Question:
Une explication piétonne des blocs conformes
user346
2010-12-10 21:06:34 UTC
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Je serais très heureux si quelqu'un pouvait essayer de transmettre ce que sont les blocs conformes et comment ils sont utilisés dans la théorie des champs conformes (CFT). J'obtiens enfin des lueurs de compréhension en lisant le merveilleux article de Moore et Read. Mais je pense / j'espère que ce site a des gens qui peuvent expliquer les notions impliquées d'une manière plus simple et plus intuitive.


Edit: Voici un exemple simple, tiré de la page 8 de la référence citée ci-dessus ...

Dans un CFT 2D, nous avons des fonctions de corrélation de champs $ \ phi_i (z, \ bar z) $, (où $ z = x + \ imath y $) en différents points du plan complexe . La fonction de corrélation à n points peut être étendue comme suit:

$$ \ left \ langle \ prod_ {a = 1} ^ n \ phi_ {i_a} (z_a, \ bar z_a) \ right \ rangle = \ sum_p | F_ {p \; i_ {1} \ dots i_n} (z_ {1} \ dots z_n) | ^ 2 $$

Ici $ p $ étiquette les membres d'une base de fonctions $ F_ {p \; i_1 \ dots i_n} (z_ {1} \ dots z_n) $ qui s'étendent sur un espace vectoriel pour chaque n-uplet $ (z_ {1} \ dots z_n) $

Ces fonctions $ F_p $ sont connues comme des blocs conformes, et semblent donner une décomposition "de Fourier" des fonctions de corrélation.

C'est ce que j'ai rassemblé jusqu'à présent. Si quelqu'un pouvait élaborer avec plus d'exemples, ce serait merveilleux!


Edit: Il s'avère très difficile de décider quelle réponse est la "bonne". Je vais lui donner quelques jours de plus. Peut-être que la situation va changer!


La réponse "correcte" va à (roulement de tambour): David Zavlasky. Eh bien, ce sont toutes d'excellentes réponses. J'ai choisi David pour les cinq points supplémentaires parce que le sien est le plus simple, à mon humble avis. Il mentionne également le "cross-ratio" qui est un élément constitutif de CFT.

