Comprendre pourquoi cela fonctionne s'avère assez profond. Cette réponse est en quelque sorte une longue histoire, mais il n'y a pas de calcul. À la fin («Une approche plus formelle»), il y a un aperçu du fonctionnement des mathématiques: passez à cela si vous ne voulez pas l'histoire.
Géométrie des insectes
Pensez à un petit insecte ou à quelque chose qui vit à la surface du papier. Cet insecte ne peut pas voir du papier, mais il peut dessiner des lignes droites et mesurer des angles sur le papier.
Comment dessine-t-il des lignes droites? Eh bien, il le fait de deux manières: soit il prend deux points, trace des lignes entre eux sur le papier, et trouve la ligne la plus courte entre eux, qu'il appelle «droite»; ou bien il trace une ligne de telle sorte qu'elle soit parallèle à elle-même et l'appelle ceci "droite". Il y a une astuce géométrique pour construire de telles lignes «parallèles à elles-mêmes» que je ne vais pas aborder. Et il s'avère que ces deux types de lignes sont identiques.
Je ne sais pas comment il mesure les angles: peut-être qu'il a un petit rapporteur.
Maintenant, notre insecte peut faire de la géométrie. Il peut dessiner divers triangles sur le papier et mesurer les angles aux coins de ces triangles. Et il va toujours trouver que les angles s'additionnent à $ \ pi $ ( $ 180 ^ \ circ $ ), bien sûr. Vous pouvez faire cela aussi et vérifier les résultats de l'insecte, et beaucoup de gens le font à l'école. L'insecte (appelons-le "Euclide") peut développer un système de géométrie entier sur sa feuille de papier, en fait. D'autres artistes d'insectes en feront des images et des sculptures, et le livre sur la géométrie qu'il rédigera sera utilisé dans les écoles d'insectes pendant des milliers d'années. En particulier, l'insecte peut construire des formes à partir de lignes droites, mesurer les zones à l'intérieur et développer un tas de règles pour cela: les rectangles ont des zones qui sont égales à $ w \ times h $ par exemple.
Je n'ai pas précisé quelque chose ci-dessus: je ne vous ai pas dit si le papier reposait à plat sur un bureau ou s'il était courbé dans votre main. C'est parce que cela n'a pas d'importance pour l'insecte : l'insecte ne peut pas dire si nous pensons que le papier est courbé, ou si nous pensons qu'il est plat: les lignes et l'angle les mesures sont exactement les mêmes . Et c'est parce que, dans un vrai sens, l'insecte a raison et nous avons tort: le papier est plat, même quand on pense qu'il est courbé . Ce que je veux dire par là, c'est qu'il n'y a pas de mesure que vous puissiez faire, sur la surface du papier qui vous dira si elle est "courbée" ou "plate".
Alors maintenant, secouez le papier et faites tomber l'un des insectes et atterrissez sur une tomate. Cet insecte commence à faire sa géométrie à la surface de la tomate, et il trouve quelque chose d'assez choquant: à petite échelle, tout semble correct, mais quand il commence à essayer de construire de grandes figures, les choses tournent terriblement mal: les angles dans ses triangles s'additionnent à plus que $ \ pi $ . Des lignes qui commencent parallèlement, assez étendues, se rencontrent deux fois, et il n'y a en fait aucune notion globale de parallélisme . Et quand il mesure la zone à l'intérieur des formes, il constate que c'est toujours plus qu'il ne le pense: d'une manière ou d'une autre, il y a plus de tomates à l'intérieur des formes qu'il n'y a de papier.
La tomate, en fait, est courbée : sans jamais quitter la surface de la tomate, l'insecte peut savoir que la surface est en quelque sorte déformée. Finalement, il peut développer toute une théorie de la géométrie de la tomate, et plus tard, des insectes vraiment intelligents avec des noms comme `` Gauss '' et `` Riemann '' développeront une théorie qui leur permet de décrire la géométrie des surfaces courbes en général: tomates, poires, etc. .
Courbure extrinsèque intrinsèque d'&
Pour être vraiment précis, nous parlons de la feuille de papier étant `` intrinsèquement plane '' et la surface de la tomate étant `` intrinsèquement courbée '': cela signifie simplement que, en effectuant des mesures sur la seule surface nous pouvons dire si les règles de la géométrie euclidienne tiennent ou non.
Il existe une autre sorte de courbure qui est la courbure extrinsèque : c'est le genre de courbure que vous ne pouvez mesurer qu'en considérant un objet comme étant incorporé dans un espace de dimension supérieure. Ainsi, dans le cas des feuilles de papier, les surfaces de celles-ci sont des objets bidimensionnels noyés dans l'espace tridimensionnel où nous vivons. Et nous pouvons dire si ces surfaces sont courbes extrinsèquement en construisant des vecteurs normaux aux surfaces et en vérifiant si elles pointent toutes dans la même direction. Mais les insectes ne peuvent pas faire cela: ils ne peuvent mesurer que la courbure intrinsèque.
