Question:
Sur cette grille infinie de résistances, quelle est la résistance équivalente?
Malabarba
2010-12-20 06:11:13 UTC
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J'ai cherché et je n'ai pas pu le trouver sur le site, alors le voici (cité à la lettre):

Sur cette grille infinie de résistances idéales d'un ohm, quelle est la résistance équivalente entre les deux nœuds marqués?

Nerd Sniping

Avec un lien vers la source.

Je ne sais pas vraiment s'il y a une réponse à cette question. Cependant, étant donné mon manque d'expertise en électronique de base, cela pourrait même être facile.

J'ai immédiatement reconnu le titre de XKCD [Nerd Snipping est l'un de mes favoris].
Discussion on meta: http://meta.physics.stackexchange.com/q/253/
[La question @ m.SE ...] (http://math.stackexchange.com/questions/12863)
@MarkEichenlaub Concernant votre deuxième commentaire: je n'ai pas le temps ni la volonté de détailler chaque résultat, mais essentiellement, il y a trois problèmes différents abordés (adjacents, diagonaux et "coup de chevalier", voire quatre si vous comptez la solution générale) . La solution supérieure fait plus de 2800 mots, entre dans beaucoup de détails mathématiques et ne résout que le problème diagonal général. Je pense que la question a encore besoin d'une réponse concise, claire, organisée et facile à trouver.
C'est un double, mais il est trop tard pour fermer; Je vais l'appeler un "bon double" et partir en paix.
Connexes: [Le problème "Nerd Sniping". Généralisations?] (Http://physics.stackexchange.com/questions/10308/)
Deux réponses:
#1
+51
Sklivvz
2010-12-20 06:38:13 UTC
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Sniping nerd!

La réponse est $ \ frac {4} {\ pi} - \ frac {1} {2} $.

Explication simple:

Approximation successive! Je vais commencer par le cas le plus simple (voir l'image ci-dessous) et ajouter de plus en plus de résistances pour essayer d'approcher une grille infinie de résistances.

Simulation results

Dérivation mathématique:

$$ R_ {m, m} = \ frac 2 \ pi \ left (1 + \ frac 13 + \ frac 15 + \ frac 17 + \ dots + \ frac 1 {2m-1} \ droite) $$

+1, mais il serait encore mieux de décrire la solution dans le post afin que les gens n'aient pas à cliquer sur un lien pour voir comment cela se fait.
Le truc sur ce lien mathématique est assez compliqué ... Trop pour de simples formes de vie inhumaines comme moi.
Ouais, il m'a fallu quelques lectures pour comprendre comment c'était fait. (C'est ce qui le rend "amusant" :-P)
@David Zaslavsky: Dans ce cas particulier, je suis probablement beaucoup plus satisfait du calcul numérique que de la dérivation exacte.
@Sklivvz: quoi qu'il en soit, nous devrions avoir une explication et pas seulement un lien dans la réponse. (Pour votre réponse telle quelle, je pense que j'ai peut-être été trop rapide pour cliquer sur le bouton de vote favorable)
-1 Ce n'est définitivement pas une explication simple, je veux voir simple. Tout ce dont vous avez besoin pour résoudre ce problème est la loi d'Ohm avec celle de Kirchoff.
explication! = simulation. aussi je veux connaître la solution générale pour deux points arbitraires.
@kalle43 Je ne connais pas de meilleure façon d'aborder le problème que celles décrites dans les liens d'@Sklivvz. Ce n'est pas parce que vous voulez simple que cela existe. Si c'est si simple, pourquoi ne trouvez-vous pas vous-même une réponse simple!
@Mark J'ai bientôt une preuve élémentaire, mais je ne suis pas si sûr de la publier ici.
@kalle43: la «simulation» est aussi une explication (bien plus que les mathématiques nues). Si vous considérez le circuit "intérieur" et ajoutez de plus en plus de couches, vous voyez que leur contribution est de moins en moins importante. Donc, en pratique, le circuit fonctionne à peu près localement et les résistances à plus de 20 pas, disons, sont insignifiantes.
La loi d'@kalle: Kirchhoff est ce que j'ai mentionné dans mon commentaire ci-dessus. Vous obtiendrez une matrice de dimension infinie et vous devrez calculer son déterminant. Ou vous pouvez utiliser diverses dualités qui connectent le réseau de résistances avec des modèles en physique statistique. Néanmoins, je doute fort qu'une méthode possible soit d'une quelconque manière facile. Vous devrez certainement faire une transformée de Fourier ou des intégrales non triviales (comme dans le lien Sklivvz) à un moment donné pour obtenir les résultats. Vous dites donc que vous avez obtenu quelque chose de simple qui peut battre ces méthodes établies? Je ne peux pas dire que je ne doute pas de toi ;-)
@JOHA: Les marges ici sont probablement trop petites pour votre preuve de toute façon. ;)
La généralisation d'@JOHA: est demandée [ici] (http://physics.stackexchange.com/questions/10308/the-nerd-sniping-problem-generalizations)
$ R_ {m, m} $ est la résistance entre $ (0,0) $ et $ (m, m) $, c'est-à-dire sur la diagonale.La question porte sur $ R_ {2,1} $, donc l'inclusion de $ R_ {m, m} $ dans la réponse est gratuite et devrait probablement être supprimée.
Et d'une manière ou d'une autre, nous obtenons pi là-dedans sans aucun cercle.Les mathématiques sont incroyables.
je préfère l'approximation de 0,773 comme réponse.mais, encore une fois, ce bus ne me frapperait probablement jamais, d'une manière triste.:(
#2
+28
PBS
2018-04-21 20:25:44 UTC
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Voici ma dérivation préférée, qui est à peu près basée sur, mais à mon avis plutôt plus simple que celles données dans les liens ci-dessus. Seule une intégration élémentaire est nécessaire!

