Question amusante!

Comme vous l'avez souligné,

$$ \ theta \ approx 1.22 \ frac {\ lambda} {D } $$

Pour un œil de type humain, qui a un diamètre de pupille maximal d'environ 9 $ \ \ mathrm {mm} $ et en choisissant la longueur d'onde la plus courte dans le spectre visible d'environ 390 $ \ \ mathrm {nm} $ , la résolution angulaire équivaut à environ 5,3 $ \ times10 ^ {- 5} $ (radians, bien sûr). À une distance de $ 24 \ \ mathrm {km} $ , cela correspond à une résolution linéaire ( $ \ theta d $ , où $ d $ est la distance) d'environ $ 1,2 \ \ mathrm m $ . Donc compter les cavaliers montés semble plausible puisqu'ils sont probablement séparés d'une à quelques fois cette résolution. Comparer leurs hauteurs qui sont de l'ordre de la résolution serait plus difficile, mais pourrait encore être possible avec le dithering. Legolas remue-t-il peut-être beaucoup la tête pendant qu'il compte? Le tramage n'aide que lorsque l'échantillonnage de l'image (dans ce cas, par les photorécepteurs elfiques) est pire que la résolution de l'optique. Les yeux humains ont apparemment un espacement de pixels équivalent à quelque chose comme quelques dixièmes de minute d'arc, tandis que la résolution limitée par diffraction est d'environ un dixième de minute d'arc, donc le tramage ou une autre technique serait nécessaire. profiter pleinement de l'optique.

Un interféromètre a une résolution angulaire égale à un télescope de diamètre égal à la séparation entre les deux détecteurs les plus séparés. Legolas a deux détecteurs (globes oculaires) séparés par environ 10 fois le diamètre de ses pupilles, 75 $ \ \ mathrm {mm} $ environ à plus. Cela lui donnerait une résolution linéaire d'environ 15 $ \ \ mathrm {cm} $ à une distance de 24 $ \ \ mathrm { km} $ , probablement suffisant pour comparer les hauteurs des cavaliers montés.

Cependant, l'interférométrie est un peu plus compliquée que cela. Avec seulement deux détecteurs et une seule séparation fixe, seules les entités avec des séparations angulaires égales à la résolution sont résolues, et la direction est également importante. Si les yeux de Legolas sont orientés horizontalement, il ne pourra pas résoudre la structure dans la direction verticale en utilisant des techniques interférométriques. Il aurait donc à tout le moins besoin d'incliner sa tête sur le côté, et probablement aussi de la secouer beaucoup (y compris une certaine rotation) pour obtenir un échantillonnage décent des différentes orientations de base. Pourtant, il semble qu'avec un processeur suffisamment sophistiqué (cerveau elfe?), Il pourrait réaliser l'observation rapportée.

Luboš Motl souligne d'autres difficultés possibles avec l'interférométrie dans sa réponse, principalement que la combinaison d'un polychrome la source et un espacement des détecteurs plusieurs fois plus grand que la longueur d'onde observée ne conduisent à aucune corrélation dans la phase de la lumière entrant dans les deux détecteurs. Bien que cela soit vrai, Legolas peut être en mesure de contourner ce problème si ses yeux (en particulier les photorécepteurs) sont suffisamment sophistiqués pour agir en tant que spectromètre d'imagerie à haute résolution ou spectrographe de champ intégral et interféromètre. De cette façon, il pouvait sélectionner des signaux d'une longueur d'onde donnée et les utiliser dans son traitement interférométrique.

Quelques autres réponses et commentaires mentionnent la difficulté potentielle à tracer une ligne de visée vers un point 24 $ \ rm km $ en raison de la courbure de la Terre. Comme cela a été souligné, Legolas a juste besoin d'avoir un avantage en élévation d'environ $ 90 \ \ mathrm m $ (la distance radiale d'un cercle $ 6400 \ \ mathrm {km} $ de rayon à une tangente 24 $ \ \ mathrm {km} $ le long de la circonférence; Terre du Milieu est apparemment de la taille de la Terre, ou peut-être la Terre dans le passé, bien que je ne puisse pas vraiment le préciser avec une source canonique après une recherche rapide). Il n'a pas besoin d'être au sommet d'une montagne ou quoi que ce soit, il semble donc raisonnable de supposer que la géographie permet une ligne de vue.