Et, surtout, quelque chose peut être incurvé extrinsèquement tout en étant intrinsèquement plat. (L'inverse n'est pas vrai, du moins dans le cas du papier: s'il est intrinsèquement courbé, il est également courbé extrinsèquement.)
Étirement de la compression d'&
Il y a une chose critique à propos de la différence entre les surfaces intrinsèquement planes et intrinsèquement courbes que j'ai mentionnées en passant ci-dessus: la zone à l'intérieur des formes est différente . Cela signifie que la surface est étirée ou comprimée: dans le cas de la tomate, il y a plus de surface à l'intérieur des triangles que pour le papier plat.
Ce que cela signifie, c'est que si vous voulez prendre un objet intrinsèquement plat et le déformer pour qu'il soit intrinsèquement courbé, vous devez en étirer ou en compresser des parties: si nous voulions prendre une feuille de papier et la courber sur la surface d'une sphère, alors nous aurions besoin d'étirer & pour la compresser: il n'y a pas d'autre moyen de le faire.
Ce n'est pas vrai pour la courbure extrinsèque: si je prends un peu de papier et le roule dans un cylindre, disons, la surface du papier n'est pas étirée ou comprimée du tout. (En fait, c'est un peu parce que le papier est en fait un objet tridimensionnel fin, mais le papier bidimensionnel idéal ne l'est pas.)
Pourquoi le papier courbé le rend rigide
Enfin, je peux répondre à la question. Le papier est assez résistant à l'étirement de la compression &: si vous essayez d'étirer une feuille de papier (sèche), elle se déchirera avant qu'elle ne se soit vraiment étirée, et si vous essayez de la compresser, elle se pliera d'une manière horrible mais ne se compressera pas. .
Mais le papier est vraiment fin, donc il n'est pas très résistant à la flexion (parce que le plier ne l'étire qu'un tout petit peu, et pour notre papier bidimensionnel idéal, il ne l'étire pas du tout).
Cela signifie qu'il est facile de courber le papier extrinsèquement mais très difficile de le courber intrinsèquement .
Et maintenant, je vais un peu agiter mes mains: si vous courbez le papier en forme de «U» comme vous l'avez fait, alors vous ne le courbez qu'extrinsèquement: il est toujours intrinsèquement plat. Cela ne me dérange donc pas du tout. Mais s'il commence aussi à se courber dans l'autre sens, alors il devra se courber intrinsèquement : il devra s'étirer ou se comprimer. Il est facile de voir cela en regardant simplement le papier: quand il est courbé en un `` U '', alors pour le courber dans l'autre direction, soit le haut du `` U '' va devoir s'étirer ou le bas va avoir besoin de compresser.
Et c'est pourquoi courber le papier comme ça le rend rigide: il `` utilise '' la capacité de courber extrinsèquement le papier de sorte que toute courbure extrinsèque supplémentaire implique également une courbure intrinsèque , ce que le papier n'aime pas à faire.
Pourquoi tout cela est important
Comme je l'ai dit au début, c'est une question assez profonde.
- Les mathématiques derrière tout cela sont absolument fascinantes et belles, tout en étant relativement faciles à comprendre une fois que vous les avez vues. Si vous le comprenez, vous obtenez un aperçu de la façon dont l'esprit de personnes comme Gauss fonctionnait, ce qui est tout simplement charmant.
- Les mathématiques et la physique qui la sous-tendent se révèlent être certaines des mathématiques dont vous avez besoin pour comprendre la relativité générale, qui est une théorie sur la courbure. Donc, en comprenant bien cela, vous commencez sur la voie de la compréhension de la théorie la plus belle et la plus profonde de la physique moderne (j'allais écrire `` l'une des plus ... '' mais non: il y a GR et il y a tout le reste).
- Les mathématiques et la physique qui la sous-tendent sont également importantes dans des domaines tels que l'ingénierie: si vous voulez comprendre pourquoi les poutres sont solides ou pourquoi les panneaux de voiture sont rigides, vous devez comprendre cela.
- Et enfin ce sont les mêmes maths : les mathématiques dont vous avez besoin pour comprendre diverses structures techniques sont assez proches des mathématiques dont vous avez besoin pour comprendre GR: à quel point est-ce cool?
