Question:
Pourquoi l'énergie cinétique augmente-t-elle de manière quadratique et non linéaire avec la vitesse?
Generic Error
2010-11-11 05:59:43 UTC
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Comme le dit Wikipedia:

[...] l'énergie cinétique d'un objet non rotatif de masse $ m $ voyageant à une vitesse $ v $ est $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $.

Pourquoi cela n'augmente-t-il pas linéairement avec la vitesse? Pourquoi faut-il autant d'énergie pour passer de $ 1 \ \ mathrm {m / s} $ à $ 2 \ \ mathrm {m / s} $ que pour passer de $ 0 \ \ mathrm {m / s} $ à $ 1 \ \ mathrm {m / s} $?

Mon intuition est erronée ici, veuillez aider!

https://physics.stackexchange.com/questions/45270/intuitively-understanding-work-and-energy La deuxième partie de la réponse de Ben Crowell est pertinente ici
J'aime la question, car il s'agit d'intuition, pas de formules.La plupart d'entre nous connaissent ici la deuxième loi de Newton et peuvent calculer une intégrale.Certains savent même comment appliquer le lagrangien.Tout cela est correct.Mais ce serait cool si quelqu'un pouvait fournir une explication sans intégrales et sans lagrangien, quelque chose qui aborde ** l'intuition ou le bon sens **[email protected] a essayé cela, mais sa réponse n'est pas parfaite.Quelqu'un peut-il donner une réponse où ** l'intuition ** est abordée?
Seize réponses:
#1
+395
Ron Maimon
2011-09-17 06:34:18 UTC
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Les réponses précédentes réitèrent toutes le problème comme suit: "Le travail est la force point / fois la distance". Mais ce n'est pas vraiment satisfaisant, car vous pourriez alors demander "Pourquoi la distance entre les points de la force de travail?" et le mystère est le même.

La seule façon de répondre à des questions comme celle-ci est de s'appuyer sur les principes de symétrie, car ceux-ci sont plus fondamentaux que les lois du mouvement. En utilisant l'invariance galiléenne, la symétrie qui dit que les lois de la physique vous ressemblent sur un train en mouvement, vous pouvez expliquer pourquoi l'énergie doit être proportionnelle à la masse multipliée par la vitesse au carré.

Premièrement, vous avez besoin pour définir l'énergie cinétique. Je la définirai comme suit: l'énergie cinétique $ E (m, v) $ d'une boule d'argile de masse $ m $ se déplaçant avec une vitesse $ v $ est la quantité de calories de chaleur qu'elle produit lorsqu'elle claque dans un mur . Cette définition ne fait référence à aucune grandeur mécanique et peut être déterminée à l'aide de thermomètres. Je montrerai que, en supposant l'invariance galiléenne, $ E (v) $ doit être le carré de la vitesse.

$ E (m, v) $, s'il est invariant, doit être proportionnel à la masse , parce que vous pouvez frapper deux boules d'argile côte à côte et obtenir deux fois plus de chaleur, donc

$$ E (m, v) = m E (v) $$

De plus, si vous frappez deux boules d'argile identiques de masse $ m $ se déplaçant avec la vitesse $ v $ de front l'une dans l'autre, les deux boules s'arrêtent, par symétrie. Le résultat est que chacun agit comme un mur pour l'autre, et vous devez obtenir une quantité de chauffage égale à 2 millions de dollars E (v) $.

Mais maintenant, regardez cela dans un train qui avance avec l'une des balles avant la collision. Dans ce cadre de référence, la première balle commence à l'arrêt, la deuxième balle la frappe à $ 2v $, et le système à deux balles coincées finit par se déplacer avec la vitesse $ v $.

L'énergie cinétique de la deuxième boule est $ mE (2v) $ au début, et après la collision, vous avez $ 2mE (v) $ d'énergie cinétique stockée dans la boule combinée. Mais l'échauffement généré par la collision est le même que dans le cas précédent. Il y a donc maintenant deux termes $ 2mE (v) $ à considérer: l'un représentant la chaleur générée par la collision, que nous avons vu précédemment était $ 2mE (v) $, et l'autre représentant l'énergie stockée dans la double masse en mouvement ball, qui vaut également $ 2mE (v) $. En raison de la conservation de l'énergie, ces deux termes doivent s'additionner à l'énergie cinétique de la deuxième balle avant la collision:

$$ mE (2v) = 2mE (v) + 2mE (v) $$

$$ E (2v) = 4 E (v) $$

ce qui implique que $ E $ est quadratique.

Force-temps non circulaire -distance

Voici la version non circulaire de l'argument force-fois-distance que tout le monde semble tant aimer, mais qui ne se fait jamais correctement. Pour affirmer que l'énergie est quadratique en vitesse, il suffit d'établir deux choses:

  • L'énergie potentielle à la surface de la Terre est linéaire en hauteur
  • Les objets tombant sur le La surface de la Terre a une accélération constante

Le résultat suit alors.

