Oui, les logarithmes donnent toujours des nombres sans dimension, mais non, ce n'est pas physique de prendre le logarithme de quoi que ce soit avec des unités.

Au lieu de cela, il y a toujours une unité standard. Pour votre exemple, la norme est le kilomètre. Puis 20 km, sous la transformation log, devient $ \ ln (20 \; \ textrm {km} \; / \; \ textrm {km} \;) $. De même, le log de 10 cm, avec cette échelle est
$$ \ ln (10 \; \ textrm {cm} \; / 10 \; \ textrm {km} \;) = \ ln (10 \ fois 10 ^ {- 3} / 10 ^ {3}) = \ ln (10 ^ {- 5}) $$

Voici une réponse "mathématique" mais hautement non physique .

En utilisant $ km \ cdot km = (km) ^ 2 $ etc, nous pouvons définir formellement l'arithmétique des nombres avec des unités sur une algèbre graduée $ A = \ oplus_ {k \ in \ mathbb {N}} V_k $ où $ V_k = \ otimes ^ k V $ où $ V $ est traité comme un - espace vectoriel réel dimensionnel ($ V_0 $ est le scalaire $ \ mathbb {R} $). Le choix de l'unité est le choix d'un vecteur de base en $ V $. $ V_0 $ sont les scalaires purs. Donc pour chaque choix d'un vecteur de base $ v \ dans V $, nous obtenons le mappage de la séquence infinie $ \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \ à A $ réalisant cette séquence via $ (r_k) \ à [r_k] _v = \ somme r_k (\ otimes ^ kv) $. Nous définissons la multiplication $ V_k \ times V_ {k '} \ en V_ {k + k'} $ comme d'habitude.

(Nous ne définirons pas les unités de puissance négatives pour l'instant. Mais elles peuvent probablement être incorporées de manière analogue.)

Alors formellement nous pouvons définir $ \ exp: A \ à A $ par l'expansion des séries de puissance

$$ \ exp a = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {k!} a ^ k $$

où $ a ^ k $ est défini au sens de l'algèbre graduée. Et là, nous avons défini ce que cela signifie pour $ \ exp $ de quelque chose avec des unités. Le changement de base de $ \ exp $ est géré par $ y ^ a = \ exp (\ ln (y) \ cdot a) $. Et de même, le changement d'unités est naturellement incorporé, en utilisant le fait qu'un changement de base sur un espace vectoriel réel unidimensionnel n'est qu'une multiplication par des scalaires. En d'autres termes, nous avons $ [r_k] _v = [r'_k] _ {v '} $ où $ r_k = s ^ kr'_k $ quand $ v = s v' $.

En utilisant cela, nous pouvons formellement inverser l'expansion de la série de puissance pour trouver ce que $ \ ln $ "devrait" être. Fixez une unité $ v $. Prenez $ (r_k) \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} $ et considérez $ [r_k] _v \ dans A $. Pour trouver $ \ ln [r_k] _v $, nous devons trouver $ (s_k) \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} $ tel que

$$ \ begin {align} r_0 & = \ exp s_0 \\ r_1 & = e ^ {s_0} s_1 \\ r_2 & = e ^ {s_0} (s_2 + \ frac {1} {2} s_1 ^ 2) \\ & \ vdots \ end { align} $$

(Nous pouvons également utiliser l'expansion de Taylor de $ \ ln $ autour de $ 1 \ in \ mathbb {R} $ pour obtenir l'expression pour $ (s_k) $ en termes de $ (r_k) $.)

Malheureusement, même dans ce cadre, $ \ ln 1 km $ n'est toujours pas bien défini: dans l'image de $ \ exp $, $ r_0 $ est forcément positif. Formellement, il est possible de définir $ \ ln (1 km) = \ ln (1 + (1 km - 1)) $ comme la série de puissance plutôt divergente

$$ \ ln (1 m) = \ somme \ frac {(- 1) ^ {k + 1}} {k} (-1 + 1 (m)) ^ k = \ somme \ frac {-1} {k} + \ somme 1 (m) - \ sum \ frac {k-1} {2} (m ^ 2) + \ cdots $$

Maintenant un peu de plaisir avec des séries divergentes: notez que $ \ sum 1 = \ sum (-1) ^ k (-1) ^ k = \ sum (-1) ^ kx ^ k | _ {- 1} $ est l'expansion de la série de Taylor de $ 1 / x $ autour de $ x_0 = 1 $ évaluée à $ -1 $, donc le second terme est nominalement $ \ lim_ {x \ to 0+} 1 / x $. Donc même si nous régularisons:

$$ \ lim _ {\ delta \ to 0+} \ ln (\ delta + 1m) = \ lim _ {\ delta \ to 0+} \ ln \ delta + \ delta ^ {- 1} m + \ cdots $$

est encore très divergente.

