Bien que d'autres réponses soient correctes, elles ne répondent pas à votre problème spécifique. Il semble que vous traitez la deuxième loi de Newton comme si elle définissait une seule fonction, alors que ce n'est pas le cas.

Par exemple, en algèbre, si je dis qu'une fonction est $ f (x) = x ^ 2 + 3 $ , alors je peux "brancher" cette fonction quelque chose comme $ sx $ afin que $ f (sx) = (sx) ^ 2 + 3 $ par comment nous avons défini la fonction.

Ce n'est pas ce que fait la deuxième loi de Newton. $ F (x) = m \ ddot x $ n'est pas une fonction disant "tout ce que je branche dans la fonction $ F $ Je prends sa seconde dérivée par rapport au temps et je la multiplie par $ m $ ." Donc, votre déclaration de $ F (sx) = ms \ ddot x $ n'est pas correcte. La loi de Newton est une équation différentielle , pas une définition de fonction. $ F (x) $ est défini par les forces agissant sur notre système, et la deuxième loi de Newton stipule alors que l'accélération est proportionnelle à cette force.

Pour traiter le type d'analyse que vous souhaitez faire, vous devez être prudent.C'est un peu gênant d'écrire $ F (\ vec {x}) = m \ ddot {\ vec {x}} $ en premier lieu, mais vous pouvez l'écriretant que vous comprenez ce que cela signifie.Cela signifie que vous considérez la force et l'accélération comme des champs parce que vous considérez la loi de Newton à chaque point de l'espace.Ainsi, une manière plus claire de l'écrire est $$ F (\ vec {x}) = m \ ddot {\ vec {x}} (\ vec {x}) $$ span>

Edit $ 1 $ : Permettez-moi de clarifier un peu plus clairement le sens de cette expression. Comme je l'ai dit, je considère une particule à chaque point de l'espace. Ainsi, $ \ ddot {x} (x) $ signifie simplement l'accélération de la particule qui se trouve à $ x $ . Le $ x $ est le crochet est une étiquette. Par exemple, si j'écrivais la deuxième loi de Newton pour les particules $ N $ , j'écrirais $ F (x_i ) = \ ddot {x} _i $ pour $ i = 1,2, ..., N $ . Maintenant, je mets une particule à chaque point de coordonnées et l'étiquette $ i $ est remplacée par l'étiquette de coordonnées $ x $ . Donc, remplacer simplement $ i $ par $ x $ me donnerait $ F (x (x)) = \ ddot {x} (x) $ où $ x $ est un libellé comme $ i $ . Maintenant, notez que $ F (x (x)) $ signifie la force à la position $ x $ d'une particule étiquetée par $ x $ . Mais la signification de l'étiquetage des coordonnées $ x $ , par définition, implique que la position $ x $ de une particule étiquetée par $ x $ serait simplement $ x $ . Ainsi, j'adopte une notation succincte pour $ F (x (x)) $ et j'écris simplement $ F (x) $ . Ainsi, $ F (x (x)) = \ ddot {x} (x) $ devient $ F (x) = \ ddot {x} (x) $ , qui est l'expression écrite ci-dessus, sauf en notation vectorielle.

Maintenant, vous pouvez faire le jeu de mise à l'échelle et écrire $$ F (s \ vec {x}) = m \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec { x}) $$

Maintenant, vous voyez qu'il n'y a aucune raison de croire que $$ \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec {x}) = s \ ddot {\ vec {x}} (\ vec {x}) $$ en général. Cependant, ce que vous pouvez faire, c'est essayer de voir quand cela serait vrai. Et si vous faites cela, vous pouvez voir que ce serait vrai ssi $$ F (s \ vec {x}) = sF (\ vec {x}) $$ span >

Voici ce que vous avez finalement obtenu. Mais cela signifie simplement que vous avez déterminé la condition sous laquelle $ \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec {x}) = s \ ddot {\ vec { x}} (\ vec {x}) $ serait valide. Votre erreur est que vous avez supposé que $ \ ddot {\ vec {x}} (s \ vec {x}) = s \ ddot {\ vec {x}} (\ vec { x}) $ est génériquement vrai (probablement en raison de votre notation déroutante), puis a conclu que $ F (s \ vec {x}) = sF (\ vec {x }) $ doit être vrai de manière générique, ce qui n'est pas vrai car votre hypothèse implicite n'est pas vraie de manière générique.