Que l'énergie dans un champ gravitationnel constant soit proportionnelle à la hauteur est établie par la statique. Si vous croyez à la loi du levier, un objet sera en équilibre avec un autre objet sur un levier lorsque les distances sont inversement proportionnelles aux masses (il existe de simples démonstrations géométriques de cela qui ne nécessitent rien de plus que le fait que les objets de masse égale s'équilibrent à distances égales du centre de masse). Ensuite, si vous inclinez un peu le levier, la masse-fois-hauteur gagnée de 1 est égale à la masse-fois-hauteur gagnée par l'autre. Cela vous permet de soulever des objets et de les abaisser avec très peu d'effort, tant que la masse-fois-hauteur ajoutée sur tous les objets est constante avant et après.C'est le principe d'Archimède.

Une autre façon de dire la même chose utilise un ascenseur, composé de deux plates-formes reliées par une chaîne à travers une poulie, de sorte que lorsque l'une monte, l'autre descend. Vous pouvez soulever un objet si vous abaissez une quantité égale de masse de la même quantité. Vous pouvez soulever deux objets d'une certaine distance en deux étapes, si vous laissez tomber un objet deux fois plus loin.

Ceci établit que pour tous les mouvements réversibles de l'ascenseur, ceux qui ne nécessitent aucun travail (tant au sens familier qu'au sens physique - les deux notions coïncident ici), la masse-fois-hauteur additionnée sur tous les objets est conservée. L '«énergie» peut maintenant être définie comme la quantité de mouvement qui est conservée lorsque ces objets sont autorisés à se déplacer avec une vitesse non infinitésimale. C'est la version d'Archimède de Feynman.

Donc, la masse-fois-hauteur est une mesure de l'effort requis pour soulever quelque chose, et c'est une quantité conservée en statique. Cette quantité doit être conservée même s'il existe une dynamique à des stades intermédiaires. Je veux dire par là que si vous laissez tomber deux poids suspendus sur une corde, laissez-les faire une collision élastique et attrapez les deux objets lorsqu'ils cessent de bouger à nouveau, vous n'avez pas travaillé. Les objets devraient alors monter à la même masse-fois-hauteur totale.

C'est la démonstration originale des lois des collisions élastiques par Christian Huygens, qui a soutenu que si vous déposez deux masses sur des balanciers, laissez-les entrer en collision, leur centre de gravité doit monter à la même hauteur, si vous attrapez les balles à leur point maximum. De là, Huygens a généralisé la loi de conservation de l'énergie potentielle implicite chez Archimède pour dériver la loi de conservation de la vitesse carrée dans les collisions élastiques. Son principe selon lequel le centre de masse ne peut pas être soulevé par des collisions dynamiques est la première déclaration de conservation de l'énergie.

Par souci d'exhaustivité, le fait qu'un objet accélère dans un champ gravitationnel constant avec une accélération uniforme est une conséquence de l'invariance galiléenne, et de l'hypothèse qu'un champ gravitationnel est invariant dans le cadre des mouvements uniformes de haut en bas avec une vitesse constante. Une fois que vous savez que le mouvement en gravité constante est une accélération constante, vous savez que

$$ mv ^ 2/2 + mgh = C $$

de sorte que la quantité dynamique de Huygens est additive conservée avec Archimède masse fois la hauteur est la vitesse au carré.

* "L'énergie cinétique de la deuxième boule est mE (2v) mE (2v) au début, et après la collision, vous avez 2mE (v) 2mE (v) d'énergie cinétique stockée dans la boule combinée." * Si vous donneztoute la vitesse à la deuxième balle alors vous ne pouvez pas tout d'un coup commencer à traiter la première comme en mouvement et possédant toujours de l'énergie cinétique.Vous devez choisir votre cadre de référence et vous y tenir, sinon il s'avère tout simplement ... tricherie ... ;-)
@brightmagus que voulez-vous dire?Ce que Ron fait dans cette réponse est une simple augmentation galiléenne des vitesses: d'abord celles avant la collision, puis celles après.Pas de triche ici.
@Ron Maimon, j'ai lu vos réponses à ce sujet, mais dans cette réponse, je ne comprends pas pourquoi la somme de la masse multipliée par la hauteur sur tous les objets ne sera * pas * constante, si le mouvement m'oblige à travailler (dans le sens physique et familier)?Pouvez-vous expliquer cela?
Deux boules d'argile est un très bel argument!Merci pour cette réponse éclairante!
Lire ceci me rappelle la lecture de Physics for Mathematicians de Michael Spivak.Très bonne réponse!
#2
+72
Gerard
2010-11-11 08:19:52 UTC
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La question est particulièrement pertinente d'un point de vue didactique car il faut apprendre à distinguer entre l'énergie (travail) et l'élan (quantité de mouvement).

La propriété cinématique proportionnelle à $ v $ est aujourd'hui appelée momentum, c'est la "quantité de mouvement" résidant dans un objet en mouvement, sa définition est $ p: = mv $.