Enfin un peu sur "l'air pur". En astronomie (si vous n'avez pas encore deviné mon domaine, maintenant vous le savez.) Nous nous référons aux distorsions causées par l'atmosphère comme étant "voir". La vue est souvent mesurée en secondes d'arc ( $ 3600 '' = 60 '= 1 ^ \ circ $ ), en référence à la limite imposée à la résolution angulaire par les distorsions atmosphériques. La meilleure vue, réalisée au sommet d'une montagne dans des conditions parfaites, est d'environ $ 1 '' $ , ou en radians 4,8 $ \ times10 ^ { -6} $ . C'est à peu près la même résolution angulaire que les étonnants yeux interférométriques de Legolas. Je ne sais pas à quoi ressemblerait la vue horizontalement sur une distance de $ 24 \ \ mathrm {km} $ . D'une part, il y a beaucoup plus d'air que de regarder verticalement; l'atmosphère est plus épaisse que 24 $ \ \ mathrm {km} $ mais sa densité diminue rapidement avec l'altitude. D'un autre côté, la densité et la température relativement uniformes à altitude fixe entraîneraient moins de variation de l'indice de réfraction que dans la direction verticale, ce qui pourrait améliorer la vision. Si je devais deviner, je dirais que pour un air très calme à température uniforme, il pourrait voir aussi bien que $ 1 \ rm arcsec $ , mais avec des conditions plus réalistes avec le soleil brillant, les effets de mirage prennent probablement le dessus en limitant la résolution que Legolas peut atteindre.

Commençons par substituer les nombres pour voir quel est le diamètre requis de la pupille selon la formule simple: $$ \ theta = 1.22 \ frac {0.4 \, \ mu {\ rm m}} {D} = \ frac {2 \, {\ rm m}} {24 \, {\ rm km}} $$ J'ai substitué la longueur d'onde minimale (violette ...) parce que cette couleur me permettait une meilleure résolution ie plus petite $ \ theta $. La hauteur des chevaliers est de deux mètres. Sauf erreur, le diamètre $ D $ doit être de 0,58 centimètre. C'est tout à fait judicieux car la pupille humaine ouverte au maximum mesure 4 à 9 millimètres de diamètre.

Tout comme le dit la vidéo, la formule de diffraction permet donc marginalement d'observer non seulement la présence des chevaliers - pour les compter - mais marginalement leurs premières propriétés "internes détaillées", peut-être que le pantalon est plus foncé que la chemise. Cependant, voir si le leader mesure 160 cm ou 180 cm est clairement impossible car il faudrait que la résolution soit meilleure d'un autre ordre de grandeur. Tout comme le dit la vidéo, ce n'est pas possible avec la lumière visible et les yeux humains. Il faudrait soit un œil et une pupille 10 fois plus grands; ou une lumière ultraviolette avec une fréquence 10 fois plus élevée.

Cela n'aide pas à rendre les pupilles plus étroites car la résolution permise par la formule de diffraction s'aggraverait. Les images nettement plus floues ne sont pas utiles comme ajouts à l'image la plus nette. Nous le savons aussi dans le monde réel des humains. Si la vision de quelqu'un est beaucoup plus nette que celle de quelqu'un d'autre, la deuxième personne est pratiquement inutile pour affiner les informations sur certains objets difficiles à voir.

Les effets atmosphériques sont susceptibles d'aggraver la résolution par rapport à la simple attente ci-dessus. Même si nous avons l'air le plus pur, ce n'est pas seulement une question d'air pur; nous avons besoin d'un air uniforme à température constante, etc., et il n'est jamais aussi uniforme et statique - il déforme encore la propagation de la lumière et implique une détérioration supplémentaire. Toutes ces considérations sont bien sûr tout à fait théoriques pour moi qui pourrais raisonnablement me demander si je vois des gens assez nettement à 24 mètres pour les compter. ;-)

Même si l'atmosphère aggrave la résolution d'un facteur 5 ou plus, les chevaliers peuvent encore induire les "points flous" minimaux au niveau de la rétine, et tant que la distance entre les chevaliers est plus grande que la distance à la résolution (aggravée), comme 10 mètres, on pourra les compter.

En général, les cellules photoréceptrices sont en effet assez denses pour ne pas vraiment aggraver la résolution estimée . Ils sont suffisamment denses pour que l'œil exploite pleinement les limites imposées par la formule de diffraction, je pense. L'évolution a probablement fonctionné jusqu'à la limite car il n'est pas si difficile pour la nature de rendre les rétines denses et la nature gaspillerait une occasion de ne pas donner aux mammifères la vision la plus nette possible.

