L'hypothèse ergodique ne fait pas partie des fondements de la mécanique statistique. En fait, cela ne devient pertinent que lorsque vous souhaitez utiliser la mécanique statistique pour faire des déclarations sur les moyennes de temps. Sans l'hypothèse ergodique, la mécanique statistique fait des déclarations sur des ensembles, pas sur un système en particulier.

Pour comprendre cette réponse, vous devez comprendre ce qu'un physicien entend par ensemble. C'est la même chose que ce qu'un mathématicien appelle un espace de probabilités. L'article wikipedia «Ensemble statistique» explique assez bien le concept. Il contient même un paragraphe expliquant le rôle de l'hypothèse ergodique.

La raison pour laquelle certains auteurs donnent l'impression que l'hypothèse ergodique était au cœur de la mécanique statistique est qu'ils veulent vous expliquer pourquoi ils sont tellement intéressés par l'ensemble microcanonique. Et la raison qu'ils donnent est que l'hypothèse ergodique est valable pour cet ensemble lorsque vous avez un système pour lequel le temps qu'il passe dans une région particulière de l'espace de phase accessible est proportionnel au volume de cette région. Mais ce n'est pas au cœur de la mécanique statistique. La mécanique statistique peut être faite avec d'autres ensembles et il existe en outre d'autres moyens de justifier l'ensemble canonique, par exemple c'est l'ensemble qui maximise l'entropie.

Une théorie physique n'est utile que si elle peut être comparée à des expériences . La mécanique statistique sans l'hypothèse ergodique, qui ne fait des déclarations que sur les ensembles, n'est utile que si vous pouvez effectuer des mesures sur l'ensemble. Cela signifie qu'il doit être possible de répéter une expérience encore et encore et que la fréquence d'obtention de certains membres de l'ensemble doit être déterminée par la distribution de probabilité de l'ensemble que vous avez utilisé comme point de départ de vos calculs de mécanique statistique.

Parfois, cependant, vous ne pouvez expérimenter que sur un seul échantillon de l'ensemble. Dans ce cas, la mécanique statistique sans hypothèse ergodique n'est pas très utile car, bien qu'elle puisse vous dire à quoi ressemblerait un échantillon typique de l'ensemble, vous ne savez pas si votre échantillon particulier est typique. C'est là que l'hypothèse ergodique aide. Il déclare que la moyenne de temps prise dans un échantillon particulier est égale à la moyenne d'ensemble. La mécanique statistique vous permet de calculer la moyenne d'ensemble. Si vous pouvez effectuer des mesures sur votre échantillon sur une période suffisamment longue, vous pouvez prendre la moyenne et la comparer à la moyenne d'ensemble prévue et donc tester la théorie.

Donc, dans de nombreuses applications pratiques de la mécanique statistique, le L'hypothèse ergodique est très importante, mais elle n'est pas fondamentale pour la mécanique statistique, seulement pour son application à certains types d'expériences.

Dans cette réponse, j'ai pris l'hypothèse ergodique comme étant l'énoncé que les moyennes d'ensemble sont égales à moyennes de temps. Pour ajouter à la confusion, certaines personnes disent que l'hypothèse ergodique est l'affirmation que le temps qu'un système passe dans une région de l'espace des phases est proportionnel au volume de cette région. Ces deux sont les mêmes lorsque l'ensemble choisi est l'ensemble microcanonique.

Donc, pour résumer: l'hypothèse ergodique est utilisée à deux endroits:

1. Pour justifier l'utilisation de l'ensemble microcanonique.
2. Pour faire des prédictions sur la moyenne temporelle des observables.

Ni l'un ni l'autre n'est central à la mécanique statistique, car 1) la mécanique statistique peut et est faite pour d'autres ensembles (par exemple ceux déterminés par des processus stochastiques) et 2) souvent on fait des expériences avec de nombreux échantillons de l'ensemble plutôt qu'avec les moyennes temporelles d'un seul échantillon.

En ce qui concerne les références à d’autres approches des fondements de la physique statistique, vous pouvez consulter le article classique de Jaynes; voir aussi, par exemple, cet article (en particulier la section 2.3) où il discute de la non-pertinence des hypothèses de type ergodique comme fondement de la mécanique statistique à l'équilibre. Bien sûr, l'approche de Jaynes souffre également d'un certain nombre de lacunes, et je pense que l'on peut affirmer avec certitude que le problème fondamental de la mécanique statistique à l'équilibre est encore largement ouvert.

Vous pouvez également trouver intéressant de regarder à cet article par Uffink, où la plupart des approches modernes (et anciennes) de ce problème sont décrites, ainsi que leurs lacunes respectives. Cela vous fournira de nombreuses références plus récentes.

Enfin, si vous voulez une discussion mathématiquement plus approfondie du rôle de l'ergodicité (correctement interprétée) dans les fondements de la mécanique statistique, vous devriez jeter un œil à Gallavotti Mécanique statistique - bref traité, Springer-Verlag (1999), en particulier les chapitres I, II et IX.