Le changement de moment est proportionnel à l'impulsion: l'impulsion est le produit d'une force $ F $ et de la durée $ \ Delta t $ elle est appliquée. Cette relation est également connue sous le nom de deuxième loi de Newton: $ F \ Delta t = \ Delta p $ ou $ F dt = dp $. Quand on remplace $ mv $ par $ p $ on obtient sa forme la plus courante: $ F = m \ frac {\ Delta v} {\ Delta t} = ma $.

Maintenant, pour une explication intuitive que un objet avec une vitesse double a quatre fois plus d'énergie cinétique.
Disons que A a une vitesse $ v $ et B est un objet identique avec une vitesse $ 2v $.
B a une quantité double de mouvement (momentum) - c'est si votre intuition est correcte!
Nous appliquons maintenant une force constante $ F $ pour ralentir les deux objets jusqu'à l'arrêt. De $ F \ Delta t = \ Delta p $ il s'ensuit que le temps $ \ Delta t $ nécessaire pour que B ralentisse est deux fois plus élevé (nous appliquons la même force à A et B). Par conséquent, la distance de freinage de B sera un facteur 4 plus grande que la distance de freinage de A (sa vitesse de départ, et donc aussi sa vitesse moyenne, étant deux fois plus élevée, et son temps $ \ Delta t $ étant deux fois plus élevé, donc la distance, $ s = \ bar {v} \ Delta t $, augmente 2 x 2 = 4 fois).
Le travail $ W $ nécessaire pour ralentir A et B est calculé comme le produit de la force et du distance de freinage $ W = Fs $, c'est donc aussi quatre fois plus. L'énergie cinétique est définie comme cette quantité de travail, nous y sommes donc.

#3
+52
Mike Dunlavey
2011-09-15 21:42:13 UTC
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Permettez-moi de vous donner une explication intuitive. Vous pourriez reformuler votre question comme suit:

Pourquoi la vitesse n'augmente-t-elle que comme la racine carrée de l'énergie cinétique, et non linéairement?

Eh bien, lâchez une balle d'une hauteur de 1 mètre, et elle a une vitesse v lorsqu'elle touche le sol.

Maintenant, déposez-la de une hauteur de 2 mètres. Aura-t-il une vitesse de 2v quand il touchera le sol?

Non, car il parcourt le deuxième mètre en beaucoup moins de temps (car il est déjà en mouvement), donc il a moins de temps pour gagner en vitesse.

#4
+22
David Z
2010-11-11 06:47:37 UTC
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La seule vraie raison physique (qui n'est pas vraiment une réponse pleinement satisfaisante) est que $ E \ sim v ^ 2 $ est ce que les expériences nous disent. Par exemple, l'énergie potentielle gravitationnelle à la surface de la Terre est proportionnelle à la hauteur, et si vous laissez tomber un objet, vous pouvez mesurer que la hauteur à laquelle il tombe est proportionnelle au carré de sa vitesse. Ainsi, si l'énergie doit être conservée, l'énergie cinétique doit être proportionnelle à $ v ^ 2 $.

Bien sûr, vous pourriez vous demander pourquoi l'énergie potentielle gravitationnelle est proportionnelle à la hauteur, et une fois que cela a été résolu , demandez-vous pourquoi un autre type d'énergie est proportionnel à quelque chose d'autre, et ainsi de suite. À un moment donné, cela devient une question philosophique. L'essentiel est que la définition de l'énergie cinétique proportionnelle au carré de la vitesse s'est avérée être une théorie utile. C'est pourquoi nous le faisons.

D'un autre côté, vous pourriez toujours dire que si c'était linéaire en vitesse, cela s'appellerait momentum ;-)

P.S. Il peut être intéressant de mentionner que l'énergie cinétique n'est pas exactement proportionnelle à $ v ^ 2 $. La relativité restreinte nous donne la formule suivante:

$ K = mc ^ 2 \ left (1 / \ sqrt {1 - v ^ 2 / c ^ 2} - 1 \ right) $

Pour les faibles vitesses, c'est essentiellement égal à $ mv ^ 2/2 $.

Je pense que cela ne répond pas vraiment à la question;l'énergie cinétique est * définie * comme étant $ v ^ 2 $ selon la définition du travail effectué par la loi de Newton (il en va de même pour l'expression relativiste).Ensuite, que cela corresponde à la conservation de l'énergie est une autre question (car vous auriez besoin des définitions correctes des potentiels, qui à leur tour viennent en regardant le travail effectué par le morceau conservateur de la force).
La question est vraiment de savoir pourquoi l'énergie cinétique dépend de $ v ^ 2 $ plutôt que de $ v $?
#5
+13
Jerry Schirmer
2014-05-11 09:17:45 UTC
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Juste pour publier une autre version, plus mathématique, de ceci qui ne dépend pas de la thermodynamique, mais plutôt du calcul vectoriel et des lois de Newton, considérons la deuxième loi de Newton:

$$ \ sum {\ vec F} = m {\ vec a} $$

Maintenant, appliquez la définition du travail, $ W = \ int d {\ vec s} \ cdot {\ vec F} $