Concernant les astuces pour améliorer la résolution ou contourner la limite de diffraction, il n'y en a pas presque. Les observations à long terme n'aident pas à moins que l'on puisse observer l'emplacement des points avec une précision meilleure que la distance des cellules photoréceptrices. Les organes des mammifères ne peuvent tout simplement pas être aussi statiques. Le traitement d'image utilisant de nombreuses images inévitablement floues à des emplacements fluctuants ne peut tout simplement pas produire une image nette.

L'astuce du Very Large Array ne fonctionne pas non plus. C'est parce que le Very Large Array n'aide que pour les ondes radio (c'est-à-dire longues) de sorte que les éléments individuels du tableau mesurent la phase de l'onde et que les informations sur la phase relative sont utilisées pour affiner les informations sur la source. La phase de la lumière visible - à moins qu'elle ne provienne de lasers, et même dans ce cas, cela est discutable - est complètement décorrélée dans les deux yeux car la lumière n'est pas monochromatique et la distance entre les deux yeux est largement supérieure à la longueur d'onde moyenne . Les deux yeux n'ont donc que la vertu de doubler l'intensité globale; et pour nous donner la vision stéréo 3D. Ce dernier est clairement hors de propos à une distance de 24 kilomètres également. L'angle auquel les deux yeux regardent pour voir l'objet distant de 24 km est sensiblement différent des directions parallèles. Mais une fois que les muscles s'adaptent à ces angles légèrement non parallèles, ce que les deux yeux voient à une distance de 24 km est impossible à distinguer.

Prenons la situation idéalisée suivante:

• la personne d'intérêt est parfaitement immobile et est d'une couleur homogène fixe
• l'arrière-plan (herbe) est d'un couleur homogène fixe (significativement différente de la personne).
• Legolas connaît les proprotions des personnes, les couleurs de la personne d'intérêt et l'arrière-plan
• Legolas connaît le PSF de son optique système (y compris ses photorécepteurs)
• Legoalas connaît la position et l'orientation exactes de ses yeux.
• Supposons qu'il n'y a pratiquement aucun bruit dans ses photorécepteurs, et qu'il a accès à la sortie de chacun.

À partir de là, Legolas peut calculer la réponse exacte sur sa rétine pour n'importe quelle position et taille (angulaire) de la personne d'intérêt, y compris les effets de diffraction. Il peut ensuite comparer ce modèle exact aux données réelles du capteur et choisir celui qui correspond le mieux - notez que cela inclut la manière dont la réponse se déroule et / ou toute frange de diffraction autour de la frontière de la personne imagée (je suppose que les cellules du capteur dans ses yeux sur-échantillonnent le PSF des parties optiques de ses yeux.)

(Pour rendre les choses encore plus simples: c'est assez évident que vu le PSF, et un rectangle noir sur un fond blanc, nous pouvons calculer la réponse exacte du système optique - je dis juste que Legolas peut faire de même pour ses yeux et toute taille / couleur hypothétique d'une personne.)

Les principales limitations sur ceci sont:

1. combien d'hypothèses de modèle différentes il considère,
2. Tout bruit ou turbulence qui déforme la réponse de ses yeux loin de la réponse idéale calculable (le bruit peut être atténué par temps d'intégration),
3. Sa capacité à contrôler la position et l'orientation de ses yeux, c'est-à-dire 2 millions $ à $ 24km $ span > est seulement $ 0,01 $ radians - correspond aux déplacements de $ \ environ 0,8 \ mu m $ dans la position d'un endroit à l'extérieur de ses yeux (supposé $ 1cm $ rayon du globe oculaire).

Essentiellement, je dessine un type bayésien de technique de super-résolution comme évoqué sur la page Wikipédia de super-résolution.

Pour éviter les problèmes de mélange de la personne avec sa monture, supposons que Legolas ait observé les gens quand ils ont été démontés, en faisant une pause peut-être. Il pourrait dire que le leader est grand en comparant simplement les tailles relatives de différentes personnes (en supposant qu'elles se déplaçaient à des séparations beaucoup plus grandes que la résolution de son œil).

La scène réelle du livre le fait discerner pendant que les cavaliers étaient montés et en mouvement - à ce stade, je dois juste dire "C'est un livre", mais l'idée que la limite de diffraction n'a pas d'importance quand vous en savez beaucoup sur votre système optique et ce que vous cherchez à vaut la peine d'être noté.

De plus, les cellules de bâtonnets humains sont $ O (3-5 \ mu m) $ - ce imposera un filtrage passe-bas en plus de tout effet de diffraction de la pupille.

