Question:
Pourquoi plions-nous un livre pour le garder droit?
Krishnanand J
2019-04-16 13:11:33 UTC
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J'ai remarqué que j'avais toujours plié mon livre, quand je le lisais d'une seule main.

book


Cela fonctionne également pour les feuilles flexibles planes de n'importe quel matériau.

Illustration sur une feuille A4

Wsans plier la feuille: No bend


Wavec un coude le long de l'axe perpendiculaire With bend


Comment expliquez-vous cette robustesse, qui ne vient que lorsque l'objet est plié le long de l'axe perpendiculaire? J'ai l'impression que c'est un problème lié aux propriétés élastiques des plans fins.Mais toutes les autres versions sont également les bienvenues.

Numberphile a répondu à une version de ceci avec une pizza plutôt qu'un livre: [The Remarkable Way We Eat Pizza - Numberphile] (https://www.youtube.com/watch?v=gi-TBlh44gY)
@MannyC: Quels que soient les avantages obtenus en regardant des vidéos Numberphile sont plus que compensés par les mauvaises mathématiques qui les imprègnent.Triste à dire, mais vrai.
La réponse ci-dessous est longue, je vais donc simplement suggérer l'article de Wikipedia sur Theorema Egregium si vous avez déjà une bonne compréhension du fonctionnement des surfaces, comme il l'explique en termes de géométrie différentielle.Cette question était probablement celle qui avait dû se poser à Gauss à un moment où il avait un de ses cahiers à la main et se rendit compte qu'il le tenait droit en le pliant.Fondamentalement, la rigidité est créée perpendiculairement à la direction du pliage, ce qui peut être expliqué rigoureusement en utilisant une géométrie différentielle sur les surfaces.
Vous avez réinventé la tôle ondulée, qui vous permet d'ajuster séparément la rigidité et la résistance.La rigidité est déterminée par l'épaisseur de la structure, y compris les ondulations, tandis que la résistance dépend de l'épaisseur de la feuille.
Le théorème de Gauss peut voir une amende https://en.wikipedia.org/wiki/Theorema_Egregium
-1 pour ne pas utiliser Pizza
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Huit réponses:
#1
+231
tfb
2019-04-16 18:12:26 UTC
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Comprendre pourquoi cela fonctionne s'avère assez profond. Cette réponse est en quelque sorte une longue histoire, mais il n'y a pas de calcul. À la fin («Une approche plus formelle»), il y a un aperçu du fonctionnement des mathématiques: passez à cela si vous ne voulez pas l'histoire.

Géométrie des insectes

Pensez à un petit insecte ou à quelque chose qui vit à la surface du papier. Cet insecte ne peut pas voir du papier, mais il peut dessiner des lignes droites et mesurer des angles sur le papier.

Comment dessine-t-il des lignes droites? Eh bien, il le fait de deux manières: soit il prend deux points, trace des lignes entre eux sur le papier, et trouve la ligne la plus courte entre eux, qu'il appelle «droite»; ou bien il trace une ligne de telle sorte qu'elle soit parallèle à elle-même et l'appelle ceci "droite". Il y a une astuce géométrique pour construire de telles lignes «parallèles à elles-mêmes» que je ne vais pas aborder. Et il s'avère que ces deux types de lignes sont identiques.

Je ne sais pas comment il mesure les angles: peut-être qu'il a un petit rapporteur.

Maintenant, notre insecte peut faire de la géométrie. Il peut dessiner divers triangles sur le papier et mesurer les angles aux coins de ces triangles. Et il va toujours trouver que les angles s'additionnent à $ \ pi $ ( $ 180 ^ \ circ $ ), bien sûr. Vous pouvez faire cela aussi et vérifier les résultats de l'insecte, et beaucoup de gens le font à l'école. L'insecte (appelons-le "Euclide") peut développer un système de géométrie entier sur sa feuille de papier, en fait. D'autres artistes d'insectes en feront des images et des sculptures, et le livre sur la géométrie qu'il rédigera sera utilisé dans les écoles d'insectes pendant des milliers d'années. En particulier, l'insecte peut construire des formes à partir de lignes droites, mesurer les zones à l'intérieur et développer un tas de règles pour cela: les rectangles ont des zones qui sont égales à $ w \ times h $ par exemple.

Je n'ai pas précisé quelque chose ci-dessus: je ne vous ai pas dit si le papier reposait à plat sur un bureau ou s'il était courbé dans votre main. C'est parce que cela n'a pas d'importance pour l'insecte : l'insecte ne peut pas dire si nous pensons que le papier est courbé, ou si nous pensons qu'il est plat: les lignes et l'angle les mesures sont exactement les mêmes . Et c'est parce que, dans un vrai sens, l'insecte a raison et nous avons tort: ​​ le papier est plat, même quand on pense qu'il est courbé . Ce que je veux dire par là, c'est qu'il n'y a pas de mesure que vous puissiez faire, sur la surface du papier qui vous dira si elle est "courbée" ou "plate".

