Question:
Constantes sans dimension en physique
Michael Luciuk
2011-04-10 21:22:19 UTC
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Pardonnez-moi si ce sujet relève trop de la philosophie. John Baez a une perspective intéressante sur l'importance relative des constantes sans dimension, qu'il appelle fondamentales comme alpha, par rapport aux constantes dimensionnées comme $ G $ ou $ c $ [ http://math.ucr.edu/home/baez/ constants.html]. Quelle est l'importance ou la signification relative d'une classe par rapport à l'autre et s'agit-il d'un domaine dans lequel les physiciens ont de réelles préoccupations ou consacrent des recherches importantes?


Cinq réponses:
#1
+75
Luboš Motl
2011-04-10 22:08:01 UTC
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Tout d'abord, la question que vous vous posez est très importante et vous pouvez la maîtriser complètement.

Les constantes dimensionnelles sont celles qui ont des unités - comme $ c, \ hbar, G $ ou même $ k _ {\ rm Boltzmann} $ ou $ \ epsilon_0 $ en SI. Les unités - telles que le mètre; kilogramme; seconde; Ampère; kelvin - ont été choisis partiellement arbitrairement. Ce sont les résultats d'accidents culturels aléatoires dans l'histoire de l'humanité. Un deuxième a été choisi à l'origine comme 1/86 400 d'un jour solaire, un mètre comme 1/40 000 000 du méridien moyen, un kilogramme comme la masse de 1/1 000 mètres cubes (litre) d'eau ou plus tard la masse d'un prototype choisi au hasard , un Ampère pour que $ 4 \ pi \ epsilon_0 c ^ 2 $ soit une puissance simple de 10 en unités SI, un Kelvin égal à 1/100 de la différence entre les points de fusion et d'ébullition de l'eau.

Clairement , la circonférence de la Terre, le jour solaire, un prototype de brique en platine dans un château français, ou les transitions de phase de l'eau ne font pas partie des caractéristiques les plus «fondamentales» de l'Univers. Il existe de nombreuses autres façons de choisir les unités. Quelqu'un pourrait choisir 1,75 mètre - la taille moyenne d'un homme - pour être son unité de longueur (certaines personnes étranges dans l'histoire ont même utilisé leurs pieds pour mesurer des distances) et il pourrait encore l'appeler "un mètre". Ce serait son compteur. Dans ces unités, les valeurs numériques de la vitesse de la lumière seraient différentes.

Exactement les produits ou rapports de puissances des constantes fondamentales qui sont sans dimension sont ceux qui n’ont pas toutes les unités, par définition, ce qui signifie qu'elles sont indépendantes de tous les choix culturels aléatoires des unités. Ainsi, toutes les civilisations de l'Univers - malgré l'absence d'interactions entre elles dans le passé - seront d'accord sur la valeur numérique du rapport de masse proton-électron - qui est d'environ 6 $ \ pi ^ 5 = 1836,15 $ (la formule est juste un teaser que j'ai remarqué quand j'avais 10 ans!) - et à propos de la constante de structure fine, $ \ alpha \ sim 1 / 137.036 $, et ainsi de suite.

Dans le modèle standard de la physique des particules, il y a environ 19 paramètres sans dimension qui déterminent "vraiment" le caractère de la physique; toutes les autres constantes telles que $ \ hbar, c, G, k _ {\ rm Boltzmann}, \ epsilon_0 $ dépendent du choix des unités, et le nombre d'unités indépendantes (mètre, kilogramme, seconde, Ampère, Kelvin) est en fait exactement suffisamment grande pour que toutes ces constantes, $ \ hbar, c, G, k _ {\ rm Boltzmann}, \ epsilon_0 $, puissent être égales à un, ce qui simplifie toutes les équations fondamentales de la physique où ces constantes fondamentales apparaissent fréquemment. En changeant la valeur de $ c $, on ne change que les conventions sociales (ce que signifient les unités), pas les lois de la physique.

