Les chiffres significatifs sont un raccourci pour exprimer la précision avec laquelle vous connaissez un nombre. Par exemple, si un nombre a deux chiffres significatifs, vous connaissez sa valeur à approximativement $ 1 \% $ .

Je dis grosso modo, car cela dépend du nombre. Par exemple, si vous signalez $$ L = 89 \, \ text {cm} $$ alors cela implique à peu près que vous savez que c'est entre $ 88,5 $ et $ 89,5 $ cm. Autrement dit, vous connaissez sa valeur pour une partie de 89 $ $ , ce qui équivaut à peu près à 1 $ \% $ .

Cependant, la précision devient d'autant moins précise que le chiffre de tête est petit. Par exemple, pour $$ L = 34 \, \ text {cm} $$ vous ne le connaissez que pour une seule partie de 34 $ $ , soit environ 3 $ \% $ . Et dans le cas extrême $$ L = 11 \, \ text {cm} $$ vous ne le connaissez qu'en une seule partie dans 11 $ , soit environ 10 $ \% $ ! Donc, si le premier chiffre est un $ 1 $ , l'incertitude relative de votre quantité est en fait beaucoup plus élevée que le fait de compter naïvement les chiffres significatifs le suggère. En fait, c'est à peu près la même chose que ce à quoi vous vous attendriez si vous aviez un chiffre significatif de moins. Pour cette raison, 11 $ a "un" chiffre significatif.

Oui, cette règle est arbitraire et ne résout pas complètement le problème.(Maintenant, au lieu d'avoir une coupure nette entre $ L = 9 $ cm et $ L = 10 $ cm, vous avez une limite nette entre $ L = 19 $ cm et $ L = 20 $ cm.)Mais les chiffres significatifs sont un outil de comptabilité, pas quelque chose qui "existe" vraiment.Ils sont définis simplement pour être utiles pour des estimations rapides.En physique, du moins, lorsque nous commençons à ergoter sur ce niveau de détail, nous abandonnons complètement les chiffres significatifs et faisons une analyse des erreurs appropriée dès le début.

Ce n'est pas une règle réelle.Et comme certaines personnes le soulignent dans les commentaires, ce n'est même pas mentionné dans l'article de Wikipédia sur les chiffres significatifs.La règle s'applique à $ 0 $ , pas à $ 1 $ .

Contre-exemple simple: 10 $ $ .Les auteurs pourraient-ils affirmer que ce nombre ne comporte pas de chiffres significatifs?

Vous pouvez vérifier cela en effectuant une recherche sur "sig fig counter".Tous devraient vous dire que le nombre dans votre question a 4 chiffres significatifs.

Comme d'autres le notent, cette condition aux limites est clairement arbitraire.Mais cela doit être cohérent dans la littérature, sinon la confusion abonde lorsque vous travaillez avec d'autres.Je dirais donc d'ignorer la règle.

Tronquer des nombres avec une certaine précision est complètement arbitraire.Il n'y a aucune raison de ne pas le rendre plus arbitraire.

Il semble que quelqu'un n'a pas aimé le pas de précision entre 9,99 et 10,0, alors ils l'ont déplacé entre 19,99 et 20,0.

Dans tous les domaines où les résultats sont regroupés autour d'une puissance de 10, cela peut être bénéfique.

Il est temps d'expérimenter!

(Je commençais à voir les deux points de vue sur l'opportunité de supprimer le 1, et j'étais curieux de savoir s'il y avait un moyen objectif de résoudre le problème ... alors j'ai pensé que cela pourrait être une bonne opportunité pour une expérience. Science!)

Hypothèses: Les chiffres significatifs sont un moyen de signifier la précision sur un nombre - soit à partir de l'incertitude de mesure, soit à la suite de calculs sur une mesure. Si vous multipliez deux mesures ensemble, le résultat a le même nombre de chiffres significatifs que la plus petite des deux valeurs de départ (donc 3.8714 x 2.14 a trois chiffres au total, pas sept comme vous obtiendriez en le branchant dans une calculatrice.)

Cette partie «calcul» est ce dont je voudrais profiter. Parce que argumenter des chiffres significatifs sur un nombre dans le vide n'est que de la sémantique. Voir comment la précision se poursuit avec les opérations réelles donne une prédiction testable réelle. (En d'autres termes, cela devrait éliminer toute sorte de problème de «coupure». Si deux nombres ont X chiffres significatifs, leur multiplication doit avoir une précision d'environ X chiffres significatifs - et la validité de la façon dont vous déterminez ce qui est significatif chiffre doit se traduire en conséquence.)