Alors maintenant, secouez le papier et faites tomber l'un des insectes et atterrissez sur une tomate. Cet insecte commence à faire sa géométrie à la surface de la tomate, et il trouve quelque chose d'assez choquant: à petite échelle, tout semble correct, mais quand il commence à essayer de construire de grandes figures, les choses tournent terriblement mal: les angles dans ses triangles s'additionnent à plus que $ \ pi $ . Des lignes qui commencent parallèlement, assez étendues, se rencontrent deux fois, et il n'y a en fait aucune notion globale de parallélisme . Et quand il mesure la zone à l'intérieur des formes, il constate que c'est toujours plus qu'il ne le pense: d'une manière ou d'une autre, il y a plus de tomates à l'intérieur des formes qu'il n'y a de papier.

La tomate, en fait, est courbée : sans jamais quitter la surface de la tomate, l'insecte peut savoir que la surface est en quelque sorte déformée. Finalement, il peut développer toute une théorie de la géométrie de la tomate, et plus tard, des insectes vraiment intelligents avec des noms comme `` Gauss '' et `` Riemann '' développeront une théorie qui leur permet de décrire la géométrie des surfaces courbes en général: tomates, poires, etc. .

Courbure extrinsèque intrinsèque d'&

Pour être vraiment précis, nous parlons de la feuille de papier étant `` intrinsèquement plane '' et la surface de la tomate étant `` intrinsèquement courbée '': cela signifie simplement que, en effectuant des mesures sur la seule surface nous pouvons dire si les règles de la géométrie euclidienne tiennent ou non.

Il existe une autre sorte de courbure qui est la courbure extrinsèque : c'est le genre de courbure que vous ne pouvez mesurer qu'en considérant un objet comme étant incorporé dans un espace de dimension supérieure. Ainsi, dans le cas des feuilles de papier, les surfaces de celles-ci sont des objets bidimensionnels noyés dans l'espace tridimensionnel où nous vivons. Et nous pouvons dire si ces surfaces sont courbes extrinsèquement en construisant des vecteurs normaux aux surfaces et en vérifiant si elles pointent toutes dans la même direction. Mais les insectes ne peuvent pas faire cela: ils ne peuvent mesurer que la courbure intrinsèque.

Et, surtout, quelque chose peut être incurvé extrinsèquement tout en étant intrinsèquement plat. (L'inverse n'est pas vrai, du moins dans le cas du papier: s'il est intrinsèquement courbé, il est également courbé extrinsèquement.)

Étirement de la compression d'&

Il y a une chose critique à propos de la différence entre les surfaces intrinsèquement planes et intrinsèquement courbes que j'ai mentionnées en passant ci-dessus: la zone à l'intérieur des formes est différente . Cela signifie que la surface est étirée ou comprimée: dans le cas de la tomate, il y a plus de surface à l'intérieur des triangles que pour le papier plat.

Ce que cela signifie, c'est que si vous voulez prendre un objet intrinsèquement plat et le déformer pour qu'il soit intrinsèquement courbé, vous devez en étirer ou en compresser des parties: si nous voulions prendre une feuille de papier et la courber sur la surface d'une sphère, alors nous aurions besoin d'étirer & pour la compresser: il n'y a pas d'autre moyen de le faire.

Ce n'est pas vrai pour la courbure extrinsèque: si je prends un peu de papier et le roule dans un cylindre, disons, la surface du papier n'est pas étirée ou comprimée du tout. (En fait, c'est un peu parce que le papier est en fait un objet tridimensionnel fin, mais le papier bidimensionnel idéal ne l'est pas.)

Pourquoi le papier courbé le rend rigide

Enfin, je peux répondre à la question. Le papier est assez résistant à l'étirement de la compression &: si vous essayez d'étirer une feuille de papier (sèche), elle se déchirera avant qu'elle ne se soit vraiment étirée, et si vous essayez de la compresser, elle se pliera d'une manière horrible mais ne se compressera pas. .

Mais le papier est vraiment fin, donc il n'est pas très résistant à la flexion (parce que le plier ne l'étire qu'un tout petit peu, et pour notre papier bidimensionnel idéal, il ne l'étire pas du tout).

Cela signifie qu'il est facile de courber le papier extrinsèquement mais très difficile de le courber intrinsèquement .

Et maintenant, je vais un peu agiter mes mains: si vous courbez le papier en forme de «U» comme vous l'avez fait, alors vous ne le courbez qu'extrinsèquement: il est toujours intrinsèquement plat. Cela ne me dérange donc pas du tout. Mais s'il commence aussi à se courber dans l'autre sens, alors il devra se courber intrinsèquement : il devra s'étirer ou se comprimer. Il est facile de voir cela en regardant simplement le papier: quand il est courbé en un `` U '', alors pour le courber dans l'autre direction, soit le haut du `` U '' va devoir s'étirer ou le bas va avoir besoin de compresser.

Et c'est pourquoi courber le papier comme ça le rend rigide: il `` utilise '' la capacité de courber extrinsèquement le papier de sorte que toute courbure extrinsèque supplémentaire implique également une courbure intrinsèque , ce que le papier n'aime pas à faire.

Pourquoi tout cela est important

Comme je l'ai dit au début, c'est une question assez profonde.