Blocs conformes? Jamais entendu parler d'eux. Cela ressemble à une théorie marginale (peut-être raisonnable, peut-être farfelue).
Farfelu? Loin de là. Pour tous ceux qui connaissent la CFT, ce sont des outils à pain et à beurre.
@space_cadet: Je dois dire que je n'ai jamais entendu non plus le terme. Quelqu'un souhaite-t-il fournir une brève explication ou une référence? À propos, le sentiment que j'obtiens du terme * bloc conforme * est qu'il devrait faire avec des blocs du flux de groupe de renormalisation standard autour d'un point critique sur un réseau (où la théorie gagne une symétrie conforme dans la limite du continuum). Est-ce pertinent ou juste une coïncidence?
[email protected]_Cadet: J'ai dit * peut-être *. La théorie conforme des champs elle-même n'est pas un domaine largement étudié! Marek a raison; une brève explication / référence ne ferait pas de mal.
@noldorin. Tu as raison. Cela pourrait être ** éventuellement ** farfelu ;-). Je vais donner un exemple faible que ma compréhension le permet.
@Noldorin: Je dois vous corriger là. La théorie des champs conforme est ** parmi les théories les plus étudiées actuellement ** ;-) C'est une base de la théorie des cordes (la feuille du monde des cordes étant un objet 2D qui possède une symétrie conforme). C'est aussi un outil majeur en physique statistique et en physique de la matière condensée car les modèles autour du point critique présentent une longueur de corrélation infinie, ce qui signifie une symétrie conforme. Il est également important dans de nombreux autres domaines et en mathématiques pures (Smirnov a obtenu une médaille Fields pour cela cette année). Donc là :-)
Merci @space_cadet: pour l'élaboration. J'ai peur de ne pas pouvoir vous aider mais j'ai voté la question et j'attendrai avec impatience des réponses moi-même :-)
@Marek: Oh, j'avais l'impression que la mécanique newtonienne était un peu plus étudiée. Idiot, idiot moi. *Rouler les yeux*
@Noldorin: si vous étiez sarcastique dans votre commentaire original (ou êtes maintenant), je suis désolé. Il a toujours été difficile pour moi de détecter le sarcasme sur Internet :-)
@Marek: Je pense que c'est vrai pour tout le monde, il est toujours plus difficile de détecter le sarcasme en ligne. Quoi qu'il en soit, j'ai examiné un tout petit peu la théorie des champs conformes, et bien que ce ne soit pas la chose la plus étudiée, c'est certainement la physique courante. Noldorin, il me semble que vous avez dit que vous n'avez pas encore étudié le QFT, et compte tenu de cela, il ne serait pas surprenant que vous n'ayez pas entendu parler de CFT. Je vais voir si je peux essayer de répondre à cette question plus tard. (pas de garanties cependant)
En gros, vous pourriez considérer les blocs conformes comme des analogues d'expansions d'harmoniques sphériques. Je pourrais ou non écrire quelque chose de plus détaillé.
@David: Vous avez raison, je n'en connais que très peu. Pourtant, j'aime penser que j'ai entendu parler de la plupart des théories non farfelues et d'une grande partie du jargon! Tant pis. :)
@Matt Reece: Lisez attentivement; ce n'est pas ce que je voulais dire. Je suggérais seulement qu'il est tout à fait possible que de nombreux physiciens / étudiants visitant ce site * puissent * ne pas être familiers avec le terme, en raison de son étroitesse dans la physique.
@Noldorin: ne sous-estime jamais la capacité des physiciens à proposer des théories et du jargon ;-) Je suis à peu près sûr qu'il y a plus de théories là-bas, même dans un seul sous-domaine de la physique, que personne ne pourrait jamais apprendre dans une vie entière - comme un étudiant de premier cycle, je n'avais aucune idée que la plupart des choses avec lesquelles je travaille maintenant existaient.
@David: Vous avez raison! Je devrais être un peu plus modeste et ne pas présumer que même les plus grands sous-domaines de la physique me sont tous connus! Il y en a probablement de nouveaux chaque semaine, comme vous le dites!
J'ai passé un certain temps à lire des articles sur les blocs conformes. Je ne peux pas dire que j'ai rien compris. Mais je suis également tombé sur cette [collection de références] (http://ncatlab.org/nlab/show/conformal+block) au nLab. J'aime particulièrement le second de Beauville et Laszlo mais il vaut mieux connaître une géométrie algébrique pour le suivre. Consultez également le dernier article de Mironov, Morozov, Shakirov et les références qu'il contient.
merci pour les références @marek, mais elles semblent toutes orientées vers les mathématiciens. Ils vont probablement me donner des brûlures d'estomac!
@space_cadet: ouais. Évidemment, cela a à voir avec une énorme quantité de travaux récents en théorie et en géométrie des cordes. Je n'avais aucune idée que le terme était aussi important. Au fait, qu'en est-il de [celui-ci] (http://books.google.cz/books?id=keUrdME5rhIC), section 9.3?
@marek - DiFrancesco est la référence canonique pour CFT. J'espère éviter tout ce travail acharné en apprenant de certaines des personnes sages sur ce site.
@space_cadet: Je ne le savais pas. Soit dit en passant, c'est un livre dans lequel j'apprenais CFT (et je pense que c'est un excellent livre) mais je ne suis jamais allé jusqu'au 9ème chapitre.
@Matt Reece: Ce serait très bien si vous pouviez donner quelques informations supplémentaires sur le sujet :)
J'ai fait un peu de lecture et il semble que les blocs conformes sont en fait liés au sujet sur lequel je fais des recherches (même si je n'ai jamais entendu le terme auparavant). Je pense donc que cela vaudra la peine pour moi d'examiner cela de plus près, et je vais essayer d'écrire ce que je trouve.
@David: avec impatience. J'aimerais aussi faire des recherches à ce sujet et l'examiner de plus près, mais il y a tellement de choses à étudier qu'il n'y a aucun moyen d'apprendre tout ce que l'on voudrait. C'est donc formidable que quelqu'un d'autre le fasse (ou idéalement l'ait déjà fait) pour vous. C'est là que réside le plus grand potentiel de sites comme celui-ci.
Connexes: http://physics.stackexchange.com/questions/116530/calculation-of-conformal-block-co-effecients
@Noldorin,, la page de visite du menu d'aide Physics.SE indique que ce site est destiné à un large éventail de personnes, y compris des chercheurs actifs.Cela signifie accueillir non seulement des questions largement accessibles avec des liens contextuels, mais aussi des questions techniques sans vergogne qui pourraient nécessiter des années de connaissances acquises pour comprendre.Bien qu'ils ne soient pas toujours à la hauteur, je pense que Physics.SE et Math.SE sont à leur meilleur quand ils encouragent des personnes à différents niveaux de sophistication à se mêler de manière inspirante et non intimidante.D'après le dernier commentaire de David Z, il semble que ce soit arrivé ici!
J'ai commencé un projet d'article Wikipedia sur les blocs conformes Virasoro.Les suggestions, commentaires et contributions sont les bienvenus.https://en.wikipedia.org/wiki/Draft:Virasoro_conformal_block
Cinq réponses:
#1
+26
Scott Carnahan
2010-12-21 00:10:47 UTC
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Maintenant que nous avons le point de vue d'un physicien, je ne me sens pas trop mal en décrivant des blocs conformes du point de vue d'un mathématicien. Il existe probablement un dictionnaire reliant les deux mondes, mais je ne comprends pas assez bien la physique pour en dire des phrases cohérentes. Je m'excuse à l'avance pour toute confusion - ce n'est pas un sujet très piéton.

J'aborderai les blocs conformes du point de vue des algèbres de vertex conformes, qui apparaissent généralement en mathématiques comme des structures algébriques que vous pouvez utiliser pour prouver des théorèmes en théorie des représentations. Les algèbres de vertex sont des espaces vectoriels $ V $ équipés d'une "multiplication avec singularités" $ V \ otimes V \ à V ((z)) $ qui encode un meilleur effort pour multiplier les champs quantiques (qui sont parfois appelés "distributions à valeurs d'opérateur" ). La multiplication à gauche par un élément $ u $ donne une série de puissance formelle $ \ sum_ {n \ in \ mathbb {Z}} u_n z ^ {- n-1} $ dont les coefficients sont des opérateurs. Rendre conforme une algèbre de sommets, c'est choisir un vecteur distingué $ \ omega $ dont les opérateurs correspondants génèrent une action de l'algèbre de Virasoro, qui est une extension centrale de l'algèbre de Lie complexifiée des champs de vecteurs polynomiaux sur le cercle. On ne perd pas grand-chose conceptuellement en pensant à Virasoro comme l'espace tangent du groupe $ Diff (S ^ 1) $ à l'identité, mais il y a une anomalie de "charge centrale non nulle" en jeu qui peut rendre l'extension centrale nécessaire. Le cercle apparaît ici car c'est la limite d'une crevaison où nous allons insérer un champ.