Disposition expérimentale

Générez deux coefficients de haute précision conformes à Benford (je ne suis pas sûr que Benford compte dans cette expérience, mais j'ai pensé que je ne devrais pas omettre de facteurs de complication possibles - et si nous parlons de physique, nos mesures devraient être correspondent à la loi de Benford.) Effectuez une opération comme la multiplication sur eux. Ensuite, arrondissez ces mêmes coefficients à 4 chiffres après la virgule et effectuez la même multiplication sur ces valeurs arrondies. Enfin, vérifiez combien de chiffres les deux valeurs résultantes ont en commun.

Aka, vérifiez dans quelle mesure la version imprécise de «mesure» compare le calcul réel, caché et de haute précision.

Maintenant, dans un monde idéal, la valeur serait de 5 chiffres correspondants (significatifs). Cependant, comme nous vérifions simplement à l'aveugle si les chiffres correspondent, nous allons en avoir certains qui correspondent par pure chance.

Résultats expérimentaux pour la multiplication

  Chiffres correspondant là où le résultat ne commence pas par un
    ... et aucune valeur d'entrée ne commence par Un:
            Le 5e chiffre correspond à 89,7%
            6e matchs 21,4%
    ... et une valeur d'entrée commence par Un:
            Le 5e chiffre correspond à 53,7%
            6e matchs 5,57%
    ... et deux valeurs d'entrée commencent par Un:
            Le 5ème chiffre correspond à 85,2%
            6e matchs 11,1%
Correspondance des chiffres où le résultat commence par un:
    ... et aucune valeur d'entrée ne commence par Un:
            Le 5ème chiffre correspond à 99,9 +%
            6e matchs 37,8%
    ... et une valeur d'entrée commence par Un:
            Le 5ème chiffre correspond à 99,9 +%
            6e matchs 25,5%
    ... et deux valeurs d'entrée commencent par Un:
            Le 5e chiffre correspond à 95,0%
            6e matchs 13,9%
 

Conclusions pour la multiplication

Premièrement, en multipliant deux nombres et en terminant par un nombre commençant par 1, vous devriez probablement compter le 1 comme un chiffre significatif. En d'autres termes, si vous multipliez «4,245» x «3,743» et que vous obtenez «15 .889035», vous devriez probablement le laisser à «15 .89». Si vous ajoutez un chiffre supplémentaire et que vous l'appelez «15 .889», vous avez 38% de chances que ce dernier chiffre soit correct ... ce qui n'est probablement pas assez élevé pour être défendable.

Mais multiplier là où l'une des entrées commence par 1, et cela devient étrange. En multipliant «1,2513» x «5,8353», et de façon réaliste, vous n’avez pas cinq chiffres significatifs dans votre résultat. D'après l'expérience, vous avez quatre chiffres ... et 54% de chances d'avoir raison avec cette cinquième valeur. Eh bien, si une chance de 38% dans la situation précédente (multipliant deux nombres et se terminant par une valeur commençant par `` 1 '') d'obtenir un chiffre significatif `` supplémentaire '' n'est pas acceptable, alors il est probablement juste de dire que la chance de 54% dans cette situation est probablement trop faible pour justifier l’inclusion du 5e chiffre.

Vous pourriez donc être tenté de dire "Ne considérez pas un 1 non significatif comme une entrée d'un calcul" ... sauf que multiplier 1. ##### x 1. #### (deux nombres commençant par 1) vous donne une précision de 85,2% sur ce cinquième chiffre - ce qui est à peu près le même niveau de précision où aucun des trois nombres commence par un 1. Donc si 8,83 x 8,85 doit avoir trois chiffres significatifs, il en va de même pour 1,83 x 1,85.

F Conclusion finale: C'est en fait un problème trompeusement difficile de trouver une bonne heuristique. D'autant qu'il y a une assez grande différence entre une mesure de 1.045 qui est introduite dans l ' entrée d'un calcul, et la 1.045 qui sort comme résultat d'un calcul. Ce qui explique pourquoi il existe plusieurs méthodes pour gérer les 1 principaux. (Si j'étais forcé de choisir un heuristique, ce serait: ne comptez pas le premier '1' sur les mesures effectuées, mais comptez-le pour la sortie de tout calculs .)

Garder une trace des "chiffres significatifs" est une heuristique pour indiquer approximativement la précision d'un nombre. Ce n'est pas un substitut à une véritable analyse d'incertitude, mais c'est assez bon pour de nombreuses personnes et pour de nombreuses raisons. Lorsque certaines personnes se heurtent aux limites des chiffres significatifs, elles ont suffisamment d'expérience (ou des collègues avec suffisamment d'expérience) pour passer à une analyse d'erreur plus sérieuse. Lorsque d'autres personnes se heurtent à ces mêmes limitations, elles essaient de «corriger» l'approche des chiffres significatifs en créant de nouvelles règles ad hoc comme celle-ci.

