Question:
Quand est-il utile de faire la distinction entre les vecteurs et les pseudo-vecteurs en physique expérimentale et théorique?
BMS
2014-08-09 02:40:00 UTC
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Ma compréhension des pseudo-vecteurs par rapport aux vecteurs est assez basique. Les deux se transforment de la même manière sous une rotation, mais différemment lors de la réflexion. Je pourrais même être capable de résumer cela en utilisant une équation, mais c'est à peu près tout.

De même, je peux suivre des arguments selon lesquels les pseudo-vecteurs se comportent différemment dans les «miroirs» que dans les vecteurs. Mais ma réponse à cela est toujours: OK, et alors? Quand est-ce que je ferais de la physique dans un miroir?

L'utilité m'échappe. J'aimerais mieux comprendre l'importance de cette différence.

  • Quand est-il utile pour un physicien expérimental de faire la distinction entre les deux?
  • Quand est-il utile pour un physicien théoricien de faire la distinction entre les deux?

Je pense que la symétrie est importante pour au moins l'un d'entre eux, mais apprécier un argument pratique plutôt qu'abstrait pour savoir quand il faut faire attention à la distinction.

Cinq réponses:
#1
+85
ACuriousMind
2014-08-09 03:04:19 UTC
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[Clause de non-responsabilité: je ne fournis pas d'argument où la distinction serait utile . Je propose un argument selon lequel les pseudovecteurs et les vecteurs décrivent des concepts géométriques intrinsèquement différents, et ne devraient, pour clarifier l'argument, ne jamais être confondus simplement parce qu'ils se ressemblent tellement]

Le fait est que les pseudovecteurs, de par leur nature même, ne sont pas les mêmes objets que les vecteurs:

Un vecteur , tel que communément compris en physique, est un élément de l'espace vectoriel $ \ mathbb {R} ^ n $ couvert par la base standard $ e_i $. Il pointe dans une direction , et est géométriquement connecté à une ligne , c'est-à-dire un sous-espace unidimensionnel de $ \ mathbb {R} ^ n $.

Un pseudovecteur , comme presque personne ne vous le dira jamais explicitement, est un élément du sous-haut degré de l ' algèbre extérieure $ \ Lambda ^ {n-1 } \ mathbb {R} ^ n $, l'espace couvert par $ e_ {i_1} \ wedge \ dots \ wedge e_ {i_ {n-1}} $. Ceci ne pointe pas directement dans une direction, mais est géométriquement l'hyperplan $ n-1 $ -dimensionnel couvert par les vecteurs $ e_ {i_1}, \ dots, e_ {i_ {n-1}} $, et peut alors être interprété comme pointant dans la direction perpendiculaire à cet hyperplan. Formellement, cette traduction d'hyperplans en vecteurs normaux est le Hodge dual mapping $ \ Lambda ^ k \ mathbb {R} ^ n $ en $ \ Lambda ^ {nk} \ mathbb {R} ^ n $ .

Et là vous voyez pourquoi les pseudovecteurs sont géométriquement différents des vecteurs sous réflexion: Dans $ \ mathbb {R} ^ 3 $, c'est-à-dire notre monde ordinaire, les plans sont enjambés par deux vecteurs - si les deux changent de signe, le pseudovecteur décrit par eux ne le sera pas (puisque le coin $ \ wedge $ est linéaire et anticommutatif).

Une importance de ces considérations est lorsque vous souhaitez passer de $ \ mathbb {R} ^ 3 $ à des dimensions supérieures. Vous perdez le produit croisé (qui n'est en réalité que la concaténation du coin et du Hodge), et vos anciens pseudovecteurs ne sont plus du tout des vecteurs au sens ordinaire du terme , puisque $ \ Lambda ^ 2 \ mathbb {R} ^ n $ ("l'espace des plans") ne correspond pas à des vecteurs normaux uniques par le double de Hodge dans des dimensions qui ne sont pas trois. Maintenant, vous devez vraiment distinguer vos anciens pseudovecteurs et vecteurs, car ils ont maintenant un nombre différent d'entrées de coordonnées indépendantes.

#2
+21
dmckee --- ex-moderator kitten
2014-08-09 11:39:52 UTC
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Non seulement vous pouvez faire de la physique "dans un miroir", mais j'ai participé à une expérience impliquant exactement cela.