Ma compréhension de l'interprétation physique est l'image incomplète et peut-être incorrecte suivante: À l'intérieur d'une théorie de champ conforme 2D, il y a une algèbre de symétries chirales (disons, mobiles à gauche), et c'est précisément l'information capturée par le conforme algèbre des sommets. L'espace des états dans la théorie se décompose en un ensemble de "secteurs" qui sont des modules de l'algèbre des sommets. Si nous choisissons une surface de Riemann (qui est une sphère dans la plupart des manuels) et que nous attachons des états de divers secteurs à un ensemble de points distincts, nous devrions obtenir un ensemble d'amplitudes, qui sont des valeurs de fonctions de corrélation chirales attachées à ces données d'entrée. J'ai entendu dire qu'il y avait un moyen de passer du truc chiral à la théorie des champs conforme proprement dite, où l'ambiguïté des corrélateurs disparaît et on obtient des fonctions de corrélation honnêtes, mais je ne l'ai pas vu dans la littérature mathématique. Dans tous les cas, des blocs conformes vivent à l'intérieur de cette machine - étant donné les secteurs attachés à des points sur une surface de Riemann, un bloc conforme est un gadget qui mange des choix d'états dans ces secteurs et produit des valeurs de fonctions de corrélation d'une manière cohérente avec les symétries chirales .

Voici une esquisse de la construction mathématique, due à Edward Frenkel (et décrite plus en détail dans son livre Vertex Algebras and Algebraic Curves avec David Ben-Zvi): Il y a une "moitié positive "de l'algèbre de Virasoro, enjambée par des générateurs $ -z ^ n \ frac {d} {dz} $ pour $ n \ geq 0 $, et il génère l'algèbre de Lie des dérivations sur le disque complexe infinitésimal, et agit également sur le algèbre de vertex conforme $ V $. Nous pouvons utiliser cette action pour construire un bundle vectoriel $ \ mathscr {V} $ avec connexion plate sur notre surface de Riemann de choix par la méthode de "géométrie formelle" de Gelfand-Kazhdan (que je ne décrirai pas). Étant donné les perforations $ p_1, \ dots, p_n $, on construit, à partir du complexe De Rham de $ \ mathscr {V} $, une algèbre de Lie $ L $ qui agit naturellement sur $ n $ -tuples de $ V $ -modules. Étant donné les $ V $ -modules $ M_i $ attachés aux points $ p_i $, un bloc conforme est une carte $ L $ -module de $ \ bigotimes M_i $ au module trivial.

C'est en général assez difficile de faire des calculs explicites avec des blocs conformes, en raison de la quantité de géométrie impliquée. Si votre surface Riemann a des poignées, vous devrez faire face à un choix de structure complexe, et si elle a beaucoup de crevaisons, vous devrez faire face à un espace de configuration compliqué de points. Vous voyez généralement des diagrammes au niveau de l'arborescence avec 4 entrées, car:

  1. C'est là que le strict minimum de géométrie apparaît - puisque le groupe d'automorphisme de la ligne projective complexe est triplement transitif, l'espace de configuration de quatre points est une ligne trois fois perforée (j'entends par là une sphère).
  2. Selon le niveau de détail que vous recherchez, c'est souvent tout ce dont vous avez besoin - les espaces de blocs peuvent être assemblés en collant des surfaces ensemble hors de pantalons et en prélevant des sommes sur les secteurs où la couture a lieu. Dans l'image algébro-géométrique complexe, cette couture signifie coller des sphères ensemble transversalement en des points pour obtenir une courbe nodale. On se déforme ensuite pour obtenir une courbe complexe lisse, et on effectue un transport parallèle le long du chemin correspondant dans l'espace des modules des courbes marquées. La configuration en quatre points est une situation où vous avez exactement une opération de couture (et l'autre situation de ce type est un tore perforé, ce qui est important pour obtenir des caractères).

En fait, lorsque le la théorie des champs conforme est convenablement bien comportée (lire: rationnelle), on obtient les dimensions des espaces de tous les blocs conformes à partir des dimensions des blocs zéro du genre à trois points, également connus sous le nom de constantes de structure de l'algèbre de fusion. On voit cela dans la formule de Verlinde, par exemple.

Je pense que les exemples de blocs conformes ont une certaine complexité nécessaire, mais voici un aperçu d'un cas raisonnablement simple motivé par le modèle WZW. Choisissez un groupe de Lie simple, comme $ SU (2) $, et un niveau $ \ ell $ (que nous pouvons voir comme un entier positif). On construit l'algèbre des sommets et ses modules comme des représentations de niveau $ \ ell $ intégrables de l'algèbre affine de Kac-Moody Lie $ \ hat {\ mathfrak {sl} _2} $, qui est une extension centrale de l'algèbre de boucle de la complexification de l'algèbre de Lie $ \ mathfrak {su} _2 $. Si nous choisissons une surface de Riemann (comme une sphère), et décorons les points avec juste le module de vide, nous obtenons un espace de blocs conformes qui est l'espace des sections globales d'un certain faisceau de lignes $ L_G ^ {\ otimes \ ell} $ sur l'espace des modules des paquets $ SU (2) $ sur la surface. Ici $ L_G $ est le grand générateur du groupe de Picard de l'espace des modules.

