Tout d'abord, il n'est pas vrai que toutes les équations différentielles importantes en physique soient du second ordre. L'équation de Dirac est du premier ordre.

Le nombre de dérivées dans les équations est égal au nombre de dérivées dans le terme pertinent correspondant du lagrangien. Ces termes cinétiques ont la forme $$ {\ mathcal L} _ {\ rm Dirac} = \ bar \ Psi \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu \ Psi $$ pour les champs de Dirac. Notez que le terme doit être invariant de Lorentz - une généralisation de l'invariance rotationnelle pour tout l'espace-temps - et pour les spineurs, on peut les contracter avec des matrices $ \ gamma_ \ mu $, il est donc possible d'inclure une seule dérivée $ \ partial_ \ mu $.

Cependant, pour les bosons qui ont un spin entier, il n'y a rien de tel que $ \ gamma_ \ mu $ agissant sur eux. Donc l'invariance de Lorentz c'est-à-dire la disparition des indices de Lorentz dans les termes avec dérivées doit être réalisée en ayant un nombre pair, comme dans $$ {\ mathcal L} _ {\ rm Klein-Gordon} = \ frac { 1} {2} \ partial ^ \ mu \ Phi \ partial_ \ mu \ Phi $$ qui produisent aussi inévitablement des équations du second ordre. Maintenant, qu'en est-il des termes dans les équations avec des dérivés de quatrième ou plus?

Ils sont également présents dans les équations. Mais leurs coefficients sont des puissances d'une échelle microscopique ou d'une échelle de distance $ L $ - parce que l'origine de ces termes sont des phénomènes à courte distance. Chaque fois que vous ajoutez un dérivé $ \ partial_ \ mu $ à un terme, vous devez également ajouter $ L $, pour ne pas changer les unités du terme. Par conséquent, les coefficients des termes dérivés supérieurs sont des puissances positives de $ L $ ce qui signifie que ces coefficients incluant les dérivées, lorsqu'ils sont appliqués à une situation macroscopique typique, sont d'ordre $ (L / R) ^ k $ où $ 1 / R ^ k $ provient des dérivées supplémentaires $ \ partial_ \ mu ^ k $ et $ R $ est une échelle de distance du problème macroscopique que nous résolvons ici (l'échelle typique où le champ change d'environ 100%).

Par conséquent, les coefficients avec des dérivées plus élevées peuvent être négligés dans toutes les limites classiques. Ils sont là mais ils sont négligeables. Einstein croyait qu'il fallait construire de «belles» équations sans les termes dérivés supérieurs et il pouvait deviner les bonnes équations approximatives de basse énergie en conséquence. Mais il se trompait: les termes dérivés supérieurs ne sont pas vraiment absents.

Maintenant, pourquoi ne rencontrons-nous pas des équations dont les termes dérivés d'ordre le plus bas sont absents? C'est parce que leur coefficient dans le lagrangien devrait être strictement nul, mais il n'y a aucune raison pour qu'il soit nul. Il est donc infiniment improbable que le coefficient soit nul. Il est inévitablement différent de zéro. Ce principe est connu sous le nom de principe anarchique (ou totalitaire) de Gell-Mann: tout ce qui n'est pas interdit est obligatoire.

On peut réécrire n'importe quel pde de n'importe quel ordre comme un système de pde de premier ordre, donc l'hypothèse derrière la question est quelque peu discutable. Il existe également des PDE de premier ordre pertinents pour la physique (équation de Dirac, équation de Burgers, pour n'en nommer que deux).

Cependant, il est courant que les grandeurs en physique apparaissent dans des paires conjuguées de champs potentiels et leur intensité de champ associée, définie par le gradient potentiel. Désormais, les gradients d'intensité de champ agissent comme des forces généralisées qui tentent de déplacer le système vers un état d'équilibre auquel ces gradients disparaissent. (Ils ne réussiront que s'il y a un frottement suffisant et aucune force externe.)

Dans une formulation où seule la moitié de chaque paire conjuguée est explicite dans les équations, il en résulte une équation différentielle du second ordre.

Par exemple, dans la formulation hamiltonienne de la mécanique conservatrice, on a $$ \ dot q = \ partial_p H (p, q), ~~~ \ dot p = - \ partial_q H (p, q). $ $ Cela devient dans le cas spécial le plus courant où $ H (p, q) = p ^ 2 / 2m + V (q) $ les équations $$ \ dot q = p / m, ~~~ \ point p = - \ V partiel (q). $$ L'élimination de $ p $ laisse une équation du second ordre.