  • Les mathématiques derrière tout cela sont absolument fascinantes et belles, tout en étant relativement faciles à comprendre une fois que vous les avez vues. Si vous le comprenez, vous obtenez un aperçu de la façon dont l'esprit de personnes comme Gauss fonctionnait, ce qui est tout simplement charmant.
  • Les mathématiques et la physique qui la sous-tendent se révèlent être certaines des mathématiques dont vous avez besoin pour comprendre la relativité générale, qui est une théorie sur la courbure. Donc, en comprenant bien cela, vous commencez sur la voie de la compréhension de la théorie la plus belle et la plus profonde de la physique moderne (j'allais écrire `` l'une des plus ... '' mais non: il y a GR et il y a tout le reste).
  • Les mathématiques et la physique qui la sous-tendent sont également importantes dans des domaines tels que l'ingénierie: si vous voulez comprendre pourquoi les poutres sont solides ou pourquoi les panneaux de voiture sont rigides, vous devez comprendre cela.
  • Et enfin ce sont les mêmes maths : les mathématiques dont vous avez besoin pour comprendre diverses structures techniques sont assez proches des mathématiques dont vous avez besoin pour comprendre GR: à quel point est-ce cool?

Une approche plus formelle: un théorème remarquable

La dernière section ci-dessus impliquait un peu de handwaving: le moyen de le rendre moins handwavy est dû au merveilleux Theorema Egregium ("théorème remarquable") dû à Gauss. Je ne veux pas entrer dans les détails complets (en fait, je ne suis probablement plus à la hauteur), mais le truc que vous faites est que pour une surface à deux dimensions, vous pouvez construire le vecteur normal $ \ vec {n} $ en trois dimensions (le vecteur pointant vers l'extérieur de la surface), et vous pouvez considérer comment ce vecteur change de direction (en trois dimensions) lorsque vous le déplacez diverses courbes sur la surface. En tout point de la surface, il y a deux courbes qui la traversent: une sur laquelle le vecteur change de direction le plus rapidement le long de la courbe, et une le long de laquelle change de direction le plus lentement (cela découle essentiellement de la continuité).

Nous pouvons construire un nombre, $ r $ qui décrit la vitesse à laquelle le vecteur change de direction le long d'une courbe (j'ai complètement oublié comment faire cela, mais Je pense que c'est simple), et pour ces deux courbes minimales maximales d'&, nous pouvons appeler les deux taux $ r_1 $ et $ r_2 $ . $ r_1 $ & $ r_2 $ sont appelés les deux courbures principales du surface.

Ensuite, la quantité $ K = r_1r_2 $ est appelée la courbure gaussienne de la surface, et le théorème egregium dit que cette quantité est intrinsèque à la surface: vous pouvez la mesurer simplement en mesurant des angles et cetera sur la surface. La raison pour laquelle le théorème est remarquable est que toute la définition de $ K $ impliquait des choses qui sont extrinsèques à la surface, en particulier les deux principaux courbures. Parce que $ K $ est intrinsèque, nos insectes peuvent le mesurer !

La géométrie euclidienne est vraie (en particulier le postulat parallèle est vrai) pour les surfaces où $ K = 0 $ uniquement.

Et nous pouvons maintenant être un peu plus précis sur tout ce qui a été dit plus haut sur la compression d'&. Si nous ne sommes pas autorisés à étirer & compresser la feuille de papier, alors tout ce que nous sommes autorisés à y faire ne modifie aucune mesure que les insectes peuvent faire: des longueurs ou des angles qui sont intrinsèques, c'est-à-dire mesurés. entièrement dans la surface du papier, ne peut pas changer sauf si vous étirez ou compressez le papier. Les modifications apportées au papier qui préservent ces propriétés intrinsèques sont appelées isométries . Et comme $ K $ est intrinsèque, il n'est pas modifié par les isométries.

Considérons maintenant une feuille de papier plate en trois dimensions. Il est évident que $ r_1 = r_2 = 0 $ (le vecteur normal pointe toujours dans la même direction). Donc $ K = 0 $ .

Maintenant, pliez le papier en forme de 'U': il est maintenant clair que $ r_1 \ ne 0 $ - si vous dessinez une courbe à travers la vallée dans le papier puis le vecteur normal de cette courbe change de direction. Mais ce pliage est une isométrie: nous n'avons ni étiré ni compressé le papier. Donc $ K $ doit toujours être $ 0 $ : le papier est toujours intrinsèquement plat. Mais puisque $ K = r_1r_2 $ et $ r_1 \ ne 0 $ cela signifie que $ r_2 = 0 $ .

Et ce que ceci signifie, c'est que l'autre courbure principale doit être nulle. Cette courbure principale est le long de la ligne qui descend la vallée du «U». En d'autres termes, le papier ne peut pas se plier dans l'autre sens sans devenir intrinsèquement courbé ( $ K \ ne 0 $ ), ce qui signifie qu'il doit s'étirer.

(J'ai encore un peu agité ici: je n'ai pas défini comment vous calculez $ r $ , et je n'ai pas montré qu'il n'y avait pas d'autre courbe vous pouvez dessiner le long du papier qui a $ r = 0 $ en dehors de l'évident.)

