Let a quantum system with Hamiltonian $H$ be given. Suppose the system occupies a pure state $|\psi(t)\rangle$ determined by the Hamiltonian evolution. For any observable $\Omega$ we use the shorthand$$ \langle \Omega \rangle = \langle \psi(t)|\Omega|\psi(t)\rangle. $$One can show that (see eq. 3.72 in Griffiths QM)$$ \sigma_H\sigma_\Omega\geq\frac{\hbar}{2}\left|\frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\right|$$where $\sigma_H$ and $\sigma_\Omega$ are standard deviations$$ \sigma_H^2 = \langle H^2\rangle-\langle H\rangle^2, \qquad \sigma_\Omega^2 = \langle \Omega^2\rangle-\langle \Omega\rangle^2$$and angled brackets mean expectation in $|\psi(t)\rangle$. It follows that if we define$$ \Delta E = \sigma_H, \qquad \Delta t = \frac{\sigma_\Omega}{|d\langle\Omega\rangle/dt|}$$then we obtain the desired uncertainty relation$$ \Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$$It remains to interpret the quantity $\Delta t$. It tells you the approximate amount of time it takes for the expectation value of an observable to change by a standard deviation provided the system is in a pure state. To see this, note that if $\Delta t$ is small, then in a time $\Delta t$ we have$$ |\Delta\langle\Omega\rangle| =\left|\int_t^{t+\Delta t} \frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\,dt\right| \approx \left|\frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\Delta t\right| = \left|\frac{d\langle \Omega\rangle}{dt}\right|\Delta t = \sigma_\Omega$$

La relation d'incertitude temps-énergie (et d'autres relations d'incertitude temps-"observables" qui peuvent être construites) n'est (considérée) pas avoir la même signification que les relations d'incertitude canoniques . Signification des relations d'incertitude obtenues à partir de variables / observables dynamiques canoniques (au sens hamiltonien), comme la position et le momentum, puisque le paramètre de temps n'est pas un observable et aussi pas un opérateur dans les formalismes QM / QFT.

En fait, il existe différentes approches et interprétations de l'incertitude temps-énergie. Par exemple:

1. Dispersion d'énergie ($ \ Delta E $) d'un état et durée de vie ($ \ Delta t $ ou $ \ tau_s $) de l'état lui-même.

2. Échange d'énergie ($ \ Delta E $) et période ($ \ Delta t $) pendant laquelle cela peut se produire.

3. Mesure de l'énergie ($ \ Delta E $) et du temps ($ \ Delta t $) dont il a besoin pour la précision (bien que cela soit rigoureusement contesté, voir ci-dessous)

4. .. autres formulations similaires ou spécialisées de ce qui précède

Dans L. Mandelstam et I. Tamm, "La relation d'incertitude entre l'énergie et le temps en mécanique quantique non relativiste", J Phys (URSS ) 1945, ils montrent comment on peut dériver des relations d'incertitude observables dans le temps pour tout $ A $ observable avec

$$ \ Delta t = \ tau_A = \ frac {\ Delta A} {d \ left<A \ right> / dt} $$

L'incertitude de temps et d'énergie temps-énergie est largement utilisée dans la mécanique statistique (quantique / mixte) des systèmes car elle relie les demi-temps et les durées de vie des états et des transitions (devra trouver quelques références)

Une analyse de diverses formulations de relations d'incertitude temps-énergie peut être trouvée dans:

Jan Hilgevoord, Le principe d'incertitude pour l'énergie et le temps I

et

Jan Hilgevoord, Le principe d'incertitude pour l'énergie et le temps II

Résumé:

Le principe d'incertitude pour l'énergie et le temps ne sont pas canoniques relation d'incertitude car elle n'est pas basée / produite par des variables hamiltoniennes canoniques, elle exprime plutôt la dispersion et la durée de vie d'un état. Il existe une confusion entre un espace-temps cartésien $ x, t $ (utilisé comme paramètres) et une position et un moment canoniques ($ q, p $) qui sont des fonctions de ces paramètres (même si simples dans certains cas, comme $ q = x $)

La relation d'incertitude temps-énergie a une interprétation et une dérivation différentes de la relation d'incertitude pour les opérateurs qui ne font pas la navette. Essayez John Baez pour une explication, mais, en gros, $ \ delta t $ mesure le temps nécessaire pour que la valeur attendue d'un opérateur change sensiblement.