La configuration

Travaillez sur une grille dimensionnelle $ N $ pour la généralité et étiquetez les points de la grille par $ \ vec {n} $, un vecteur entier.

Supposons que la tension en chaque point soit $ V_ \ vec {n} $. Alors le courant circulant dans $ \ vec {n} $ de ses voisins $ 2N $ est

$$ \ sum_ {i, \ pm} (V _ {\ vec {n} \ pm \ vec {e} _i} - V_ \ vec {n}) $$

($ \ vec {e} _i $ est le vecteur unitaire le long de la direction $ i $.)

Insistez sur le fait qu'une source externe pompe un ampli dans $ \ vec {0} $ et hors de $ \ vec {a} $. La conservation actuelle donne

$$ \ sum_ {i, \ pm} (V _ {\ vec {n} \ pm \ vec {e} _i} - V_ \ vec {n}) = - \ delta_ \ vec {n} + \ delta_ {\ vec {n} - \ vec {a}} $$

($ \ delta_ \ vec {n} $ vaut $ 1 $ si $ \ vec {n} = \ vec {0} $ et $ 0 $ sinon.)

C'est l'équation que nous voulons résoudre. Étant donné $ V_ \ vec {n} $, la résistance effective entre $ \ vec {0} $ et $ \ vec {a} $ est simplement

$$ R_ \ vec {a} = V_ \ vec {0} - V_ \ vec {a} $$

Malheureusement, il existe une infinité de solutions pour $ V_ \ vec {n} $, et leurs résultats pour $ R_ \ vec {a} $ ne sont pas d'accord! En effet, la question ne spécifie aucune condition aux limites à l'infini. Selon la façon dont nous les choisissons, nous pouvons obtenir n'importe quelle valeur de $ R_ \ vec {a} $ que nous aimons! Il s'avérera qu'il existe un choix unique raisonnable , mais pour l'instant, oublions complètement ce problème et trouvons simplement n'importe quelle solution.

Solution par transformée de Fourier

La stratégie est de trouver une fonction verte $ G_ \ vec {n} $ satisfaisante

$$ \ sum_ {i, \ pm} (G _ {\ vec {n} \ pm \ vec {e} _i} - G_ \ vec {n}) = \ delta_ \ vec {n} $$

Une solution à l'équation d'origine serait alors

$$ V_n = -G_ \ vec {n} + G _ {\ vec {n} - \ vec {a}} $$

Pour trouver $ G_ \ vec {n} $, supposons qu'il puisse être représenté comme

$$ G_ \ vec {n} = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {d ^ N \ vec {k}} {(2 \ pi) ^ N} (e ^ {i \ vec {k } \ cdot \ vec {n}} - 1) g (\ vec {k}) $$

Puis en notant que

\ begin {align} \ sum_ {i, \ pm} (G _ {\ vec {n} \ pm \ vec {e} _i} - G_ \ vec {n}) & = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {d ^ N \ vec {k}} {(2 \ pi) ^ N} e ^ {i \ vec {k} \ cdot \ vec {n}} \ left (\ somme_ {i, \ pm} e ^ {\ pm i k_i} - 2N \ right) g (\ vec {k}) \\ \ delta_ \ vec {n} & = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {d ^ N \ vec {k}} {(2 \ pi) ^ N} e ^ {i \ vec {k} \ cdot \ vec {n}} \ end {align}

nous voyons que l'équation pour $ G_ \ vec {n} $ peut être résolue en choisissant

$$ g (\ vec {k}) = \ frac {1} {\ sum_ {i, \ pm} e ^ {\ pm k_i} - 2N} $$

qui mène à

$$ G_ \ vec {n} = \ frac {1} {2} \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {d ^ N \ vec {k}} {(2 \ pi) ^ N} \ frac {\ cos (\ vec {k} \ cdot \ vec {n}) - 1} {\ sum \ cos (k_i) - N} $$