L'une des raisons pour lesquelles tout cela est assez intéressant est que ce calcul est le début des mathématiques dont vous avez besoin pour comprendre la relativité générale, qui concerne également la courbure.

Échec et pliage

Bien sûr, si vous prenez le morceau de papier en forme de U et essayez de le plier dans l'autre sens à un moment donné, il échouera soudainement et se pliera d'une manière compliquée.Je pense qu'il y a tout un domaine d'étude qui réfléchit à cela.Je soupçonne que lorsque cela se produit (pendant l'échec soudain, pas après je pense), il doit y avoir, localement, une courbure intrinsèque non nulle à certains endroits sur le papier.Je suis sûr qu'il y a beaucoup de mathématiques intéressantes à ce sujet (à part toute autre chose, cela doit être très intéressant pour les structures d'ingénierie), mais je ne le sais pas.

Euh, je pense que vous avez fait une erreur.Si vous pliez le papier, vous avez $ r_1 ≠ 0 $ à ** un ** point, et donc $ r_2 = 0 $ à ** ce ** point.Mais vous ne pouvez pas à partir de cela seul conclure que vous avez $ r_2 = 0 $ le long d'une ligne droite.Je pense que cela peut être corrigé, en observant que $ r_1 ≠ 0 $ dans une région ouverte autour de ce point et donc $ r_2 = 0 $ partout dans cette région, puis en montrant qu'il s'étend indéfiniment, mais je sais très peu de choses dans ce domaineet je ne peux pas dire si mon idée peut être facilement mise en œuvre.
@user21820 Je crois comprendre que partout où le papier est plié (a une courbure extrinsèque), vous pouvez montrer que $ r_1 \ neq 0 $.Donc $ r_2 = 0 $ à tous ces points.Ensuite, vous pouvez montrer par continuité que c'est vrai dans tout l'intervalle.
@user21820 Notez que le papier est courbé en forme de «U», pas de «V»: toute ligne traversant la vallée du «U» a $ r \ ne 0 $ sur une grande partie de sa longueur.Trouvez la ligne qui maximise $ r $ parmi celles-ci (par symétrie, c'est la ligne qui traverse la vallée à angle droit).Cette ligne définit $ r_1 $.Traduisez cette ligne de haut en bas la ligne de la vallée et il est maintenant clair que $ r_1 \ ne 0 $ partout dans la partie courbe du 'U'.Je pense que vous avez dû supposer que je pliais le papier en «V»: $ r $ est horriblement discontinu (zéro presque partout, pas fini en un seul point) pour cette forme.
Les commentaires ne sont pas destinés à une discussion approfondie;cette conversation a été [déplacée vers le chat] (https://chat.stackexchange.com/rooms/92620/discussion-on-answer-by-tfb-why-do-we-bend-a-book-to-keep-tout droit).
@tfb: Vous ne semblez pas comprendre.Si vous ** supposez ** que le papier entier a la forme en U avec une vallée droite, vous supposez déjà la conclusion que vous revendiquez.Si vous voulez réclamer une ** explication ** pour l'effet en question, c'est-à-dire que courber le papier en un seul point suffit pour `` le garder droit '', alors votre réponse échoue, et j'ai déjà esquissécomment il peut être possible de le faire correctement dans mon premier commentaire.Il ne suffit pas de partir de l'hypothèse que $ r_1 ≠ 0 $ partout sur le papier, car cela n'explique pas pourquoi il est ** stable **.
En d'autres termes, vous n'avez pas expliqué pourquoi cette technique de courbure ** maintient ** le papier «droit».Il n'est a priori pas impossible que l'état souhaité ne soit pas stable et puisse passer de "$ r_1 ≠ 0 $ partout" à "$ r_1 ≠ 0 $ seulement à certains points".Cela s'avère vrai pour le papier (intrinsèquement plat), mais pourquoi?Pour le dire autrement, pourquoi une configuration en forme de U est-elle un équilibre ** stable **?
@user21820: il ne peut pas être le cas que $ r_1 \ ne 0 $ seulement à des points isolés à moins qu'il ne soit pas fini à ces points, ou le papier serait extrinsèquement plat.Dans le cas où il n'est pas fini, le papier est froissé et je ne suis pas sûr que vous puissiez gérer cela en utilisant une courbure gaussienne, mais peut-être que vous le pouvez: il doit au moins être facile d'utiliser des techniques globales pour montrer que les plis doivent être des lignes (si ce sont des points, ce sont des singularités de courbure).En général, j'essayais de fournir une réponse qui était appropriée dans le ton de la question: si vous voulez fournir une réponse entièrement formelle, faites-le!
Je pense qu'il est préférable de rendre les déclarations dans votre message plus précises, dans le sens de votre dernier commentaire, si vous le pouvez.S'il y a des mises en garde, les mentionner alerterait les lecteurs profanes du fait qu'il est beaucoup plus difficile à prouver que le message semble le faire, même si vous ne fournissez pas de correctifs rigoureux pour ces mises en garde.Donner une réponse rigoureuse à cette question semble hors de ma portée actuelle, mais j'en sais assez pour savoir que toute réponse rigoureuse doit être assez compliquée.Merci!
* J'ai complètement oublié comment faire ça, mais je pense que c'est simple *: vous êtes comme presque * tous * mes professeurs.
Que veut dire "& c" dans * "en mesurant les angles & c sur la surface." *?
@PeterMortensen '& c' est parfois utilisé pour 'etc' / 'et cetera': je l'ai étendu à ce dernier.Désolé!
Je ne comprends pas du tout cette réponse.Oui, vous pouvez étiqueter les géométries comme "intrinsèques" ou "extrinsèques", mais au final, le papier est un tas de particules qui sont poussées par des forces.Une explication devrait nécessiter une sorte de langage faisant référence à un moment donné aux forces des particules le long du papier.Il me semble juste que tout ce que la réponse fait est d'étiqueter les choses qui sont retenues lorsqu'elles sont courbées comme ayant "propriété A" et les choses qui n'ont pas comme "propriété B".
Il me semble que cette réponse peut être résumée dans un langage courant comme suit: Les choses pliées dans des formes avec une forme en U ne peuvent pas être pliées davantage sans être étirées ou écrasées.(Ce qui pour moi n'est pas très utile)
#2
+26
James
2019-04-16 21:41:14 UTC
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Vous avez essentiellement découvert les principes des moments de flexion et de l'ingénierie structurelle.