(Observez, cependant, que $ \ ln (1 + 1km) = \ sum (-1) ^ {j + 1} / j (km) ^ j $ est bien défini comme une puissance formelle série.)

Alors, quel était l'intérêt de ce post? Ce message est principalement adressé à la conclusion que $ \ log m $ est un "nombre sans dimension" comme indiqué dans l'énoncé de la question. Alors que dans l'arithmétique habituelle, on nous apprend que nous ne pouvons pas ajouter de pommes aux oranges, c'est seulement si nous prenons le point de vue d'essayer d'ajouter un objet dans le module $ \ mathbb {Z} $ - de pommes à un objet séparé dans le $ \ mathbb {Z} $ - module d'oranges. Si vous êtes prêt à travailler dans le module de somme directe des pommes $ \ oplus $ oranges, vous pouvez en effet ajouter des pommes aux oranges.

Maintenant, implicitement en affirmant que $ \ log $ a du sens pour les objets avec des unités, (et de même que $ \ exp $ a du sens pour les objets d'unités), il faut déjà travailler dans un système, celui du graded $ \ mathbb {R} $ - algèbre, dans laquelle vous pouvez ajouter un scalaire (un objet sans unités) à un vecteur (un objet avec des unités). Donc, en affirmant que vous voulez donner un sens à $ \ log km $, vous ne pouvez pas en conclure que $ 3 $ et $ \ log m $ doivent avoir les mêmes unités.

C'est une question amusante. J'ai du mal à bien maîtriser la transformation qui est $ ln $ donc j'écrirai les choses en termes d'exposants.

$$ \ mathrm {value} = \ ln (10 \ \ mathrm {km}) $$$$ e ^ {\ mathrm {value}} = 10 \ \ mathrm {km} $$

Le nombre $ e $ est, bien entendu, sans unité. Si j'élève un nombre à une puissance, quelles sont les unités autorisées de la puissance? Si j'écris $ x ^ 2 $, j'ai une hypothèse intuitive que $ 2 $ n'a pas d'unités, car c'est juste un compte utilisé pour exprimer $ x \ times x = x ^ 2 $.

Ainsi, Je me suis convaincu de la réponse de Carl, et j'aurais besoin d'un logarithme pour avoir une référence pour avoir un sens. Par exemple:

$$ e ^ {\ mathrm {value}} = \ frac {10 \ \ mathrm {km}} {1 \ \ mathrm {km}} $$

L'alternative précédente de $ e $ élevée à une puissance égalant une quantité physique avec des unités réelles semble être l'exemple parfait de quelque chose qui n'a pas de sens.

tracés log

J'ai une autre question qui découle de votre question et je vais essayer d'y répondre ici. Je me souviens spécifiquement d'avoir pris la dérivée des parcelles log-log et linéaire-log dans les classes d'ingénierie. Nous avions une justification à cela, mais cela semblerait absurde en surface, alors allons-y. Voici un exemple de tracé log-log. Je vais montrer le graphique et ensuite proposer une équation de la ligne représentée.

