Question:
La symétrie de jauge n'est pas une symétrie?
Revo
2011-08-23 07:48:21 UTC
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J'ai déjà lu dans l'un des articles de Seiberg quelque chose comme, cette symétrie de jauge n'est pas une symétrie mais une redondance dans notre description, en introduisant de faux degrés de liberté pour faciliter les calculs.

À ce sujet, j'ai quelques questions:

  1. Pourquoi s'appelle-t-on symétrie si ce n'est pas une symétrie? qu'en est-il du théorème de Noether dans ce cas? et les groupes de jauge U (1) ... etc?
  2. Cela signifie-t-il, en principe, que l'on peut jauger n'importe quelle théorie (simplement en introduisant les faux degrés de liberté appropriés)?
  3. Y a-t-il des analogues ou d'autres exemples à cette idée, d'introduire de faux degrés de liberté pour faciliter les calculs ou pour construire des interactions, en physique classique? Est-ce comme introduire la force fictive si l'on insiste pour utiliser la deuxième loi de Newton dans un cadre de référence non inertiel?
Comme il a été mentionné, je recommande juste de prêter plus d'attention à la phrase "Cela implique par exemple la conservation de la charge électrique indépendamment de l'équation du mouvement." dans la réponse de David Bar Moshe.
C'est une excellente question, mais les réponses sont trompeuses. Il y a toujours une partie globale de la symétrie de jauge qui est une symétrie réelle. Le théorème de Noether vous donne un courant qui est conservé grâce aux équations de mouvement, et il existe des quantités conservées associées aux transformations de frontière.
Alors que la symétrie de jauge est, bien sûr, classique et ne semble pas avoir de contenu quantique, la rupture de symétrie de jauge est purement quantique. Cette «correction» (ou cassure) est un phénomène quantique profond.
J'ai beaucoup appris de votre question et des réponses qui ont suivi, et je veux en savoir plus sur la symétrie de la jauge.Pouvez-vous partager avec moi le titre de l'article de Seiberg que vous avez indiqué dans votre question?
@RonMaimon - Les symétries globales ne font absolument pas partie des symétries de jauge.L'ensemble des symétries de jauge qui forment des redondances (et je pense que ce que les gens entendent réellement par symétrie de jauge) sont celles qui agissent trivialement à l'infini (dans un sens approprié), c'est-à-dire générées à l'infini par les fonctions $ \ alpha (x) \ à 0 $ comme$ x \ à \ infty $.Les symétries globales par contre correspondent à $ \ alpha (x) = $ constant qui ne satisfont pas la propriété ci-dessus.Ainsi, les symétries globales ne font pas partie de ce que l'on appelle vraiment la «symétrie de jauge».
@RonMaimon - Il existe d'autres symétries locales qui ne meurent pas à l'infini qui sont également des symétries physiques des théories de jauge (c'est-à-dire avoir une charge, loi de conservation / identité de quartier, etc.)
@Prahar J'ai lu cette déclaration plusieurs fois maintenant, mais je n'ai pas vraiment pu la comprendre.Connaissez-vous une bonne raison (ou une bonne référence qui explique) pourquoi seules les symétries de jauge qui agissent de manière triviale à l'infini sont de véritables redondances qui doivent être modifiées?
Cinq réponses:
#1
+72
genneth
2011-08-23 16:15:05 UTC
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Dans l'ordre:

  1. Parce que le terme "symétrie de jauge" est antérieur à QFT. Il a été inventé par Weyl, dans une tentative d'étendre la relativité générale. Dans la mise en place de GR, on pourrait partir de l'idée qu'on ne peut pas comparer des vecteurs tangents à différents points de l'espace-temps sans spécifier un transport / connexion parallèle; Weyl a essayé d'étendre cela pour inclure la taille, d'où le nom de «jauge». Dans le langage moderne, il a créé une théorie classique des champs d'une théorie $ \ mathbb {R} $ - jauge. Parce que $ \ mathbb {R} $ est localement identique à $ U (1) $, cela a donné les équations classiques correctes du mouvement pour l'électrodynamique (c'est-à-dire les équations de Maxwell). Comme nous le verrons ci-dessous, au niveau classique, il n'y a aucune différence entre la symétrie de jauge et les symétries "réelles".