Comme l'a dit une autre affiche, physiquement la structure que vous avez créée est plus solide, car pour plier quelque chose (par exemple, une poutre chargée en haut), les couches du haut sont compressées tandis que les couches du bas sont étirées. Ceci est simplement dû à la géométrie et à la nature physique des matériaux. En bref, la charge (force) est transformée d'une direction normale à la poutre, en une force interne - la contrainte longitudinale. Plus précisément, la charge appliquée (du poids, de la gravité, peu importe) se traduit par un moment de flexion dans l'élément, ce moment de flexion se manifeste par des contraintes internes (forces de traction et de compression) à l'intérieur de l'élément qui résiste à la flexion de même amplitude.

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Quelques amorces sur les forces: la compression et la tension sont la même chose, juste des "directions" différentes c'est à dire: si la compression est -1 ou -2, alors la tension sera 1 ou 2. Sachant cela, et sachant que le haut du l'élément est en compression et le fond est en tension, on peut penser qu'il y a une répartition des forces à travers l'élément. Et je pense qu' la partie la plus importante de votre question est que puisque la distribution de force va de -x à + x à travers le membre, il doit y avoir un point où x = 0 (la surface neutre). Dans l'image ci-dessous, la contrainte (flèches vertes) à un certain point croise 0.

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Par conséquent, nous pouvons observer que des contraintes maximales se produisent aux bords, en haut et en bas de la poutre dans notre exemple. Ce principe est précisément comment et pourquoi les poutres en I fonctionnent. La résistance de l'élément provient des propriétés du matériau du matériau (sa capacité à résister à la compression ou à la tension (étirement)). Cela signifie que quelque chose comme une poutre en acier sera limitée dans sa capacité à résister à la flexion par le calcul de la charge de traction à la surface. Physiquement cette équation est (pour la direction $ x $ ):

$ \ sigma_ {x} = - \ frac {y} {c} \ sigma_ {m} $

$ c $ est la surface neutre (le plan imaginaire où $ \ sigma_ {x} = 0 $ ) et $ y $ est la distance de la surface neutre, et $ \ sigma_ {m} $ span> est la valeur absolue maximale de la contrainte dans le membre.

En termes simples, la hauteur de la poutre est le facteur déterminant dans sa force, pas l'épaisseur. Mais dans le plan qui subit des charges maximales (tension et compression), l'épaisseur vous donnera plus de résistance. Il en résulte la forme classique de poutre en I.

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Qu'est-ce que tout cela a à voir avec le papier?

Lorsque l'OP oriente le papier horizontalement (à plat), la hauteur du papier par rapport à la surface neutre est fondamentalement de 0. C'est-à-dire que nous pouvons considérer que tout le papier EST une surface neutre. Cela signifie qu'il ne peut littéralement résister à aucune flexion. Retournez le papier à 90 degrés et maintenant tout le papier est de hauteur, et tout le papier peut résister à la flexion et il ne peut pas être plié. Il se déformera ou se déchirera généralement avant de se plier.

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La forme incurvée créée par OP exploite tous les concepts que nous avons abordés ici. Au lieu de faire une forme en I, OP crée une forme en C qui conduit à l'idée d'exploiter des matériaux minces en utilisant l'ondulation pour ajouter une résistance incroyable tout en gardant un poids faible. Par exemple, les couches intérieures d'une boîte en carton sont ondulées ou pliées en petites formes incurvées pour résister à la flexion. Nous pouvons donc utiliser moins de matériau pour obtenir des résistances beaucoup plus élevées.

