Cela ne s'applique pas à l'orbite de la Terre.La force gravitationnelle peut être considérée comme constante puisque la distance entre la Terre et le Soleil peut également être considérée comme constante

Vous avez raison de dire que la force ou l'amplitude du champ gravitationnel du soleil est très similaire sur la longueur de l'orbite terrestre, mais la direction ne l'est pas.Dans un champ gravitationnel uniforme, la direction serait la même partout.

Sur la trajectoire de l'orbite terrestre, le champ gravitationnel du soleil pointe dans différentes directions.Cette différence significative par rapport à un champ uniforme signifie que l'orbite terrestre est assez éloignée d'une parabole.

La force gravitationnelle peut être considérée comme constante puisque la distance entre la Terre et le Soleil peut également être considérée comme constante, ce qui, selon la deuxième loi de Newton, signifie que l’accélération de la Terre est également constante. Cela ne signifierait-il pas que la Terre devrait simplement suivre un chemin parabolique?

Non, la force gravitationnelle du Soleil sur la Terre n'est pas une constante, pour deux raisons:

• il change de direction tout le temps, c'est-à-dire qu'il est toujours vers le Soleil lorsque la Terre (dans le cadre de référence du Soleil) tourne autour de lui, et
• sa magnitude change à mesure que la Terre se rapproche de plus en plus. En effet, l'énergie cinétique de la Terre due à son mouvement orbital au niveau de l'aphélie n'est pas assez grande pour la laisser se déplacer sur une orbite circulaire de ce rayon. Et c'est trop grand au périhélie pour se déplacer sur une orbite circulaire du rayon du périhélie. (Et partout entre le vecteur vitesse n'est pas perpendiculaire au vecteur radial entre la Terre et le Soleil.)

Si la Terre se déplaçait paraboliquement autour du Soleil, elle ne serait pas sur une orbite fermée. Il passerait par le soleil une fois et ne reviendrait jamais. C'est parce que pour avoir une orbite parabolique avec gravité newtonienne, $$ | \ vec {F} | = \ frac {Gm_Em_S} {r ^ 2}, $$ l'énergie cinétique de la Terre serait trop grande pour rester en orbite .

Y a-t-il une preuve mathématique (similaire à celle que j'ai mentionnée à propos des projectiles) donnant l'orbite elliptique en conséquence?

Oui, et il peut être trouvé à plusieurs endroits, généralement dans les livres de mécanique classique de deuxième cycle universitaire (et même de mécanique du génie). Voir les livres de Symon, Marion, Beer & JOhnston, Barger & Olsson, Taylor, pour en suggérer quelques-uns. Il s'agit d'une dérivation standard impliquant le calcul, et elle est trop longue pour être détaillée ici.

Et en fait, un projectile sur Terre suit également une trajectoire elliptique autour du centre (à peu près) de la Terre.Nous approchons la gravité newtonienne comme une magnitude constante, une force de direction constante pour de petites zones (comme les terrains de football), et obtenons la forme parabolique, qui est en fait une bonne approximation d'un court trajet elliptique.

Les trajectoires des projectiles ne sont pas réellement paraboliques près de la Terre. Une parabole n'implique pas une vitesse totale constante. Une parabole est une vitesse constante dans une direction et une accélération dans une direction perpendiculaire.

À petite échelle de la plupart des problèmes balistiques, la terre est beaucoup plus grande que la trajectoire du projectile. À une telle échelle, la terre peut être approchée comme un plan. Alors que la gravité tire les projectiles vers le centre de la terre, et est donc une direction qui change pour tout objet en mouvement, cette direction ne change pas de droite vers le bas, encore une fois à des échelles aussi petites. L'accélération est droite vers le bas, il n'y a pas d'accélération transversale, donc le résultat, pour fermer l'approximation, est parabolique. Si vous observiez le chemin de près et qu'il pouvait «tomber» à travers la terre, il suivrait un chemin elliptique.

L'équation réelle est:

$$ \ frac {1} {r} = c_0 + c_1 \ sin {\ theta} + c_2 \ cos {\ theta} $$ où $ r $ est la distance du centre de la terre.

Les c sont des constantes dépendant de la masse de la terre, du moment cinétique (une constante du mouvement) et de la masse du projectile.

$ r $ est la distance entre le projectile et le centre de la Terre. Thêta est le même thêta des coordonnées polaires.

Soit: $ L = mr ^ 2 \ dot {\ theta} $ .

$ L $ est le moment cinétique du projectile autour de la terre. $ \ dot {\ theta} $ est la vitesse angulaire le long de la trajectoire.

Le moment cinétique est constant dans le temps. Prendre les dérivées des deux côtés vous donne quelques informations sur l'évolution temporelle du système.