"ce n'est pas un sujet très piéton" - LOL
Enfin une réponse que je peux voter! Et j'aimerais pouvoir passer trois votes maintenant :-)
vous m'avez eu à "algèbres de vertex conformes"
Agréable. Je suis curieux de savoir pourquoi les mathématiciens ne se sont pas mis à "passer du truc chiral au CFT". Je pense qu'il y a de bons calculs là-dedans, et c'est crucial pour la physique. De plus, les D-branes entrent dans l'histoire lorsque vous commencez à penser à la façon dont vous collez ensemble les morceaux chiraux à gauche et à droite. La classification des D-branes (aka états limites) dans RCFT semble être un problème que les mathématiciens aimeraient et serait naturel pour les personnes qui étudient les VOA, mais cela n'a pas pris de l'ampleur. N'est-il pas connu ou est-il connu mais considéré comme inintéressant?
Je crois qu'il y a plus d'un groupe travaillant sur le passage au CFT, et plus d'un groupe travaillant sur la question des états limitrophes. Mon principal problème pour comprendre l'état actuel de la littérature est que je ne sais pas dans quelle mesure la définition des mathématiciens du CFT correspond aux objets que les physiciens utilisent réellement. Fuchs, Runkel, Schweigert et leurs collaborateurs ont écrit une grande collection d'articles sur RCFT, mais je ne sais pas s'ils travaillent avec des branes au sens physique.
Pour le commentaire de Jeff, la combinaison de secteurs mobiles à gauche et à droite est déjà présente dans la nécessité de construire une fonction de partition. Cette combinaison est probablement la raison pour laquelle les mathématiques sont à la traîne: l'incorporation insuffisante du comportement anti-holomorphe dans la théorie (et de même pour les TFT). Je vais essayer de pointer BZ de cette façon et lui faire peser.
@Scott: Je peux plus ou moins suivre la réponse mais à certains moments je suis perdu. Pourriez-vous s'il vous plaît expliquer (ou simplement fournir des références serait génial) * géométrie formelle *, $ L_G ^ {\ otimes \ ell} $ et * générateur suffisant *? Aussi, de quel contexte faut-il pour comprendre un peu mieux cela? Désolé si ces questions n'ont pas beaucoup de sens, mais j'aimerais connaître au moins un peu ce genre de choses et je ne sais pas par où commencer. Aussi, je me demande si cela ferait une assez bonne question MO mais je suppose que je suis trop confus pour poser quelque chose de significatif en ce moment.
Si quelqu'un d'autre aimerait savoir ce qu'est un * générateur suffisant *: c'est juste un générateur du groupe Picard (donc cela suppose qu'il est cyclique; ou du moins monogénique), c'est aussi un vaste faisceau de lignes. Pour plus de détails, voir [cette réponse sur MO] (http://mathoverflow.net/questions/50006/what-is-ample-generator-of-a-picard-group/50009#50009). J'ai été agréablement surpris que ma question confuse ait en fait obtenu une bonne réponse :-)
@ScottCarnahan Est-il possible d'obtenir les blocs conformes pour une surface de Riemann hyperbolique en collant des blocs conformes?Je m'attendrais à ce que le résultat dépende des coordonnées Fenchel-Nielsen par collage.Existe-t-il une telle construction?Ce serait formidable si vous pouviez fournir une référence si elle existe.
@QGravity La réponse est plus ou moins «oui», mais elle est délicate.Pour le moment, il n'y a pas de référence fiable.
#2
+24
David Z
2010-12-20 15:34:47 UTC
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J'ai fait un peu de lecture à ce sujet, et il s'avère que les blocs conformes sont en fait assez pertinents pour mes recherches! J'ai donc pensé que cela valait le temps d'enquêter plus en détail. Je n'ai jamais étudié officiellement la théorie des champs conformes, mais j'espère que je n'écris rien de tout à fait faux ici. (J'ai perdu mon premier brouillon et j'ai dû le reconstruire, c'est pourquoi il a fallu si longtemps)


Dans la théorie des champs conformes, il est courant de représenter des coordonnées sur un espace bidimensionnel en utilisant des nombres complexes , donc $ \ vec {r} = (x, y) $ devient $ \ rho = x + iy $. Dans cette notation, la théorie est invariante sous l'action d'une transformation de Möbius (aka transformation conforme),

$$ \ rho \ to \ frac {a \ rho + b} {c \ rho + d} $$

dans laquelle $ a $, $ b $, $ c $ et $ d $ sont des constantes complexes qui satisfont $ ad - bc \ neq 0 $. La transformation a trois degrés de liberté complexes - en d'autres termes, si vous spécifiez trois points initiaux et trois points finaux sur le plan complexe, il existe une transformation Möbius unique qui mappe ces trois points initiaux aux trois points finaux.