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Pour moi, cela n'explique pas vraiment pourquoi cela, ou les poutres en I fonctionnent.Pourquoi une répartition des forces sur la feuille lui permet-elle de réduire les moments de flexion dans une direction différente?Vous avez expliqué ce que sont les moments de flexion;mais vous n'avez pas expliqué pourquoi le pliage du papier ajoute de la stabilité dans une autre direction, ni comment cela se rapporte aux poutres en I.Votre explication sur la façon dont les poutres en I «fonctionnent» fait sérieusement défaut.Tout ce que vous avez dit, c'est que vous pliez le haut et comprenez le bas.Je dirais que cela rend la poutre en I plus faible que la poutre en I non contrainte, dans un sens général.
Le fait n'est pas que le moment est réduit, autant que la force (stress).En gros, les moments sont $ r \ fois F $, donc augmenter $ r $ de «l'épaisseur du papier» à «la hauteur de la courbe du papier» réduit la force du papier nécessaire pour contrebalancer son propre poids.https://engineering.stackexchange.com/questions/68/how-does-width-and-thickness-affect-the-stiffness-of-steel-plate est le même principe.
@patstew Je ne pense pas que la "hauteur de la courbe" soit vraiment pertinente.C'est vraiment plus géométrique, comme le montre la réponse de tfb.Considérez que vous pouvez obtenir la même hauteur en prenant en sandwich deux morceaux de carton avec des morceaux de carton droits entre eux, et toujours obtenir le même $ r $.Il est également important de savoir comment l'ondulation affecte la stabilité dans d'autres directions.
J'allais attribuer +1 à cette réponse au fur et à mesure que je la lisais, jusqu'à ce que je remarque que vous n'avez pas expliqué pourquoi les ondulations donnent une résistance accrue, ce qui est l'essence de la question des OP.Si vous pouvez modifier votre réponse avec cette explication, vous obtenez le +1.
@JMac Je suis à peu près sûr que les ondulations du carton sont ondulées car c'est la façon la plus simple de le fabriquer à partir de papier plat.Le plastique ondulé utilise des pièces droites http://www.vortex-rc.com/product/3mm-coro-10-sheet-pack/ Cela ne fait pas beaucoup de différence en termes de résistance (dans les deux cas, c'est beaucoup plus fortperpendiculairement).On pourrait sans doute conclure de cet argument géométrique que toute courbure $ r_1 $ nécessite $ r_2 == 0 $, et est donc équivalente, alors que la perspective plus mécahnique / d'ingénierie montre comment vous faites réellement un porte-à-faux solide.
https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1606/1606.02709.pdf - article pertinent
@patstew L'ondulation est importante pour sa structure.Le plastique «ondulé» dont vous parlez introduit un autre mode de défaillance.Il est beaucoup plus sensible au flambage dans les éléments verticaux car ils n'ont pas du tout de courbure.Il est assez facile de faire boucler les carrés par rapport à l'ondulation réelle.
J'ai ajouté des détails et des illustrations significatifs.Je suis d'accord, le projet manquait d'informations indispensables pour répondre à la question du PO.
Cela aide à expliquer la logique, mais je ne pense pas que ce soit une très bonne description de la raison pour laquelle le papier courbé peut facilement se soutenir.Un élément clé du carton ondulé est les couches de reliure des deux côtés du carton.Cela n'explique pas non plus pourquoi ils utiliseraient l'ondulation au lieu de simples tubes carrés (qui ressembleraient à une série de poutres en i).Cela pourrait vous donner la même hauteur, pour encore moins de matière;mais cela a des implications structurelles.
@JMac Je crois que vos préoccupations sont des considérations d'ingénierie (optimisation, pourquoi utiliser des "I" au lieu de "C" et une colle de type matériau par rapport à un élément solide), pas des considérations physiques.La question de savoir «pourquoi» la courbure fonctionne est résolue par les moments de flexion, qui sont régis par les propriétés du matériau et le rayon de courbure (phénomènes physiques).
@James Mais la raison pour laquelle plier le papier est bénéfique a plus à voir avec les contraintes internes que vous appliquez déjà au papier, et comment la géométrie plane ne permet pas un moyen facile de supporter plus de contraintes le long d'une direction radiale différente.Les moments de flexion sont pertinents;mais cela a moins à voir avec la façon dont il change le bras de moment, et plus comment il induit déjà des contraintes dans le papier, qui agissent pour s'opposer à des contraintes supplémentaires dans de nouvelles directions radiales, car le papier est plan et a une courbure gaussienne de 0.
#3
+20
Daddyo
2019-04-16 19:08:16 UTC
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Lorsque vous pliez un morceau de matériau, la résistance est fournie en étirant le matériau sur la partie extérieure du pli et en comprimant le matériau à l'intérieur du pli.

Une feuille plate mince se plie facilement car, physiquement, il n'y a pas beaucoup d'étirement ou de compression lorsqu'elle se plie.

Lorsque vous pliez votre livre, comme une auge, cette forme ne peut pas se plier physiquement sans beaucoup d'étirement le long des bords supérieurs et beaucoup de compression le long du bas de l'auge.Une très petite courbure créerait beaucoup d'étirement et de compression, et donc la forme a beaucoup de résistance à la flexion.