Nous avons, en supposant que $ s $ est le chemin réel parcouru par la particule, et en utilisant quelques changements intelligents de variables:

$$ \ begin {align} \ sum W & = m \ int d {\ vec s (t)} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \ frac {d {\ vec s}} {dt} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \, {\ vec v} \ cdot {\ vec a} \\ & = m \ int dt \, {\ vec v} \ cdot \ frac {d {\ vec v}} {dt} \\ & = m \ int {\ vec v} \ cdot d {\ vec v} \\ & = \ frac {1} {2} m \ left (v_ {f} ^ {2} - v_ {i} ^ {2} \ right ) \\ & = \ Delta {\ rm KE} \ end {align} $$

Ainsi, nous voyons que la définition du travail est synonyme de dépendance quadratique sur la vitesse. On s'en fout? Eh bien, maintenant, nous fixons certaines exigences sur la force. À savoir, nous supposons que nos forces sont conservatrices. Qu'est-ce que ça veut dire? Eh bien, cela signifie que notre force est libre de boucles $ \ rightarrow {\ vec \ nabla} \ times {\ vec F} = 0 $. C'est mathématiquement équivalent à beaucoup de choses, mais les deux plus importants sont que $ \ int d {\ vec s} \ cdot {\ vec F} $ ne dépend pas du chemin sur lequel vous intégrez, mais seulement des extrémités de la courbe , et deuxièmement, que $ {\ vec F} = - {\ vec \ nabla} \ phi $ pour une fonction $ \ phi (x, y, z, t) $. Une fois que vous savez cela, il est relativement facile de montrer que $ \ int {\ vec ds} \ cdot {\ vec F} = \ phi_ {0} - \ phi_ {f} $

Ensuite, vous avez :

$$ 0 = \ Delta {\ rm KE} + \ sum \ Delta {\ rm PE} _ {i} $$

où la somme dépasse les potentiels des différentes forces (et j'ai sournoisement substitué PE à $ \ phi $, puisque nous parlons évidemment d'énergie potentielle maintenant.) Nous avons maintenant prouvé que l'énergie totale ne change pas. Par conséquent, la définition standard du travail nous donne une quantité conservée, que nous pouvons appeler l'énergie (tant que nous supposons l'absence de forces non conservatrices, mais en présence de celles-ci, l'énergie n'est pas conservée, et nous commençons à avoir à nous soucier de pertes de chaleur et de rayonnement).

Cela ne répond pas à la question.* Pourquoi * est K.E.1 $ / 2mv ^ 2 $?Donc, fondamentalement, la réponse de Ron semble être la seule à essayer de répondre à cela.Même s'il doit faire appel à une autre définition de K.E.ce qui n'est pas non plus très intuitif.
@philmcole: l'idée maîtresse de cette réponse est "Si vous croyez en la mécanique newtonienne, vous obtenez une quantité conservée égale à $ \ frac {1} {2} mv ^ {2} $. Comment n'est-ce pas un pourquoi? La réponse finalementdoit venir quelque part de la mécanique newtonienne.
#6
+11
Robert Smith
2010-11-11 07:48:59 UTC
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Comme Piotr l'a suggéré, en acceptant la définition du travail $ W = \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} $, il suit que l'énergie cinétique augmente de façon quadratique. Pourquoi? Parce que la force et l'intervalle infinitésimal dépendent linéairement de la vitesse. Par conséquent, il est naturel de penser que si vous multipliez les deux quantités, vous devez vous retrouver avec quelque chose comme $ K v ^ {2} $, où $ K $ est une constante «arbitraire».

A question beaucoup plus intéressante est pourquoi le lagrangien dépend de la vitesse au carré. Compte tenu de l'homogénéité de l'espace, il ne peut pas contenir explicitement $ \ mathbf {r} $ et compte tenu de l'homogénéité du temps, il ne peut pas dépendre du temps. Aussi, puisque l'espace est isotrope, le lagrangien ne peut pas contenir la vitesse $ \ mathbf {v} $. Par conséquent, le prochain choix le plus simple devrait être que le lagrangien doit contenir la vitesse au carré. Je pense que le lagrangien est de nature plus fondamentale que les autres quantités, cependant, sa dérivation implique la définition du travail ou, de manière équivalente, de l'énergie. Donc, vous n'allez probablement pas acheter l'idée que cette dernière explication est la véritable cause de l'augmentation quadratique de l'énergie cinétique, bien que je pense que c'est beaucoup plus satisfaisant que la première explication.

#7
+9
Ami
2010-11-11 07:25:15 UTC
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In se résume aux définitions.

L'élan est défini comme $ p = mv $. L'élan croît linéairement avec la vitesse, ce qui en fait une quantité qu'il est intuitif de comprendre (plus il y a d'élan, plus un objet est difficile à arrêter). L'énergie cinétique est une quantité moins intuitive associée à un objet en mouvement. KE est assigné de telle sorte que le changement instantané dans le KE donne l'élan de cet objet à un moment donné:

$ \ frac {dKE} {dv} = p $

Un autre la question que l'on pourrait se poser est pourquoi nous soucions-nous de cette quantité? La réponse est que dans un système sans frottement, la somme des énergies cinétique et potentielle d'un objet est conservée:

$ \ frac {d (KE + PE)} {dt} = 0 $

#8
+8
user299
2010-11-11 12:29:34 UTC
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Pour chaque augmentation relativement égale (en pourcentage) de la vitesse, la force appliquée doit être présente sur une distance de plus en plus longue (quadratiquement). F = m * a. En même temps force * distance = travail, où travail = énergie.