Les unités où toutes ces constantes sont numériquement égales à 1 sont appelées les unités de Planck ou unités naturelles, et Max Planck a compris que c'était le choix le plus naturel il y a déjà 100 ans. $ c = 1 $ est défini dans toute analyse "mature" qui implique la relativité restreinte; $ \ hbar = 1 $ est utilisé partout dans la mécanique quantique "adulte"; $ G = 1 $ ou $ 8 \ pi G = 1 $ est parfois utilisé dans la recherche de la gravité; $ k _ {\ rm Boltzmann} = 1 $ est utilisé chaque fois que les phénomènes thermiques sont étudiés au microscope, à un niveau professionnel; $ 4 \ pi \ epsilon_0 $ est juste un facteur ennuyeux qui peut être réglé à un (et dans les unités gaussiennes du 19e siècle, de telles choses sont en fait réglées à un, avec un traitement différent du facteur $ 4 \ pi $); au lieu d'une mole en chimie, les physiciens (chercheurs dans une discipline plus fondamentale) comptent simplement les molécules ou les atomes et ils savent qu'une mole n'est qu'un paquet de 6,022 $ \ fois 10 ^ {23} $ atomes ou molécules.

Les 19 (ou 20?) paramètres sans dimension réels du modèle standard peuvent être classés comme les trois constantes de structure fine $ g_1, g_2, g_3 $ de $ U (1) \ times SU (2) \ times SU (3) groupe de jauge $; Valeur d'espérance de vide de Higgs divisée par la masse de Planck (la seule chose qui apporte une échelle de masse, et cette échelle de masse ne distingue les différentes théories qu'une fois que nous prenons également en compte la gravité); les couplages de Yukawa avec les Higgs qui déterminent les quarks et les masses de fermions et leur mélange. Il faut également tenir compte du fort angle CP de la QCD et de quelques autres.

Une fois que vous avez choisi un modèle standard modifié qui apprécie le fait que les neutrinos sont massifs et oscillent, 19 est porté à environ 30. Nouvelle physique de cours gonfle le nombre. SUSY décrit par la rupture douce SUSY a environ 105 paramètres dans le modèle minimal.

Les 19 paramètres originaux du modèle standard peuvent être exprimés en termes de paramètres plus "fondamentaux". Par exemple, $ \ alpha $ de l'électromagnétisme n'est pas très fondamental en physique des hautes énergies car l'électromagnétisme et les interactions faibles s'unifient à des énergies plus élevées, il est donc plus naturel de calculer $ \ alpha $ à partir de $ g_1, g_2 $ de $ U ( 1) \ times SU (2) $ groupe de jauges. De plus, ces couplages $ g_1, g_2 $ et $ g_3 $ run - dépendent de l'échelle d'énergie à peu près logarithmiquement. Les valeurs telles que $ 1/137 $ pour la constante de structure fine sont les valeurs de basse énergie, mais les valeurs de haute énergie sont en fait plus fondamentales car les lois fondamentales de la physique sont celles qui décrivent la physique à très courte distance tout en longue distance. la physique (basse énergie) en est dérivée.

J'ai mentionné que le nombre de paramètres sans dimension augmente si vous ajoutez une nouvelle physique telle que SUSY avec une rupture douce. Cependant, des théories plus complètes et unificatrices - telles que les grandes théories unifiées et en particulier la théorie des cordes - impliquent également diverses relations entre les constantes auparavant indépendantes, de sorte qu'elles réduisent le nombre de paramètres sans dimension indépendants de l'Univers. Les grandes théories unifiées fixent essentiellement $ g_1 = g_2 = g_3 $ (avec le bon facteur de $ \ sqrt {3/5} $ ajouté à $ g_1 $) à leur échelle d'énergie caractéristique "GUT"; ils peuvent aussi rapporter certains couplages Yukawa.

La théorie des cordes est perfectionniste dans ce métier. En principe, toutes les constantes continues sans dimension peuvent être calculées à partir de tout vide de corde stabilisé - ainsi toute incertitude continue peut être éliminée par la théorie des cordes; on peut en fait prouver que c'est le cas. Il n'y a rien à ajuster en permanence en théorie des cordes. Cependant, la théorie des cordes vient avec une grande classe discrète de vacuas stabilisés - qui est tout au plus dénombrable et éventuellement finie mais grande. Pourtant, s'il y a un vide stringy semi-réaliste stabilisé de 10 $ ^ {500} $, il n'y a que 500 chiffres à ajuster (et vous pouvez alors tout prédire avec une précision quelconque, en principe) - alors que le modèle standard avec ses 19 paramètres continus a 19 fois l'infini de chiffres à ajuster en fonction des expériences.