Supposons que vous et moi analysions indépendamment le même ensemble de données. Chacun de nous a mesuré la même quantité à deux chiffres significatifs: votre résultat est de 0,48 et mon résultat de 0,52. Étant donné qu'une analyse saine des chiffres significatifs conserve un chiffre le moins significatif dont la valeur n'est que principalement digne de confiance, il n'est pas clair si nos mesures concordent ou non; ce niveau de désaccord est intéressant et nous pourrions finir par discuter de la façon de transformer cela en une expérience à trois chiffres significatifs, au cas où nous aurions tous les deux correctement mesuré une valeur "vraie" plus proche de 0,498.

Imaginez maintenant un univers différent où nous faisons tous les deux la même expérience, mais une définition différente quelque part signifie que nos "résultats" sont numériquement différents d'un facteur numérique exact de vingt. Votre mesure dans cet univers est de 9,6 et la mienne est de 10,4. Il y a toujours une tension intéressante entre ces chiffres. Mais si je compte le premier 1 comme l'un de mes deux chiffres significatifs, je devrais signaler mon résultat comme "10", ce qui suggère qu'il est également susceptible d'être "9" ou "11." Si vous signalez 9.6 et je signale 10, la tension entre nos résultats est beaucoup moins évidente. Il apparaît également que mon résultat est dix fois moins précis que le vôtre. Je ne devrais pas pouvoir changer la précision d'un nombre en le doublant ou en le divisant par deux.

C'est la logique pour garder une trace d'un "chiffre de garde" si un nombre tombe dans la partie inférieure d'une décennie logarithmique. (Le groupe de données de particules garde un "chiffre de garde" si les deux premiers chiffres significatifs sont compris entre 10 et 35.) Mais pour expliquer cela en disant que "un 1 non significatif n'est pas un chiffre significatif", comme le fait votre source: c'est terriblement déroutant. Je trouverais un livre écrit par quelqu'un d'autre et je lisais l'auteur que vous citez ici avec une certaine prudence.

@supercat me rappelle dans un commentaire qu'il existe une convention compacte pour représenter les incertitudes réelles qui est devenue populaire dans la littérature au cours des deux dernières décennies: on écrit l'incertitude dans les derniers chiffres entre parenthèses juste après le nombre. Par exemple, on pourrait écrire $ 12,34 (56) $ comme raccourci pour 12,34 $ \ pm 0,56 $ . Cette approche est intéressante dans le domaine des mesures de précision, où il existe de nombreux chiffres significatifs. Par exemple, la référence actuelle du groupe de données de particules indique la masse d'électrons (en unités d'énergie) comme suit: $ 0,510 \ 998 \ 950 \ 00 (15) \, \ mathrm {MeV} / c ^ 2 $ , qui est beaucoup plus facile à écrire et à analyser que $ 0,510 \ 998 \ 950 \ 00 \, \ mathrm {MeV} / c ^ 2 \ pm 0,000 \ 000 \ 000 \ 15 \, \ mathrm {MeV} / c ^ 2 $ .

Je n'ai pas beaucoup vu cette approche dans les documents destinés aux étudiants introductifs, et je peux penser à quelques raisons pour lesquelles. Les «règles des chiffres significatifs» sont, pour la plupart des gens, la première fois qu'ils apprennent que l'arithmétique est quelque chose que vous pouvez faire avec des nombres qui ne sont pas exacts. De nombreux étudiants ne sont pas préparés intellectuellement à cette idée: ils sont prêts à écrire 0,5 au lieu de 1/2, mais ils sont vagues sur l'opportunité de décimaliser 1/7 par 0,1 ou par 0,1428571429, car ce dernier est ainsi calculatrice. De plus, pour utiliser la notation entre parenthèses, vous devez déjà avoir une certaine compréhension des chiffres significatifs. Pour combiner mes exemples ci-dessus, la plupart des gens qui ne sont pas dans le secteur des mesures de précision (où comprendre l'incertitude peut être plus difficile que comprendre la valeur centrale) écriraient 12,3 (6) plutôt que de garder les chiffres de garde en 12,34 (56). Mais si vous multipliez cette valeur par vingt, elle deviendrait 246,8 (11,2). Que ce soit pour l'enregistrer ainsi, ou comme 247 (11), ou comme 250 $ \ pm10 $ , finit par soulever les mêmes problèmes concernant les chiffres de garde qui ont commencé cette question. Alors que l'ambiguïté est déplacée de la valeur centrale à l'incertitude, de sorte que les enjeux d'une erreur de jugement sont moindres, l'expliquer à une personne qui est nouvelle dans l'idée d'une imprécision prudente est un défi de taille.