L'oscillateur harmonique est important car c'est une solution approximative à presque tous systèmes avec un minimum d'énergie potentielle.

Le raisonnement vient de l'expansion de Taylor. Considérons un système avec une énergie potentielle donnée par $ U (x) $. Vous pouvez approximer $ U $ à $ x = x_0 $ par $$ U (x) = U (x_0) + (x-x_0) \ left. \ Frac {dU} {dx} \ right | _ {x_0} + \ frac {(x-x_0) ^ 2} {2!} \ left. \ frac {d ^ 2U} {dx ^ 2} \ right | _ {x_0} + \ cdots $$ Le système aura tendance à s'installer dans la configuration où $ U (x) $ a un minimum --- mais, par définition, c'est là que la première dérivée $ dU / dx = 0 $ disparaît. De plus, un décalage constant vers une énergie potentielle n'affecte généralement pas la physique. Cela nous laisse avec $$ U (x) = \ frac {(x-x_0) ^ 2} {2!} \ Left. \ Frac {d ^ 2U} {dx ^ 2} \ right | _ {x_0} + \ mathcal O (x-x_0) ^ 3 \ approx \ frac12 k (x-x_0) ^ 2 $$ qui est le potentiel d'oscillateur harmonique pour de petites oscillations autour de $ x_0 $.

Pour commencer, notez qu'il existe plus d'une incarnation de «l'oscillateur harmonique» en physique, donc avant d'en étudier la signification, il est probablement utile de clarifier ce que c'est.

Qu'est-ce que l'oscillateur harmonique?

Il existe au moins deux incarnations fondamentales de «l'oscillateur harmonique» en physique: l'oscillateur harmonique classique et l'oscillateur quantique oscillateur harmonique. Chacun de ces éléments est une chose mathématique qui peut être utilisée pour modéliser une partie ou la totalité de certains systèmes physiques dans un sens exact ou approximatif en fonction du contexte.

La version classique est encapsulée dans l'équation différentielle ordinaire (ODE) suivante pour une fonction à valeur réelle inconnue $ f $ d'une variable réelle: \ begin {align} f ' '= - \ omega ^ 2 f \ end {align} où les nombres premiers désignent ici des dérivés, et $ \ omega $ est un nombre réel. La version quantique est encapsulée par la relation de commutation suivante entre un opérateur $ a $ sur un espace de Hilbert et son adjoint $ a ^ \ dagger $: \ begin {align} [a, a ^ \ dagger] = I. \ end {align} Il n'est peut-être pas évident que ceux-ci aient quelque chose à voir les uns avec les autres à ce stade, mais ils le font, et au lieu de gâcher votre plaisir, je vous invite à enquêter plus avant si vous n'êtes pas familier avec le quantum oscillateur harmonique. Souvent, comme mentionné dans les commentaires, $ a $ et $ a ^ \ dagger $ sont appelés opérateurs d'échelle pour des raisons que nous ne traitons pas ici.

Chaque incarnation d'oscillation harmonique à laquelle je peux penser la physique se résume à comprendre en quoi l'une de ces deux choses mathématiques est pertinente pour un système physique particulier, que ce soit dans un sens exact ou approximatif.

Pourquoi ces modèles mathématiques sont-ils importants?

En bref, la signification de l'oscillateur harmonique classique et quantique vient de leur ubiquité - ils sont absolument partout en physique. Nous pourrions passer énormément de temps à essayer de comprendre pourquoi il en est ainsi, mais je pense qu'il est plus productif de simplement voir l'omniprésence de ces modèles avec quelques exemples. Je voudrais faire remarquer que même s'il est certainement vrai que l'oscillateur harmonique est un modèle simple et élégant, je pense que répondre à votre question en disant que c'est important parce que de ce fait est en quelque sorte une question . La simplicité n'est pas une condition suffisante pour l'utilité, mais dans ce cas, nous avons la chance que l'univers semble vraiment "aimer" ce système.

Où trouve-t-on l'oscillateur harmonique classique?

(il ne s'agit en aucun cas d'une liste exhaustive, et les suggestions d'ajouts sont les bienvenues!)

