Question:
Qu'est-ce que cela signifie pour un hamiltonien ou un système d'être brisé ou non?
Jane
2011-02-10 20:54:04 UTC
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J'ai lu récemment des articles qui parlent de hamiltoniens espacés ou de systèmes sans discontinuité, mais qu'est-ce que cela signifie?

Modifier: Une chaîne de spin XX est-elle dans un champ magnétique écarté? Pourquoi ou pourquoi pas?

Un point à noter est que l'écart de masse mentionné dans une réponse ci-dessous est l'un des [prix d'argile de 1000000 $] (https://en.wikipedia.org/wiki/Yang%E2%80%93Mills_existence_and_mass_gap). Cela pourrait donc valoir la peine de comprendre cela!
Vous devriez nous rappeler ce qu'est une chaîne de spin XX ...
Bon point - $ H_ {XX} = \ frac {J} {2} \ sum_l (\ sigma_l ^ x \ sigma_ {l + 1} ^ x + \ sigma_l ^ y \ sigma_ {l + 1} ^ y) -B \ sum_l \ sigma_l ^ z $
Cinq réponses:
#1
+75
Xiao-Gang Wen
2012-05-29 19:45:05 UTC
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C'est en fait une question très délicate, mathématiquement. Les physiciens peuvent penser que cette question est triviale. Mais il me faut une heure dans une école d'été en mathématiques pour expliquer la notion de hamiltonien brisé.

Pour voir pourquoi c'est délicat, considérons les affirmations suivantes. Tout système physique a un nombre fini de degrés de liberté (en supposant que l'univers est fini). Un tel système physique est décrit par une matrice hamiltonienne de dimension finie. Toute matrice hamiltonienne de dimension finie a un spectre discret, donc tous les systèmes physiques (ou tous les hamiltoniens) sont espacés.

Certainement, ce qui précède n'est pas ce que nous entendons par «hamiltonien espacé» en physique. Mais qu'est-ce que cela signifie pour un hamiltonien d'être espacé?

Puisqu'un système espacé peut avoir des excitations sans intervalle à la frontière, pour définir le hamiltonien espacé, nous avons besoin pour placer l'hamiltonien sur un espace sans limite. En outre, un système avec certaines tailles peut contenir des excitations non triviales (telles que l'état liquide de spin des spins spin-1/2 sur un réseau avec un nombre de sites ODD), nous devons donc spécifier que le système a une certaine séquence de tailles comme nous prenons la limite thermodynamique.

Voici donc une définition de "hamiltonien espacé" en physique: Considérons un système sur un espace fermé, s'il y a une suite de tailles du système $ L_i $, $ L_i \ to \ infty $ comme $ i \ to \ infty $, de sorte que le système size- $ L_i $ sur un espace fermé ait la "propriété gap" suivante, alors le système est dit espacé. Notez que la notion de «hamiltonien espacé» ne peut même pas être définie pour un seul hamiltonien. C'est une propriété d'une séquence d'hamiltonien dans la limite de grande taille.

Voici la définition de la "propriété gap": Il existe un $ \ Delta $ fixe (ie indépendant de $ L_i $) tel que la taille - $ L_i $ Hamiltonien n'a pas de valeur propre dans une fenêtre d'énergie de taille $ \ Delta $. Le nombre d'états propres sous la fenêtre d'énergie ne dépend pas de $ L_i $, la division d'énergie de ces états propres sous la fenêtre d'énergie se rapproche de zéro comme $ L_i \ à \ infty $.

Le nombre d'états propres sous la fenêtre d'énergie devient la dégénérescence de l'état fondamental du système espacé. C'est ainsi que l'état fondamental dégénère d'un état topologique ordonné est défini. Je me demande, si quelqu'un avait considéré très attentivement la définition du système à plusieurs corps espacés, il / elle pourrait découvrir mathématiquement la notion d'ordre topologique.

@ Xiao-Gang Wen Cher professeur Wen, mathématiquement, est-il possible qu'un hamiltonien ait la "propriété gap" pour les deux ** deux ** séquences distinctes ** de tailles du système comme nous prenons la limite thermodynamique, mais ces deux séquences donnentdeux dégénérations de l'état fondamental ** différentes **?
Oui.Le code cubique de Haah en est un exemple.Et on peut facilement construire de nombreux autres exemples en empilant des états 2D topologiquement ordonnés pour former un état 3D espacé.
Que faire s'il existe une séquence de tailles telle que \ delta varie, mais reste toujours au-dessus d'un seuil non nul?Cela devrait également être considéré comme brisé.En particulier, pourquoi \ delta devrait-il rester fixe?
#2
+19
user566
2011-02-10 21:18:59 UTC
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Gapped ou gapless est une distinction entre les spectres continus et discrets des excitations de basse énergie. Pour un hamiltonien $ H $ à spectre espacé, le premier état excité a une valeur propre d'énergie $ E_1 $ qui est séparée par un écart $ \ Delta > 0 $ de l'état fondamental $ E_0 $. Par exemple, une relation de dispersion de la forme $ E = | k | $ est un exemple de spectre sans intervalle (continu), alors que $ E = \ sqrt {k ^ 2 + m ^ 2} $ est un exemple de spectre avec intervalle . $ k $ désigne le vecteur d'onde et peut être n'importe quel nombre réel. $ m $ est la masse qui, dans ce cas, est la cause de l'écart.