#9
+6
juanrga
2012-10-13 18:31:52 UTC
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La forme générale de l'énergie cinétique comprend des corrections d'ordre supérieur dues à la relativité. Le terme quadratique n'est qu'une approximation newtonienne valide lorsque les vitesses sont faibles par rapport à la vitesse de la lumière c.

Il existe une autre raison fondamentale pour laquelle l'énergie cinétique ne peut pas dépendre linéairement de la vitesse. L'énergie cinétique est un scalaire, la vitesse est un vecteur. De plus, si la dépendance était linéaire, cela signifierait que l'énergie cinétique varierait en remplaçant $ \ mathbf {v} $ par $ - \ mathbf {v} $. C'est à dire. l'énergie cinétique dépendrait de l'orientation, ce qui encore une fois n'a aucun sens. La dépendance quadratique newtonienne et les corrections relativistes $ v ^ 4 $, $ v ^ 6 $ ... satisfont les deux exigences: l'énergie cinétique est un scalaire et invariant au remplacement de $ \ mathbf {v} $ par $ - \ mathbf {v} $.

#10
+5
user7117
2012-01-14 05:47:30 UTC
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Je pense que cela découle de la première loi de la thermodynamique. Il transforme votre définition du travail en une propriété conservée appelée énergie. Si vous définissez le travail dans le style $ Fdx $ (comme l'a fait James Joule), alors l'expression quadratique de l'énergie cinétique suivra avec les arguments de symétrie.

Dans son excellente réponse, Ron Maimon suggère intelligemment d'utiliser la chaleur pour éviter une référence au travail. Pour déterminer le nombre de calories, il utilise un thermomètre. Un thermomètre parfait mesurera $ \ partial {E} / \ partial {S} $ donc quand il aura fini de définir l'entropie, il aura toujours besoin d'une définition non mécanique du travail. (En fait, je crois que c'est la contribution de Joule pour montrer que la calorie est une mesure d'énergie superflue.) La faiblesse de la réponse de Ron est qu'il a également besoin de la deuxième loi de la thermodynamique pour répondre à la question.

Pour voir cela explicitement, écrivez la première loi en fonction de l'équation de Gibbs: $$ dE = TdS + vdp + Fdx $$ Cette équation définit $ v = \ partial {E} / \ partial {p} $. Pour un système conservateur, définissez $ dE = 0 $ et pour suivre Huygens, définissez $ dS = 0 $ pour obtenir $ vdp = - Fdx $ et pour suivre Maimon, nous définissons $ dx = 0 $ pour obtenir $ vdp = -TdS $. Ce sont deux façons de mesurer l'énergie cinétique.

Maintenant à intégrer. Huygens suppose que $ p $ n'est qu'une fonction de $ v $. Pour de petits changements dans $ v $, nous faisons l'approximation linéaire $ p = mv $, où $ m \ equiv dp / dv $. Branchez cela, intégrez-le et vous obtenez la dépendance quadratique. En fait, il n'est pas trop difficile de voir que si vous utilisez la gravité pour la force que $ F = mg $ qui conduit à $$ \ frac {1} {2} mv ^ 2 + mgh = C. $$ Raimon doit aussi supposons l'indépendance de $ p $ sur $ S $. Pour intégrer il devra évaluer $ T $ en fonction de $ S $ (et éventuellement $ p $) ou utiliser la capacité thermique.

Maintenant, notez que nous voulions que les changements dans $ v $ soient faibles. En fait, l'énergie cinétique n'est pas toujours proportionnelle à $ v ^ 2 $. Si vous vous approchez de la vitesse de la lumière, tout se décompose et pour la lumière elle-même, il n'y a pas de masse, mais les photons ont une énergie cinétique égale à $ c p $ où $ c $ est la vitesse de la lumière. Par conséquent, il est préférable de penser à l'énergie cinétique comme $$ E_ {kin} = \ int v dp $$ et d'effectuer simplement l'intégration pour trouver la vraie dépendance à $ v $.

Donc, en résumé , Je suggère que le "pourquoi" de la question est le même que le "pourquoi" de la première loi.

#11
+5
Ernie C
2013-03-19 01:51:44 UTC
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Fondamentalement, le momentum est lié à la force multipliée par le temps et KE est liée à la force multipliée par la distance. Tout cela est un mètre de cadre de référence, que ce soit le temps ou la distance. La relation entre le temps et la distance pour une vitesse de départ de zéro est $ d = \ frac {at ^ 2} {2} = \ frac {tV} {2} $. Branchez ceci dans les équations que vous obtenez KE $ = \ frac {pV} {2} = \ frac {p ^ 2} {2m} $

Woolah - magique!