Au fait, le drôle $ -1 $ au numérateur ne semble pas faire grand-chose d'autre que de déplacer $ G_ \ vec {n} $ par une constante indépendante $ \ vec {n} $, donc vous pourrait se demander ce qu'il fait là-bas. Mais sans elle, l'intégrale serait infinie, au moins pour $ N \ leq 2 $.

La réponse finale est donc

$$ R_ \ vec {a} = V_ \ vec {0} - V_ \ vec {a} = 2 (G_ \ vec {a} - G_ \ vec {0}) = \ int_0 ^ {2 \ pi } \ frac {d ^ N \ vec {k}} {(2 \ pi) ^ N} \ frac {1 - \ cos (\ vec {k} \ cdot \ vec {a})} {N - \ sum \ cos (k_i)} $$

Pourquoi est-ce la bonne réponse?

(À partir de maintenant, $ N = 2 $)

J'ai dit plus tôt qu'il y avait une infinité de solutions pour $ V_ \ vec {n} $. Mais celui ci-dessus est spécial, car à de grandes distances $ r $ de l'origine, les tensions et les courants se comportent comme

$$ V = \ mathcal {O} (1 / r) \ qquad I = \ mathcal {O} (1 / r ^ 2) $$

Un théorème standard (Unicité des solutions à l'équation de Laplace) dit qu'il ne peut y avoir qu'une seule solution satisfaisant cette condition. Notre solution est donc l'unique avec le moins de courant possible circulant à l'infini et avec $ V_ \ infty = 0 $ . Et même si la question ne le demandait pas, c'est évidemment la seule chose raisonnable à demander.

Ou est-ce? Peut-être préférez-vous définir le problème en travaillant sur une grille finie, en y trouvant la solution unique pour $ V_ \ vec {n} $, puis en essayant de prendre une sorte de limite lorsque la taille de la grille va à l'infini. Cependant, on peut affirmer que le $ V_ \ vec {n} $ obtenu à partir d'une grille de taille - $ L $ devrait converger vers notre $ V_ \ vec {n} $ avec une erreur d'ordre $ 1 / L $. Le résultat final est donc le même.

Faire les intégrales

Considérons d'abord le cas diagonal

\ begin {align} R_ {n, n} & = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ int_A dx \, dy \, \ frac {1 - \ cos (n (x + y))} {2 - \ cos (x) - \ confortable)} \\ & = \ frac {1} {2 (2 \ pi) ^ 2} \ int_A dx \, dy \, \ frac {1 - \ cos (n (x + y))} {1 - \ cos (\ frac { x + y} {2}) \ cos (\ frac {xy} {2})} \ end {align}

où $ A $ est le carré $ 0 \ leq x, y \ leq 2 \ pi $.

Comme l'intégrale est périodique, le domaine peut être changé de $ A $ à $ A '$ comme ceci:

Rectangles A and A'

Puis changer les variables en

$$ a = \ frac {x + y} {2} \ qquad b = \ frac {x-y} {2} \ qquad dx \, dy = 2 \, da \, db $$

l'intégrale devient

$$ R_ {n, n} = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ 2} \ int_0 ^ \ pi da \ int _ {- \ pi} ^ \ pi db \, \ frac {1 - \ cos (2na)} {1 - \ cos (a) \ cos (b)} $$

L'intégrale $ b $ peut être faite avec la substitution demi-tan

$$ t = \ tan (b / 2) \ qquad \ cos (b) = \ frac {1-t ^ 2} {1 + t ^ 2} \ qquad db = \ frac {2} {1+ t ^ 2} dt $$

donner

$$ R_ {n, n} = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_0 ^ \ pi da \, \ frac {1 - \ cos (2na)} {\ sin (a)} $$

L'identité trigonométrique

$$ 1 - \ cos (2na) = 2 \ sin (a) \ big (\ sin (a) + \ sin (3a) + \ dots + \ sin ((2n-1) a) \ big) $$

réduit l'intégrale $ a $ restante à

\ begin {align} R_ {n, n} & = \ frac {2} {\ pi} \ left (1 + \ frac {1} {3} + \ dots + \ frac {1} {2n-1} \ right) \ end {align}