Si vous configurez correctement la coordonnée zéro de votre thêta, vous pouvez supposer $ c_1 = 0 $ .

réorganisation:

$$ r = \ frac {1 / c_0} {1+ (c_2 / c_0) \ cos {\ theta}} $$

On pourrait reconnaître cela comme une équation en coordonnées polaires d'une section conique avec l'origine du système de coordonnées à un foyer.

En faisant cela, $ c_2 / c_0 $ détermine l ' excentricité de votre trajectoire.Ce paramètre vous indique la forme de la trajectoire des projectiles: Excentricité orbitale

On m'a appris que lorsque l'accélération subie par un corps est constante, ce corps suit une courbe parabolique

Cette dernière partie est erronée.

Sous la force centrale, le corps suivra une section conique d'une certaine sorte.Une parabole est un type de section conique.Une ellipse en est une autre.Un cercle en est encore un autre.

Que vous suiviez un cercle, une ellipse ou une parabole dépend des conditions initiales - la quantité de force et la vitesse angulaire.

Mais très généralement, les corps ne suivent pas une parabole, mais une conique.

L'accélération gravitationnelle agit vers le centre de masse et suit la loi du carré inverse. Cela rendra toutes les vraies trajectoires elliptiques ou hyperboliques (en fonction de la vitesse de l'objet par rapport à la vitesse de fuite du corps agissant sur lui).

Lorsque nous examinons le mouvement d'objets proches de la surface de la Terre et voyageant sur de courtes distances, le centre de masse de la Terre est très éloigné, donc la gravité semble agir uniformément - les objets qui tombent suivront des chemins parallèles et l'accélération ne changera pas avec la hauteur . Dans ces conditions, les trajectoires seront paraboliques. Mais ce ne sont que des approximations, car les distances sur lesquelles le mouvement est observé sont si petites par rapport à la distance au centre de masse de la Terre. En d'autres termes, la formule quadratique et le mouvement parabolique tiennent lorsque vous faites des hypothèses sur la direction et l'uniformité du champ gravitationnel, mais ces hypothèses ne sont utiles qu'à petite échelle (par rapport à la source / distance gravitationnelle).

Le mouvement de la Terre autour du Soleil pourrait également être approché comme parabolique, mais l'approximation ne serait valable que sur de courtes distances. Si vous considérez une comète sur une orbite hautement elliptique autour du Soleil, le segment de sa trajectoire au niveau ou près de l'apoapside pourrait être considéré comme parabolique, mais ce n'est qu'une approximation.

De même, le mouvement du projectile "au-dessus de l'horizon" ne peut pas être simplement considéré comme une trajectoire parabolique. Par exemple: les canons de cuirassé ont évolué au point de pouvoir tirer des obus sur des dizaines de kilomètres. Mis à part les effets aérodynamiques / vent, un arc parabolique n'est pas une représentation adéquate de la trajectoire de l'obus car la courbure de la surface de la Terre et la différence de direction «vers le bas» devient significative sur la distance de déplacement de l'obus.

Une perspective mathématique / géométrique

Considérons que l'ellipse, la parabole et l'hyperbole sont toutes des sections coniques distinguées les unes des autres par excentricité (le cercle est un cas particulier d'ellipse d'excentricité dezéro).Les circonstances d'un problème de trajectoire donné détermineront l'excentricité et donc la conique appropriée.Dans le cas de la physique «quotidienne», la distance au barycenter de la Terre est approximée à l'infini;ceci met l'excentricité à 1 et la trajectoire prend la forme d'une parabole.Pour le problème «au-dessus de l'horizon», la distance au barycentre de la Terre ne peut pas être supposée infinie, donc la trajectoire prend la forme d'une ellipse.

La Terre ne suit pas une trajectoire parabolique car nous ne pourrions pas l'observer si elle ne le ferait pas.Nous n'existerions pas pour l'observer.Nous n'avons pas pu l'observer car d'autres trajectoires ne permettent pas à la terre de rester assez longtemps à une distance du soleil qui permet à la vie d'évoluer.

Ceci utilise le principe anthropique, qui est plus couramment utilisé pour expliquer pourquoi les constantes physiques ont des valeurs qui permettent à la vie d'évoluer.

Il y a un certain degré d'absurdité dans cette idée, mais je pense que c'est loin d'être complètement absurde.

J'essaie d'arriver au cœur de votre question.Il existe probablement un moyen mathématique de passer d'une trajectoire de projectile parabolique à une orbite, qu'elle soit essentiellement circulaire ou elliptique, mais je n'en ai pas entendu parler.L'atmosphère mise à part, à mesure que la vitesse des projectiles augmente de plus en plus, elle atteindra un point où la courbe prise par le projectile serait à peu près la même que la courbe de la Terre, circulaire.Même avec une trajectoire balistique, je pense que si la majeure partie de la terre ne le gênait pas, elle aurait une trajectoire elliptique autour du centre de la Terre.