#12
+3
malbert
2013-05-18 18:05:09 UTC
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J'ai une réponse quantitative qui est une expérience de pensée évitant toutes les équations sauf les plus simples.

Un objet allant de la vitesse v = 0 à v = 1 doit être poussé ou tiré d'une manière ou d'une autre. Dans mon explication j'utiliserai la même méthode pour pousser l'objet de v = 0 à v = 1 puis de v = 1 à v = 2, puis v = 2 à v = 3, etc. Je montrerai comment l'énergie du mouvement incarnée dans l'objet passe de 0 à 1 à 4 à 9, etc.

Commencez par deux boules identiques, m1 et m2. Entre les deux billes se trouve un ressort, s1, qui est maintenu en compression. Supposons que la masse du ressort est très petite. L'énergie potentielle du ressort est PE = 2 et les 3 acteurs ont une vitesse v = 0.

A. v = 0. Tous les objets ont une vitesse de 0, donc l'énergie cinétique KE = 0.

B. v = 1. Relâchez le ressort et m1 part vers la gauche avec une vitesse v = 1. m2 va dans la direction opposée avec v = -1. L'énergie cinétique des deux boules est la même et est KE = 1 car toute l'énergie potentielle du ressort a été transférée symétriquement aux boules.

C. v = 2. Placez maintenant une autre bille identique, m3, juste à droite de m1 et se déplaçant également à v = 1 et avec un ressort comprimé, s2, entre elles. Rien n'a changé à propos de m1, il voyage toujours joyeusement à v = 1. Alors, quelle est l'énergie totale du système m1, s2 et m3? C'est 1 + 2 + 1 = 4 étant KE de m1, PE de s2 et KE de m3.

Maintenant relâchez le ressort et m1 part à gauche avec v = 2 et la vitesse de m3 passe de v = 1 à v = 0 rendant sa KE = 0. Parce que nous avons dit que la masse du ressort est très petite, donc son KE est presque nul, alors toute l'énergie qui était dans le système avant que le ressort ne soit libéré est maintenant en m1. Donc la KE de m1 est KE = 4. Ouf, KE est proportionnel à v au carré!

D. v = 3. Répétez simplement le processus pour faire passer m1 de v = 2 à v = 3 en poussant une autre bille identique, m4. Tout d'abord, calculez l'énergie totale du système à deux billes et à ressorts avant que le ressort ne soit relâché. C'est 4 + 2 + 4 = 10. Une fois le ressort libéré, m4 a v = 1, ce que nous avons établi équivaut à KE = 1. Donc m1 a l'énergie restante du système qui est KE = 9.

E. v = 4. Répétez le processus. Énergie du système avant la libération du ressort, 9 + 2 + 9 = 20. KE de m1 après le relâchement du ressort, KE = 20-4 = 16.

Je ne suis pas content de supposer la masse du ressort donc une explication plus précise a un ressort attaché à chaque balle et aux balles interagissent via leurs ressorts qui sont en contact.

#13
+3
user44558
2014-04-22 18:01:07 UTC
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L'énergie cinétique est définie comme $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $ (au moins en mécanique classique).

Lorsque le mouvement d'un objet est soumis à une loi physique constante dans le temps (par exemple $ \ ddot {r} = - \ frac {GM} {r ^ 2} $ où GM est une constante), alors lorsque vous intégrez les deux côtés par rapport à la distance et multipliez par la masse $ m $ de l'objet que vous obtenez:

$$ \ frac {1} {2} mv_2 ^ 2 - \ frac {GMm} {r_2} = \ frac {1} {2 } mv_1 ^ 2 - \ frac {GMm} {r_1} $$

En supposant que la loi est constante dans le temps, alors entre les états initial et final la quantité de l'objet $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 - \ frac {GMm} {r} $ est également conservé dans le temps.

Si au lieu de $ - \ frac {GM} {r ^ 2} $ la loi physique est une autre fonction $ f (r) $ constante dans le temps, alors la quantité de l'objet $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 - F (r) $ où F est une primitive de f est également conservée dans le temps.

Cette quantité est appelée énergie. Ensuite, nous donnons un nom aux deux termes: le terme qui dépend de la vitesse ($ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $) est appelé énergie cinétique, et le terme qui dépend de la distance ($ -F ( r) $) est appelée énergie potentielle.

Il est utile de définir ces quantités, car si l'on suppose que l'accélération d'un objet est une fonction de la distance constante dans le temps (comme c'est le cas avec la loi de la gravitation, la loi de Coulomb, la loi de Hooke, ...), et si on connaît la valeur de $ F (r) $ et la valeur de la vitesse à une distance donnée $ r_1 $ (qui sont toutes deux dérivées de mesures) , alors nous pouvons déduire directement la vitesse de l'objet à n'importe quelle autre distance sans avoir à calculer l'intégrale de $ f (r) $ à chaque fois.

Puisque l'énergie cinétique est une quantité définie, il est inutile de demander pourquoi il augmente quadratiquement avec la vitesse, c'est parce qu'il est défini de cette façon. L'argument ci-dessus donne une raison pour laquelle il est défini de cette façon.