Induction

Alors que l'intégration était nécessaire pour obtenir les valeurs diagonales de $ R_ {m, n} $, le reste peut être déterminé sans elle. L'astuce consiste à utiliser la symétrie de rotation / réflexion,

$$ R_ {n, m} = R _ {\ pm n, \ pm m} = R _ {\ pm m, \ pm n} $$

avec la relation de récurrence suivante

$$ R_ {n + 1, m} + R_ {n-1, m} + R_ {n, m + 1} + R_ {n, m-1} - 4 R_ {n, m} = 2 \ delta _ {(n, m)} $$

qui peut être déduit en utilisant $ R_ \ vec {n} = 2 G_ \ vec {n} $ et l'équation de définition pour $ G_ \ vec {n} $.

Commencez par la déclaration triviale qui

$$ R_ {0,0} = 0 $$

L'application de la relation de récurrence à $ (0,0) $ et l'utilisation de la symétrie donnent

$$ R_ {1,0} = R_ {0,1} = 1/2 $$

La ligne suivante est faite comme ça

Fill in R11, then R02 and R20

Et celle d'après ...

Fill in R12 and R21, then R03 and R30

L'alternance répétée des deux étapes ci-dessus donne un algorithme pour déterminer chaque $ R_ {m, n} $. Clairement, tous sont de la forme

$$ a + b / \ pi $$

où $ a $ et $ b $ sont des nombres rationnels. Désormais, cet algorithme peut être facilement exécuté à la main, mais autant le coder en Python:

  importer numpy comme np
importer des fractions en fr

N = 4
arr = np.empty ((N * 2 + 1, N * 2 + 1, 2), dtype = 'objet')

def plus (i, j):
    arr [i + 1, j] = 4 * arr [i, j] - arr [i - 1, j] - arr [i, j + 1] - arr [i, abs (j - 1)]

def even (i):
    arr [i, i] = arr [i - 1, i - 1] + [0, fr.Fraction (2, 2 * i - 1)]
    pour k dans la plage (1, i + 1): plus (i + k - 1, i - k)

def impair (i):
    arr [i + 1, i] = 2 * arr [i, i] - arr [i, i - 1]
    pour k dans la plage (1, i + 1): plus (i + k, i - k)

arr [0, 0] = 0
arr [1, 0] = [fr.Fraction (1, 2), 0]

pour i dans la plage (1, N):
    même (i)
    impair (i)

même (N)

pour i dans la plage (0, N + 1):
    pour j dans la plage (0, N + 1):
        a, b = arr [max (i, j), min (i, j)]
        print ('(', a, ') + (', b, ') / π', sep = '', end = '\ t')
    impression()
 

Ceci produit la sortie

$$ \Grand \ begin {tableau} {| c: c: c: c: c} 40 - \ frac {368} {3 \ pi} & \ frac {80} {\ pi} - \ frac {49} {2} & 6 - \ frac {236} {15 \ pi} & \ frac {24} {5 \ pi} - \ frac {1} {2} & \ frac {352} {105 \ pi} \\ \ hdashline \ frac {17} {2} - \ frac {24} {\ pi} & \ frac {46} {3 \ pi} - 4 & \ frac {1} {2} + \ frac {4} {3 \ pi } & \ frac {46} {15 \ pi} & \ frac {24} {5 \ pi} - \ frac {1} {2} \\ \ hdashline 2 - \ frac {4} {\ pi} & \ frac {4} {\ pi} - \ frac {1} {2} & \ frac {8} {3 \ pi} & \ frac {1} {2}+ \ frac {4} {3 \ pi} & 6 - \ frac {236} {15 \ pi} \\ \ hdashline \ frac {1} {2} & \ frac {2} {\ pi} & \ frac {4} {\ pi} - \ frac {1} {2} & \ frac {46} {3 \ pi} - 4& \ frac {80} {\ pi} - \ frac {49} {2} \\ \ hdashline 0 & \ frac {1} {2} & 2 - \ frac {4} {\ pi} & \ frac {17} {2} - \ frac {24} {\ pi} & 40 - \ frac {368} {3 \ pi} \\ \ hline \ end {tableau} $$

à partir de laquelle nous pouvons lire la réponse finale,

$$ R_ {2,1} = \ frac {4} {\ pi} - \ frac {1} {2} $$

Il est très intéressant que ce même formalisme puisse être utilisé pour résoudre la fonction à deux points d'un champ scalaire sans masse sur un réseau
tu as oublié les unités


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 2.0 sous laquelle il est distribué.
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