L'interaction faible est, eh bien, faible. Et cela rend très difficile l'accès à tout processus physique qui peut également passer par d'autres interactions. Ainsi, vous pouvez voir la faible interaction au travail dans la désintégration bêta, mais à l'ordre principal, vous ne pouvez pas la voir au travail lorsqu'un électron se disperse à partir d'un proton (car le signal de l'interaction électromagnétique est d'environ 10 $ ^ 5 $ plus grand) .

Mais il y a une mise en garde.

Vous voyez que l'interaction électromagnétique respecte la parité à une quantité conservée, et l'interaction faible ne le fait pas. Cela équivaut à dire que l'interaction électroménétique est représentée par un vecteur et l'interaction faible par la somme d'un vecteur et d'un pseudo vecteur (bien que pour des raisons historiques nous l'appelions un "vecteur axial" qui est un synonyme). Tout cela signifie que si vous configurez une interaction de dispersion dans laquelle le résultat est différent lorsque la parité est respectée et lorsqu'elle est violée, alors toute la violation de parité que vous observez peut être attribuée à l'interaction faible.

Entrez $ G ^ 0 $ qui a mesuré les facteurs de forme du proton comme vu par l'interaction faible (et dont je faisais partie) et Q -weak qui est un test fondamental de l'interaction faible.

#3
+6
Danijel
2014-08-10 14:06:02 UTC
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La différence intéressante pour la physique théorique est que les généralisations $ n $ -dimensionnelles de quantités qui sont des vecteurs ont $ n $ composantes, tandis que les généralisations $ n $ -dimensionnelles de quantités qui sont des pseudo-vecteurs, comme le moment cinétique, ont $ \ frac { 1} {2} n (n-1) $ composants.

Cela coïncide pour 3 dimensions, c'est pourquoi la même notation vectorielle est généralement utilisée pour les deux, au lieu de l'utiliser uniquement pour les vecteurs et d'utiliser $ n \ times n $ matrices antisymétriques pour les quantités qui sont des pseudo-vecteurs.

#4
+6
Nikos M.
2014-08-18 07:00:50 UTC
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Les autres réponses étant bonnes, je vais essayer de donner une perspective différente.

Qu'est-ce qu'un vecteur? Comme le disait Feynman (" Feynman donne des cours sur la physique "), ce ne sont pas tous les groupes de nombres (ie $ \ left (a_1, a_2, .., a_n \ right) $) qui font un vecteur simplement parce qu'il a des composants $ n $. Pourquoi? Parce que les vecteurs ont une relation spécifique (ou plus correctement une relation transformationnelle) avec la base sous-jacente de l'espace dont ils font partie. Cela crée un vecteur (ou vecteur polaire).

De toute évidence, les vecteurs axiaux (ou pseudo-vecteurs) ne partagent pas cette propriété de vecteurs (comme d'autres réponses ont également noté).

Pourquoi est-ce? Quelle est la relation d'un vecteur à un vecteur axial? Et quelle est la représentation physique de chacun. Eh bien, la représentation physique est que les vecteurs représentent des transformations de translation tandis que les vecteurs axiaux représentent des transformations de rotation . Il n’est pas exact que les vecteurs axiaux ne représentent pas la direction, ils représentent le sens de rotation (c.-à-d. Gaucher vs droitier) .

Voilà. Cela montre clairement pourquoi les propriétés de transformation des deux sont différentes. Puisqu'une rotation met en relation les composants de base de l'espace d'une manière spécifique (contrairement à une translation ou à une mise à l'échelle), lorsque les composants de base changent (c'est-à-dire la transformation de coordonnées), les pseudo-vecteurs changent de manière à maintenir ou à compenser la représentation qu'ils ont, c'est-à-dire la direction (et l'amplitude) de la rotation (et non la direction et l'amplitude de la translation comme le font les vecteurs).

La signification du ci-dessus dans les contextes théorique et expérimental est le comportement de ces entités face aux transformations de l'appareil expérimental et / ou aux transformations de l'espace sous-jacent dont elles font partie.

#5
+4
Per Arve
2014-08-17 02:15:05 UTC
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Tous les termes d'une somme ou des deux côtés d'une égalité doivent être du même type, qu'ils soient vectoriels ou pseudo-vecteurs. Sinon, l'expression cassera la symétrie de réflexion. Ceci est une vérification utile des formules et des explications physiques possibles de différents phénomènes.



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