EDIT (22 juin 2012): Je viens de me souvenir de cet article par Bricmont que j'ai lu il y a longtemps. C'est assez intéressant et agréable à lire (comme la plupart de ce qu'il écrit): Bayes, Boltzmann et Bohm: probabilités en physique.

J'ai recherché "mélange" et je ne l'ai pas trouvé dans d'autres réponses. Mais c'est la clé. L'ergodicité est en grande partie sans importance, mais le mélange est la propriété qui fait tiquer la physique statistique à l'équilibre pour les systèmes à plusieurs particules. Voir, par exemple, les Physics and Chance de Sklar ou les articles de Jaynes sur la physique statistique.

L'hypothèse chaotique de Gallavotti et Cohen suggère fondamentalement qu'il en va de même pour les NESS.

J'ai récemment publié un article important, Quelques cas particuliers des conjectures de Khintchine en mécanique statistique: ergodicité approximative de la fonction d'autocorrélation d'un assemblage d'oscillateurs à couplage linéaire. REVISTA INVESTIGACIÓN OPERACIONAL VOL. 33, NO. 3, 99-113, 2012 http://rev-inv-ope.univ-paris1.fr/files/33212/33212-01.pdf qui fait avancer l'état des connaissances sur la réponse à cette question.

En un mot: il faut justifier la conclusion de l'hypothèse ergodique, sans faire l'hypothèse ergodique elle-même. L’opportunité de le faire a été réalisée pendant longtemps, mais les progrès espiègles ont été lents. Terminologie: l ' hypothèse érdodique est que chaque chemin traverse (ou au moins près de) chaque point. Cette hypothèse n'est presque jamais vraie. La conclusion de l'hypothèse ergodique : presque toujours, les moyennes temporelles infinies d'une observable sur une trajectoire sont (au moins approximativement) égales à la moyenne de cette observable sur l'ensemble. (Même si l'hypothèse ergodique tient bon, la conclusion ne suit pas. Désolé, mais cette terminologie est devenue standard, traditionnelle, orthodoxe, et il est trop tard pour la changer.) Le théorème ergodique : sauf s'il sont des sous-espaces invariants distincts non triviaux, alors les conclusions de l'hypothèse ergodique sont valables.

Darwin ( http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/history/Obits2/Darwin_C_G_RAS_Obituary.html) et Fowler ( http: // www- history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fowler.html), d'importants physiciens mathématiques (Fowler était l'élève de Darwin et Dirac était de Fowler), ont trouvé la justification fondamentale correcte de Stat Mech dans les années 1920, et a montré qu'il était d'accord avec l'expérience dans tous les cas habituellement examinés jusqu'à cette époque, ainsi que pour les réactions stellaires. Khintchine, le grand mathématicien soviétique, a retravaillé les détails de leurs preuves (L'introduction de son petit livre sur le sujet a été publiée sur le Web à http://www-history.mcs.st-andrews.ac .uk / Extras / Khinchin_introduction.html), les a rendus accessibles à un public plus large, et a été beaucoup étudié par les mathématiciens et les philosophes des sciences intéressés par les fondements de la mécanique statistique ou, en fait, par toute inférence scientifique (voir, pour un exemple, http://igitur-archive.library.uu.nl/dissertations/1957294/c7.pdf et, pour un autre exemple, Jan von Plato Théorie ergodique et fondements de Probabilité , dans B. Skyrms et WL Harper, eds, Causation, Chance and Credence. Actes de la Conférence d'Irvine sur la probabilité et la causalité, vol. 1 , pp. 257-277, Kluwer , Dordrecht 1988). Les travaux de Khintchine allaient plus loin, et dans certaines conjectures, il espérait que tout système dynamique avec un nombre de degrés de liberté suffisamment grand aurait la propriété que les observables physiquement intéressants satisferaient approximativement aux conclusions du théorème ergodique même si le système dynamique ne satisfait même pas approximativement les hypothèses du théorème ergodique. Son arrestation, il est mort en prison, a interrompu l'éventuelle formation d'une école pour mener à bien son programme de recherche, mais Ruelle et Lanford III ont fait quelques progrès.

Dans mon article j'ai pu prouver les conjectures de Khintchine pour pratiquement tous les systèmes dynamiques classiques linéaires. Pour la mécanique quantique, la situation est bien plus controversée. Néanmoins, Fowler a en fait basé ses théorèmes sur la mécanique statistique classique sur la théorie quantique, bien que Khintchine ait fait l'inverse: d'abord en prouvant le cas classique, puis en essayant, sans succès, de traiter les modifications nécessaires à la QM. À mon avis, le cas quantique n'introduit rien de nouveau.

Pourquoi la mesure est modélisée par une moyenne temporelle infinie en mécanique statistique

C'est le point d'appui pour le théorème ergodique ou ses substituts.