  2. Oui. En fait, une astuce fréquemment utilisée consiste à introduire une telle symétrie pour faire face aux contraintes. Surtout dans des sujets comme la théorie de la matière condensée, où rien n'est assez spécial pour être considéré comme fondamental, on introduit souvent plus de degrés de liberté et on les «colle» ensuite avec des champs de jauge. En particulier, dans la théorie du modèle à couplage fort / Hubbard des supraconducteurs à $ T_c $ élevés, une façon de gérer la contrainte qu'il n'y a pas plus d'un électron par site (quel que soit le spin) est d'introduire des spinons (fermions) et des holons (bosons) et un champ de jauge non abélien, de telle sorte qu'en réalité la dynamique de basse énergie est confinée - reproduisant ainsi l'électron physique; mais on peut alors aller chercher des phases déconfinées et se demander si elles sont utiles. Il s'agit d'un tout autre article de synthèse en soi. (Termes Google: "patrick lee jauge théorie high tc".)

  3. Vous devez faire la distinction entre les forces et les champs / degrés de liberté. Les forces sont, au mieux, une illusion de toute façon. Cependant, les degrés de liberté comptent vraiment. En mécanique quantique, on peut être très précis sur la différence. Deux états $ \ left | a \ right \ rangle $ et $ \ left | b \ right \ rangle $ sont "symétriques" s'il y a un opérateur unitaire $ U $ s.t. $$ U \ left | a \ right \ rangle = \ left | b \ right \ rangle $$ et $$ \ left \ langle a | A | a \ right \ rangle = \ left \ langle b | A | b \ right \ rangle $$ où $ A $ est toute observable physique. Les symétries de "jauge" sont celles où nous décidons d'étiqueter le même état $ \ left | \ psi \ right \ rangle $ à la fois comme $ a $ et $ b $. En mécanique classique, les deux sont représentés de la même manière que les symétries (discrètes ou non) d'une variété symplectique. Ainsi, en mécanique classique, elles ne sont pas séparées, car les symétries réelles et de jauge conduisent aux mêmes équations de mouvement; en d'autres termes, dans un formalisme à intégrale de chemin, vous ne remarquez la différence qu'avec les «grandes» transformations, et localement l'action est la même. Un bon exemple de ceci est le paradoxe de Gibbs de travailler sur l'entropie du mélange de particules identiques - il faut introduire à la main un facteur de $ N! $ Pour éviter le sur-dénombrement - c'est parce qu'au niveau quantique, permuter deux particules est une symétrie de jauge. Cette symétrie ne fait aucune différence par rapport à la structure locale (en géométrie différentielle parlez) donc on ne peut pas l'observer classiquement.

Une chose générale - quand les gens disent "théorie de la jauge", ils veulent souvent dire une version beaucoup plus restreinte de ce que toute cette discussion a porté. Pour la plupart, ils signifient une théorie où la variable de configuration inclut une connexion sur une variété. Il s'agit d'une version très restreinte, mais qui couvre le type avec lequel les gens ont tendance à travailler, et c'est de là que viennent généralement des termes comme «symétrie locale». En tant que physicien de la matière condensée, j'ai tendance à penser à celles-ci comme des théories de boucles fermées (parce que l'holonomie autour d'une boucle est «invariante de jauge») ou si des fermions sont impliqués, des boucles ouvertes. Différentes phases sont alors des condensations de ces boucles, etc. (Pour les références, regardez "condensation string-net" sur Google.)

Enfin, la discussion serait erronée sans quelques mots sur la "rupture" de la symétrie de jauge . Comme pour la rupture de la symétrie réelle, il s'agit d'une fiction polie mais utile, qui fait vraiment référence au fait que l'état fondamental n'est pas le vide naïf. La clé est la permutation des limites - si (correctement) prend la limite du grand système en dernier (IR et UV), alors aucune rupture de symétrie ne peut se produire. Cependant, il est utile de mettre à la main le fait que différents états fondamentaux symétriques réels sont séparés dans différents secteurs de supersélection et fonctionnent donc avec un espace de Hilbert réduit d'un seul d'entre eux; pour les symétries de jauge, on peut à nouveau faire la même supersélection de navettage (avec précaution) avec fixation de jauge.

lorsque j'essaye de parcourir votre blog personnel, j'obtiens une "séquence de contrôle inconnue '\ Gam'"
Je n'ai pas demandé pourquoi on l'appelle symétrie de jauge. Je demandais comment si la symétrie de jauge n'est pas une symétrie, alors comment les groupes de jauge ne sont pas non plus un groupe de symétrie! C'est ce que je ne comprends pas
@Revo: dans la théorie classique des champs, ce sont des symétries. David Bar Moshe ci-dessous explique comment le théorème de Noether fonctionne dans ce cas. Ce n'est pas le cas dans une théorie quantique. Les gens ont gardé la terminologie même si maintenant nous comprenons mieux comment les choses fonctionnent.
#2
+48
David Bar Moshe
2011-08-23 17:59:29 UTC
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La (grande) différence entre une théorie de jauge et une théorie avec seulement une symétrie rigide est précisément exprimée par les théorèmes de Noether premier et deuxième:

Alors que dans le cas d'une symétrie rigide, les courants correspondant aux générateurs de groupe ne sont conservés que par suite des équations de mouvement, c'est ce qu'on appelle qu'ils sont conservés "sur coque". Dans le cas d'une symétrie de jauge continue, les lois de conservation deviennent valides "hors coque", c'est-à-dire indépendamment des équations de mouvement. Cela implique par exemple la conservation de la charge électrique quelle que soit l'équation du mouvement.