Je concède; c'était une question de physique et non une question de philosophie. Merci beaucoup.
Il pourrait être intéressant de noter ici qu'avant que Luboš ait 10 ans, la similitude coïncidente entre le rapport de masse proton-électron et le nombre $ 6 \ pi ^ 5 $ a été notée et publiée dans peut-être le PRL le plus court de tous les temps (une seule phrase!) de Friedrich Lenz [PRL 82, 554 (1951)].
C'est très intéressant, je suis sûr que je rejetterais l'article si j'étais l'arbitre.
#2
+9
Marek
2011-04-10 22:25:32 UTC
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Seules les quantités sans dimension sont importantes. Ce ne sont que des nombres purs et il ne peut y avoir aucune ambiguïté quant à leur valeur. Ce n'est pas le cas avec des quantités dimensionnelles. Par exemple. si je vous dis que ma vitesse $ v $ par rapport à vous est de 0,5 $ \, \ rm speedons $ cela ne vous donne pas beaucoup d'informations car j'ai la liberté de définir ma vitesse $ \ rm sur les unités $ comme je veux. Le seul moyen pour moi de pouvoir vous donner des informations est de vous donner une quantité sans dimension comme $ v / c = 0,5 $.

Maintenant, ce dont nous avons besoin pour rendre des quantités dimensionnelles sans dimension est une référence scale (dans l'exemple précédent, c'était $ c $). Nous pouvons en principe choisir n'importe quelle échelle que nous voulons, mais ce sera généralement une expérience quotidienne. Par exemple. vous choisissez le mètre pour ce qu'il est pour que les choses que vous rencontrez habituellement (autres personnes, maisons, arbres, etc.) soient de l'ordre $ \ sim 1 $ par rapport au mètre. C'est ainsi que toutes nos unités ont vu le jour. Naturellement, les humains et les échelles avec lesquelles ils travaillent habituellement n'ont rien de particulièrement spécial. Nous savons qu'il existe de nombreuses échelles importantes au fur et à mesure que nous descendons vers les tailles atomiques et nucléaires. Nous savons également qu'il existe une échelle de vitesse plus importante (à savoir, ultra-relaviste $ v / c \ à 1 $). Et ainsi de suite.

Néanmoins, nous devons choisir des unités avec lesquelles travailler pour pouvoir tout calculer et ce serait bien de choisir des unités qui ne souffriraient pas de l'arbitraire mentionné ci-dessus. Il s'avère que nous avons de la chance car la nature nous a donné quelques constantes spéciales. Chacun d'eux est lié à une théorie fondamentale ($ c $ en relativité restreinte, $ G $ en gravité, $ \ hbar $ en mécanique quantique, etc.). Ce serait idiot de ne pas exploiter ce don généreux. Nous pouvons donc parler de vitesses de 0,9 (ce qui signifie en fait $ v / c $), d'une action de 20 ($ = S / \ hbar $) et ainsi de suite. Ce système d'unités s'appelle Planck's et bien qu'il ne soit pas utilisé dans la vie de tous les jours pour des raisons évidentes, il est très utile chaque fois que nous traitons de la physique fondamentale.

#3
+3
Eduardo Guerras Valera
2012-12-10 08:25:41 UTC
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(...) est-ce un domaine que les physiciens ont de réelles préoccupations ou consacrent des recherches importantes?

Fait intéressant, Paul Dirac a fait des recherches sur la cosmologie, sur la de combinaisons sans dimension de nombres approchant l'unité, qui sont construites à partir de quantités physiques fondamentales. Les combinaisons mélangeaient des quantités micro-physiques comme la charge électronique avec des paramètres cosmologiques comme la constante de Hubble. Voici un exemple, extrait du livre Coles / Lucchin Cosmology (Wiley, 2e éd. 2002):

$ \ frac {e ^ {4} H_ {0}} {Gm_ {p} m_ {e} ^ {2} c ^ {3}} \ simeq 1 $

En supposant que la validité de cette relation a des implications intéressantes: puisque $ H_ {0} $ évolue avec le temps, un ou plusieurs des soi-disant les constantes fondamentales qui apparaissent dans l'équation doivent également varier dans le temps. Cela a conduit à quelques tentatives pour construire des théories avec différentes valeurs passées de la constante gravitationnelle.