Cette distinction conduit à une différence qualitative dans le comportement physique des systèmes espacés et inexploités - surtout, elle détermine si un matériau est un conducteur ou un isolant. Il existe des processus assez fascinants qui peuvent donner lieu à un écart tel que des interactions (des exemples intéressants sont l'écart de masse dans la théorie de Yang-Mills, ou l'écart dans la supraconductivité BCS).

En quoi $ E = \ sqrt {k ^ 2 + m ^ 2} $ est-il un spectre espacé?L'état fondamental n'aurait-il pas $ E_0 = m $ et le spectre serait-il continu?Ou supposons-nous que $ E_0 $ vaut 0 $?
@JoãoBravo Je pense que $ E_0 = 0 $.Cela correspond à l'état de zéro particule.Mais une fois que vous passez à l'état excité suivant, disons avec n = 1 particules avec k = 0, vous trouverez $ E_1 = m $;d'où un "écart de masse".
@AimanAl-Eryani Cela a du sens, merci.
#3
+5
dbrane
2011-02-10 21:18:14 UTC
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Les lacunes et les lacunes sont généralement des attributs des hamiltoniens à plusieurs corps. Un hamiltonien espacé est simplement un hamiltonien pour lequel il existe un écart non nul entre l'état fondamental et le premier état excité.

J'ajouterais que souvent, la différence est physique - un système avec des excitations sans interruption verra sa phénoménologie dominée par celles-ci; de plus, un système à lacunes est assez robuste contre les perturbations qui pourraient changer la phase dans laquelle se trouve le système - il est beaucoup plus facile de mélanger des états qui sont proches les uns des autres en énergie. Ainsi par exemple, le liquide de Fermi est sans intervalle, ce qui le rend instable vers la supraconductivité, qui est une phase à intervalle.
#4
+3
Zoltan Zimboras
2011-02-11 01:42:32 UTC
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Une brève remarque pour la partie "éditée" de votre question (s'il y a un espace dans la chaîne XX ou non). La chaîne de spin XX dans un champ magnétique, c'est-à-dire le modèle défini par l'hamiltonien

$$ H = \ sum_i (\ sigma ^ {x} _i \ sigma ^ {x} _ {i + 1} + \ sigma ^ {y} _i \ sigma ^ {y} _ {i + 1} + h \ sigma ^ {z} _i) $$

est écarté lorsque $ | h | > 1 $. Ce n'est pas un résultat très difficile, il sort immédiatement si vous faites l'habituel Jordan-Wigner et une transformation de Fourier comme le fameux article de Lieb, Schultz et Mattis (Ann. Phys.16, 407, (1961)) (bien que là, les termes $ \ sigma ^ {z} _i $ manquent, mais ils ne sont pas difficiles à intégrer).

#5
+2
Roy Simpson
2011-02-11 00:49:46 UTC
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Je voudrais juste ajouter un peu à ces réponses à la lumière de la modification de la question qui introduit "XX Spin Chains" comme contexte pour cette question. J'ai trouvé un didacticiel sur les chaînes de rotation ici. Fondamentalement, ce sont N tours sur une ligne. Voici le hamiltonien de cet article où N = 2.

$ H_ {12} = J / 4 (\ sigma_1 ^ x \ sigma_2 ^ x + \ sigma_1 ^ y \ sigma_2 ^ y + \ sigma_1 ^ z \ sigma_2 ^ z - I \ times I) $

En fonction du signe de J, cela a soit 3 solutions sol dégénérées, plus une solution excitée ou une solution sol. Il s'agit d'un modèle de base des états ferromagnétiques / antiferromagnétiques. Dans ce cas, les solutions ont un écart. Ils auront encore un écart pour le N. général.

Cependant, de nombreux développements de ce modèle largement intégrable se sont produits dans des articles récents, avec un champ magnétique continu appliqué par exemple. Dans certains de ces cas, le modèle peut être sans interruption. Il y a aussi la question de ce que le modèle implique dans la limite thermodynamique $ N \ rightarrow \ infty $.



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 2.0 sous laquelle il est distribué.
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