Edit $ 2 $

Je considère que la transformation $ x \ en sx $ signifie qu'elle nous emmène du point $ x $ pour pointer $ sx $ dans les mêmes unités. Donc, si j'écris la loi de Newton pour la particule à la position $ x = 1 $ comme $ F_1 = a_1 $ , la transformation signifie que maintenant j'écris la loi de Newton pour une particule différente, une qui est située à $ x = s $ , et j'écrirais $ F_s = a_s $ . Il ne se passe donc rien de non-trivial ici. L'hypothèse de l'OP était que $ a_s = sa_1 $ , ce qui est une affirmation très non triviale car elle établit une relation entre les accélérations de particules en différents points. Je souligne simplement l'évidence que ce n'est pas vrai à moins que les forces à ces positions ne soient liées de manière à établir une telle relation, c'est-à-dire à moins que $ F_s = sF_1 $ span >.

Ce que vous avez trouvé ici n'est pas une incohérence de la mécanique de Newton, mais une symétrie de l'oscillateur harmonique. Considérez par simplicité une particule ponctuelle dans $ \ mathbb {R} ^ n $ . La force peut être considérée comme une fonction $ F: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ prenant la position de la particule comme argument . La loi de Newton stipule qu'une trajectoire physique $$ \ gamma: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $$ d'une particule ponctuelle de masse $ m $ satisfait l'équation $$ F (\ gamma (t)) = \ ddot \ gamma (t) $$ pour tous les temps $ t \ in \ mathbb {R} $ .

Concernant maintenant votre question, vous avez observé que si nous prenons une trajectoire physique $ \ gamma $ et la redimensionnons par un nombre réel $ s \ in \ mathbb {R} $ , cela ne satisfait la loi de Newton que si $ F $ est linéaire. Cependant, ce n'est pas une incohérence de la mécanique de Newton, car scaling d'une trajectoire physique en général ne vous donne pas une nouvelle trajectoire physique. Au lieu de cela, l'interprétation correcte de ce que vous avez trouvé ici est que ce type de symétrie d'échelle est une caractéristique de l'oscillateur harmonique (potentiel quadratique).

Pour conclure, vous avez supposé que la mise à l'échelle d'une trajectoire physique donne une nouvelle trajectoire physique, ce qui n'est pas vrai en général. Ce que vous avez trouvé, c'est que cette symétrie est une propriété des forces linéaires / potentiels quadratiques. J'espère que cela pourrait vous aider! Bravo!

Pour $ \ vec x $ mis à l'échelle par une constante arbitraire $$ , nous obtenons: $$ F (s \ vec {x}) = ms \ vec {\ ddot {x}} \ Longleftrightarrow \ frac {F (s \ vec {x})} {s} = m \ vec {\ ddot {x}} $$

Ce n'est pas vrai. N'oubliez pas que $ \ vec x $ et $ \ vec F (\ vec x) $ représentent quelque chose de physique; $ \ vec x $ représente la position et $ \ vec F (\ vec x) $ représente le réseau force en fonction de la position. Une fois que vous avez multiplié $ \ vec x $ par $ s $ , cela n'a plus cette signification, donc $ \ vec F (s \ vec x) $ ne représente plus la force nette en fonction de la position, à moins que $ \ vec F $ se trouve être linéaire (auquel cas il est proportionnel à la force). Ici, vous supposez implicitement que $ \ vec F $ est linéaire, puis montrez que cela est cohérent avec le fait qu'il est linéaire; c'est votre différence.

Il me semble que vous avez tenté une modification illégale de variables. Vous ne pouvez pas simplement remplacer $ s \ vec {x} $ par $ \ vec {x} $ .

N'oubliez pas que l'équation $ F (\ vec {x}) = m \ vec {\ ddot {x}} $ n'est pas censée tenir pour toutes les quantités possibles variant dans le temps $ \ vec {x} $ . C'est une affirmation particulière sur $ \ vec {x} $ , qui est vraie pour certaines quantités variant dans le temps $ \ vec {x} $ et false pour d'autres quantités variant dans le temps $ \ vec {x} $ . La deuxième loi de Newton affirme que l'équation est vraie si $ \ vec {x} $ est la position d'une particule dans un champ de force défini par la fonction $ F $ .