Maintenant, les équations de la loi de conservation peuvent être utilisées en principe pour réduire le nombre de champs.

Le La procédure est la suivante:

  1. Travailler sur le sous-espace des configurations de champs satisfaisant aux lois de conservation. Cependant, il y aura toujours des symétries de jauge résiduelles sur ce sous-espace. Pour vous en débarrasser:

  2. Sélectionnez une condition de fixation de jauge pour chaque loi de conservation.

Cela réduira le "nombre de composantes de champ" par deux pour chaque symétrie de jauge. La mise en œuvre de cette procédure est cependant très difficile, car elle nécessite en fait de résoudre les lois de conservation, et de plus, l'espace réduit des configurations de champ est très compliqué. raison pour laquelle cette procédure est rarement implémentée et d'autres techniques comme BRST sont utilisées.

Pouvez-vous donner une référence pour un tel calcul où une quantité physiquement conservée est dérivée des symétries de jauge locales? Je penserais que c'est impossible car après toutes les jauges peuvent être fixées et il n'y aurait pas de symétrie résiduelle mais rien de physique n'aurait changé non plus! J'aurais pensé que toutes les lois de conservation nécessitent la variation de l'action (par rapport aux paramètres de déformation) pour être évalués sur les solutions et donc la conservation est toujours sur la coquille. C'est ma compréhension de ce qui se passe même pour la théorie des champs de jauge non abélienne.
@Anirbit, Désolé pour la réponse tardive. La référence suivante discutant du deuxième théorème de Noether: http://www.nd.edu/~kbrading/Research/WhichSymmetryStudiesJuly01.pdf Considérons pour la précision une théorie des champs de Klein-Gordon jaugée. L'équation de mouvement du champ de jauge est $ \ partial _ {\ nu} F _ {\ mu \ nu} = J _ {\ mu} $, où $ J _ {\ mu} $ est le courant du champ de Klein-Gordon: $ i ( \ bar {\ phi} \ partial _ {\ mu} \ phi - \ phi \ partial _ {\ mu} \ bar {\ phi}) $.
Cont. Ainsi ce courant est conservé lorsque le champ de jauge satisfait son équation de mouvement, le champ de matière n'a pas besoin de satisfaire son équation de mouvement pour la conservation. Ainsi, on peut dire que la conservation actuelle nécessite uniquement que les champs de jauge soient sur coque. Mais ce n'est pas toute l'histoire; la composante temporelle des équations de mouvement du champ de jauge est l'identité de Bianchi (ou la loi de Gauss).
Cont. Le lagrangien ne contient pas de dérivée temporelle pour la composante temporelle du champ de jauge. Cette composante apparaît comme un multiplicateur de Lagrange multiplié par la loi de Gauss, donc son équation de mouvement n'est pas dynamique, elle décrit juste une surface de contrainte dans l'espace des phases exprimant la redondance des composantes du champ. Ainsi, la conservation de la composante temporelle du courant de Klein-Gordon, c'est-à-dire la charge (après intégration sur le volume 3) ne dépend d'aucune équation de mouvement des «vrais» degrés de liberté.
Cher @DavidBarMoshe: chose mineure. Il me semble que le courant de champ de Klein-Gordon devrait dépendre du potentiel de jauge, cf. [this] (http://physics.stackexchange.com/a/48368/2451) Réponse Phys.SE.
#3
+37
Xiao-Gang Wen
2012-05-30 10:00:22 UTC
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1) Pourquoi s'appelle-t-on une symétrie si ce n'est pas une symétrie? qu'en est-il du théorème de Noether dans ce cas? et les groupes de jauge U (1) ... etc?

La symétrie de jauge est une symétrie locale dans la théorie des champs CLASSIQUE. C'est peut-être pour cela que les gens appellent la symétrie de jauge une symétrie locale. Mais nous savons que notre monde est quantique.Dans les systèmes quantiques, la symétrie de jauge n'est pas une symétrie, dans le sens où la transformation de jauge ne change aucun état quantique et est une transformation ne rien faire. Le théorème de Noether est une notion de la théorie classique. La théorie de la jauge quantique (lorsqu'elle est décrite par l'espace physique de Hilbert et l'hamiltonien) n'a pas de théorème de Noether.