1. Messe sur un ressort de la loi de Hooke (le classique!). Dans ce cas, l'équation d'oscillateur harmonique classique décrit l'équation exacte du mouvement du système.
2. De nombreuses situations classiques (mais pas toutes) dans lesquelles une particule se déplace près d'un minimum local d'un potentiel (comme l'écrit rob dans sa réponse). Dans ces cas, l'équation d'oscillateur harmonique classique décrit la dynamique approximative du système à condition que son mouvement ne s'écarte pas sensiblement du minimum local du potentiel.
3. Systèmes classiques d ' oscillateurs couplés . Dans ce cas, si les couplages sont linéaires (comme lorsqu'un groupe de masses est connecté par des ressorts de la loi de Hooke), on peut utiliser la magie de l'algèbre linéaire (valeurs propres et vecteurs propres) pour déterminer les modes normaux du système, chacun agissant comme un simple classique. oscillateur harmonique. Ces modes normaux peuvent ensuite être utilisés pour résoudre la dynamique générale du système. Si les couplages ne sont pas linéaires, alors l'oscillateur harmonique devient une approximation pour les petits écarts par rapport à l'équilibre.
4. Analyse de Fourier et PDE . Rappelons que les séries de Fourier, qui représentent soit des fonctions périodiques sur toute la ligne réelle, soit des fonctions sur un intervalle fini, et les transformées de Fourier sont construites en utilisant des sinus et des cosinus, et l'ensemble $ \ {\ sin, \ cos \} $ forme une base pour l'espace de solution de l'équation d'oscillateur harmonique classique. En ce sens, chaque fois que vous utilisez l'analyse de Fourier pour le traitement du signal ou pour résoudre une PDE, vous utilisez simplement l'oscillateur harmonique classique sur des stéroïdes massivement puissants.
5. Électrodynamique classique . Cela relève en fait du dernier point puisque les ondes électromagnétiques proviennent de la résolution des équations de Maxwell qui dans certains cas donne l'équation d'onde qui peut être résolue en utilisant l'analyse de Fourier.

Où trouve-t-on l'oscillateur harmonique quantique ?

1. Prenez l'un des systèmes physiques ci-dessus, considérez une version mécanique quantique de ce système, et le système résultant sera régi par l'oscillateur harmonique quantique. Par exemple, imaginez un petit système dans lequel une particule est piégée dans un potentiel quadratique. Si le système est suffisamment petit, alors les effets quantiques domineront et l'oscillateur harmonique quantique sera nécessaire pour décrire avec précision sa dynamique.
2. Vibrations et phonons du réseau . (Un exemple de ce que j'affirme au point 1 lorsqu'il est appliqué à de grands systèmes d'oscillateurs couplés.
3. Champs quantiques. C'est peut-être l'élément le plus fondamental et le plus important sur l'un ou l'autre de ces deux Il s'avère que le modèle physique le plus fondamental que nous ayons actuellement, à savoir le modèle standard de la physique des particules, est finalement basé sur la quantification des champs classiques (comme les champs électromagnétiques) et sur la prise de conscience que les particules émergent simplement des excitations de ces champs, et ces les excitations sont modélisées mathématiquement comme un système infini d'oscillateurs harmoniques quantiques couplés.

L'oscillateur harmonique est courant

Il apparaît dans de nombreux exemples de tous les jours: pendules, ressorts, électronique (comme le circuit RLC), ondes stationnaires sur une corde, etc. C'est trivial de mettre en place des démonstrations de ces phénomènes, et nous les voyons constamment.

L'oscillateur harmonique est intuitif

On peut imaginer les forces sur des systèmes tels comme pendule ou ficelle pincée. Cela facilite les études en classe. En revanche, il existe de nombreux exemples «quotidiens» qui ne sont pas intuitifs, comme le tristement célèbre effet Bernoulli soulevant un disque en soufflant de l’air vers le bas . Ces paradoxes sont de grandes énigmes, mais ils dérouteraient (la plupart) les étudiants débutants.

L'oscillateur harmonique est mathématiquement simple

Les mathématiques font partie de la physique. En étudiant le mouvement harmonique simple, les élèves peuvent immédiatement utiliser les formules qui décrivent son mouvement. Ces formules sont compréhensibles: par exemple, l'équation de la fréquence montre le résultat intuitif que l'augmentation de la rigidité du ressort augmente la fréquence. À un niveau plus avancé, les élèves peuvent dériver les équations à partir des premiers principes. La capacité de résoudre si facilement un problème de la vie réelle est une démonstration claire de la façon dont la physique utilise les mathématiques.