Donc si vous voulez faire un changement de variables similaire à celui que vous avez fait, vous devrez définir une nouvelle quantité $ \ vec {y} = \ frac { \ vec {x}} {s} $ , puis vous pouvez remplacer $ s \ vec {y} $ par $ \ vec {x} $ .

À partir de là, vous pouvez conclure que

$$ F (s \ vec {y}) = ms \ vec {\ ddot {y}} \ Longleftrightarrow \ frac {F (s \ vec {y})} {s} = m \ vec {\ ddot {y}} = \ frac {m} {s} \ vec {\ ddot {x}}, $$

et l'expression la plus à droite ici est clairement $ \ frac {F (\ vec {x})} {s} $ . Par conséquent:

$$ \ frac {F (\ vec {x})} {s} = \ frac {F (s \ vec {y})} {s}. $$

Bien sûr, ce n'est pas du tout une contradiction. C'est une tautologie, puisque $ \ vec {x} = s \ vec {y} $ par la définition de $ \ vec {y} $ .

La deuxième loi de Newton ne dit pas $$ \ vec F (\ vec x) = m \ ddot {\ vec x} \. $$ Il est dit $$ \ vec F = m \ ddot {\ vec x} \. $$ Autrement dit, la force $ \ vec F $ n'est, en général, pas fonction de la position.(Notez que la position n'apparaît même pas sur le côté droit!) Si vous voulez, pour une trajectoire donnée $ \ vec x (t) $ , c'est unfonction de la fonction $ \ vec x (t) $ (depuis, vous pouvez calculer $ \ ddot {\ vec x} (t) $ ).

Mais en général, vous ne pouvez tout simplement pas écrire $ \ vec F (\ vec x) $ sur le côté gauche, et donc, tout ce que vous dérivez de votreLa première équation souffre de ce point de départ incorrect.

Je pense que la plupart des réponses ne traduisent pas correctement ce qui se passe. L'équation que vous écrivez est presque vraie, le seul "péché" que vous avez commis est de supposer que la force $ F $ n'est pas affectée par la remise à l'échelle de la variable $ \ vec {x} $ .

Quand vous dites " $ \ vec {x} $ mis à l'échelle par une constante arbitraire," vous voulez en fait dire: "définir la variable $ \ vec {y} $ pour être $ \ vec {x} / s $ ." Donc $ \ vec {x} $ pourrait être la position de la particule que je mesure en kilomètres et $ \ vec {y } $ la position que vous mesurez en miles. Et, en conséquence, nous avons deux fonctions différentes pour la force: la force exprimée en kilomètres et celle exprimée en miles.

Donc, si nous appliquons la loi de Newton aux États-Unis, nous aurions ( $ \ vec {y} $ est en miles) $$ F _ {\ mathrm {mi}} (\ vec {y}) = m \ vec {\ ddot {y}} \ ,. $$ Alors que si nous l'appliquons dans n'importe quel autre pays ayant adopté le système métrique ( $ \ vec {x} $ est en kilomètres) $$ F _ {\ mathrm {km}} (\ vec {x}) = m \ vec {\ ddot {x}} \ ,. $$ Encore une fois: notez que $ F _ {\ mathrm {mi}} $ et $ F _ {\ mathrm {km}} $ n'a pas besoin d'être la même fonction. Ensuite, l'équation doit être énoncée comme $$ F _ {\ mathrm {km}} (\ vec {x}) = m \ vec {\ ddot {x}} \ quad \ Longrightarrow \ quad F _ {\ mathrm {km}} (s \ vec {y}) = ms \ vec {\ ddot {y}} \ ,. $$

Ceci, avec la première équation, équivaut à l'égalité suivante $$ F _ {\ mathrm {km}} (s \ vec {y}) = s \, F _ {\ mathrm {mi}} (\ vec {y}) \ ,. $$ Vous venez donc de découvrir que, lors d'un changement d'échelle, la force n'est pas une quantité scalaire, mais une quantité qui se transforme avec un poids de un. Cela se produit dans de nombreux autres cas en physique et c'est important car cela vous indique le type d'objet de la force. Le moment cinétique, par exemple, se transformerait différemment.