Donc n'importe quelle fonction de quatre coordonnées sur le plan, par exemple une fonction de corrélation à quatre points de champs quantiques,

$$ G_4 = \ langle \ phi_1 (\ rho_1, \ rho_1 ^ *) \ phi_2 (\ rho_2, \ rho_2 ^ *) \ phi_3 (\ rho_3, \ rho_3 ^ *) \ phi_4 (\ rho_4, \ rho_4 ^ *) \ rangle $$

n'a qu'un seul degré réel de liberté , après avoir pris en compte les libertés de jauge correspondant à la transformation de Möbius. En d'autres termes, vous pouvez mapper trois de ces coordonnées sur trois points de référence fixes (par exemple $ 0 $, $ 1 $ et $ \ infty $), et vous vous retrouvez avec une fonction d'une seule variable, quelque chose comme

$$ x = \ frac {(\ rho_4 - \ rho_2) (\ rho_3 - \ rho_1)} {(\ rho_4 - \ rho_1) (\ rho_3 - \ rho_2)} $$

Cela ouvre la porte pour écrire $ G_4 $ comme une simple fonction de ce seul rapport (au moins, plus simple qu'une fonction de quatre coordonnées indépendantes).

La partie particulière de CFT dans laquelle les blocs conformes sont appliqués (pour autant que je sache; je commence à sortir un peu de ma profondeur ici) a à voir avec les algèbres de Virasoro. Plus précisément, la façon dont les champs individuels $ \ phi_i $ se transforment sous une transformation conforme est décrite par le groupe défini par l'algèbre de Virasoro. La fonction à quatre points $ G_4 $ peut être écrite comme une somme des contributions de différentes représentations du groupe,

$$ G_4 (\ rho_1, \ rho_2, \ rho_3, \ rho_4) = \ sum_l G_l f (D_l, d_i, C, x) f (D_l, d_i, C, x ^ *) $$

Ici $ l $ indexe les différentes représentations; $ C $ est une constante (la "charge centrale" de l'algèbre de Virasoro); et $ d_i $ et $ D_l $ sont des dimensions anormales des champs externes et du champ interne respectivement. La fonction $ f $ est appelée un bloc conforme.

Feynman diagram

$ f $ est utile car il peut être calculé (en principe ou en pratique, je ne sais pas laquelle) en utilisant uniquement des informations sur une seule représentation du Groupe Virasoro. Il peut être exprimé sous forme de série en $ x $ de forme connue, dont les coefficients dépendent de la structure du groupe.

Lectures complémentaires

  1. Belavin A. Symétrie conforme infinie dans la théorie quantique des champs à deux dimensions. Physique nucléaire B . 1984; 241 (2): 333-380. Disponible sur: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(84)90052-X.
  2. Zamolodchikov AB. Symétrie conforme en deux dimensions: une formule de récurrence explicite pour l'amplitude de l'onde partielle conforme. Communications in Mathematical Physics (1965-1997) . 1984; 96 (3): 419-422. Disponible sur: http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103941860.
  3. Zamolodchikov AB. Symétrie conforme dans un espace bidimensionnel: représentation récursive d'un bloc conforme . Physique théorique et mathématique . 1987; 73 (1): 1088-1093. Disponible sur: http://www.springerlink.com/content/khq7730604681676/.

et bien sûr le livre de DiFrancesco et al.