La théorie est presque oubliée. Il n'est toujours pas tout à fait clair s'il a ouvert une boîte de Pandore de spéculation en numérologie, si quelque chose avec une signification physique profonde et encore dévoilée y est caché. L'explication actuelle de ces coïncidences numériques (?) Est le principe anthropique faible, qui me semble au moins aussi spéculatif et philosophique que l'idée originale de Dirac.

Voici un lien vers le texte intégral d'un Article de Dirac sur la question, en 1974: http://www.jstor.org/discover/10.2307/78591?uid=3737952&uid=2&uid=4&sid=21101428637013

#4
+1
Count Iblis
2014-08-11 21:09:17 UTC
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L'univers peut être décrit dans un cadre mathématique formel, toutes les grandeurs physiques peuvent donc être décrites à l'aide d'une équation qui ne contient que des nombres sans dimension. Maintenant, étant donné n'importe quel ensemble d'équations, vous êtes toujours libre d'introduire des variables de mise à l'échelle vous permettant d'étudier certaines limites de mise à l'échelle de la théorie. L'univers tel que nous le vivons peut être décrit avec précision comme une limite de mise à l'échelle dégénérée qui nécessite l'introduction de 3 variables de mise à l'échelle, puis la prise d'une limite de mise à l'échelle dans le bon ordre. Cette limite dégénérée est ce que nous appelons la "physique classique".

Puisque nous ne sommes pas exactement à la limite de mise à l'échelle, les variables de mise à l'échelle ne sont pas réellement à leurs valeurs limites (infinies ou nulles). Mais pour obtenir exactement la physique classique, vous devez envoyer ces variables à leurs limites appropriées. Puisque nous avons commencé avec une connaissance presque nulle des lois de la physique il y a plusieurs siècles, nous devions découvrir comment fonctionne l'univers en faisant des expériences. Mais comme on vit presque dans la limite d'échelle, ce qui se passe, c'est que certaines relations entre observables sont très difficiles à observer (exactement à la limite d'échelle, on peut se retrouver avec des équations singulières, on perd alors les relations entre variables physiques). On dirait alors qu'une description complète de l'Univers nécessite quelques variables physiques indépendantes qui ne peuvent pas être liées entre elles.

Nous avons alors développé un formalisme mathématique qui impose cette incompatibilité via l'introduction de "dimensions". Lorsque nous avons appris plus tard comment ces quantités supposées incompatibles sont en réalité liées, nous avons trouvé ces relations avec les variables d'échelle apparaissant comme des constantes de dimension complète dans les équations qui, lorsqu'elles sont exprimées dans les anciennes unités, ont une très grande ou petite magnitude.

#5
-3
Vladimir Kalitvianski
2011-04-11 00:21:00 UTC
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En parlant du rapport de masse électron-proton (qui est d'environ 1/1836), Lubosh a découvert qu'il pourrait être lié à $ \ pi $, et je pense que c'est une sorte de constante de couplage dans l'atome d'hydrogène.

L'atome a le centre des variables d'inertie et des variables de mouvement internes. Lorsqu'une force externe est appliquée au noyau atomique, l'atome est accéléré dans son ensemble et son mouvement interne peut également être excité. Le rapport $ m_e / m_p $ détermine l'efficacité du «pompage» des degrés de liberté internes d'un atome avec une force externe agissant sur le noyau.

EDIT: Voyant tant de votes négatifs, j'ai changé d'avis. Je suis d'accord avec Lubosh: $ m_p / m_e = 6 \ pi ^ 5 $ et n'a rien à voir avec la physique :-(.

Nonobstant la valeur de vérité de cette proposition, ce n'est pas une réponse. C'est juste un commentaire. Veuillez poster des commentaires en tant que tels. En faisant cela, vous gagnerez du temps à beaucoup de gens qui doivent cliquer sur le bouton de vote négatif
C'était un complément, pas un commentaire.


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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