Les problèmes que j'ai avec les autres réponses sont

• Il est vrai qu'en général $ F $ n'est pas une fonction de la position, mais cela pourrait l'être. Et ce n'est certainement pas vrai que lorsque $ F $ est une fonction de la position, alors il doit être linéaire.

• Peu importe qu'il y ait un dérivé, si $ s $ est une constante, cela passe. L'argument ne fonctionnerait pas pour $ s $ une fonction du temps, mais nous ne posons pas de questions à ce sujet.

• Il est évidemment vrai que $ \ ddot {x} \ to s \ ddot {x} $ sous un redimensionnement. C'est une propriété des dérivés: les dérivés sont linéaires. Ne soyons pas confus ici.

• $ \ ddot {x} (sx) $ n'a pas non plus vraiment de sens. $ \ ddot {x} $ ne dépend pas de la position. Ou du moins, mais de manière circulaire, car nous utilisons l'équation différentielle $ F = m \ ddot {x} $ pour dire quelle est la valeur de $ \ ddot {x} $ en un point donné. Par conséquent, $ F (x) = \ ddot {x} (x) $ serait une instruction vide.

• Il faut toujours faire une distinction entre les $ F $ avant et après la transformation. Et la transformation n'est pas une tautologie mais c'est une propriété importante de la force.

• La réponse acceptée est plutôt correcte mais déroutante: quelle est la différence entre une équation et une définition?Le signe égal doit se comporter correctement dans les deux cas.

Bien sûr, je suis d'accord avec la réponse concernant l'oscillateur harmonique.Là, le point de vue est différent, alors laissez-moi vous en parler.@Johnny Longsom effectue un redimensionnement des variables sans changer les unités!Il ne s'agit donc pas du même système avec impérial ou métrique.Il examine différents systèmes qui sont liés les uns aux autres, l'un étant la version à plus grande échelle de l'autre.La conclusion du post est correcte: c'est une symétrie du système!

Et vous voyez: pour découvrir que c'était une symétrie, nous devions savoir comment $ F $ s'est transformé.Donc, chaque fois que vous voyez un nouvel animal en physique, demandez-lui comment il se transforme.

Dans la partie droite de l'équation, $ a $ est une fonction du temps: $$ a = a (t) = \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} $$ Donc, la même chose est vraie pour le côté gauche. $ F = F (t) $

Il est parfaitement possible par exemple d'avoir des valeurs d'accélération (et de force) différentes pour le même $ x $ à des moments différents, comme une voiture dans un circuit de course.Il ne peut donc pas en général être une fonction de $ x $ .

Et si nous voulons connaître $ \ mathbf F (st) = m \ mathbf a (st) $ , bien sûr $ \ mathbf a (st) \ ne s \ mathbf a (t) $ en général.

La prétention est essentiellement que la deuxième loi de Newton changera si nous changeons les unités dans lesquelles nous mesurons la distance.Cependant, dans ce cas, les unités de force changeront également.En d'autres termes, la mise à l'échelle correcte est $ \ mathbf {x} \ rightarrow s \ mathbf {x}, \ mathbf {F} \ rightarrow s \ mathbf {F} $ span>, de sorte que, regraless de $ s $ : $$ m \ ddot {\ mathbf {x}} = \ mathbf {F}. $$

Étant donné que rétrospectivement, je me rends compte que cette question peut être abordée de plusieurs manières différentes, je publie moi-même une autre réponse, qui combine certaines des meilleures réponses à ce jour et pourrait, espérons-le, aider quelqu'un d'autre à comprendre pourquoi ce raisonnement physique manifestement erroné se produit mathématiquement.

Comme il est clair à ce stade, le problème initial était une mauvaise notation et il y a au moins quatre manières différentes de comprendre (et de résoudre) cette question. À partir de maintenant, je vais faire référence à la position actuelle comme $ \ vec {x} _0 $ et à la trajectoire en fonction de cette position de départ et de l'heure comme $ \ vec {x} (t) $ , tel que $ \ vec {x} (0) = \ vec {x} _0 $ , afin d'éviter toute confusion. Dans tous les cas, l'autre condition initiale $ \ vec {\ dot {x}} (0) = \ vec {v} _0 $ ne sera pas prise en considération, mais nous devons encore en être conscients.