^{Source de l'image: Wikipédia}

Je vais commencer à écrire des choses à partir de la forme de base $ y = mx + b $, puis changer les choses si nécessaire. Puisque j'utilise une constante arbitraire, je la fudge chaque fois que nécessaire.

$$ \ log (p) = a \ log (m) + b = a (\ log (m) + b ') = a \ log (b' 'm) = \ log (b' '^ am ^ a) = \ log \ bigg (\ frac {p_0} {m_0 ^ a} m ^ a \ bigg) $$$$ p = p_0 \ gauche (\ frac {m} {m_0} \ droite) ^ a $$

Comme par magie, une forme reconnaissable apparaît. Observer une relation linéaire dans un graphique log-log signifie vraiment que vous observez un ajustement de puissance, pas un ajustement linéaire. Un élève peut encore demander «mais qu'est-ce que a et b», ce qui est un peu plus difficile. Premièrement, je n'ai fait aucune manipulation de $ a $, donc vous pouvez prendre le sens directement à partir de la forme finale, c'est-à-dire que c'est un exposant et donc sans unité. Pour b:

$$ b = ab '= a \ log (b' ') = a \ log \ bigg (\ frac {p_0 ^ {1 / a}} {m_0} \ bigg) = \ log \ left (\ frac {p_0} {m_0 ^ a} \ right) $$

Cela montre que $ b $ est également sans unité, mais cela donne également une interprétation à $ p_0 $, qui est le valeur y de référence à une valeur x de référence ($ m_0 $). Je vais passer au tracé linéaire ou à une échelle semi-logarithmique.

^{Source de l'image: J. Exp. Med. 103 , 653 (1956).}

Je vais désigner $ f $ pour "fraction survivante" et $ d $ pour la dose. L'équation d'une régression qui apparaît linéaire sur le graphique ci-dessus sera la suivante.

$$ \ log (f) = ad + b $$$$ f = e ^ {ad + b} = e ^ be ^ {ad} = f_0 e ^ {ad} $$

Il est important de noter ici que $ b $ a toujours eu des unités douteuses, tout comme dans le cas du log-log, mais ce n'est pas le cas. t vraiment important car une forme plus utile sort naturellement des mathématiques. La valeur $ f_0 $ serait la valeur de base (100% dans ce cas) à $ d = 0 $.

Résumé: en supposant une relation linéaire dans les graphiques logarithmiques, on suppose vraiment que la relation réelle suit non linéaire , et les unités fonctionneront une fois que vous aurez fait les mathématiques, mais l'interprétation des valeurs peut être non triviale.

Ce n'est ni une quantité physique ni un nombre sans dimension, mais quelque chose qui peut simplement être décrit comme logarithme d'une quantité physique . Il n'y a pas beaucoup de problème avec ceci: soit $ \ mathcal {P} $ l'espace des quantités physiques. Nous pouvons couvrir cet espace à la manière d'un espace vectoriel par des unités physiques de base (par exemple SI) comme décrit par Willie Wong. Ce qui est important: nous savons que nous ne pouvons pas effectuer certaines opérations dans cet espace, par exemple nous ne pouvons pas ajouter une masse à un courant électrique. L'ajout de quantités $ a, b \ in \ mathcal {P} $ n'est défini que si $ a $ et $ b $ ont la même dimension, c'est-à-dire si $ \ existe x \ in \ mathbb {R} $ tel que $ a = xb $. La multiplication est toujours définie et donne toujours à nouveau une quantité physique. (Ceci définit également les puissances des quantités physiques, mais pas ce qu'est, disons, l'exponentielle de l'une d'elles.)
Nous savons alors que $ \ mathbb {R} \ subset \ mathcal {P} $, puisque pour, disons , deux longueurs $ a, b \ in \ mathcal {P} $ le rapport $ \ tfrac {a} b $ sera un nombre sans dimension. Pour ces quantités sans dimension, le logarithme est défini dès le début.

Il est assez simple d'étendre cela à un espace complet $ \ ln \! \! \ Mathcal {P} \ supset \ mathbb {R} $: pour $ a \ in \ mathbb {R} \ subset \ mathcal {P} $, le logarithme est défini comme d'habitude. Pour $ a \ not \ in \ mathbb {R} $, nous définissons le logarithme de manière axiomatique: nous avons d'abord besoin de $ \ ln \! \! \ Mathcal {P} $ pour être une addition WRT de groupe abélien, voire un espace vectoriel sur $ \ mathbb {R} $. Ensuite, pour $ \ lambda \ in \ mathbb {R} $, $$ \ begin {align} \ ln (a ^ \ lambda) &: = \ lambda \ ln (a) \ end {align} $$ et pour $ b \ in \ mathcal {P} $, $$ \ ln (ba): = \ ln (b) + \ ln (a). $$ A condition que $ a $ et $ b $ aient la même dimension et puissent donc être ajoutés, cela nous indique déjà le logarithme de la somme: on sait qu'alors $ \ existe x \ in \ mathbb {R} \ colon b = ax $ , en d'autres termes, nous pouvons écrire n'importe quelle somme de quantités physiques comme un produit de l'une d'elles avec un nombre réel, de sorte que le logarithme de n'importe quelle longueur cuit jusqu'au logarithme d'une longueur particulière, plus le logarithme du rapport entre les longueurs .