#4
+10
Stilez
2019-04-17 13:23:08 UTC
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Les autres réponses à ce jour sont techniquement correctes, mais aucune d'elles ne semble vraiment donner une réponse simple / intuitive et de bon sens. Je vais donc tenter ma chance.

Imaginez plier très légèrement une sorte d'objet vers le bas à une extrémité, tout en maintenant fermement l'autre extrémité à l'horizontale. (Cela pourrait être presque n'importe quel objet, pourrait être du papier, une branche d'un arbre, un tuyau en plastique, un long bloc de caoutchouc mince, même un bloc de béton!) Mais ne pliez que très légèrement l'objet d'une extrémité, donc vous n'êtes pas t le casser ou le fracturer.

Pour se plier du tout, le haut de l'objet doit s'étirer plus que le bas, car c'est à "l'extérieur" de la "courbe" qui se forme lorsque vous pliez l'objet.

(Le bas est écrasé, ou "compressé" également, mais il est plus facile à visualiser si nous ignorons cela et nous concentrons sur ce qui se passe en haut de l'objet)

Presque tous les matériaux et objets résistent à l'étirement et à la compression, du moins dans certaines petites limites. Certains y résistent massivement (essayez d'étirer une barre d'acier). D'autres n'y résistent pas beaucoup (essayez de tirer un cordon en nylon ou un élastique, ou un ressort). Certains se briseront ou se déchireront rapidement (le béton et le papier ne s'étirent pas bien du tout, ils se cassent ou se déchirent rapidement à la place). D'autres matériaux s'étireront un peu (l'acier en est un, c'est pourquoi il est utilisé pour renforcer les structures en béton, contrairement au béton, il continuera à résister à une action d'étirement).

Cette différence entre combien le "haut" et le "bas" doivent se plier, et le fait que si l'objet est plié même légèrement, ils doivent se courber both et leurs courbes auront des rayons différents, c'est ce qui détermine le résultat, si l'objet est votre morceau de papier, un bloc-notes entier de papier, une branche d'arbre ou une poutre en acier.

Revenez à votre article.

Si votre papier est plat, les surfaces supérieure et inférieure de la feuille sont extrêmement proches verticalement. Ainsi, il peut se plier ou s'effondrer, avec presque aucun étirement du haut. La surface supérieure s'étire en fait un peu, c'est pourquoi même la feuille floppée s'effondre dans une forme incurvée - il arrive un moment où si elle se plie davantage, la surface supérieure devrait s'étirer suffisamment plus que la surface inférieure, que les fibres de le papier lui résiste, donc il ne se plie plus facilement (sans que vous ne le froissiez ou quelque chose).

Mais maintenant supposons que vous pliez la feuille sur sa longueur, même légèrement. Désormais, le «haut» et le «bas» de la courbe ne sont pas les deux surfaces de la feuille, à une petite distance l'une de l'autre. Ce sont la «vallée» de la feuille pliée et les deux bords qui sont plus hauts (les deux côtés de la feuille qui se plient vers le haut). Celles-ci sont * beaucoup * plus éloignées verticalement que les deux surfaces. Ainsi, la feuille de papier essaie toujours de s'effondrer, mais elle ne peut pas s'effondrer du tout (ou seulement au microscope ou dans les coins) car le " top "devrait maintenant s'étirer beaucoup, juste pour que la feuille se plie un tout petit peu. Les fibres de papier ne s'étirent pas bien (elles sont liées les unes aux autres et résistent à l'étirement au-delà d'une petite quantité; elles finiront par se déchirer à la place). Gravité ne tire pas non plus suffisamment l'extrémité de la feuille pour forcer l'extrémité vers le bas, même au «prix» de déchirer certaines fibres.

Le résultat final est que maintenant, les fibres des bords "supérieurs" devraient s'étirer beaucoup pour permettre au papier de "flop" - donc elles ne peuvent pas s'étirer suffisamment pour s'effondrer - et elles ne sont pas non plus tiré vers le bas suffisamment pour se déchirer (ou se plier d'une autre manière). Ainsi, la feuille reste simplement là où elle est. Alors maintenant, la feuille agit de manière beaucoup plus rigide.

Vous pouvez voir cela en imaginant essayer la même chose, mais avec une feuille de silicone, ou autre chose de vraiment souple et flexible, au lieu du papier. Maintenant, plier la feuille sur sa longueur ne fonctionne pas bien, car le matériau lui-même ne résiste pas à sa surface "supérieure" ou à ses bords qui s'étirent beaucoup, il peut donc toujours trouver un moyen de s'effondrer.