Ici, pour simplifier, nous nous limiterons aux systèmes qui ont un principe d'action. (Pour les systèmes de mécanique fondamentale et quantique, c'est souvent le cas.) Reformulons la question de OP comme suit:

Pourquoi les équations de mouvement d'Euler-Lagrange pour un relativiste (non -relativiste) ont au plus deux dérivées spatio-temporelles (dérivées temporelles), respectivement?

(Ici, le nombre précis de dérivées dépend de si l'on considère le lagrangien ou le Formulations hamiltoniennes, qui sont liées via transformation Legendre. Dans le cas d'une transformation Legendre singulière, il faut utiliser la méthode Dirac-Bergmann ou la méthode Faddeev-Jackiw pour aller et venir entre les deux formalismes. Voir aussi cet article Phys.SE.)

Réponse:

Les termes dérivés supérieurs sont dans certaines théories supprimées pour des raisons dimensionnelles par les échelles naturelles du problème. Cela peut par exemple se produisent dans les théories renormalisables.

Mais la réponse générique est que les équations de mouvement n'ont pas à être d'ordre $ \ leq 2 $ .

Cependant, pour une théorie quantique générique d'ordre supérieur, si les termes dérivés supérieurs ne sont pas naturellement supprimés, cela conduit généralement à des fantômes du soi-disant mauvais type signe du terme cinétique, états normaux négatifs et violation d'unitarité.

Au niveau naïf, les apparences explicites de dérivées temporelles plus élevées peuvent être supprimées dans les formules en introduisant plus de variables, soit via la méthode Ostrogradsky, soit de manière équivalente via la Méthode du multiplicateur de Lagrange. Cependant, le problème de positivité n'est pas résolu par de telles réécritures en raison de l ' instabilité d'Ostrogradsky, et le système quantique reste mal défini. Voir aussi par ex. cette et cette réponse Phys.SE.

Par conséquent, on ne peut souvent pas donner un sens cohérent aux théories d'ordre supérieur, et c'est peut-être pourquoi OP y fait rarement face.

Enfin, mentionnons qu'il est aujourd'hui populaire d'étudier la théorie efficace des champs dérivés supérieurs, avec l'espoir peut-être infondé, qu'une description unitaire sous-jacente, supposément bien définie, par exemple la théorie des cordes, guérira toutes les pathologies.

La raison pour laquelle les équations de la physique sont au plus du second ordre est due à la soi-disant instabilité Ostrogradskienne. (voir l'article de Woodard). Il s'agit d'un théorème, qui stipule que les équations de mouvement avec des dérivées d'ordre supérieur sont en principe instables ou non locales. Ceci est facilement montré en utilisant le formalisme lagrangien et hamiltonien.

Le point clé est que pour obtenir une équation de mouvement de troisième ordre dans les dérivées, nous avons besoin d'un lagrangien qui dépend des coordonnées et des vitesses et accélérations généralisées: $ L (q, \ dot {q}, \ ddot {q}) $. En effectuant une transformation de Legendre pour obtenir l'hamiltonien, cela implique que nous avons besoin de deux impulsions généralisées. L'hamiltonien résulte d'être linéaire dans au moins une des impulsions et donc il est illimité par le bas (il peut devenir négatif). Cela correspond à un espace de phase dans lequel il n'y a pas d'orbites stables.

Je voudrais écrire la preuve ici, mais il a déjà été répondu dans ce message. Là, la question est de savoir pourquoi les lagrangiens n'ont qu'un seul dérivé, mais il est en fait étroitement lié, car on peut toujours trouver les équations de mouvement à partir d'un lagrangien et vice versa.