Très bon travail!
Jolie réponse, même si elle ne parle pas vraiment des blocs :-)
Si vous souhaitez préciser le type d'objets que sont les blocs et / ou ajouter un exemple d'application, je donnerais +1.
Les fonctions de corrélation pour moins de 4 champs sont-elles donc nulles? Et $ f (D_l) $ (le "bloc conforme") est fondamentalement un propagateur? De plus, la variable $ x $ est connue sous le nom de "cross-ratio" des quatre points $ (\ rho_1, \ rho_2, \ rho_3, \ rho_4) $. Excellent travail, @david!
@space_cadet: bien, pour moins de quatre champs, la valeur d'une fonction de corrélation devrait être complètement déterminée en quelques points fixes. Je suppose que cela ferait de zéro la seule valeur «normalisable» possible. Mais comme je l'ai dit, je n'ai pas vraiment étudié la CFT en détail, donc je ne peux pas vous le dire avec certitude. Aussi, la référence 2 suggère que $ f $ est un propagateur attaché à deux sommets, mais pour un choix spécifique de la dimension anormale du champ interne.
@Marek: tu as raison, je n'ai pas vraiment parlé des blocs parce que je ne pouvais pas vraiment comprendre la plupart de ce que j'ai lu à leur sujet ;-) Je pensais que ça ne pouvait pas faire de mal de simplement poster ce que j'avais trouvé plutôt que de retarder davantage. Je reviendrai et modifierai cette réponse lorsque j'en saurai plus.
@David: assez juste. Je dois dire pour moi-même que j'ai été déconcerté par les blocs de la même manière. La seule chose qui avait un sens était le traitement mathématique (dont le lien peut être trouvé dans mes commentaires ci-dessus) mais c'était quand même assez difficile et surtout je n'y voyais plus de physique. Donc je suis arrivé nulle part à la fin.
Pour la question sur les fonctions de corrélation de moins de 4 opérateurs: les fonctions à 2 points sont simplement déterminées par la dimension $ \ Delta $ de l'opérateur $ {\ cal O} $, $ \ left <{\ cal O} (x) { \ cal O} (y) \ right> = | xy | ^ {- 2 \ Delta} $. (En particulier, les fonctions à 2 points des opérateurs de dimension différente sont nulles.)
Les fonctions à trois points sont déterminées par symétrie conforme jusqu'à une constante, $ \ left <{\ cal O} _i (x_1) {\ cal O} _j (x_2) {\ cal O} _k (x_3) \ right> = c_ {ijk} | x_1 - x_2 | ^ {\ Delta_k - \ Delta_i - \ Delta_j} | x_2 - x_3 | ^ {\ Delta_i - \ Delta_j - \ Delta_k} | x_1 - x_3 | ^ {\ Delta_j - \ Delta_i - \ Delta_k } $. Les coefficients $ c_ {ijk} $ dans la fonction 3 points sont les mêmes que ceux qui apparaissent dans le développement du produit opérateur.
Le seul autre commentaire général que je voudrais faire est que les notions de symétrie conforme et de blocs conformes ont un sens dans n'importe quel nombre de dimensions, alors que la plupart de ces réponses semblent se spécialiser dans deux dimensions. (La symétrie conforme en deux dimensions s'agrandit à un groupe de dimensions infinies, c'est pourquoi elle est très contraignante et bien comprise. Mais les blocs conformes s'appliquent également aux théories de champ de dimension supérieure et n'ont pas besoin de cette structure supplémentaire.)
@matt si vous pouviez expliquer un peu comment le groupe conforme apparaît dans plus de deux dimensions, ce serait génial! Vous pourriez peut-être en faire une réponse.
@Matt, vous êtes certainement mieux qualifié que moi pour répondre à cette question.
@DavidZ Quels sont les moyens / formalismes possibles pour déterminer les blocs conformes d'un CFT avec une symétrie affine?Disons que je veux calculer les blocs conformes d'un CFT avec une symétrie Kac-Moody sur une sphère avec quatre perforations et les écrire explicitement en termes de coordonnées $ z $ sur la sphère.Quels sont les moyens / formalismes possibles pour y parvenir?Je pense que si la réalisation en champ libre de l'algèbre courante est connue, alors le formalisme de gaz de Coulomb peut être utilisé.Cependant, je suis intéressé de connaître d'autres méthodes / formalismes.
@QGravity Je suggérerais de poster cela comme une nouvelle question.
#3
+20
David Ben-Zvi
2010-12-21 04:13:20 UTC
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Il y a déjà de belles réponses d'un point de vue physique et mathématique, expliquant l'idée de base - étant donné l'algèbre des opérateurs holomorphes (ou de manière équivalente l'algèbre de symétrie) d'un CFT, nous pouvons écrire une collection d'équations (les identités de Ward ) que la fonction de partition de la théorie doit satisfaire sur toute surface de Riemann. L'espace des solutions de ces équations est l'espace des blocs conformes. Si nous avons effectivement un CFT complet, la fonction de partition sera un bloc conforme particulier. Mais étant donné tout bloc conforme, nous pouvons toujours donner un sens aux fonctions de corrélation sur la surface de Riemann, donc pouvons effectuer une grande partie de la théorie des champs.

Il y a pas mal de travail mathématique sur l'extension d'une algèbre chirale à son maximum. CFT, en particulier dans le cas rationnel (comme Scott l'a souligné, il s'agit d'un axe central de l'œuvre étendue de Fuchs, Schweigert, Runkel et ses collaborateurs). Cela implique de trouver une combinaison modulaire invariante de modules pour l'algèbre chirale, et peut être réduit à la recherche de modules spéciaux (objets d'algèbre de Frobenius dans la catégorie tenseur tressé des modules avec certaines conditions). Dans le cas irrationnel, cette théorie en est vraiment à ses débuts - il y a une notion de ce que devraient être les branes, mais il n'y a pas de théorie de structure complète.

Je pense qu'un point de vue très éclairant sur le conformal blocs dérive de l'idée qu'une CFT chirale ressemble plus à une théorie des champs quantiques [topologique] tridimensionnelle qu'à une CFT honnête (et cela peut être précisé dans le cas rationnel, voir par exemple le livre de Bakalov-Kirillov). De ce point de vue, nous avons un QFT 3D qui a du sens sur des arrière-plans courbes (en fait topologiquement invariant), nous pouvons donc assigner un espace de Hilbert d'états à partir de la quantification de la théorie sur une surface de Riemann fois R. espace de blocs conformes. Plus généralement, nous pouvons considérer les opérateurs de ligne dans cette théorie tridimensionnelle, ce qui signifie que nous pouvons insérer des opérateurs aux points des temps de surface de Riemann R. Ces opérateurs correspondent à des modules pour l'algèbre chirale, et l'espace de Hilbert résultant est l'espace des blocs conformes avec insertions de module. Si nous avons un CFT non rationnel, nous n'obtenons pas un QFT topologique 3D complet, mais nous pouvons toujours affecter des espaces de Hilbert aux surfaces de Riemann ou aux surfaces avec des insertions de module, donc des blocs conformes. (Dans une théorie à part entière, ces espaces vectoriels seraient forcés à une dimension finie par la bonne définition de la trace de l'hamiltonien, qui est zéro dans une théorie topologique).