En plus de la réponse précise de Joshphysics, mentionnons une autre interprétation (celle à laquelle je pense que Ben Crowell fait référence dans son commentaire sur la même réponse).

Il existe une formule de la théorie des perturbations dépendant du temps qui donne la probabilité d'une transition induite d'un état initial $ \ lvert i \ rangle $ à un état final $ \ lvert f \ rangle $ avec différence d'énergie $ \ hbar \ omega_ {if} $. La transition est censée être induite par une perturbation harmonique: $$ V = \ cal Ve ^ {i \ omega t} + \ cal V ^ \ dagger e ^ {- i \ omega t}, $$ et la formule se lit, pour l'absorption ie passage à un niveau d'énergie supérieur: $$ P_ {i \ to f} (t; \ omega) = \ dfrac {\ lvert \ cal V _ {fi} \ rvert ^ 2} {\ hbar ^ 2} \ dfrac {\ sin ^ 2 (\ frac {\ omega _ {fi} - \ omega} {2} t)} {(\ frac {\ omega _ {fi} - \ omega} {2}) ^ 2}. $ $

En fonction de $ t $ pour $ \ omega $ fixe, la probabilité croît quadratiquement pour un petit $ t $, atteint son maximum à $ t $ donné par: $$ \ frac {\ lvert \ omega _ {fi} - \ omega \ rvert} {2} t = \ frac {\ pi} {2}, $$ soit: $$ t \ Delta E = \ frac {h} {2}, $$ où $$ \ Delta E = \ lvert E_f -E_i - \ hbar \ omega \ rvert. $$

Supposons que j'essaie de provoquer une transition entre deux niveaux d'énergie $ i, f $ d'un atome par envoyer sur lui un rayonnement à la fréquence $ \ omega $. Alors $ \ Delta t $ est l'ordre de la longueur requise de l'interaction pour avoir une probabilité cohérente d'une transition (notez que la formule ci-dessus pour $ P_ {i \ à f} $ a du sens à $ t = t _ {\ text {max}} $ only if $ | V _ {fi} | \ ll \ Delta E $).

Au lieu de fixer $ \ omega $, on pourrait imaginer fixer le temps d'interaction $ \ Delta t $. Encore une fois, la formule ci-dessus pour $ P_ {i \ à f} $ indique que nous avons une probabilité cohérente que la transition se produise si $ \ Delta E \ ll \ frac {h} {\ Delta t} $. Par conséquent, si nous voulons déterminer $ E_f -E_i $ assez précisément en faisant varier $ \ omega $ et voir si la transition se produit ou non, nous devons avoir un gros $ \ Delta t $.

Ici, je considère la transition entre deux niveaux distincts et je suppose que le spectre est discret, au sens physique, c'est-à-dire $ | E_f'-E_i- (E_f-E_i) | $ pour tout autre niveau $ f '$ est beaucoup plus grand que l'incertitude expérimentale sur $ \ hbar \ omega $. Si ce n'était pas le cas, nous devrions envisager la transition non pas vers un seul état final mais vers un groupe $ [f] $ d'états finaux. La bonne façon de faire est la règle d'or de Fermi, qui est discutée dans tout bon livre de mécanique quantique (voir par exemple Sakurai ou Griffiths, également pour la dérivation de ce qui précède) formule).

De bonnes réponses ont été données jusqu'à présent. Voyons-le sous un angle différent:

Pensez à deux életrons interagissant l'un avec l'autre très brièvement. Cette interaction a lieu au moyen d'un échange d'énergie, et disons qu'il s'agit d'un montant $ \ Delta E $. Le temps $ \ Delta T $ dans lequel cette énergie doit être échangée entre les deux électrons a une limite, et est dicté par le principe d'incertitude de Heisenberg. Plus la quantité d'énergie échangée est élevée, plus le temps nécessaire pour l'échanger est court. Ceci est pris en charge par la nature, les électrons font juste ce qu'ils ont à faire; ils échangent de l'énergie «selon les règles».