Citant Woodard ( https: // arxiv.org/pdf/hep-th/0207191v1.pdf): "Il m'a semblé depuis longtemps que l'instabilité Ostrogradskienne est la restriction fondamentale la plus puissante et la moins reconnue à la théorie du champ lagrangien. Elle exclut beaucoup plus Lagrangiens candidats que n'importe quel principe de symétrie. Les physiciens théoriques n'aiment pas qu'on leur dise qu'ils ne peuvent pas faire quelque chose et un tel théorème de non-droit les pousse à envisager des évasions tortueuses ... L'instabilité Ostrogradskienne ne devrait pas paraître surprenante. observé semble être décrit, au niveau fondamental, par un lagrangien local ne contenant pas plus de dérivés de première fois. La chose bizarre et incroyable serait si ce fait était simplement un accident. "

En fait, les équations d'évolution sont encore plus que du second ordre dans le temps: elles ne dépendent pas naïvement de la dérivée du premier ordre, c'est-à-dire de la "vitesse". Cela peut être facilement compris comme le fait qu'il n'existe pas de référentiels inertiels privilégiés. Le changement (c'est-à-dire ce qui est absolu) est donné par l'accélération et non par la vitesse. Si cela dépendait naïvement de certains termes de vitesse, alors cela impliquerait qu'il y a un cadre privilégié.

Faisons une analogie avec la mécanique newtonienne. Si nous vivions dans un univers Aristote avec un cadre de référence privilégié, alors $ F = mv $. Le mouvement serait donc absolu et la vitesse aussi. Parce qu'il n'y a pas de tel cadre de référence privilégié, mais toute une classe de cadres privilégiés (les inertiels), $ F = ma $. Pourquoi ne pourrait-il pas être que nous vivons dans un univers où $ F = m \ dot a $? Simplement à cause des principes galiléens.

Si vous pensez que l'accélération et les vitesses sont "annulables", et que le changement réel est donné par la dérivée de l'accélération, alors vous devriez croire en un principe galiléen du second ordre invariance et inertie. Le principe d'invariance du second ordre vous dirait que les lois de la physique doivent être les mêmes dans tous les cadres inertiels et tous les cadres uniformément accélérés, sinon cela signifierait qu'il existe un moyen de les discriminer, et donc, qu'il n'y a pas d'équivalence entre étant inertiel ou uniformément accéléré. Ceci, en particulier, implique que si vous êtes à l'intérieur de l'une de ces images et que vous voyez quelqu'un qui est uniformément accéléré par rapport à votre axe $ x $, c'est-à-dire $ x_1 (t) = gt ^ 2/2 $, et vous voir aussi quelqu'un accéléré dans la direction opposée, c'est-à-dire $ x_2 (t) = -gt ^ 2/2 $, puis du point de vue de $ x_2 $, le premier objet sera décrit par $ x_2 (t) = gt ^ 2 $. Cela implique que vous seriez capable de voir des objets avec une accélération arbitraire élevée, et ceci sans avoir besoin de consommer aucune «énergie».

Ce n'est pas ce que l'on observe dans cet univers, on n'accélère pas uniformément un objet "gratuitement". On dirait donc que la nature a choisi d'être la plus simple possible afin de garder une symétrie entre tous les référentiels inertiels: son second ordre dans le temps, pas le troisième ou même pire. symétrique jusqu'à tout ordre d'accélération. Cela impliquerait qu'il n'y a aucune différence entre la rotation et l'inertie. C'est-à-dire que si je regarde un mec qui tourne avec une balle dans ses mains qui finira par le lâcher, la balle fera alors un mouvement en spirale et sa vitesse angulaire continuera d'augmenter à mesure qu'elle s'éloigne du gars qui l'a lancé (en effet, ce dernier doit le voir aller en ligne droite par principe d'inertie de Galilée). L'univers n'est donc pas machien non plus.

Alors pourquoi l'équation de Schrödinger dépend-elle du premier ordre dans le temps? Parce que c'est une équation modale: il faut un observateur pour avoir du sens et faire des mesures. Il y a donc une équation de Schrödinger par observateur (l'hamiltonien dépend de l'observateur et du système qu'il regarde, voir les interprétations relationnelles). Du moins, c'est mon interprétation.

Tout d'abord, il n'est pas vrai que toutes les équations différentielles importantes en physique sont du second ordre. L'équation de Dirac est de premier ordre.

C'est correct. Cependant, les équations d'évolution physiques sont des équations hyperboliques de second ordre (dans le temps). En fait, chaque composante du spineur de Dirac suit une équation du second ordre, à savoir l'équation de Klein-Gordon.

Maintenant, qu'en est-il des termes dans les équations avec des dérivées de quatrième ou plus?

Ils sont également présents dans les équations.

