Les expressions telles que "instant of time" sont délicates. Si vous ne faites pas attention, vous pouvez plonger dans des terriers de lapin qui mènent à des questions pédantes comme "que signifie" est "?" qui font peu mais frustrent les gens. Vous avez une bonne question, préparez-vous simplement à ce que les réponses soient un peu plus sournoises que vous ne le souhaiteriez.
L'une des clés majeures de la question se trouve dans la réponse d'AnoE. AnoE établit une distinction entre un instant de temps et un intervalle de temps. Cette distinction est très utile car les intervalles de temps ont tendance à se comporter assez bien dans notre esprit. Nous sommes vraiment convaincus que 2 intervalles de 1 seconde, lorsqu'ils sont mis de bout en bout, correspondent à un intervalle de 2 secondes. Nous pouvons ensuite ajouter un autre intervalle de 1 seconde à notre intervalle de 2 secondes pour obtenir 3 secondes. 3 et 1 peuvent faire 4, et ainsi de suite. Rien de suspect ici. Nous pouvons même postuler que ce processus peut durer «pour toujours», même si nous n'avons pas une définition très forte de «pour toujours» avec laquelle travailler. Aucun de nos concepts n'a jamais été prouvé car ils s'étendent jusqu'à «pour toujours» parce que personne n'a vécu aussi longtemps!
Et dans l'autre sens? Si j'ai un intervalle de 2 secondes, je peux le subdiviser en une paire d'intervalles de 1 seconde. Je peux en prendre un et le diviser en un intervalle de 0,5 seconde. Cela peut être divisé en intervalles de 0,25 seconde et ainsi de suite. Il semble que vous puissiez répéter ce processus, tout comme nous pourrions répéter l'ajout d'intervalles, jusqu'à ce que nous arrivions à des intervalles arbitrairement petits.
Mais que se passe-t-il si nous allons plus loin? Que se passe-t-il si nous continuons à subdiviser jusqu'à ce que les intervalles soient «infiniment petits». En fin de compte, je dois mettre «infiniment petit» entre guillemets effrayants parce que ce concept s'avère vraiment difficile à attribuer une signification mathématique exacte. Le paradoxe de Zeno a été mentionné par innisfree. C'est l'idée que, si je devais essayer de marcher d'un point à un autre, je devrais d'abord parcourir la moitié de cette distance, puis je pourrais essayer de marcher jusqu'au point final. Cependant, une fois arrivé au point final, je dois également marcher à mi-chemin entre ce point à mi-chemin et le point final (un point des trois quarts). Vous pouvez répéter ce processus pour montrer qu'il me faudrait un nombre infini d'étapes pour vous joindre. Zeno a fait valoir que cela signifie que vous ne pouvez jamais atteindre nulle part!
Bien sûr, toute personne âgée de plus de 3 ans soulignera que Zeno a tort. Nous allons dans des endroits. Cela arrive (ou du moins semble se produire, si vous êtes un individu hyper sceptique). Il doit donc y avoir quelque chose qui cloche dans l'argument. La vérité est que Zeno ne suggérait pas en fait que nous sommes incapables de bouger, il soulignait un problème fondamental avec la façon dont nous conceptualisons le monde qui nous entoure. Il soulignait que nos modèles suggèrent que le monde agit d'une manière qu'il ne démontre pas.
Vous voyez beaucoup de réponses mathématiques ici parce que les mathématiciens étaient vraiment les seuls à se débattre avec l'infini d'une manière suffisamment rigoureuse pour avoir à se soucier du paradoxe de Zénon. La plupart des gens pourraient simplement dire "oh, ça marche parce que ... on voit que ça marche tous les jours". Les mathématiques et la réalité ne sont pas divorcées, mais parfois il semble bien qu'elles soient dans une séparation d'essai! Ils appellent des choses comme le paradoxe de Zeno «supertâches». Ce sont des tâches qui nécessitent un nombre infini d'étapes.
Et les mathématiciens ont analysé ces supertâches. Pendant des centaines d'années, ils ont mis au point des outils incroyablement puissants. Pour ce sujet particulier, le calcul est le couronnement de leurs efforts. Le calcul est une manière très rigoureuse de gérer ces nombres infinis. Plus important encore, c'est un exemple de concordance entre les mathématiques et la réalité - les hypothèses avancées en utilisant le calcul ont une excellente réputation d'être prouvables dans la vie réelle! "
Nous avons donc des outils pour capturer formellement ces concepts d'un «instant de temps». Nous pouvons même les agréger en intervalles à l'aide d'un outil de calcul appelé «intégrales». Cependant, lorsque nous le faisons, nous verrons une équation comme $ \ int f (t) dt $, où f (t) est la valeur de f à "un instant dans le temps". Cependant, nous ne pouvons pas ignorer la partie "dt" de cette intégrale. C'est la notation que nous conservons pour nous rappeler comment le calcul gère réellement les intervalles. Vous pouvez vous en sortir en pensant au «dt» comme un «intervalle infiniment court», tant que vous ne le faites que formellement. Il a une signification formelle très particulière qui est légèrement différente. Cependant, la clé de tout cela est que votre intuition s'aligne sur ce que font réellement les mathématiques. Lorsque vous marchez quelque part, vous y arrivez!
Il sera donc très difficile de trouver un exemple non mathématique de sommation d'instants de temps en quelque chose qui a une durée, car il est très difficile de saisir le concept "d'un instant dans le temps" avec suffisamment de formalité pour parler de sommation les ensemble en dehors des mathématiques. Je ne connais aucun autre domaine qui ait un niveau de rigueur suffisant pour vraiment explorer ce concept. La philosophie pourrait, bien que leur approche puisse être très différente.
Je recommande deux vidéos vsauce si vous souhaitez en savoir plus. C'est ma façon préférée d'apprendre les mathématiques, et en particulier les concepts délicats comme les infinis et les infitessimals.
- Comment compter au-delà de l'infini - Dans cette vidéo, VSauce fournit une excellente introduction à l'infini et, plus important encore, une excellente discussion sur toutes les bizarreries bizarres qui surviennent lorsque vous essayez de capturer le concept de «l'infini». Je trouve très utile de voir combien de contorsions les mathématiciens doivent traverser pour capturer ces concepts d'infinis et d'infinitésimaux sans générer de résultats vraiment époustouflants.
- Supertâches - Cet épisode répond directement à votre question. Il explore le concept de tâches qui ont un nombre infini d'étapes mais qui se terminent en un temps fini
- Le paradoxe Banach-Tarski - Si vous avez envie de descendre un terrier de lapin, le paradoxe Banach-Tarski est un exemple de l'étrange du monde des mathématiques lorsque vous essayez d'appliquer " évidente "revendique des ensembles infinis. Ce n'est pas une lecture obligatoire, mais si vous voulez voir les types d'ajustement que les gens ont essayant de donner un sens à l'infini, c'est à peu près aussi «spécial» que possible.