Pourquoi faut-il tellement plus d'énergie pour passer de 1 m / s à 2 m / s que pour aller de 0 m / s à 1 m / s?

Il n'est pas plus difficile d'accélérer quelque chose de 1 m / s à 2 m / s que de 0 m / s à 1 m / s, à une accélération constante, cela prend le même temps, mais cela prend 3 fois plus de distance (il faut donc 4 fois plus de distance pour accélérer de 0 m / s à 2 m / s que de 0 m / s à 1 m / s).

Disons que vous accélérez votre objet à une vitesse constante de sorte qu'il faut un temps $ \ tau $ pour passer de 0 m / s à 1 m / s. Ensuite, il faudra le même temps $ \ tau $ pour passer de 1 m / s à 2 m / s.

Sa vitesse en fonction du temps sera $ v (t) = \ frac {1} {\ tau} t $. En particulier, $ v (\ tau) = 1 $ et $ v (2 \ tau) = 2 $. Sa distance parcourue en fonction du temps sera $ d (t) = \ frac {1} {2 \ tau} t ^ 2 $

Il prend une distance $ d (\ tau) = \ frac {\ tau} {2} $ pour l'accélérer de 0 m / s à 1 m / s, alors qu'il faut une distance $ d (2 \ tau) = 2 \ tau $ pour l'accélérer de 0 m / s à 2 m /s.

Comme vous pouvez le voir, $ d (2 \ tau) = 4d (\ tau) $. A aucun moment vous n'avez besoin d'invoquer l'énergie cinétique pour expliquer cette observation, cela prend 4 fois plus de distance car l'objet se déplace plus vite entre $ \ tau $ et $ 2 \ tau $ qu'entre $ 0 $ et $ \ tau $. De même, à un taux de décélération constant, il faut 4 fois plus de distance pour freiner à un arrêt à une vitesse $ 2v $ qu'à une vitesse $ v $, non pas parce que l'énergie cinétique rend le freinage plus difficile lorsque nous allons plus vite, mais simplement parce que cela prend deux fois plus de temps pour freiner (le temps pour passer de $ 2v $ à $ v $ est le même que le temps de passer de $ v $ à $ 0 $), et parce que nous avançons plus vite que $ v $ (donc parcourant plus de distance ) pendant la moitié du temps de freinage.

Seulement cela a vraiment répondu à la question.
Non, KE n'est pas ** défini ** comme $ \ frac {1} {2} mv ^ 2 $.C'est une conséquence de la 2e loi de Newton, qui est une conséquence du fait que $ x $ et $ \ dot {x} $ suffisent à spécifier l'état d'un système de manière unique.
Dire "c'est défini de cette façon" est atroce - même si vous l'adoptez comme votre définition, cela ouvre simplement la question de "pourquoi cette définition est-elle utile?", Et la raison fondamentale a à voir avec les principes de symétrie et / ou Noether.
#14
  0
Richard
2019-06-28 17:19:58 UTC
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La variation quadratique de l'énergie cinétique avec la vitesse peut être expliquée par les propriétés de symétrie de l'espace et du temps. La fonction lagrangienne est définie comme $ \ mathcal {L} = TU $ , où $ T $ est le l'énergie cinétique et $ U $ est l'énergie potentielle.

Nous savons que l'espace est homogène et isotrope et que le temps est homogène. Pour une particule libre, il s'ensuit que le lagrangien $ \ mathcal {L} $ doit avoir les propriétés suivantes:

  1. $ \ mathcal {L} $ ne doit pas dépendre de la coordonnée de position.
  2. $ \ mathcal {L} $ ne doit pas dépendre du vecteur de vitesse. Cela devrait plutôt dépendre de l'amplitude de la vitesse, c'est-à-dire d'une certaine puissance du vecteur vitesse.
  3. $ \ mathcal {L} $ ne doit pas dépendre de la coordonnée temporelle.

Ainsi, la forme générale du lagrangien pour une particule libre est $$ \ mathcal {L} (x, v, t) = \ alpha v ^ n $$ span > où $ \ alpha $ est une constante indépendante des coordonnées, des vitesses et du temps. Maintenant, l'élan peut être calculé en utilisant la relation $$ p = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial v} = \ alpha nv ^ {n-1 } $$ Cependant, l'impulsion est toujours une fonction linéaire de la vitesse qui peut être facilement prouvée par l'analyse dimensionnelle. Cela n'est possible que lorsque $ n = 2 $ dans l'expression ci-dessus.

Puisque nous considérons une particule libre (qui n'a que de l'énergie cinétique), le lagrangien (en choisissant $ n = 2 $ ) est $$ \ mathcal {L} = T = \ alpha v ^ 2 $$ Ainsi, l'énergie cinétique est proportionnelle à $ v ^ 2 $ et à aucune autre puissance de $ v $ .