L'ingénierie en profite également grandement. De nombreux systèmes, même très complexes, sont linéaires. Les systèmes linéaires compliqués agissent comme des oscillateurs harmoniques multiples. Par exemple, une chaîne épinglée vibre naturellement à des fréquences qui sont des multiples de sa fondamentale. Tout mouvement de la corde peut être représenté comme une somme de chaque vibration de composant, chaque composant étant indépendant des autres composants. Cette superposition nous permet de modéliser des choses comme le pincement de la corde. Les plaques circulaires, les chambres de guitare, les gratte-ciel, les antennes radio et même les molécules sont plus complexes. Cependant, la superposition et d'autres outils issus de la théorie des systèmes linéaires nous permettent toujours de prendre des raccourcis massifs sur le calcul et de faire confiance aux résultats. Ces méthodes de calcul constituent également de bons outils d'enseignement pour les sujets de l'algèbre linéaire et des équations différentielles.

Parce que l'oscillateur harmonique est un système familier qui est si étroitement lié à des sujets fondamentaux en mathématiques, en sciences et en ingénierie, il en est un. des systèmes les plus étudiés et compris.

Les autres réponses couvrent déjà bon nombre des aspects les plus importants. Une application intéressante consiste à découvrir comment la forme de l'oscillateur harmonique est liée à la distribution gaussienne (normale), une autre construction mathématique souvent utilisée. J'ai peut-être suggéré cela à la liste de joshphysics, mais comme cela nécessite quelques détails pour l'apprécier, j'ai décidé d'en faire une réponse autonome (mais c'est vraiment plus un commentaire prolongé).

Take $ N $ variables aléatoires indépendantes $ X_i $, chacune avec une variance $ \ sigma $ et, pour simplifier, signifient $ 0 $. Maintenant, la fonction caractéristique pour une distribution de probabilité arbitraire $ P_X $ est $ G_X (k) = \ langle e ^ {ikX} \ rangle = \ int e ^ {ikx} P_X (x) \ mathrm {d} x $. En écrivant l'exponentielle en série de Taylor (où nous coupons tous les termes au-delà du quadratique) $ e ^ {ikx} \ approx 1 + ixk - \ frac {1} {2} x ^ 2k ^ 2 $, nous avons $ G_X (k) \ environ 1 - \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2k ^ 2 $.

Maintenant définissez une nouvelle variable aléatoire $ Z = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ N X_i} {\ sqrt {N}} $, donc $ G_Z (k) = \ left (G_X \ left (\ frac {k} {\ sqrt {N}} \ right) \ right) ^ N \ approx \ left (1 - \ frac {\ sigma ^ 2k ^ 2} {2N} \ right) ^ N $ et comme $ N \ to \ infty $ (tous les termes d'ordre supérieur dans la somme drop) nous avons par définition, $ G_Z (k) = e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2k ^ 2} $ , qui donne alors la distribution gaussienne $$ P_Z (z) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ 2}} e ^ {- \ frac {z ^ 2} {2 \ sigma ^ 2} } $$

Il s'agit d'une dérivation simpliste du théorème central limite, qui est d'une grande importance dans plusieurs domaines de la science et probablement parmi les résultats les plus fondamentaux de la statistique.

Notez que dans la dérivation, tous les termes d'ordre supérieur ont abandonné (comme $ N \ to \ infty $), et le seul restant était le terme quadratique, harmonique. Cela se produit régulièrement dans les applications de différents domaines, mais je ne peux pas vraiment citer une raison fondamentale pour laquelle il devrait en être ainsi.

Je pense que la réponse de Rob est plutôt inclusive et vraie. Je veux juste ajouter quelque chose. Si vous étendez le potentiel via la série de Taylor, la deuxième dérivée recherche un vecteur tangentiel au point $ x_0 $ qui est le point minimum de la courbe, donc il est nul. Ainsi, nous avons un potentiel de la forme $ \ frac {1} {2} k (x-x_0) ^ 2 $ dont nous avons déplacé l'origine de x à l'emplacement de $ x_0 $. On rapprocherait donc la courbe du potentiel d'une parabole. Cela rend l'oscillateur harmonique important pour la physique.