Puisque la symétrie de jauge n'est pas une symétrie, le groupe de jauge ne signifie pas trop, dans le sens où deux groupes de jauge différents peuvent parfois décrire la même théorie physique. Par exemple, la théorie de jauge $ Z_2 $ est équivalente à la théorie de jauge $ U (1) \ times U (1) $ Chern-Simons suivante:

$$ \ frac {K_ {IJ}} {4 \ pi} a_ {I, \ mu} \ partial_ \ nu a_ {J, \ lambda} \ epsilon ^ {\ mu \ nu \ lambda} $$ avec $$ K = \ left (\ begin {array} [cc] \\ 0& 2 \\ 2& 0 \\ \ end {array} \ right) $$ in (2 + 1) D.

Puisque la transformation de jauge est une transformation ne rien faire et que le groupe de jauge n'est pas physique, il est préférable de décrire la théorie de jauge sans utiliser le groupe de jauge et la transformation de jauge associée. Ceci a été réalisé grâce à la théorie des réseaux de chaînes. Bien que la théorie des réseaux de chaînes soit développée pour décrire l'ordre topologique, elle peut également être considérée comme une description de la théorie de jauge sans utiliser de groupe de jauge.

L'étude de l'ordre topologique (ou des enchevêtrements à longue portée) montre que un modèle bosonique a un état fondamental intriqué à longue portée, alors la théorie efficace à basse énergie doit être une sorte de théorie de jauge. Ainsi, la théorie de la jauge efficace à basse énergie est en fait le reflet des enchevêtrements à longue portée dans l'état fondamental.

Ainsi, en physique de la matière condensée, la théorie de la jauge n'est pas liée à la géométrie ou à la courbure. La théorie de la jauge est directement liée et est une conséquence des enchevêtrements à longue portée dans l'état fondamental. Alors peut-être que la théorie de la jauge dans notre vide est aussi un reflet direct des enchevêtrements à longue portée dans le vide.

2) Cela signifie-t-il, en principe, que on peut jauger n'importe quelle théorie (juste en introduisant les faux degrés de liberté appropriés)?

Oui, on peut réécrire n'importe quelle théorie comme une théorie de jauge de n'importe quel groupe de jauge. Cependant, une telle théorie de jauge est généralement dans la phase confinée et la théorie efficace à basse énergie n'est pas une théorie de jauge.

Voir également une discussion connexe: Comprendre le théorème d'Elitzur à partir de l'argument simple de Polyakov?