Masani, P., et N. Wiener, "Non-linearPrediction", dans Probability and Statistics, The Harald Cramer Volume , éd. U. Grenander, Stockholm, 1959, p. 197: «Comme l'indique von Neumann ... en mesurant une quantité macroscopique $ x $ associée à un mécanisme physique ou biologique ... chaque lecture de $ x $ est en fait la moyenne sur un intervalle de temps $ T $ [qui] peut semblent courts d'un point de vue macroscopique, mais ils sont larges au microscope. Que la limite $ \ overline x $, comme $ T \ rightarrow \ infty $, d'une telle moyenne existe, et dans les cas ergodiques est indépendante de l'état microscopique, est le contenu du paramètre continu $ L_2 $ -ErgodicTheorem. L'erreur en pratique de ne pas prendre la limite doit naturellement être interprétée comme une dispersion statistique centrée sur $ \ overline x $. »Cf. également Khintchine, A., op. cit. , p. 44f., «Une observation qui donne la mesure d'une quantité physique n'est pas effectuée instantanément, mais nécessite un certain intervalle de temps qui, si petit qu'il nous paraisse, serait, en règle générale, très grand du point de vue d'un observateur qui regarde l'évolution de notre système physique. [...] Nous devrons donc comparer les données expérimentales ... avec des moyennes de temps prises sur de très grands intervalles de temps. » Et pas la valeur instantanée ou l'état instantané. Wiener, cité dans Heims, op. cit. , p. 138f., «Chaque observation ... prend un temps fini, introduisant ainsi l'incertitude.»

Benatti, F. Chaos déterministe dans des systèmes quantiques infinis , Berlin, 1993, Trieste Notes en physique , p. 3, «Les temps caractéristiques des processus de mesure sur les macrosystèmes étant bien plus longs que ceux gouvernant les micromènes sous-jacents, il est raisonnable de penser aux résultats d'une procédure de mesure comme des moyennes de temps évaluées le long de trajectoires de phase correspondant à des conditions initiales données.» Et Pauli, W., Pauli Lectures on Physics, volume 4, StatisticalMechanics , Cambridge, Mass., 1973, p. 28f., «Ce qui est observé macroscopiquement sont des moyennes de temps ...»

Wiener, «Logique, Probabiliteet Methode des Sciences Physiques», «Toutes les lois de probabilite connuesessont de caractere asymptotique ... les considérations asymptotiques n 'ontd'autre but dans la Science que de permettre de connaître les proprietes desensembles tres nombreux en evitant de voir ces proprietes s'evanouir dans laconfusion resultant de las specificite de leur infinitude. L'infini permet de considérer des nombres tres grands sans avoir à tenir compte du fait que ce sont des entites distinctes. »

Pourquoi nous devons remplacer les moyennes d'ensemble par des moyennes de phase, ce qui peut être accompli en de différentes manières, la manière traditionnelle est d'utiliser l'hypothèse ergodique.

Ces citations expriment l'approche orthodoxe de Classical Stat Mech. Le système mécanique classique est dans un état particulier, et une mesure d'une propriété de cet état est modélisée par une moyenne à long terme sur la trajectoire du système. Nous approchons cela en prenant la moyenne temporelle infinie. Notre théorie, cependant, ne peut pas calculer cela, de toute façon nous ne connaissons même pas les conditions initiales du système donc nous ne savons pas quelle trajectoire ... ce que notre théorie calcule est la moyenne de phase ou la moyenne d'ensemble. Si nous ne pouvons pas justifier une sorte d'égalité approximative de la moyenne d'ensemble avec la moyenne temporelle, nous ne pouvons expliquer pourquoi les quantités calculées par notre théorie sont en accord avec les quantités que nous mesurons .

Certaines personnes , bien sûr, ne se soucient pas. Cela doit être anti-fondateur.

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tenu par Sandu Popescu à l'Institut Périmètre, ainsi que dans cet article

Enchevêtrement et fondements de la mécanique statistique.

Il est avancé que:

1. "le postulat principal de la mécanique statistique, le postulat de probabilité a priori égal, devrait être abandonné comme trompeur et inutile" (le L'hypothèse ergodique est une manière d'assurer le postulat de probabilité a priori égale)

2. à la place, il est proposé une base quantique pour la mécanique statistique, basée sur l'intrication. Dans l'espace de Hilbert, on soutient que presque tous les états sont proches de la distribution canonique.

Vous pouvez trouver dans l'article d'autres références intéressantes sur ce sujet.

Je ne suis pas d'accord avec l'affirmation de Marek selon laquelle `` dans de nombreuses applications pratiques de la mécanique statistique, l'hypothèse ergodique est très importante, mais elle n'est pas fondamentale pour la mécanique statistique, seulement pour son application à certaines sortes d'expériences. ''

L'hypothèse ergodique n'est nulle part nécessaire. Voir la partie II de mon livre Mécanique classique et quantique via les algèbres de Lie pour un traitement de la mécanique statistique indépendant de hypothèses d'ergodicité ou de mélange, mais récupérant encore les formules habituelles de la thermodynamique à l'équilibre.