Un tenseur du second ordre peut être représenté par une matrice, tout comme un tenseur du premier ordre peut être représenté par un tableau. Mais il y a plus dans le tenseur que juste sa disposition des composants; nous devons également inclure comment le tableau se transforme en cas de changement de base. Donc, le tenseur est un tableau à n dimensions satisfaisant une loi de transformation particulière.

Donc, oui, un tenseur du troisième ordre peut être représenté comme un tableau à 3 dimensions de nombres - en conjonction avec une loi de transformation associée .

Les matrices sont souvent d'abord présentées aux élèves pour représenter des transformations linéaires en prenant des vecteurs de $ \ mathbb {R} ^ n $ et en les mappant à des vecteurs dans $ \ mathbb {R} ^ m $. Une transformation linéaire donnée peut être représentée par une infinité de matrices différentes selon les vecteurs de base choisis pour $ \ mathbb {R} ^ n $ et $ \ mathbb {R} ^ m $, et une loi de transformation bien définie permet de réécrire l'opération linéaire pour chaque choix de vecteurs de base.

Les tenseurs de second rang sont assez similaires, mais il y a une différence importante qui apparaît pour les applications dans lesquelles les métriques de distance non euclidiennes (non plates) sont considérées, comme la relativité générale. Les tenseurs de deuxième rang peuvent non seulement mapper $ \ mathbb {R} ^ n $ à $ \ mathbb {R} ^ m $, mais peuvent également mapper entre les doubles espaces de $ \ mathbb {R} ^ n $ ou $ \ mathbb {R} ^ m $. La loi de transformation pour les tenseurs est similaire à celle apprise pour la première fois pour les opérateurs linéaires, mais permet la flexibilité supplémentaire de permettre au tenseur de basculer entre l'action sur des espaces doubles ou non.

Notez que pour les métriques de distance euclidienne, l'espace dual et l'espace vectoriel d'origine sont les mêmes, donc cette distinction n'a pas d'importance dans ce cas.

De plus, les tenseurs de 2e rang peuvent n'agissent pas seulement comme des cartes d'un espace vectoriel à un autre. L'opération de "contraction" tenseur (une généralisation du produit scalaire pour les vecteurs) permet aux tenseurs de second rang d'agir sur d'autres tenseurs de second rang pour produire un scalaire. Ce processus de contraction est généralisable pour des tenseurs de dimension supérieure, permettant des contractions entre des tenseurs de rangs variables pour produire des produits de rangs différents.

Pour faire écho à une autre réponse publiée ici, un tenseur de 2e rang à tout moment peut en effet être représenté par une matrice, ce qui signifie simplement des lignes et des colonnes de nombres sur une page. Ce que j'essaye de faire est d'offrir une distinction entre les matrices car elles sont d'abord introduites pour représenter des opérateurs linéaires à partir d'espaces vectoriels, et les matrices qui représentent les objets légèrement plus flexibles que j'ai décrits

Une matrice est un cas particulier de tenseur de second rang avec 1 index vers le haut et 1 index vers le bas. Il prend des vecteurs en vecteurs, (en contractant l'indice supérieur du vecteur avec l'indice inférieur du tenseur), des covecteurs en covecteurs (en contractant l'indice inférieur du covecteur avec l'indice supérieur du tenseur), et en général, il peut prendre un m tenseur supérieur / n-inférieur soit à m-supérieur / n-inférieur en agissant sur l'un des indices up, soit à m-supérieur / n-inférieur en agissant sur l'un des indices inférieurs, ou à m-1 -upper / n-1-lower en contractant avec un index supérieur et un index inférieur.

Il n'y a aucun avantage à la notation matricielle si vous connaissez les tenseurs, c'est un cas particulier où l'opération du produit tensoriel plus une contraction produit un objet du même type. La notation tensorielle généralise correctement le calcul des vecteurs et de l'algèbre linéaire pour créer les bons objets mathématiques.

À proprement parler, les matrices et les tenseurs de rang 2 ne sont pas tout à fait la même chose, mais il existe une correspondance étroite qui fonctionne pour la plupart des buts pratiques rencontrés par les physiciens.

Une matrice est un tableau bidimensionnel de nombres (ou de valeurs d'un champ ou d'un anneau). Un tenseur à 2 rangs est une carte linéaire de deux espaces vectoriels, sur un champ tel que les nombres réels, vers ce champ. Si les espaces vectoriels sont de dimension finie, vous pouvez sélectionner une base pour chacun et former une matrice de composants. Cette correspondance entre les matrices et les tenseurs de rang 2 est un à un, vous pouvez donc les considérer comme la même chose, mais à proprement parler, ils sont juste équivalents.