J'ai des questions stupides sur la réponse de Xiao-Gang Wen: 1) Le théorème de Noether est une notion de théorie classique. Si le théorème de Noether est classique, qu'en est-il de la charge? Dans la théorie quantique, la charge Noether est toujours conseillée, comme la charge électrique, n'est-ce pas? 2) dans le sens où la transformation de jauge ne change aucun état quantique Si l'état quantique est simplement changé par un facteur de phase, cela signifie-t-il que le changement d'état est noté? En mécanique quantique, différents potentiels de jauge A_ \ mu auront un effet physique tel que l'effet A_B. Y a-t-il une relation entre la transformation de jauge et l'effet A-B?
1) La charge électrique est conservée grâce à une véritable symétrie globale - ce n'est pas une jauge.
2) Il n'est pas vrai que différents $ A_ \ mu $ mesurés auront des effets différents. L'effet de base est le fait que différents chemins renferment différents montants de $ B $, qui sont entièrement indépendants de la jauge.
Mieux vaut écrire les questions sous forme de questions / messages personnels, plutôt que sous forme de réponse ici - ce n'est pas un forum (même si cela aurait des avantages).
@ Jook: Il existe trois types de théories de jauge: (1) La théorie de jauge classique où le champ de jauge et la matière chargée sont traités de manière classique. (2) fausse théorie de la jauge quantique où le champ de jauge est traité de manière classique et la matière chargée est traitée mécaniquement. (3) théorie de la jauge quantique réelle où le champ de jauge et la matière chargée sont traités mécaniquement. La plupart des articles et livres traitent de la fausse théorie de la jauge quantique, tout comme votre question / réponse semble-t-il. Ma réponse concerne la vraie théorie de la jauge quantique, qui est très différente.
Dans la théorie de la jauge quantique réelle, il n'y a pas de symétrie locale et il n'y a pas de symétrie globale. La conservation de la charge électrique a une origine topologique totalement différente. Il est "topologique" car dans la vraie théorie de la jauge quantique, il n'y a aucun moyen de rendre la "charge électrique" non conservée. Par exemple, dans la théorie de la jauge quantique du réseau (dans la phase de Coulomb), même si nous ajoutons des perturbations qui cassent la symétrie de la jauge du réseau, la charge électrique est toujours conservée.
@Xiao-GangWen: Pourquoi pensez-vous qu'une symétrie de jauge (qui va à l'identité dans la frontière) est une vraie symétrie en physique classique? À mon avis, dans les deux cas, il s'agit d'une véritable symétrie, mais seulement d'une redondance dans la description. Merci d'avance.
@drake: Je pense que je suis d'accord avec vous: la symétrie de jauge n'est pas une vraie symétrie, même en physique classique. Mais cela pourrait être considéré comme une symétrie (c'est-à-dire une symétrie locale) en physique classique. La symétrie de jauge ne peut pas être considérée comme une symétrie en physique quantique.
@Xiao-GangWen pourriez-vous décrire les termes de l'expression que vous avez écrit pour la théorie de jauge $ U (1) $ x $ U (1) $ Cherns-Simons? En particulier, je ne connais pas certains termes, à savoir $ a $ et la matrice $ K $.
@Xiao-GangWen si cette notation provient d'un article, pourriez-vous me diriger vers l'article?
@Airwoz: pour la théorie de jauge Cherns-Simons U (1) x U (1), voir arXiv: 0803.2300 Théorie mutuelle de Chern-Simons pour l'ordre topologique Z_2 Su-Peng Kou, Michael Levin, Xiao-Gang Wen. J'ai également écrit un livre qui explique que la symétrie de jauge n'est pas une symétrie: Théorie des champs quantiques des systèmes à plusieurs corps --- de l'origine du son à l'origine de la lumière et des électrons
#4
+4
Martin
2012-07-11 13:21:16 UTC
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Quand on parle de symétrie, il faut toujours indiquer: symétrie de quoi?

Si je mesure la longueur d'un bâton en pouces puis en centimètres, c'est-à-dire dans des jauges différentes, alors j'obtiens deux réponses différentes , bien que le bâton soit le même dans les deux cas. De même, lorsque je mesure la phase d'une onde sinusoïdale avec deux horloges qui ont des phases différentes, alors j'obtiens deux phases différentes, et les déphasages forment le groupe U (1). Dans le premier exemple, le bâton est invariant sous le changement de jauge de centimètres en pouces, mais cela n'a rien à voir avec une symétrie physique du bâton. Le théorème de Noether a à voir avec les symétries du lagrangien. Par exemple. si le lagrangien a une symétrie sphérique, alors le moment cinétique total est conservé. Le théorème de Noether s'applique évidemment aussi aux systèmes quantiques. Un changement de jauge n'est pas une transformation physique, c'est tout. En théorie quantique des champs, on commence par un lagrangien simple (par exemple Dirac lagrangien), puis on le change pour qu'il devienne invariant sous les changements de jauge locaux, c'est-à-dire que l'on change alors la dérivée de l'équation de Dirac en un D qui a un "champ de jauge" dedans: pour rendre ce son cryptique, on dit alors que "l'invariance de jauge locale a généré un champ de jauge", bien que ce ne soit pas vrai. L'imposition d'une invariance de jauge locale met simplement une contrainte sur le type de Lagrangiens qui peut être écrit. Cela revient à exiger qu'une fonction F (z) soit analytique dans le plan complexe, cela a aussi de graves conséquences.

#5
+3
José Ignacio Latorre
2015-04-03 22:49:37 UTC
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La symétrie de jauge impose des lois de conservation locales, appelées Identités de Ward dans les identités QED et Slavnov-Taylor pour les théories de jauge non abéliennes. Ces identités relient des amplitudes ou les limitent.

Un exemple de ces contraintes imposées par la symétrie de jauge est la transversalité de la polarisation du vide. Pour être plus précis, la symétrie de jauge ne permet pas un terme de masse pour un photon sur le lagrangien. Pourtant, cela pourrait se développer à travers des fluctuations quantiques. Cela ne se produit pas en raison de l'identité de Ward qui impose la transversalité de la polarisation du vide photonique. Un autre exemple est la relation entre le propagateur de fermions et le sommet de base dans QED. Il garantit l'absence de photons longitudinaux.

L'idée est donc que la symétrie de jauge impose une sorte de théorème de Noether, mais de manière beaucoup plus raffinée. Il apparaît au niveau des corrections quantiques et les limite. Ces relations sont, en outre, locales. Ils deviennent une sorte de version locale du théorème de Noether.



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