Pour être complet, je vais vous expliquer comment obtenir le temps nécessaire pour une courbe arbitraire.

Si $ h $ est la hauteur initiale de l'enfant et $ y $ la hauteur une fois qu'il a commencé chute. Par économie d'énergie:

$$ mgh = mgy + \ frac {1} {2} mv ^ 2 \ implique v = \ sqrt {2g (hy)} \ tag {1} $$ Nous savons que vitesse à tout moment. Notons la position horizontale par $ x $.

La distance parcourue dans un très petit intervalle de temps peut s'écrire:

$$ ds = \ sqrt {dx ^ 2 + dy ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {dx} {dy} \ right) ^ 2} dy = \ sqrt {1 + x '^ 2} dy $$

Donc la vitesse est:

$$ v = \ frac {ds} {dt} = \ sqrt {1 + x '^ 2} \ frac {dy} {dt} $$

L'insertion de cette équation dans $ (1) $ et l'intégration conduit à:

$$ t = \ frac {1} {\ sqrt {2g}} \ int_0 ^ s \ frac {\ sqrt {1+ x '^ 2}} {\ sqrt {hy}} dy $$

Cette intégrale vous donne le temps nécessaire pour atteindre le sol étant donné toute courbe $ y (x) $.

De plus, il est possible d'obtenir une telle courbe, la tautochrone, dont le temps pris est indépendant du point initial:

Source de l'image

La forme de la diapositive détermine définitivement le temps qu'il faut pour la descendre. Considérez si la diapositive était complètement verticale. Maintenant, un certain comédien célèbre [récemment décédé :(] avait les pouvoirs d'observation astucieux pour souligner que ce serait, en fait, une goutte, pas une diapositive. Néanmoins, vous atteindriez rapidement le bas. Maintenant, imaginez si la diapositive était comme des montagnes russes; il est descendu, puis remonté, puis descendu, etc., n'atteignant le sol qu'à la toute fin. Ce mouvement de haut en bas est purement le résultat de la forme de la glissière et il doit nécessairement prendre plus de temps que de simplement aller une fois vers le bas. Ainsi, vous voyez, trouver le temps nécessaire pour parcourir la diapositive dépend fortement de la forme de la diapositive

Pourquoi l'auteur dit-il que nous aurions besoin de connaître la forme de la diapositive pour trouver le temps nécessaire à l'enfant pour atteindre le bas de la diapositive?

Comme vous 'ai découvert, la vitesse à descendre une glissière sans frottement ne dépend que de la distance verticale. Cette vitesse n'est pas la composante verticale de la vitesse. C'est la grandeur de la vitesse. La composante verticale de la vitesse sera inférieure à cela sur une glissière inclinée.

Pour rendre la géométrie aussi simple que possible, je vais regarder des rampes inclinées (pas de bosses, pas de courbes; juste une rampe à certains angle incliné par rapport à l'horizontale). Pour simplifier les chiffres, j'utiliserai g = 10 m / s ² plutôt que 9,80665 m / s ² . Supposons que le toboggan ait une dénivellation verticale de 5 mètres. Cela signifie que la vitesse au bas de la glissière est de 10 m / s. La vitesse moyenne est de moitié, 5 m / s.

Maintenant, mettons en place des diapositives de différentes longueurs. Un toboggan de 5 mètres de long signifie que vous tombez plutôt que de glisser. Il faut une seconde pour descendre de 5 mètres. Et si nous utilisions une glissière de dix mètres de long (c'est-à-dire inclinée à un angle de 30 degrés par rapport à l'horizontale). La vitesse n'a pas changé, mais la distance a doublé. Il faut deux secondes pour glisser sur cette diapositive; deux fois plus long que le dénivelé. Utilisez une glissière encore plus longue, mais toujours une chute verticale de 5 mètres, et il faut encore plus de temps pour atteindre le fond. Avec un toboggan de 50 mètres de long (5,74 degrés par rapport à l'horizontale), il faut dix secondes, soit dix fois plus de temps pour atteindre le fond que le dénivelé.

En général, le temps nécessaire pour atteindre le bas d'une rampe inclinée sans frottement est donné par $ t_ \ text {slide} = \ frac lh t_ \ text {vert} $, où $ l $ est la longueur de la rampe, $ h $ est le dénivelé, et $ t_ \ text {vert} $ est le temps qu'il faut pour tomber sur cette même distance verticale.

Dans votre travail, vous avez supposé que $ a = g $ - ceci est vrai si la diapositive est verticale.

Les diapositives auront un certain angle, $ \ theta $ (par exemple $ 45 ^ \ circ $) , ce qui signifiera que l'accélération, $ a $ est donnée par $$ a = g ~ sin \ theta $$

Notez que $ a $ sera inférieur à $ g $ car la valeur de $ sin $ term sera compris entre 0 $ et 1 $. (sauf dans le cas d'une diapositive verticale $ \ theta = 90 ^ \ circ $ et $ sin \ theta = 1 $ donc $ a = g $).

Mais nous n'avons pas encore fini car la plupart des diapositives terminer horizontalement et il y aura donc une courbe dans la diapositive en bas.

En plus des réponses existantes, il convient de noter que le fait qu'une diapositive ralentit quelque chose qui glisse vers le bas, c'est en fait ainsi que Galileo a confirmé que les objets tombent à la même vitesse quelle que soit leur masse. Les laisser tomber ne fonctionne pas bien parce que les choses tombent trop vite dans le temps, du moins en utilisant la technologie Renaissance. Il a donc construit des diapositives inclinées qui ralentiraient la chute, lui permettant d'obtenir de meilleures mesures du temps qu'il fallait aux choses pour tomber.

Aussi, imaginez si les choses ne fonctionnaient pas de cette façon. Nous pourrions construire des systèmes de déplacement très efficaces en construisant des surfaces très légèrement inclinées: disons, qu'il fasse dix pieds de haut à une extrémité et qu'il se termine à vingt miles de distance et cinq pieds de haut. Ensuite, vous seriez capable de parcourir vingt miles en même temps qu'il vous a fallu cinq pieds pour tomber.

La diapositive fournit une force normale pour l'enfant. Cela modifie l'accélération de l'enfant en divers points de la glissière, affectant ainsi le temps nécessaire pour atteindre le fond. L'enfant ne tombe plus librement sous une accélération uniforme et constante, mais suit plutôt les bosses. Si la glissière a une forme assez compliquée, il serait difficile de trouver le temps qu'il faudra pour atteindre le fond à cause de cette accélération nette variable.

Vous connaissez la vitesse finale et vous savez aussi (en raison de la conservation de l'énergie potentielle cinétique + gravitationnelle) qu'il s'agit de la vitesse maximale (au moins, à condition que le toboggan reste au-dessus du niveau du sol). Appelez cette vitesse maximale $ v $.

Pour tout instant $ t $, considérons une diapositive (droite, peu profonde pour les gros $ t $) d'une longueur supérieure à $ vt $. Par le théorème de la valeur moyenne ou simplement par le bon sens, vous ne pouvez pas parcourir une distance supérieure à $ vt $ dans le temps $ t $ sans dépasser à un moment donné la vitesse $ v $. Donc, cette diapositive particulière prend un peu plus de temps que $ t $ à voyager.

Ainsi, le temps nécessaire pour parcourir la diapositive n'est pas seulement variable en fonction de la forme de la diapositive, ce n'est même borné ci-dessus.

L'erreur dans votre travail est de prendre $ a = 9.8 $. C'est vrai en cas de chute, mais ce n'est pas vrai en glissant sur n'importe quelle forme autre qu'une falaise verticale.