Pour revenir à votre question: quel est le logarithme d'un kilomètre? La réponse: $ \ ln (1 \: \ mathrm {km}) = \ ln (\ mathrm {km}) $. Si vous considérez les kilomètres comme l'unité de base de la longueur, c'est tout ce dont vous avez besoin. Si vous préférez les mètres ou les pouces ou autre, vous obtenez juste $$ \ ln (1 \: \ mathrm {km}) = \ ln (1000 \: \ mathrm {m}) = \ ln (1000) + \ ln (\ mathrm {m}) $$$$ \ ln (1 \: \ mathrm {km}) = \ ln (\ tfrac {1 \: \ mathrm {km}} {1 "} \: \ mathrm {"}) = \ ln (\ tfrac {1 \: \ mathrm {km}} {1 "}) + \ ln (\ mathrm {"}) \ approx 10,58 + \ ln (\ mathrm {"}) $$ Ici, $ \ ln (\ mathrm {km}), \ ln (\ mathrm {m}), \ ln (\ mathrm {"}) $ ne sont pas des nombres sans dimension. Considérez-les plutôt comme des éléments d'un espace vectoriel dont les nombres réels sont un sous-espace.

La meilleure façon d'y penser est qu'un nombre comme 1 km se compose d'un 1 sans dimension multiplié par une unité, km. Lorsque vous prenez le journal d'un produit, vous obtenez la somme des journaux, donc log (1 km) est le même que log (1) + log (km). Cela montre que le log de 1 km n'est ni une quantité sans dimension ni une quantité dimensionnelle. S'il était sans dimension, alors il serait exprimable sans référence à aucun système d'unités. S'il était dimensionnel, alors il changerait par multiplication lorsque le système d'unités était modifié. Ce n'est ni l'une ni l'autre de ces choses.

Ce qui se rapproche le plus des "unités logarithmes" sont les décibels, qui sont 10 fois le logarithme en base 10 d'un rapport. Pour mettre une quantité physique dans une unité de type décibel, vous devez d'abord la diviser par une quantité de référence. Par exemple, l'unité "décibel" pour la puissance est "dBm", qui est le rapport de la puissance en question sur 1 mW, exprimé en dB:

$ $ P _ {\ rm dBm} = 10 \ {\ rm log_ {10}} \ gauche (\ frac {P _ {\ rm mW}} {1 \ \ rm mW} \ right) $$

La fonction logarithmique est facilement utilisée pour la transformation d'une échelle à une autre. En fait, une échelle / unité est une mesure et donc sans dimension, mais pour interpréter au sens physique, nous nous approprions une unité par rapport à un standard absolu pour que la valeur ait un sens et soit reproductible, répondant ainsi à votre question. Log (x) est sans unité, car toutes les opérations mathématiques effectuées sont intrinsèquement sans unité. Pour une meilleure compréhension, je voudrais donner un exemple imaginaire: "Quand je vais courir avec mon ami, la distance entre nous est proportionnelle à la vitesse de mon ami at "Dans cet exemple les unités de part et d'autre de l'égalité sont entièrement arbitraires en fonction de la formulation de la situation, elle pourrait bien être sans dimension - m / s ou disons météo puis celsius - m / s!

J'espère que cela vous aidera.