Une approche plus formelle: un théorème remarquable
La dernière section ci-dessus impliquait un peu de handwaving: le moyen de le rendre moins handwavy est dû au merveilleux Theorema Egregium ("théorème remarquable") dû à Gauss. Je ne veux pas entrer dans les détails complets (en fait, je ne suis probablement plus à la hauteur), mais le truc que vous faites est que pour une surface à deux dimensions, vous pouvez construire le vecteur normal $ \ vec {n} $ en trois dimensions (le vecteur pointant vers l'extérieur de la surface), et vous pouvez considérer comment ce vecteur change de direction (en trois dimensions) lorsque vous le déplacez diverses courbes sur la surface. En tout point de la surface, il y a deux courbes qui la traversent: une sur laquelle le vecteur change de direction le plus rapidement le long de la courbe, et une le long de laquelle change de direction le plus lentement (cela découle essentiellement de la continuité).
Nous pouvons construire un nombre, $ r $ qui décrit la vitesse à laquelle le vecteur change de direction le long d'une courbe (j'ai complètement oublié comment faire cela, mais Je pense que c'est simple), et pour ces deux courbes minimales maximales d'&, nous pouvons appeler les deux taux $ r_1 $ et $ r_2 $ . $ r_1 $ & $ r_2 $ sont appelés les deux courbures principales du surface.
Ensuite, la quantité $ K = r_1r_2 $ est appelée la courbure gaussienne de la surface, et le théorème egregium dit que cette quantité est intrinsèque à la surface: vous pouvez la mesurer simplement en mesurant des angles et cetera sur la surface. La raison pour laquelle le théorème est remarquable est que toute la définition de $ K $ impliquait des choses qui sont extrinsèques à la surface, en particulier les deux principaux courbures. Parce que $ K $ est intrinsèque, nos insectes peuvent le mesurer !
La géométrie euclidienne est vraie (en particulier le postulat parallèle est vrai) pour les surfaces où $ K = 0 $ uniquement.
Et nous pouvons maintenant être un peu plus précis sur tout ce qui a été dit plus haut sur la compression d'&. Si nous ne sommes pas autorisés à étirer & compresser la feuille de papier, alors tout ce que nous sommes autorisés à y faire ne modifie aucune mesure que les insectes peuvent faire: des longueurs ou des angles qui sont intrinsèques, c'est-à-dire mesurés. entièrement dans la surface du papier, ne peut pas changer sauf si vous étirez ou compressez le papier. Les modifications apportées au papier qui préservent ces propriétés intrinsèques sont appelées isométries . Et comme $ K $ est intrinsèque, il n'est pas modifié par les isométries.
Considérons maintenant une feuille de papier plate en trois dimensions. Il est évident que $ r_1 = r_2 = 0 $ (le vecteur normal pointe toujours dans la même direction). Donc $ K = 0 $ .
Maintenant, pliez le papier en forme de 'U': il est maintenant clair que $ r_1 \ ne 0 $ - si vous dessinez une courbe à travers la vallée dans le papier puis le vecteur normal de cette courbe change de direction. Mais ce pliage est une isométrie: nous n'avons ni étiré ni compressé le papier. Donc $ K $ doit toujours être $ 0 $ : le papier est toujours intrinsèquement plat. Mais puisque $ K = r_1r_2 $ et $ r_1 \ ne 0 $ cela signifie que $ r_2 = 0 $ .
Et ce que ceci signifie, c'est que l'autre courbure principale doit être nulle. Cette courbure principale est le long de la ligne qui descend la vallée du «U». En d'autres termes, le papier ne peut pas se plier dans l'autre sens sans devenir intrinsèquement courbé ( $ K \ ne 0 $ ), ce qui signifie qu'il doit s'étirer.
(J'ai encore un peu agité ici: je n'ai pas défini comment vous calculez $ r $ , et je n'ai pas montré qu'il n'y avait pas d'autre courbe vous pouvez dessiner le long du papier qui a $ r = 0 $ en dehors de l'évident.)
L'une des raisons pour lesquelles tout cela est assez intéressant est que ce calcul est le début des mathématiques dont vous avez besoin pour comprendre la relativité générale, qui concerne également la courbure.
Échec et pliage
Bien sûr, si vous prenez le morceau de papier en forme de U et essayez de le plier dans l'autre sens à un moment donné, il échouera soudainement et se pliera d'une manière compliquée.Je pense qu'il y a tout un domaine d'étude qui réfléchit à cela.Je soupçonne que lorsque cela se produit (pendant l'échec soudain, pas après je pense), il doit y avoir, localement, une courbure intrinsèque non nulle à certains endroits sur le papier.Je suis sûr qu'il y a beaucoup de mathématiques intéressantes à ce sujet (à part toute autre chose, cela doit être très intéressant pour les structures d'ingénierie), mais je ne le sais pas.