De même, un photon libre porte une quantité d'énergie $ E = hf $. Cela a aussi la signification du principe d'incertitude de Heisenberg si vous l'écrivez sous la forme $ E \ fois T = h $, puisque $ f = 1 / T $. Cette quantité d'énergie sera portée par le photon sur une distance d'une longueur d'onde, $ \ lambda = c / f $, dans un temps ni plus ni moins long que la période de son onde de probabilité. Ceci s'applique également lorsque nous interagissons avec la nature lors d'une mesure, comme cela a été mentionné par d'autres répondants. La nature tient à optimiser son action, elle ne gaspille pas. Une bonne question est: pourquoi $ h $ est-il aussi petit que ça? Qu'est-ce qui détermine sa valeur? Je n'ai connaissance d'aucune installation qui produira ce nombre, autre que mesuré expérimentalement.

The meaning is pretty much the same as for coordinate-momentum uncertainty. In addition to what joshphysics wrote, I'd like to stress that stationary solution of time-dependent Schroedinger equation is $\vert \psi \rangle \sim e^{i \frac{E}{\hbar}t}$. If you want to measure energy, you should somehow follow this wavefunction evolution in time. To measure energy definitely, you should measure it during infinite time. If the time of measurement is limited, the energy is not definite.

Technically it is more complicated as normally $\Delta t$ is not the measurement time, but the time of some process results of which you measure. However, the main idea is that simple.

Voici une autre interprétation de la relation $ \ Delta t \, \ Delta E \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ .

Vous avez un système classique décrit par un lagrangien $ L = \ dot {q} \, p - H $ , où $ H $ est le hamiltonien qui est censé être indépendant du temps. L'action du système est \ begin {equation} \ tag {1} S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} L \, dt = \ int_ {q_1} ^ {q_2} p \, dq - E \, \ Delta t = S_p + S_E. \ end {equation} Considérons maintenant une variation arbitraire du chemin classique. L'action serait alors modifiée du montant suivant (je suis maintenant sûr de ce qu'il faut faire de la première partie, qui devrait donner l'autre relation de Heisenberg: $ \ Delta q \; \ Delta p \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ ): \ begin {equation} \ tag {2} \ delta S_E = - \: \ delta E \ , \ Delta t. \ End {equation} Il est postulé que toute variation qui modifie l'action d'un montant inférieur à $ \ frac {\ hbar} {2} $ ne peut pas être observable . Ceci est similaire à la cellule minimale de l'espace des phases en mécanique statistique, pour laquelle $ \ Delta q _ {\ text {min}} \, \ Delta p _ {\ text {min}} \ sim h \ equiv 2 \ pi \ hbar $ . Ainsi, pour processus observables nous avons $ | \, \ delta S_E | \ ge \ frac {\ hbar} {2} $ , ce qui implique la relation \ begin {equation} \ tag {3} \ Delta t \; \ delta E \ ge \ frac {\ hbar} {2}. \ end {équation} Ici, $ \ Delta t \ equiv t_2 - t_1 $ est juste l'intervalle de temps qui définit la limite de l'action (1) ci-dessus. C'est un intervalle de temps "ordinaire" classique. $ \ delta E $ est la quantité de variation d'énergie que vous pourriez obtenir par rapport à la valeur classique, pendant cet intervalle de temps. Si $ \ Delta t $ est grand, alors $ \ delta E $ doit être faible (seulement de petites variations du mouvement classique sont autorisés).

Cette "dérivation" est très grossière et n'est certainement pas rigoureuse.

En plus de ce qui est mentionné dans le lien de @ Michael, l'une des meilleures façons de réfléchir est la suivante:

Plus vous passez de temps à mesurer votre expérience (donc l'écart type deviendra plus petit), le plus précisément vous mesurerez l'énergie de ce système.

P.SCette interprétation est largement utilisée dans les manuels russes.