#4
+14
Sylvain Ribault
2015-03-11 14:45:24 UTC
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Une théorie de champ conforme est une théorie de champ quantique qui est invariante sous transformations conformes. En raison de cette invariance, les fonctions de corrélation doivent obéir à des équations linéaires appelées identités de Ward conformes. Les blocs conformes ne sont pas seulement des solutions des identités de Ward conformes, mais en fait des éléments d'une base particulière de solutions. Concentrons-nous sur la CFT bidimensionnelle. En deux dimensions, les transformations conformes sont décrites par deux algèbres de Virasoro, appelées déplacement à gauche (ou holomorphe) et déplacement à droite (ou antiholomorphe).

La question a été formulée en termes de blocs conformes à $ n $ -point sur le plan complexe, mais il est techniquement plus simple de considérer d'abord les blocs conformes au point zéro sur le tore . Ce ne sont que des personnages de représentations de l'algèbre de Virasoro. En effet, supposons que vous vouliez calculer une fonction de point zéro torus (fonction de partition), $$ Z = \ mathrm {Tr} _S q ^ {E} \ bar {q} ^ {\ bar {E}} $$ où $ q $ est le module (exponentiel) du tore, $ E $ et $ \ bar {E} $ sont les opérateurs énergétiques respectivement associés aux algèbres de Virasoro se déplaçant à gauche et à droite, et $ S $ est l'espace d'états de votre CFT.L'espace d'états peut être décomposé en représentations des algèbres de Virasoro, $$ S = \ bigoplus_ {R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} R \ otimes \ bar {R} $$ où $ R, \ bar {R} $ sont des représentations de nos deux algèbres de Virasoro, et les entiers $ m_ {R, \ bar {R}} $ sont leurs multiplicités. Ensuite, calculer la trace sur $ S $ se réduit à la somme des états dans chaque représentation $ R $ ou $ \ bar {R} $, et une telle somme est par définition un caractère $$ \ chi_R (q) = \ mathrm {Tr} _R q ^ {E} = \ sum_L q ^ {E (L)} $$ où $ L $ étiquette une base orthonormée de $ R $, faite de vecteurs propres de $ E $. On obtient ainsi $$ Z = \ sum_ { R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} \ chi_R (q) \ chi _ {\ bar {R}} (\ bar {q}) $$ Il s'agit de la décomposition en bloc conforme de $ Z $: les blocs conformes $ \ chi_R (q) $, $ \ chi _ {\ bar {R}} (\ bar {q}) $ sont localement holomorphes fonctions de $ q $ et $ \ bar {q} $, elles sont complètement déterminées par la symétrie conforme , et elles sont paramétrées par des représentations de l'algèbre de symétrie. En revanche, les multiplicités $ m_ {R, \ bar {R}} $ sont laissées indéterminées par la symétrie.

Les mêmes idées s'appliquent à la fonction sphère à quatre points . Une fonction à quatre points peut être décomposée en produits de fonctions à trois points en insérant un opérateur d'identité, et on obtient schématiquement $$ \ left< \ prod_ {i = 1} ^ 4 V_i (z_i, \ bar {z} _i) \ right> = \ sum_ {R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} \ sum_ {L, \ bar {L}} \ left< V_1V_2 \ middle | (R, L), (\ bar {R}, \ bar {L}) \ right> \ left< (R, L), (\ bar {R}, \ bar {L}) \ middle | V_3V_4 \ right> $$ Il s'avère maintenant qu'une fonction à trois points $ \ left< V_1 V_2 \ middle | (R, L), (\ bar {R}, \ bar {L}) \ right> $, est déterminé par symétrie conforme jusqu'à un facteur $ C_ {1,2, (R, \ bar {R})} $ , qui ne dépend ni de $ z_i, \ bar {z} _i $ ni de $ L, \ bar {L} $, et nous avons $$ \ left< \ prod_ {i = 1} ^ 4 V_i (z_i, \ bar { z} _i) \ right> = \ sum_ {R, \ bar {R}} m_ {R, \ bar {R}} C_ {1,2, (R, \ bar {R})} C _ {(R, \ bar {R}), 3,4} F_R (z_i) F _ {\ bar {R}} (\ bar {z} _i) $$ Le bloc conforme à quatre points $ F_R (z_i) = \ sum_L \ cdots $ est complètement déterminé par symétrie conforme. Cela dépend de tous les paramètres de déplacement à gauche: les positions $ z_i $, la représentation de canal $ s $ $ R $, et les représentations de déplacement à gauche qui correspondent aux champs $ V_i $. Jusqu'à des facteurs triviaux, un bloc conforme à quatre points est en fait une fonction du cross-ratio $ z = \ frac {(z_1-z_2) (z_3-z_4)} {(z_1-z_3) (z_2-z_4)} $: c'est une simple conséquence des identités de Ward, qui est valable si vous avez une symétrie conforme locale ou globale. Un bloc conforme n'obéit généralement à aucune équation différentielle dans $ z $. Il n'obéit à une équation de Belavin-Polyakov-Zamolodchikov que si au moins un des champs $ V_i $ est un champ dit dégénéré.

Les blocs conformes sont utiles car ce sont des quantités universelles , dans le sens où ils sont déterminés par symétrie conforme. Afin de déterminer les fonctions de corrélation dans un modèle spécifique, il ne reste plus qu'à calculer des quantités dépendantes du modèle telles que les multiplicités $ m_ {R, \ bar {R}} $ et les facteurs $ C_ {1,2, (R, \ bar {R})} $. Ces quantités dépendantes du modèle sont plus simples que les fonctions de corrélation: en particulier, elles dépendent généralement de moins de paramètres.