Vous pouvez créer des cas d'espaces vectoriels de dimension infinie où aucune représentation significative en termes de matrices pour les tenseurs correspondants n'est possible même lorsque le champ est les nombres réels et que les matrices peuvent avoir une infinité de composantes. Certains de ces exemples sont pertinents pour la physique, par ex. lorsque les espaces vectoriels sont des fonctionnels dont la dimension est (en termes perdus) infiniment infinie. Pour cette raison, c'est une bonne idée de garder à l'esprit la distinction entre ce que sont réellement les tenseurs et les matrices de tableaux, même si vous n'êtes qu'un physicien.

C'est une bête noire à moi.Ayant été géomètre au début de ma carrière.Une grande partie de la discussion précédente est correcte.Un tenseur de différents rangs sont des transformations linéaires.Cependant, un tenseur est un invariant sous les systèmes de coordonnées sélectionnés.

La façon la plus simple d'y penser est qu'un vecteur est une grandeur et une direction et seulement peut être exprimé sous forme de tableau une fois qu'un système de coordonnées est choisi.De même, un tenseur de rang 2 peut uniquement être exprimé sous forme de matrice lorsqu'un système de coordonnées est choisi.

C'est pourquoi il est utilisé en physique comme le tenseur d'énergie de contrainte ou le tenseur d'indice de réfraction des cristaux anistropiques.C'est cette invariance de coordonnées qui le rend utile pour décrire les propriétés physiques.

Non.Une matrice peut signifier un certain nombre de choses, une liste de nombres, de symboles ou le nom d'un film.Mais cela ne peut jamais être un tenseur.Les matrices ne peuvent être utilisées que comme certaines représentations de tenseurs, mais en tant que telles, elles obscurcissent toutes les propriétés géométriques des tenseurs qui sont simplement des fonctions multilinéaires sur des vecteurs.

$$ \ def \ cR # 1 {\ color {rouge} {# 1}} \ def \ cG # 1 {\ color {vert} {# 1}} $$

Ils semblent si similaires, mais ...

Il y a souvent confusion concernant les indices lorsque nous transformons un tenseur de rang 2, $ T_ {ij} $ . Parce que les matrices peuvent représenter des tenseurs de rang 2, il est tentant de commencer à se multiplier. Mais l'ordre des index est crucial.

Maintenant, multiplication matricielle régulière, $ C = AB $ additionne le deuxième index de A et le premier index de B: $ C_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B _ {\ cR {c} b} $ , où $ \ cR {c} $ est l'index de sommation ("index factice").

Si nous utilisons le deuxième index de B, $ D_ {ab} = A_ {a \ cR {c}} B_ {b \ cR {c}} $ , alors ce que nous obtenons est $ D = AB ^ T $ .

Nous lisons dans un manuel que "T se transforme comme un tenseur sous rotation R" signifie que $ T_ {ab} \ rightarrow T '_ {ab} = R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ . Notez surtout qu'un R opère sur le premier index et que l'autre R opère sur le deuxième index.

Par conséquent, cela ne signifie pas $ T \ rightarrow T '= RRT $ en notation matricielle. Faux!

La notation matricielle correcte est $ T \ rightarrow T '= RTR ^ T $ .

Voir la correspondance peut être délicat, se perdre dans les index. Utilisez l'intermédiaire $ D_ {bc} = R_ {b \ cR {d}} T_ {c \ cR {d}} $ (comme ci-dessus, c'est $ D = RT ^ T $ ) pour que $ R_ {a \ cR {c}} R_ {b \ cG {d}} T _ {\ cR {c} \ cG {d}} $ devient $ R_ {a \ cR {c}} D_ {b \ cR {c}} $ . Ceci additionne également le deuxième index de D donc il est égal à $ RD ^ ​​T $ . Remplacez la valeur de $ D: RD ^ ​​T = R (RT ^ T) ^ T = R (T ^ T) ^ T (R) ^ T = RTR ^ T. $

1. Tous les scalaires ne sont pas des tenseurs, bien que tous les tenseurs de rang 0 soient des scalaires (voir ci-dessous).
2. Tous les vecteurs ne sont pas des tenseurs, bien que tous les tenseurs de rang 1 soient des vecteurs (voir ci-dessous).
3. Toutes les matrices ne sont pas des tenseurs, bien que tous les tenseurs de rang 2 soient des matrices.

Exemple pour 3: Matrice M (m11 = x, m12 = -y, m21 = x ^ 2, m22 = -y ^ 2). Cette matrice n'est pas de rang tenseur 2. Testez la matrice M en matrice de rotation.