Une illustration de modèle de jouet d'un problème similaire

Soit $ B (x; x_0, dx) = 1 $ pour $ x_0 < x < x_0 + dx $ et être nul autrement; convolve $ B (x; x_0, dx_1) $ et $ B (x; x_0, dx_2) $ , avec $ dx_2>dx_1 $ , avec un PSF connu; supposons que la largeur de cette PSF est bien inférieure à $ dx_1, dx_2 $ mais large par rapport à $ dx_2- dx_1 $ pour produire $ I_1 (y), I_2 (y) $ . (Dans ma conception de ce modèle, il s'agit de la réponse d'une seule cellule de la rétine en fonction de la position angulaire de l'œil ( $ y $ ).) I.e. prenez deux images de blocs de tailles différentes et alignez les images de sorte que les bords gauche des deux blocs soient au même endroit. Si vous posez ensuite la question: où les bords droits des images franchissent-ils une valeur de seuil sélectionnée, c'est-à-dire $ I_1 (y_1) = I_2 (y_2) = T $ vous Nous trouverons que $ y_2-y_1 = dx_2-dx_1 $ indépendamment de la largeur du PSF (étant donné qu'il est beaucoup plus étroit que l'un ou l'autre bloc). Une raison pour laquelle vous voulez souvent des arêtes vives est que lorsque du bruit est présent, les valeurs de $ y_1, y_2 $ varieront d'un montant qui est inversement proportionnel à la pente de l'image; mais en l'absence de bruit, la capacité théorique de mesurer les différences de taille est indépendante de la résolution optique.

Remarque: en comparant ce modèle de jouet au problème de Legolas, on peut objecter valablement que le PSF n'est pas beaucoup plus petit que les hauteurs imagées des personnes. Mais cela sert à illustrer le point général.

Une chose que vous n'avez pas prise en compte. La courbe de la planète (la Terre du Milieu est similaire en taille et en courbure à la Terre). Vous ne pouvez voir que 3 miles à l'horizon de l'océan à 6 pieds de haut. Pour voir 24 km, vous devez être à près de 100 m au-dessus des objets visualisés. Donc, à moins que Legolas n'ait été au sommet d'une très (très) haute colline ou montagne, il n'aurait pas pu voir 24 km en premier lieu à cause de la courbure de la planète.

La déconvolution peut fonctionner mais elle ne fonctionne bien qu'en cas de sources ponctuelles comme par exemple souligné ici. Le principe est simple; le flou dû à l'ouverture finie est une cartographie mathématique connue qui mappe une image de résolution hypothétiquement infinie à une image de résolution finie. Compte tenu de l'image floue, vous pouvez alors tenter d'inverser ce mappage. L'image floue d'une source ponctuelle qui n'aurait dû affecter qu'un seul pixel si l'image n'était pas du tout floue est appelée fonction d'étalement de points. Le mappage sur l'image floue est défini de manière concurrente par la fonction d'étalement de points. Il existe divers algorithmes capables de débloquer une image avec une certaine approximation, par ex. Déconvolution Richardson – Lucy ou Méthode de filtrage de Wiener.

En pratique, vous ne pouvez pas déconvoluer parfaitement une image, car cela implique de diviser la transformée de Fourier du image floue par la transformée de Fourier de la fonction d'étalement de points, et cette dernière aura tendance à zéro aux grands nombres d'ondes. Cela signifie que vous finirez par amplifier le bruit à des nombres d'ondes élevés et que c'est précisément aux nombres d'ondes élevés que les détails à petite échelle sont présents. Ainsi, la résolution que vous pouvez obtenir sera finalement limitée par le bruit.

Legolas n'a probablement besoin que d ' un œil s'il a assez de temps et peut faire des mesures spectrales suffisamment précises.

Tout d'abord, notez que Legolas regardait par une journée ensoleillée; nous supposerons qu'entre l'intensité de l'incident et l'albédo, cet objet réfléchissait de l'ordre de 100 $ \ mathrm {W} / \ mathrm {m} ^ 2 $ de lumière, soit environ 10 $ ^ {22} $ photons par seconde. À 24 kilomètres, cela revient à environ 10 $ ^ 8 $ photons par $ \ mathrm {cm} ^ 2 $.

Nous ne savons pas à quel point les yeux de Legolas sont grands, comme les livres ne le disent pas , mais nous pouvons supposer qu'ils ne sont pas terriblement énormes et qu'ils sont donc de l'ordre de 1 cm de diamètre, ce qui lui donne une résolution angulaire d'environ 6 $ \ cdot 10 ^ {- 5} $ radians, soit environ 1,5 $ \ mathrm {m} $. Comme déjà décrit, cela devrait être suffisant pour compter le nombre de coureurs.