(** J'ai simplifié un peu. Les principaux domaines que j'ai simplifiés sont: si l'objet est suffisamment long et mince, il peut finir par trouver d'autres moyens de se plier, comme se courber en diagonale avec une diagonale à moitié vers le haut et l'autre vers le bas. Donc, si vous essayez de tenir un ruban à mesurer en métal trop loin, voici ce qui se passe. Cela arrivera aussi à votre feuille de papier, si c'est possible. Il existe donc d'autres moyens de flexion. En ingénierie, où la flexion d'une poutre ou d'un poteau est généralement une défaillance, on les appelle «modes de rupture», les aciéries doivent donc être conçues avec leur forme 3D à l'esprit, pour éviter ce genre de chose. De plus, de nombreux objets sont complexes ou ne sont pas "élastiques" au-delà d'une petite quantité, par exemple votre papier est composé de fibres liées entre elles, et la manière dont cette liaison affecte les fibres joue également un grand rôle. Le bois vivant des arbres est composé de différentes parties et celles-ci interagissent également donc il éclate après un certain temps, mais ne se brise pas complètement. Mais cela devrait vous donner une bonne idée de ce qui se passe. Soyez conscient e c'est une version simplifiée)

#5
+5
insys
2019-04-17 22:49:56 UTC
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"Courber" le papier augmente le deuxième moment de la zone, car cela augmente efficacement la distance entre la section transversale du papier et le centre de gravité de la section.

La rigidité d'une section transversale est proportionnelle au carré de la distance par rapport au centre de gravité (voir aussi théorème d'axe parallèle), donc courber le papier multiplie efficacement sa rigidité par plusieurs ordres de grandeur, donc le le papier courbé présente un déplacement minimal (= reste droit).

Voici un autre exemple du même principe. Un papier tenu horizontalement se plie sous son propre poids. Un papier parfaitement plat tenu parfaitement verticalement est parfaitement capable de supporter son propre poids avec un déplacement minimal. C'est le même principe, augmentation radicale de la rigidité le long de la direction de flexion grâce à l'augmentation de la distance par rapport au centre de gravité.

Remarque: j'utilise ici "courber" comme verbe même si ce n'est probablement pas correct, pour ne pas confondre l'action avec l'effet de la flexion du papier due à la gravité.

Je ne comprends pas vos commentaires sur le pliage du papier.Un papier tenu à la fois horizontalement ou verticalement se pliera très facilement, avec littéralement la même force.Vous devez certainement être plus clair sur ce que vous essayez d'arriver là-bas.Plus important encore ... cela semble répéter ce dont plusieurs autres réponses parlent, mais cela omet vraiment la plupart des parties complexes et intéressantes de la raison pour laquelle cela fonctionne réellement.
J'ai clarifié la partie verticale du papier.J'espère que cela aide.Désolé de ne pas avoir une "histoire" à raconter ici, mais c'est un sujet très basique en mécanique des structures et c'est la bonne réponse scientifique.
Je suppose que je comprends cette approche, je pense juste que cela la simplifie à l'extrême par rapport à son intérêt.Je pense toujours que le papier vertical n'est pas un bon exemple, car structurellement il échouera toujours sous son propre poids dans toutes les circonstances réalistes.Quoi qu'il en soit, j'ai rétracté le vote défavorable puisque j'ai compris ce que vous vouliez dire avec l'exemple papier.
#6
+3
apocalysque
2019-04-19 08:22:37 UTC
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Toutes ces autres réponses sont beaucoup trop longues et compliquées (bien que probablement plus techniquement correctes que ma réponse).Lorsque vous pliez le papier, vous créez essentiellement un pont suspendu à une extrémité.Pensez à un pont suspendu qui ne enjambe pas complètement une vallée / canyon / rivière, c'est-à-dire qu'une extrémité est suspendue dans les airs.Lorsque vous pliez la feuille de papier, les côtés les plus verticaux deviennent la suspension qui maintient le «pont».Enlevez la suspension et le pont n'a pas assez de force pour supporter son propre poids.

#7
+2
levitopher
2019-05-10 21:57:43 UTC
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Je vais essayer une autre réponse intuitive, car nous semblons avoir pas mal de réponses techniques ici. Comme vous le dites, tout dépend des propriétés élastiques.

Lorsque vous tenez le papier sans pli, vous donnez une condition aux limites à la surface - horizontale, dans ce cas. Chaque point sur le reste du papier ressent une force de gravité vers le bas, ainsi que des forces de contact (électrostatiques) parallèles à la surface. Cependant, ces forces sont entièrement dans la direction de la courbe, car la condition aux limites que vous avez définie n'inclut aucun composant le long de la direction de translation du cylindre (voir la figure).

Cependant, lorsque vous induisez ces composants, en modifiant les conditions aux limites, vous créez des forces dans toutes les directions (parallèles à la surface) en chaque point. Ces forces sont essentiellement là parce que le papier ne peut pas être changé de manière discontinue (cela fait partie des propriétés élastiques que vous avez mentionnées). Si le papier est assez long, la force gravitationnelle peut éventuellement l'emporter et le papier peut tomber (ou se déchirer ou se plier).

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#8
-8
Michalina
2019-04-17 16:04:08 UTC
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Je pense que c'est à cause de la structure du papier.Les fibres de la pâte à partir de laquelle elle est construite sont alignées dans une direction. C'est aussi la raison pour laquelle il est beaucoup plus facile de déchirer la feuille dans un sens (avec les fibres), puis dans l'autre (à travers elles).

L'orientation des fibres n'a pas beaucoup d'effet là-dessus.Cela arrive quand même.
Cela prédit à tort que la rotation de la feuille de 90 degrés empêcherait la flexion.


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 4.0 sous laquelle il est distribué.
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