Pour une vue alternative sur le potentiel "sans dimension" de la fonction logarithme, lié à sa relation avec les intégrales et les dérivées des fonctions de puissance, et sa proximité avec la fonction $ 0 $ -th-power. Si l'on calcule une primitive de $ t ^ p $: $$ \ int t ^ p dt \ ,, $$ avec $ p \ neq -1 $, on obtient, sur des intervalles bien définis:
$$ \ frac {1} {p +1} \ times t ^ {p + 1} \,. $$

À chaque fois, on gagne une autre dimension (ou une puissance à l'unité respective) .Lorsque vous vous différenciez, vous perdez des dimensions jusqu'à degré 0 $ pour les puissances positives. Pour les puissances négatives, cela revient à $ - \ infty $: pour $ p \ neq 0 $,

$$ \ frac {d (t ^ p)} {dt} = pt ^ {p- 1} $$

Il se passe définitivement quelque chose autour de la puissance zéro.

Il est d'usage de définir une puissance zéro d'un scalaire non nul $ \ alpha $ à $ 1 $ ($ \ alpha ^ 0 = 1 $). Si vous corrigez maintenant un $ t $ non nul, le coefficient de variation pour une puissance réelle $ p $ proche de $ 0 $ va comme: $$ \ frac {e ^ {p \ log t} - t ^ 0} {p -0} \ approx \ frac {1 + p \ log t - 1} {p} $$ car $ p $ tend vers $ 0 $. D'où le comportement $ \ log t $ .

D'une certaine manière, une constante est un comportement limite du logarithme, ou inversement. Par conséquent, le logarithme devrait être en quelque sorte sans unité.

Il existe des concepts similaires dans l'analyse statistique des données expérimentales. Lorsque vous essayez de trouver une relation entre les variables $ y $ et $ t $ et que vous ne trouvez pas de relation linéaire, certains essaient de modifier au moins une variable avec une fonction puissance. J. Tukey ("inventeur" du box-plot et de la FFT) a proposé l'échelle de transformation, ou échelle de puissances, en regardant $ y = a + bt ^ {p} $. Une solution plus satisfaisante réside dans la transformée de Box-Cox: si $ \ hat {t} $ désigne la moyenne géométrique de $ t $, et $ \ alpha $ un certain décalage, alors: $$ t_ \ alpha ^ {(p)} = \ frac {(t- \ alpha) ^ p - 1} {p \ hat {t} ^ {p-1}} $$ où vous voyez qu'on prend bien soin de garder la même "unité" entre $ t_ \ alpha ^ {(p)} $ et $ t $. Devine quoi? Pour $ p = 0 $, ils définissent $ t_ \ alpha ^ {(0)} = \ hat {t} \ log (t + \ alpha) $.

En un mot, la $ 0 $ -th-power d'une constante est $ 1 $, la $ 0 $ -th-power d'une variable est son $ \ log $. Somewhow.

Références:

• J. W. Tukey, Analyse exploratoire des données. Addison-Wesley, 1977.
• G. E. P. Box et D. R. Cox, Une analyse des transformations, Journal de la Royal Statistical Society. Série B, 1964.
• Associé à Stackexchange: Successeur moderne de l'analyse exploratoire des données par Tukey?

Premièrement, la question est un peu mal posée. Dans un graphique journal, par exemple, les quantités sont (log X) km , et non log (X km) . Nous devons définir la question plus avant: que signifie «prendre un logarithme»? Le logarithme, ou une telle fonction, est défini pour prendre un nombre réel ou complexe et donner un nouveau nombre basé sur une certaine règle. Lui donner autre chose qu'un chiffre, c'est un peu comme demander "Combien pèse le chiffre trois?"; cela n'a pas de sens car la fonction qui donne le poids d'un objet n'accepte pas les nombres.

(Considérez les équations physiques qui impliquent des quantités physiques comme arguments de logarithmes, de fonctions trigonométriques ou d'exposants. L'expérience nous le dit que, dans les équations issues de la nature, les unités de quantités dans les exposants et les fonctions se combinent toujours pour donner un nombre sans dimension. Toute expression significative doit provenir du raisonnement physique, vous devrez donc également arriver à cette question à partir du raisonnement physique.)

Comme Ben Cromwell l'a noté dans son commentaire, je suis sûr qu'il existe des moyens de représenter les unités en mathématiques.

Mes deux centimes, c'est qu'il s'agit d'un mélange classique de méta-niveaux.