Maintenant, il y a deux facteurs qui sont extrêmement importants. Premièrement, les coureurs bougent. Ainsi, en regardant les corrélations temporelles dans les spectres, Legolas peut en principe déduire ce que les spectres des coureurs sont distincts de l'arrière-plan. On peut aussi supposer qu'il connaît les spectres de divers objets communs (cuir, cheveux de différentes couleurs, etc.). Il peut ainsi faire un modèle de mélange de sous-résolution où il émet l'hypothèse $ n $ objets de spectres distincts et essaie de trouver la taille / luminance de chacun. C'est probablement la partie la plus délicate, car les spectres de nombreux éléments ont tendance à être assez larges, ce qui donne un chevauchement substantiel des spectres. Supposons que l'objet recherché ne présente qu'une différence de profil spectral de 10% par rapport aux autres (au total). Ensuite, avec un temps d'intégration d'une seconde, il aurait un bruit de tir de photons de l'ordre de 10 $ ^ 4 $ photons mais un signal d'environ $ A \ cdot10 ^ 7 $ photons où $ A $ est la luminance fractionnaire de l'objet cible dans le champ de vision limité par la diffraction.

Étant donné que la microscopie à super-résolution peut résoudre des éléments approximativement proportionnels au SNR (exemple le plus simple: si une source est entièrement dans un pixel, tout dans un autre, ou une fraction entre les deux, il vous suffit de comparer l'intensité de ces deux pixels. ), cela signifie que Legolas pourrait potentiellement trouver un objet brillant à l'intérieur de l'ordre de 1,5 $ \ mathrm {mm} $. S'il utilise la lueur d'un casque et d'un étrier, par exemple, il pourrait bien mesurer la hauteur de manière adéquate et sélectionner des détails tels que «le jaune est leurs cheveux».

Dans l'esprit de votre question, avoir deux yeux et supposer que vous pouvez les utiliser comme un tableau (ce qui nécessite de mesurer la phase de la lumière - ce que les yeux ne font pas) vous permet d'utiliser la distance entre eux pour $ D $ dans l'équation de résolution. Je ne connais pas l'espacement des yeux d'un elfe, je vais donc utiliser 6 $ cm $ pour plus de commodité. Avec une lumière violette de $ \ lambda = 430 nm $, nous obtenons $ \ theta \ approx 1.22 \ frac {430 \ cdot 10 ^ {- 9}} {0.06} = 8.7 \ cdot 10 ^ {- 6} $. À une distance de 24 $ km $, cela donne une résolution de 21 $ cm $. Vous pouvez probablement distinguer les cavaliers, mais l'estimation de la hauteur est très difficile.

L'autre problème est la courbure de la terre. Si le rayon de la terre est de 6400 $ km $, vous pouvez dessiner un triangle rectangle avec des jambes de 24 $, 6400 $ et découvrir que l'autre est de 6400,045 $, donc il n'a besoin que d'être sur une colline de 45 m $ de haut. La brume au sol sera un problème.

Voici une autre possibilité qui n'a pas encore été mentionnée.Si un objet A peut être complètement caché derrière un autre objet de forme similaire B, alors B doit être plus grand que A. Inversement, A passe derrière B et reste partiellement visible tout le temps, c'est la preuve que A est plus grand que B (ou queA ne passe pas directement derrière B, ignorons cette possibilité pour l'instant).

Dans la situation de Legolas, si le leader a une caractéristique distincte (casque brillant, veste de couleur différente) et Legolas peut voir une partie de cette couleur tandis que le leader passe derrière d'autres dans son groupe, alors je conclurais que le leader est plus grand.La résolution n'est pas importante dans ce cas.Legolas peut dire quel objet est devant car la quantité de photons de couleur leader sera réduite, comme pour une planète passant devant une étoile lointaine.

Il y a aussi une limitation géométrique pour voir aussi loin. Je l'ai Q&A'ed sur Mathématiques.SE. S'il se tenait sur un terrain plat, Legolas n'aurait pu voir que 4,8 km de distance en raison de la courbure de la planète (en supposant que la Terre du Milieu se trouve sur une planète ressemblant à la nôtre). Pour voir aussi loin, il aurait fallu qu'il ait escaladé une colline ou un arbre d'environ 50 m de hauteur.