectiligne avec le centre du centre du Terre, car dans le cas de la gravité, la force est toujours attractive au centre et selon l'équation (B-01) proportionnelle en grandeur à la distance de ce centre d'attraction.

#5
+5
Nick
2012-09-12 02:17:53 UTC
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Vous ne seriez pas en apesanteur au centre de la Terre. En d'autres termes, la Terre ne suit pas une géodésique. Laissez-moi vous expliquer.

La Terre n'est pas sphérique, c'est un sphéroïde aplati. L'accélération d'un corps non sphérique uniforme dans un champ gravitationnel sphérique ne suit pas une loi quadratique inverse. L'accélération du centre de masse n'est pas égale à l'accélération au centre de masse. Un accéléromètre fixé au centre de la Terre lirait environ 1,75 pgal (1,75e-14 m / $ \ mathrm {s ^ 2} $), pas zéro.

Que signifie "pgal" (Google n'a pas été utile)? Et si l'accélération est non nulle au centre de masse, en raison de la non-uniformité de la forme de la Terre, ai-je raison de supposer qu'il y a un point où l'accélération est nulle? À quelle distance du centre géométrique se trouve ce point et dans quelle direction?
Un objet lâché au géocentre accélérerait dans la direction opposée au Soleil.
Le point où l'accélération est nulle est d'environ 0,15 m plus proche du soleil. Si le Soleil et la Terre étaient stationnaires, ce point serait plus proche de 0,22 m du Soleil.
@KeithThompson "gal" est l'accélération en cm / s ^ 2, donc 'g' = 9,8 m / s ^ 2 = 980 gal. pgal est pico-gal. Il est peu utilisé en physique mais les géologues l'utilisent pour des mesures gravimétriques
@Nick: Donc, un objet libéré au géocentre tomberait * loin * du point d'accélération nulle? Cela semble contre-intuitif.
Oui, cela s'appelle [spaghettification] (http://en.wikipedia.org/wiki/Spaghettification). La Terre subit une tension radiale et une compression transversale, comme en témoigne son renflement de marée. Deux objets adjacents alignés avec le Soleil subiront une force de marée répulsive qui s'oppose et dépasse souvent leur force gravitationnelle mutuelle.
Oh, 15 cm plus près du Soleil! :-) :-) J'aurais besoin de plus de détails avant de croire cela, parce que cela ressemble à un pinard à moitié cuit. Si nous descendons à ce petit ordre de grandeur, n'y aurait-il pas d'autres choses dont nous devons tenir compte? (La relativité générale vient à l'esprit. Aussi, la Lune.)
Très intéressant.Et un peu embarrassant que j'aie répondu à une accélération nulle au centre et que je l'aurais toujours fait aussi: mais on voit instantanément que vous avez raison!


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 2.0 sous laquelle il est distribué.
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