Question:
Pourquoi des fonctions de corrélation?
Kostya
2011-01-17 22:10:29 UTC
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Bien que ce concept soit largement utilisé en physique, il est vraiment déroutant (du moins pour les débutants) de devoir simplement multiplier deux fonctions (ou la fonction seule) à différentes valeurs du paramètre puis faire la moyenne sur le domaine la fonction gardant la différence entre ces paramètres:
$$ C (x) = \ langle f (x '+ x) g (x') \ rangle $$

Y a-t-il une illustration relativement simple des exemples qui donnent une intuition sur les fonctions de corrélation en physique?

Quatre réponses:
#1
+41
Luboš Motl
2011-01-17 22:27:48 UTC
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La fonction de corrélation que vous avez écrite est une corrélation complètement générale de deux quantités, $$ \ langle f (X) g (Y) \ rangle $$ Vous utilisez simplement le symbole $ x '$ pour $ Y $ et le symbole $ x + x '$ pour $ X $.

Si l'environnement - le vide ou le matériau - est invariant en translation, cela signifie que ses propriétés ne dépendent pas des traductions globales. Donc, si vous changez $ X $ et $ Y $ du même montant, par exemple de $ z $, la fonction de corrélation ne changera pas.

Par conséquent, vous pouvez décaler de $ z = -Y = -x '$ ce qui signifie que le nouveau $ Y $ sera nul. Donc $$ \ langle f (X) g (Y) \ rangle = \ langle f (XY) g (0) \ rangle = \ langle f (x) g (0) \ rangle $$ Comme vous pouvez le voir, pour la traduction systèmes symétriques, la fonction de corrélation ne dépend que de la différence des coordonnées c'est-à-dire la séparation des arguments de $ f $ et $ g $, qui est égal à $ x $ dans votre cas.

Donc, cela devrait avoir a expliqué la dépendance de $ x $ et $ x '$.

Maintenant, qu'est-ce qu'un corrélateur? Classiquement, c'est une moyenne sur la distribution probabiliste $$ \ langle S \ rangle = \ int D \ phi \, \ rho (\ phi) S (\ phi) $$ Cela vaut pour $ S $ étant le produit de plusieurs quantités , aussi. L'intégrale couvre toutes les configurations possibles du système physique et $ \ rho (\ phi) $ est la densité de probabilité de la configuration particulière $ \ phi $.

En mécanique quantique, la fonction de corrélation est l'espérance valeur dans l'état réel du système - généralement l'état fondamental et / ou un état thermique. Pour un état fondamental pur, on a $$ \ langle \ hat {S} \ rangle = \ langle 0 | \ hat {S} | 0 \ rangle $$ où le vecteur 0-ket est l'état fondamental, tandis que pour un état thermique exprimé par une matrice de densité $ \ rho $, la fonction de corrélation est définie comme $$ \ langle \ hat {S} \ rangle = \ mbox {Tr} \, (\ hat {S} \ hat {\ rho}) $$ Eh bien, les fonctions de corrélation sont des fonctions qui connaissent la corrélation des quantités physiques $ f $ et $ g $ en deux points. Si la corrélation est nulle, il semble que les deux quantités sont indépendantes l'une de l'autre. Si la corrélation est positive, il semble que les deux quantités auront probablement le même signe; plus c'est positif, plus ils sont corrélés. Ils sont corrélés avec les signes opposés si la fonction de corrélation est négative.

Dans la théorie quantique des champs, les fonctions de corrélation de deux opérateurs - comme vous l'avez écrit - sont connues sous le nom de propagateur et c'est l'expression mathématique qui remplace toutes les lignes internes des diagrammes de Feynman. Il vous indique quelle est l'amplitude de probabilité que la particule correspondante se propage du point $ x + x '$ au point $ x' $. Il est généralement différent de zéro à l'intérieur du cône de lumière uniquement et dépend de la différence des coordonnées uniquement. Une exception à cela est le Feynman Propagator dans QED. Il est également différent de zéro à l'extérieur du cône de lumière, mais invoque des anti-particules, qui annulent cette contribution non nulle à l'extérieur du cône de lumière et préservent la causalité.

Les fonctions de corrélation impliquant un nombre arbitraire d'opérateurs sont appelées Les fonctions de Green ou les fonctions $ n $ -point si un produit de $ n $ quantités est entre les parenthèses. Dans un certain sens, les fonctions $ n $ -point savent tout sur les grandeurs dynamiques calculables décrivant le système physique. Le fait que tout puisse être développé en fonctions de corrélation est une généralisation des extensions de Taylor au cas d'une infinité de variables.