L'énoncé «la quantité de mouvement est une fonction linéaire de la vitesse» n'est correcte que dans la limite non relativiste.L'élan d'un objet de masse $ m $ et de vitesse $ \ vec v $ est $ \ vec p = (1-v ^ 2 / c ^ 2) ^ {- 1/2} m \ vec v $.
#15
-1
Daniel
2010-11-11 06:19:09 UTC
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Une façon de répondre à cette question est la suivante:

$$ E (v) = \ frac {m v ^ 2} {2} \; . $$

Donc, si nous multiplions la vitesse par une certaine quantité, c'est-à-dire si nous mettons la vitesse à l'échelle, nous obtenons ce qui suit,

$$ E (\ lambda v) = \ frac {m (\ lambda v) ^ 2} {2} = \ lambda ^ 2 \ frac {mv ^ 2} {2} = \ lambda ^ 2 E (v) \; . $$

Autrement dit, si vous mettez à l'échelle votre vitesse d'un facteur $ \ lambda $, votre énergie est mise à l'échelle d'un facteur $ \ lambda ^ 2 $ - cela devrait répondre à votre question (branchez simplement les chiffres).

C'est comme dire x = y parce que y = x
#16
-4
Craig Heile
2016-01-27 23:23:10 UTC
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La quadratique de l'énergie cinétique est parfaitement logique si notre réalité n'est pas réellement du premier ordre dans l'espace, et est plutôt simplement une mesure de la vitesse relative à laquelle un objet passe dans le temps. L'espace de notre existence devient alors l'espace du temps simultané, à tout moment donné, au fur et à mesure de sa progression.

Dans ce scénario, changer l'énergie cinétique d'un objet crée une poussée (pensez "force" ) vers un nouvel espace de simultanéité à mesure que le temps avance ou ralentit pour un objet.

Pourquoi la première loi de Newton fonctionne-t-elle? Est-ce parce que le temps passe à un rythme constant, alors qu'il ne change pas? Et quand il change, le fait-il comme une racine carrée / carrée parce que le temps est vécu comme passant dans toutes les directions?

Le temps serait alors considéré comme passant de manière omnidirectionnelle, alors que le mouvement existe évidemment de manière linéaire. Combinez-les et vous obtenez la racine carrée de l'espace-temps! Tout comme le rayon en expansion ou en contraction d'une sphère! (Il me semble toujours que le chapeau mexicain de Higg clignote devant mes yeux quand je pense à la force dans une direction particulière pour une raison quelconque, même si cela ne se rapporte pas directement ici pour autant que je sache lol).

Les symétries de la RS et de la conservation de l'énergie sont des choses amusantes à réfléchir dans ce scénario.

La réalité doit réellement exister de cette façon, du mieux que je peux dire. Il n'y a aucune marge de manœuvre pour que cela se trompe puisque l'invariance de la vitesse de la lumière s'applique également à l'infinitésimale de l'accélération. L'infinitésimal ne peut être le reflet d'un nouvel espace de simultanéité en cours de création que si l'objet en accélération doit maintenir la constance de la vitesse de la lumière dans toutes les instances.

L'énergie cinétique n'est pas réellement et vraiment un scalaire qui existe dans l'espace. Et le temps est en fait une chose réelle qui passe vraiment. Le passage du temps n'est pas une illusion.

L'énergie cinétique nécessite le passage du temps car c'est la dilatation relative quantitative de cette vitesse même que le temps passe qui définit quelle énergie cinétique réellement et vraiment est!

Le résultat est que le carré de l'énergie cinétique s'aligne parfaitement avec l'invariance de Lorentz pour expliquer parfaitement notre réalité telle que nous la mesurons, si nous acceptons simplement que le temps passe est une chose réelle, et donnez-lui la primauté dans notre pensée qu'elle mérite d'avoir!

Cela semble être pour la plupart absurde.
Cool, merci pour le commentaire Kyle.Si tu veux parler de choses, je suis là.Sinon, c'est cool aussi.Une chose à la fois serait bien si vous le faites.Je suis prêt à partir jusqu'à ce que vous changiez d'avis.
Sérieusement, l'invitation est ouverte à tous et à tous.J'y ai longuement réfléchi pendant des années, donc je ne suis pas sur la défensive.
Si vous voulez un exemple, vos deux premiers paragraphes contiennent des déclarations dénuées de sens.
Pour être honnête, je ne sens pas que vous pensez que je suis digne de votre temps.Ce qui, encore une fois, est bien, je ne veux tout simplement pas insister si vous préférez faire autre chose.Répondez à ceci ou pas, votre choix, le passage du temps est-il une illusion?
J'apprécie un bon débat de temps en temps, mais il y a trop de mal ici pour perdre plus de temps à démystifier.J'ai fait remarquer que cela n'avait aucun sens, donc les autres lecteurs pourraient ne pas perdre leur temps à le lire (en supposant, bien sûr, qu'ils lisent les commentaires avant le post).
C'est juste.Sérieusement, je le supprimerai si nous arrivons à ce point.Mais s'il y a quelqu'un là-bas qui veut une discussion détachée, je vais continuer pendant un moment.La question est, est-ce que le temps passe réellement pour un objet au repos ou est-ce une illusion basée sur des changements / mouvements se produisant dans l'espace?


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 2.0 sous laquelle il est distribué.
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