La réponse de Luboš Motl est d'une certaine aide, en ce qu'elle montre comment apporter les types d'idées que la relativité offre, mais néanmoins elle s'ouvre sur sa conclusion générale, et cette conclusion est fausse. C'est faux en grande partie pour les raisons brièvement indiquées dans la réponse de WIMP.
La question est importante et il est important de trouver la bonne réponse. La question est:
Les équations de Maxwell peuvent-elles être dérivées en utilisant uniquement la loi de Coulomb et la relativité spéciale?
La réponse est: non, car de nombreuses autres théories de terrain respectant la Relativité Spéciale peuvent être inventées, de manière à reproduire la loi de Coulomb dans le cadre inertiel d'une charge ponctuelle donnée.
Cependant, ce que l’on peut dire, c’est que l’électromagnétisme classique (c’est-à-dire l’équation de Maxwell et l’équation de la force de Lorentz, ou toute formulation équivalente à celle-ci, telle qu’une formulation lagrangienne) fait partie des théories des champs les plus simples qui respectent la Relativité Spéciale et incluent la loi de Coulomb. La définition de «plus simple» ici est certes imprécise.
La principale raison pour laquelle vous ne pouvez pas dériver Maxwell de 'Coulomb + S.R.' c'est que vous ne sauriez pas s'il faut inclure les effets d'accélération dans la relation entre les potentiels et les charges.
Je vais maintenant «lever le couvercle» un peu sur la physique théorique ici. Un très bon (pas le seul) moyen mathématique de s'assurer que tout élément de physique respecte la Relativité Spéciale (S.R.) est de se limiter aux expressions tensorielles dans tout ce que vous proposez et écrivez. Ici, `` tensoriel '' inclut des tenseurs de rang zéro, c'est-à-dire des scalaires, mais pas n'importe quel ancien scalaire: ce seraient des scalaires invariants de Lorentz. Il comprend également 4 vecteurs et des tenseurs de deuxième rang et de rang supérieur. Lorsque vous prenez des dérivées, vous utilisez l'opérateur de gradient covariant $ \ partial_a $ , puis vous disposez d'un kit d'outils pour construire des équations différentielles qui respectent S.R.
La théorie des champs 'la plus simple' pourrait donc être telle que les particules peuvent avoir une propriété scalaire invariante de Lorentz appelée charge $ q $ , et la force sur une charge la particule est indépendante de la 4-vitesse $ u ^ a $ de la particule. Le problème est que vous découvrez rapidement que dans une telle théorie, la force sur une particule ne peut pas changer la vitesse d'une particule sans changer également sa masse. En explorant plus loin, vous essayez de permettre à la 4 forces $ f ^ a $ de dépendre de la 4 vitesses via une équation linéaire simple impliquant un champ scalaire $ \ phi $ , comme $ f ^ a = q \ phi u ^ q $ (?). Toujours pas bon (la masse change à nouveau). Vous êtes donc amené à essayer un tenseur de second rang $ F ^ {ab} $ pour le champ, car c'est la chose la plus simple, autre qu'un scalaire, qui peut prenez un $ u ^ a $ à 4 vecteurs en entrée et rendez une force à 4 vecteurs:
$ f ^ a = q F ^ {a \ mu} u_ \ mu $
Maintenant, c'est ok: la force préserve la masse tant que $ F ^ {ab} $ est antisymétrique. Bien! Un tenseur antisymétrique est le type le plus simple de tenseur de second rang. Ensuite, nous voulons une équation différentielle pour ce champ: essayez la chose la plus simple, qui est de prendre la divergence, et vous êtes bien sur la voie des équations de Maxwell. Si nous introduisons maintenant la loi de Coulomb (et c'est là qu'elle entre en jeu), alors vous êtes assuré d'obtenir deux des équations de Maxwell si vous limitez le terme source dans votre équation différentielle à un seul terme proportionnel à la densité de charge et à la vitesse 4. . La loi de Coulomb ne vous dit pas elle-même de ne pas ajouter d'autres termes liés à l'accélération 4.
Par cette approche, nous n'arrivons pas inexorablement aux équations de Maxwell, mais on constate qu'elles sont sans doute les plus simples qui incluent la propriété de conservation de la charge et qui permettent une force de préservation de masse (en langage technique, un pur force).
Parmi les autres théories des champs que l'on rencontre, il y en a une qui ressemble beaucoup à Maxwell mais qui comprend des monopôles magnétiques. Cela se produit très naturellement, dans le traitement théorique, et est certainement une possibilité sérieuse pour le fonctionnement réel du monde physique. C'est un peu moins simple en ce que l'on perd la belle propriété d'écrire le tenseur de champ comme une 4-curl d'un champ à 4 vecteurs (le 4-potentiel), et la théorie ne respecte plus la symétrie sous inversion spatiale (parité). Voir le livre de Jackson sur l'électromagnétisme pour une discussion. S'il y a en fait des monopôles magnétiques, comme le suggèrent de nombreuses versions de la théorie quantique des champs, alors l'énigme est de savoir pourquoi les monopoles électriques sont tellement plus abondants que les monopôles magnétiques.
Cependant, je voudrais souligner que ce problème de monopole magnétique est loin d'être la seule raison pour laquelle les équations de Maxwell ne sont pas entièrement dérivables de la loi de Coulomb et de S.R. Les autres raisons incluent qu'on peut facilement imaginer que les équations de champ impliquent des dérivées d'ordre supérieur du mouvement de la particule; S.R. à lui seul ne peut pas vous dire qu'ils ne le font pas. En commençant par une approche lagrangienne, on peut introduire d'autres contraintes, telles que l'invariance conduisant à des lois de conservation, puis l'électromagnétisme est assez étroitement, mais pas encore totalement, contraint. Fondamentalement, ce que S.R. peut vous dire, c'est qu'un champ qui fournit une force indépendante de la vitesse d'un corps ne peut pas être toute l'histoire de la physique. Un tel champ (comme le champ électrique) doit être en partenariat avec d'autres effets qui dépendent de la vitesse d'un corps.