En particulier, l'amplitude de diffusion pour $ n $ particules externes (le nombre total, y compris celles entrantes et sortantes) peut être calculée à partir des fonctions $ n $ -point. Les diagrammes de Feynman mentionnés précédemment sont une méthode pour faire ce calcul systématiquement: un corrélateur compliqué peut être réécrit en une fonction des fonctions à 2 points, les propagateurs, contractée avec les sommets d'interaction.

pour décrire physiquement une fonction de corrélation dans divers contextes - comme les fonctions de réponse etc. L'idée est que vous insérez une impureté ou un signal dans $ x '$, c'est votre $ g (x') $, et vous étudiez à quel point le le champ $ f (x + x ') $ au point $ x + x' $ est affecté par l'impureté $ g (x ') $.

#2
+26
Robert Filter
2011-01-17 22:57:09 UTC
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Un exemple très intuitif de fonctions de corrélation peut être vu dans la tache métrologie laser.

Si vous projetez de la lumière sur une surface rugueuse par rapport à la longueur d'onde, le signal réfléchi résultant sera en quelque sorte aléatoire . Cela peut également être dit que vous ne pouvez pas dire à partir d'un point d'un signal à quoi ressemble un signal voisin - ils sont non corrélés . Un tel champ est souvent appelé motif tacheté .

Ce fait peut être utilisé. Supposons que vous preniez une image $ A (x, y) $ d'un tel champ dispersé aléatoire, un mouvement de l'image $$ (x, y) \ rightarrow (x + \ delta_x, y + \ delta_y) = (x ', y' ) $$ donc $$ B (x, y) \ approx A (x ', y') $$

sera clairement visible et puisque toutes les informations sont statistiques, on constate que

$$ C (\ Delta_x, \ Delta_y) = \ int B (x, y) A (x + \ Delta_x, y + \ Delta_y) dx dy $$

n'aura qu'un "grand "contribution à $ (\ Delta_x, \ Delta_y) \ equiv (\ delta_x, \ delta_y) $ d'une forme de pointe. La largeur du pic sera donnée par certaines propriétés physiques de l'éclairement, la rugosité de la surface etc. - elle correspond directement à la variation locale du champ.

Si nous avions maintenant dans le champ une variation périodique , nous pourrions voir que $ C $ aura plusieurs pics correspondant à l'image (ou au champ) auto-similitude .

Ainsi, analyser la corrélation d'une quantité vous donnera des informations sur la vitesse à laquelle elle change et si elle est en quelque sorte auto-similaire.
J'espère que cela ne vous dérange pas d'avoir choisi une application à venir d'un point de vue plus pratique .

Cordialement

Robert

PS. >

Pouvez-vous préciser ce qu'est $ B (x, y) $?Vous écrivez "ainsi" après quoi une déclaration sur $ B $ suit mais vous n'aviez même pas mentionné $ B $ auparavant.
@balu: $ B $ correspond à la source, champ 'unscattered'
#3
+23
Dragan Huterer
2011-01-18 11:09:14 UTC
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Excellente question, Kostya. Lubos a déjà donné une réponse détaillée en utilisant des arguments généraux dans le langage QFT.

En astrophysique et cosmologie, cependant, il existe une autre raison, très simple, pour laquelle nous utilisons constamment les fonctions de corrélation. Il s'avère que la valeur moyenne de la fonction $ f (\ vec {x}) $, notée $ \ langle f (\ vec {x}) \ rangle $, ne peut souvent pas être prédite par le modèle théorique (eg hot Big Modèle de Bang avec stade inflationniste au début, matière noire froide à des moments tardifs, etc ... ou tout autre modèle que vous souhaitez considérer) - tandis que sa corrélation $ \ langle f (\ vec {x}) f (\ vec {y} ) \ rangle $ peut être prédit. Ici, $ f $ peut faire référence à n'importe quelle quantité cosmologique observable, et $ \ vec {x} $ et $ \ vec {y} $ font référence à des coordonnées spatiales.