1. Premier scénario: comme correctement souligné, la deuxième loi de Newton n'implique pas que la force provient d'un potentiel et / ou est fonction de la position actuelle. Dans ce cas, la force est simplement une définition et la question ne tient plus, puisque la force n'a pas à être fonction de la trajectoire:

$$ \ vec {F} (t) = m \ vec {\ ddot {x}} (t) $$

2. Deuxième scénario: la force provient d'un potentiel, tel que $ \ vec {F} (\ vec {x} (t)) = - \ left. \ frac {\ partial U (\ vec {x} ')} {\ partial \ vec {x}'} \ right | _ {\ vec {x} '= \ vec {x} (t)} $ et nous faisons une transformation des coordonnées de la trajectoire entière $ \ vec {x} (t) = s \ vec {y} (t) $ pour un facteur d'échelle $ s $ . Dans ce cas: $$ \ vec {F} (\ vec {x} (t)) = m \ vec {\ ddot {x}} (t) \ Leftrightarrow \ vec { F} (s \ vec {y} (t)) = ms \ vec {\ ddot {y}} (t), \ qquad \ vec {F} (\ vec {x} (t)) = \ vec {F } (s \ vec {y} (t)) $$ Il s'agit d'un simple changement de variables et il n'y a pas grand-chose d'autre à trouver ici - certainement pas de contradictions de toute façon.

3. Troisième scénario: la force provient d'un potentiel et nous redimensionnons la condition initiale de l'équation différentielle, de sorte que $ \ vec {\ tilde {x}} (0 ) = s \ vec {x} _0 $ . En général, cette trajectoire sera complètement différente de $ \ vec {x} (t) $ et le seul moyen $ \ vec {\ tilde {x}} (t) = s \ vec {x} (t) $ est si la force correspond à un potentiel quadratique.

4. Quatrième scénario: la force vient d'un potentiel et nous redimensionnons la solution $ x (t) $ de l'équation différentielle, telle que $ \ vec {\ tilde {x}} (t) = s \ vec {x} (t) $ . En général, cette fonction remise à l'échelle ne satisfait plus l'équation différentielle d'origine et rien d'autre ne peut être dit. La seule façon dont la nouvelle trajectoire rééchelonnée satisfait l'équation différentielle d'origine est d'avoir un potentiel harmonique.

Notez que la différence entre 3. et 4. est subtile: la nouvelle trajectoire $ \ vec {\ tilde {x}} (t) $ en 3. satisfait la deuxième loi de Newton mais sa forme est en général différente de $ \ vec {x} (t) $ , tandis que le $ \ vec {\ tilde {x}} (t) $ en 4. ne satisfait en général pas la deuxième loi de Newton (et ne doit pas le faire) et sa forme est la même que $ \ vec {x} (t) $ . Dans les deux 3. et 4. les trajectoires ne peuvent dégénérer que pour un potentiel harmonique (bien que l'on puisse avoir à jouer avec la condition initiale de vitesse pour y parvenir), ce qui est ce que mon article original a "prouvé", même si ce n'est certainement pas clair si j'ai prouvé 3. ou 4. (peut-être ni l'un ni l'autre) à cause de ma mauvaise notation!

Je ne sais pas où vous pensez qu'il y a une incohérence?Tout ce que vous dites par votre équation finale, c'est que la Force @ position $ \ vec {x} $ , = Force @ scaled position $ s \ vec {x} $ divisé par la mise à l'échelle, ce qui est tout à fait vrai?De la même manière $$ sF (\ vec {x}) = F (s \ vec {x}) \ tag {1} $$ si $ F $ est linéaire.

L'utilisation de $ F $ est juste pour désigner votre calcul de la Force, $ F (\ vec {x}) \ neq F (s \ vec {x}) $

Il est peut-être plus clair pour vous de désigner la force sur la position $ \ vec {x} $ par $ F_x $ et la force sur la position mise à l'échelle $ s \ vec {x} $ as $ F_ {sx} $ span>.