Pour simplifier, considérons le cas $ u = v $. La formule "lente" est alors $ 2u $ et la formule "rapide" est $ \ frac {2u} {1+ (u / c) ^ 2} $. Dans le graphique, vous pouvez voir ces résultats en unités de $ c $. La formule "lente" (rouge / pointillé) est toujours fausse pour $ u \ ne0 $, mais elle est assez bonne [assez proche de la formule "rapide" (bleu / solide)] pour de petits $ u / c $. Le seuil que vous choisissez dépend de la précision requise. Lorsque $ u<c / 10 $, la différence n'est probablement importante que pour le travail de haute précision.

Une extension de série sur $ u = v = 0 $ montre la formule "lente" comme premier terme et que les corrections sont faibles pour $ uv \ ll c ^ 2 $:

$$ \ frac {u + v} {1 + uv / c ^ 2} = (u + v) \ left [1- \ frac {uv} {c ^ 2} + \ left (\ frac { uv} {c ^ 2} \ droite) ^ 2 + O \ gauche (\ frac {uv} {c ^ 2} \ droite) ^ 3 \ droite] $$

Je suis généralement un peu plus précis avec mes élèves. Considérons une voiture roulant sur l'autoroute à $ \ rm 30 \, m / s \ environ 60 \, mph $. Alors le dénominateur dans la formule relativiste est quelque chose comme $$ 1 + \ left (\ frac vc \ right) ^ 2 = 1 + \ left (\ frac {30 \ rm \, m / s} {3 \ times10 ^ 8 \ rm \, m / s} \ right) ^ 2 = 1 + 10 ^ {- 14} $$ Dans votre voiture, alors, la différence entre l'addition de vitesse galiléenne et relativiste commence à la quatorzième décimale. Connaissez-vous la vitesse de votre voiture à quatorze décimales? C'est là qu'ils rient avec moi.

Il est courant dans les expériences d'ignorer les erreurs de niveau de pourcentage - c'est-à-dire de faire confiance à un nombre à environ trois décimales. Des erreurs de cette taille commencent à apparaître entre les dynamiques classiques et relativistes lorsque vous avez $ v / c \ environ 0,1 $, c'est donc un seuil courant pour "rapide".

Notez que si vous ne pouvez ignorer les corrections au niveau du pourcentage, votre définition des changements «rapides». Par exemple, un satellite en orbite terrestre basse a une vitesse de $$ v = \ frac {2 \ pi R_ \ oplus} {90 \ rm \, minutes} \ approx 7500 \, \ mathrm {m / s} \ approx 2 \ times10 ^ {- 5} c $$ et a donc des corrections relativistes $ (v / c) ^ 2 \ approx 10 ^ {- 10} $ commençant approximativement à la dixième décimale. Dans le Global Positioning System (GPS), la correction relativiste totale d’environ 38 $ \ rm \, \ mu s / day \ approx 5 \ times10 ^ {- 10} $ est également à peu près à ce niveau , tout comme la précision centimétrique $$ \ frac {1 \ rm \, cm} {26 \, 000 \ rm \, km} \ approx 4 \ times10 ^ {- 10} $$ qui est parfois revendiquée pour les militaires. matériel GPS de qualité.

En fait, quelle que soit la vitesse des objets concernés, la formule 'd'addition de vitesse' est toujours $ \ frac {u + v} {1 + uv / c ^ 2} $.

Là Il n'y a pas de point de transition où la formule passe de $ u + v $ à celle de relativité restreinte. C'est juste que la différence que vous obtenez dans les deux formules à «faibles vitesses» est très très négligeable. $ c ^ 2 $, en $ m ^ 2 / s ^ 2 $, vaut 9 $ * 10 ^ {16} $. La vitesse moyenne d'un bus est de 3,6 $ $ m / s $. Même pour des valeurs $ u, v $ beaucoup plus grandes que cela, $ uv / c ^ 2 $ est négligeable. C'est pourquoi la formule n'est pas très utile dans les cas de faible vitesse. La signification est observée lorsque $ uv / c ^ 2 $ est une partie significative de $ 1 $.

La formule "rapide" est toujours la bonne.

Une vitesse "rapide" est celle qui est comparable à la vitesse de la lumière. Cependant, lorsque les deux vitesses impliquées sont beaucoup plus petites que la vitesse de la lumière, la formule "lente" est une très bonne approximation.

Quand un objet va-t-il vite [assez pour nécessiter l'utilisation de $ \ frac {u + v} {1+ uv / c ^ 2} $]?

Lorsque vous approchez de la vitesse de la lumière.

À quelle vitesse devez-vous aller pour être "proche" de la vitesse de la lumière?

Cela dépend de la précision.

La clé est que $ \ frac {u + v} {1+ uv / c ^ 2} $ fonctionne toujours. Cependant, ce n'est pas tout à fait simple, donc généralement nous aimons utiliser une approximation: $ u + v $. Cette approximation est plutôt précise, sauf si vous commencez à vous rapprocher de la vitesse de la lumière. Sauf si vous avez besoin d'une haute précision, vous devriez être bien en utilisant $ u + v $ tant que $ u < 0.1 * c $ et $ v < 0.1 * c $.

Clause de non-responsabilité: Je pense que tout a déjà été dit, j'ai juste essayé de le reformuler pour qu'il réponde plus précisément à la question.

D'autres réponses ont effectivement, ou en fait, dit que lorsque vous avez affaire à $ 0,1 c $ ou plus, c'est quand vous devriez envisager des effets relativistes.

Vous pouvez le voir en réorganisant légèrement le $ \ frac {u + v} {1+ uv / c ^ 2} $ formule:

$$ \ frac {u + v} {1+ uv / c ^ 2} = \ frac {u + v } {1+ (\ frac {u} {c}) (\ frac {v} {c})} $$

Et à partir de là, vous pouvez voir alors que $ u $ et $ v $ sont $ \ lt 0.1 c $ la variance est inférieure à $ 1 \% $.

Bien sûr, vous pouvez également utiliser ceci pour voir $ (\ frac {u} {c}) ^ 2 $ est le relativiste correction mentionnée dans la réponse de Rob.