L'exemple le plus courant serait de considérer l'excédent densité de matière noire, $ f (\ vec {x}) \ equiv \ delta \ rho (\ vec {x}) / \ rho $, où $ \ rho $ est la densité moyenne (dont les unités sont des kilogrammes par mètre cube par exemple) et $ \ delta \ rho (\ vec {x}) $ est l'excès de surdensité ou de sous-densité à l'emplacement $ \ vec {x} $, et sur une région que je ne préciserai pas pour la simplicité de l'argument . Par définition, la moyenne de $ f $ est nulle, nous indiquons donc explicitement que nous ne sommes pas intéressés par la moyenne (sinon, nous ne pouvons pas facilement obtenir la densité moyenne de l'univers à partir des premiers principes). Mais la fonction de corrélation, $ \ langle \ delta \ rho (\ vec {x}) \ delta \ rho (\ vec {y}) / \ rho ^ 2 \ rangle $ peut être liée à des paramètres fondamentaux de l'univers, en particulier les détails de l'époque inflationniste, la densité de matière noire, etc. Des détails à ce sujet sont impliqués et sont enseignés dans un cours d'études supérieures en cosmologie. Il suffit de dire que la théorie ne prédit pas la moyenne de la fonction (fonction de corrélation à 1 point), mais plutôt ses (co) variances (fonction de corrélation à 2 points).

Intuitivement, la fonction de corrélation à deux points de $ \ delta \ rho / \ rho $ est liée à la "probabilité que, étant donné une région surdense de matière noire à l'emplacement $ \ vec {x} $, il y ait une surdense région à l'emplacement $ \ vec {y} $ ", et cette probabilité est déterminée par la bonne vieille loi de la gravité - et peut être prédite à partir des premiers principes.

La théorie prédit également en principe les 3 points (par exemple $ \ langle f (\ vec {x}) f (\ vec {y}) f (\ vec {z}) \ rangle $, et fonctions de corrélation de point supérieur, mais celles-ci sont à la fois plus difficiles à calculer théoriquement et à mesurer par observation. Néanmoins, il existe un sous-domaine florissant en physique des particules et en cosmologie pour prédire théoriquement et mesurer par observation ces fonctions de corrélation dites d'ordre supérieur.

Un dernier ingrédient dans tout cela est le rôle de la mesure de la fonction de corrélation. Le signe de moyenne angulaire, $ \ langle \ cdot \ rangle $ implique que nous devrions faire la moyenne sur différentes réalisations du système - c'est-à-dire univers - dans le même modèle cosmologique sous-jacent . Ceci est clairement impossible, puisque nous n'avons qu'un seul univers à mesurer! Au lieu de cela, nous supposons une homogénéité statistique (qui est la même que l'invariance translationnelle du post de Lubos). Ensuite, au lieu de faire la moyenne des différents univers, les cosmologistes font la moyenne de $ f (\ vec {x}) f (\ vec {y}) $ o à différents endroits ($ \ vec {x}, \ vec {y} $) dans notre univers qui ont une distance fixe entre les deux points $ | \ vec {x} - \ vec {y} | $. De cette façon, en utilisant l'hypothèse d'homogénéité statistique, nous pouvons obtenir de bonnes mesures de la fonction de corrélation de toute quantité désirée.

Bonne réponse! Nous avons maintenant QFT, l'astrophysique et un exemple appliqué :)
#4
+1
joseph f. johnson
2016-02-11 00:13:32 UTC
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Il y a une autre raison, même si elle n'est pas intuitive. Un processus stochastique est presque entièrement caractérisé par sa fonction d'auto-corrélation. Plus précisément, si le processus est stationnaire (bien sûr, toutes ces méthodes ne fonctionnent qu'après qu'un processus a été détendu et tous les cycles analysés et filtrés en premier) et gaussien, et centré, alors il est complètement caractérisé par l'autocorrélation fonction. Ceci est analogue au fait élémentaire qu'une variable aléatoire normale est complètement caractérisée par sa moyenne et son écart type.

Mais attendez. Il y a plus. Même si le processus n'est pas gaussien, il est caractérisé si vous connaissez non seulement l'autocorrélation habituelle, également appelée fonctions de corrélation à deux points, mais si vous connaissez également toutes les auto-corrélations supérieures. (c.-à-d. trois points, quatre points, etc.). Ceci est analogue au (difficile) "problème des moments". résolu par mon ancêtre (universitaire de doctorat en généalogie) Marcel Riesz et ce génie alcoolique de Suède, Carlman, qui dit que si vous connaissez tous les moments d'une variable aléatoire, elle est déterminée jusqu'à l'équivalence.

Et, en pratique, ce sont les corrélations qui sont les plus accessibles à la mesure. La plupart des expériences avec des particules, y compris les célèbres expériences d'inégalité de Bell d'Aspect, sont des mesures de corrélations. Il y a probablement une signification philosophique profonde à cela ...



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