Un kilomètre est une mesure sur le sol de la terre. Lorsque nous faisons une carte, un méta-niveau à la mesure réelle, la longueur sur la carte est peut-être de 1 cm par dix kilomètres, et nous prenons cela dans notre foulée sans nous demander comment cela est possible. C'est possible parce que nous avons très clairement le concept de la carte étant un méta niveau.

Supposons que nous fassions la carte à une échelle logarithmique (des cartes amusantes du globe existent en fonction des fonctions). Cela signifierait que ce qui serait marqué comme un kilomètre sur cette carte deviendra logarithmiquement plus grand à mesure que les données réelles (non méta) augmentent en kilomètres. La raison pour laquelle on utilise des méta-niveaux pour des quantités qui ont des unités est pour plus de commodité, projeter le globe sur un plan est pratique pour ce que nous voulons faire, bien que cela déforme la taille relative du kilomètre sur la carte, que notre "intuition" veut constante .

Quand nous traitons des exposants et des logarithmes dans les équations physiques, nous faisons très attention à y avoir des nombres sans dimension. C'est en fait l'un des outils, les unités d'équilibrage. Etudiez la distribution de Boltzmann à titre d'exemple.

D'une manière ou d'une autre, les unités de physique continuent de dérouter les gens. Un moyen simple de sortir de cette confusion est de se rendre compte que la traduction de la physique en mathématiques nécessite de transformer le problème en un problème traitant uniquement de nombres purs (dits sans dimension).

Cela peut être simple. Considérez un simple pendule. Dériver la période de temps pour balancer le bob $ t_ {swing} $ nous oblige à lancer le problème sous forme mathématique. Cela nous oblige à travailler non pas avec la période de temps elle-même, mais avec une quantité sans dimension comme le rapport entre $ t_ {swing} $ et un autre temps $ t_0 $. En conséquence, nous pouvons dériver des équations comme $$ \ frac {t_ {swing}} {t_0} \ = \ f (..) $$ Dans le cas d'un pendule, le problème contient un paramètre de temps sous la forme de la racine carrée de sa longueur divisée par l'accélération gravitationnelle locale: $ t_0 = \ sqrt {l / g} $. On essaie donc de trouver une expression de la forme

$$ \ frac {t_ {swing}} {\ sqrt {l / g}} \ = \ f (..) $$

Lors de l'analyse des petits angles de balancement, il s'ensuit que $ f (..) = 2 \ pi $.

Dans certains autres cas, le nombre de paramètres disponibles dans le problème n'est pas suffisant pour rendre l'équation sans dimension. Dans de tels cas, les physiciens se rabattent sur des paramètres physiques génériques appelés unités. Leur seul but est de rendre tous les paramètres des équations mathématiques sans dimension (nombres purs).

Les physiciens enfreignent souvent la règle qui prescrit les mathématiques sans dimension. Vous verrez donc des équations comme

$$x^2+y^2=r^2$$

À proprement parler, c'est incorrect. Cependant, les gens ont tendance à interpréter cela comme un raccourci pour $$ (x / 1m) ^ 2 + (y / 1m) ^ 2 = (r / 1m) ^ 2 $$

(ou avec toute autre longueur unité de choix dans le dénominateur). Cela rend l'équation à nouveau sans dimension. Je dirais que ce que cela signifie vraiment, cependant, est $$ (x / r) ^ 2 + (y / r) ^ 2 = 1 $$

Également des équations comme

$$ \ ln x - \ ln r = 2 \ pi $$

à proprement parler n'a guère de sens. Encore une fois, les gens pourraient transformer ce non-sens en quelque chose de significatif en l'interprétant comme un raccourci pour

$$ \ ln (x / 1m) - \ ln (r / 1m) = 2 \ pi $$

Ce que cela veut vraiment dire, cependant, c'est

$$ \ ln (x / r) = 2 \ pi $$

En fin de compte, cela n'a aucun sens d'avoir une longueur nue $ x $ ou une longueur nue $ r $ dans les équations. Il n’est pas non plus logique d’avoir un simple million de dollars. Il est cependant logique d'avoir un paramètre $ \ frac {r} {1 m} $ ou $ \ frac {x} {r} $. C'est toujours le cas, mais cela devient plus apparent lorsque la fonction en question prend la forme, par exemple, d'un logarithme.