Pour plus de détails dans ce sens, consultez mon article de révision.

Bonjour Prof. Ribault, j'aime votre réponse détaillée et votre article de synthèse.Puis-je vous poser une petite question ici: y a-t-il des cas de CFT avec c≥1 sur la droite des nombres réels qui ne sont pas la théorie de Liouville?
Pour tout $ c $ complexe vous avez, en plus de la théorie de Liouville, un modèle minimal généralisé.Son spectre est diagonal et contient tous les champs dégénérés.
#5
+13
Eric Zaslow
2010-12-20 19:39:57 UTC
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La théorie des champs conformes est la théorie de l'invariance d'échelle (ou comportement de grand ordre) en deux dimensions. La mise à l'échelle signifie la dépendance aux angles uniquement. En 2d, un groupe de transformations (conformes) conservant l'angle est de dimension infinie, et en fait il n'y a qu'un nombre fini de degrés de liberté dans une métrique 2d après des transformations conformes et des difféomorphismes. (Les degrés de liberté sont l'espace des modules des surfaces de Riemann.)

Les champs d'une théorie à symétrie conforme doivent donner des représentations de cette algèbre de symétrie, et ces représentations sont étiquetées par un nombre quantique appelé dimension ou poids conforme . Les transformations elles-mêmes sont des changements de coordonnées holomorphes ($ z \ rightarrow f (z) $ et elles sont générées par l'algèbre de Lie des champs de vecteurs holomorphes $ L_n: = -z ^ {n + 1} \ partial_z $ et leurs conjugués complexes. Vous pouvez calculer cette algèbre: $ [L_n, L_m] = (nm) L_ {m + n} $ qui s'appelle l'algèbre de Virasoro. (Il y en a deux, un avec z et un avec z-bar.) Quantique mécaniquement , cette algèbre peut être corrigée par l ' anomalie conforme paramétrée par la charge centrale ("centrale" car le terme supplémentaire fait la navette avec tous les autres).

Maintenant, tout comme dans une théorie invariante de rotation, si vous voulez savoir à quoi ressemble une solution après une rotation, il vous suffit de savoir dans quelle représentation se trouve l'état, dans une théorie conforme si vous voulez changer les coordonnées à l'infini, il vous suffit de savoir les poids conformes des champs. Mais ces transformations sont des changements de coordonnées infinitésimales, ce qui donne une équation différentielle que le corrélateur doit ob ey. Tout dans la théorie peut être écrit en termes de solutions à ces équations différentielles - on les appelle blocs conformes . (Il existe également des solutions dans $ \ bar {z} $.)

Cette méthode est détaillée dans le travail classique de Belavin, Polyakov et Zamolodchikov (NPB 241 (1988) p. 333) (un autre pionnier est Knizhnik).

p.s. La théorie des cordes concerne les théories des champs 2D et leur dépendance aux modules des surfaces de Riemann. La condition que la théorie conforme soit sans anomalie est le moyen le plus courant de dériver des formules de dimension dans la théorie des cordes.

Comme la réponse de David, c'est un très bel aperçu de CFT mais encore une fois, il n'y a pas de discussion technique sur la nature et / ou les propriétés des blocs conformes et / ou quelques exemples simples qui illustreraient leur utilité. C'est ce que demande réellement la question du PO si je la comprends bien.
Cette réponse combinée à la réponse @david's, forment ensemble un excellent cours intensif pour CFT. Si de tels résumés étaient présents dans l'intro des chapitres, disons, du livre de Polchinski, la vie serait tellement plus simple! :-)
Je pense que vous avez mieux compris la nature des blocs que moi, du moins.
Pour Marek, la question demandait une explication de «ce que sont les blocs conformes et comment ils sont utilisés dans la théorie des champs conformes» et «d'expliquer les notions impliquées d'une manière plus simple et plus intuitive». Tout cela peut être fait sans équations. Mais plus généralement, les gens ont tendance à apporter ce qu'ils sont capables de contribuer, étant donné les limites de leur expertise et du temps / énergie qu'ils consacrent à leur réponse.
@Eric: vous avez raison, je pensais que la question concernait uniquement les blocs conformes, mais en la relisant, elle peut être interprétée de cette manière. En tout cas, je ne voulais pas vous offenser. C'est juste que j'ai toujours le sentiment que vous avez beaucoup plus à dire et j'apprécierais beaucoup si vous pouviez élaborer. Bien sûr, je comprends que votre temps et / ou votre énergie disponibles ne sont pas infinis.
@Marek: oui, c'est généralement une question de temps. Si vous n'avez pas encore d'enfants, voici une formule que j'utilise habituellement. Le premier enfant réduit votre temps libre à un facteur d'epsilon. Le deuxième enfant réduit à epsilon du temps restant, c'est-à-dire epsilon au carré (cela devient de moins en moins vrai à mesure qu'ils vieillissent).
@Eric: donc [epsilon] (http://www.desipad.com/literature-poetry/1030-paul-erdos-mathematician-his-language.html) réduit votre temps à epsilon - a du sens :-)


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 2.0 sous laquelle il est distribué.
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