Ni l'action lagrangienne du modèle standard (SM) ni l'action d'Einstein-Hilbert (EH) ne contiennent de dérivées temporelles supérieures au second ordre. Ce sont les actions qui sont testées expérimentalement et ces deux théories sont les théories scientifiques les plus fondamentales que nous ayons. Nous savons qu'il y a de la physique au-delà de ces deux théories et que les gens ont de bons candidats aux théories sous-jacentes, mais la physique est une science expérimentale et ces théories ne sont pas vérifiées expérimentalement. Le Lagrangien SM effectif (une théorie invariante de Lorentz avec les symétries de jauge du SM mais avec des opérateurs non pertinents) contient des dérivées temporelles supérieures au second ordre. De même pour l'action EH plus les scalaires d'ordre supérieur. Deux clarifications s'imposent cependant:

• Ces termes non pertinents ne sont pas vérifiés expérimentalement. Presque tout le monde est sûr que les termes de masse de neutrinos (qui ne sont pas des opérateurs pertinents mais ne contiennent pas de dérivés d'ordre supérieur) existent pour expliquer les oscillations des neutrinos, mais jusqu'à présent, nous n'avons pas de mesures directes des masses de neutrinos. ne sont pas autorisés à prétendre que ces conditions existent. En résumé: le SM efficace n'est pas une théorie vérifiée.

• L'origine de ces termes non pertinents est une conséquence de l ' intégration de champs de masse beaucoup plus grande que l'échelle d'énergie qui nous intéresse. Cela pourrait être le cas du terme de masse neutrino et un neutrino droitier. Par exemple, en électrodynamique quantique, si l'on s'intéresse à la physique à des énergies beaucoup plus faibles que la masse électronique, on peut intégrer (ou nature intègre-out) le champ électronique en obtenant un lagrangien effectif (Euler -Heisenberg Lagrangian) avec des termes avec des dérivés d'ordre supérieur comme $ \ frac {\ alpha ^ 2} {m_e ^ 4} ~ F _ {\ mu \ nu} ~ F ^ {\ mu \ nu} ~ F _ {\ rho \ sigma} ~ F ^ {\ rho \ sigma} $ (qui contient quatre dérivés). Ce sont des termes supprimés en couplant des constantes ($ \ alpha $) et des échelles à haute énergie ($ m_e $). Il existe des termes avec un nombre de dérivées arbitrairement élevé, et ils proviennent des inverses d'opérateurs différentiels . Cela fait que les dérivées d'ordre supérieur n'entrent pas dans l'équation du mouvement d'ordre zéro.

Cependant, dans une théorie fondamentale (contrairement à une théorie efficace), fini les dérivées d'ordre supérieur ne sont pas autorisées dans les théories interactives (il y a quelques exceptions avec les champs de jauge, mais par exemple une théorie de la gravité $ f (R) $ générique est incohérente). La raison en est que ces théories ne sont pas bornées à partir de ci-dessous (voir Pourquoi n'y a-t-il que des dérivées au premier ordre dans le lagrangien?) ou, dans certaines quantifications, contiennent des états normatifs négatifs. Ces termes font partie des opérateurs interdits dans le principe totalitaire de Gell-Mann.

En résumé, les équations d'évolution sont d'ordre deux en raison de l'existence d'un état de vide normalisable et d'unitarité (y compris ici le fait que les états physiques doivent avoir une norme positive). Newton avait raison lorsqu'il a écrit $$ \ ddot x = f (x, \ dot x) $$

Weinberg donne une assez bonne réponse à cela dans le volume 1 de son opus QFT: des équations différentielles de second ordre apparaissent dans les théories des champs pertinentes à la physique des particules en raison de la condition relativiste de masse-coquille $ p ^ 2 = m ^ 2 $.

Si nous avons un champ quantique $ \ phi $, et que nous considérons ses modes de fourier $ \ phi (p) $ comme créant des particules avec 4 impulsions $ p $, alors la condition masse-coquille fournit une contrainte: $ (p ^ 2 - m ^ 2) \ phi (p) = 0 $, car nous ne voulons pas de création de particules hors coque. Transformez-la de Fourier en espace de position, et vous trouvez que $ \ phi $ doit obéir à une équation différentielle du 2ème ordre.

De temps en temps, des équations différentielles d'ordre supérieur apparaissent: les équations de mouvement d'une particule subissant la force d'Abraham-Lorentz sont du troisième ordre.(Bien que pour être honnête, c'est en grande partie la raison pour laquelle beaucoup de physiciens n'aiment pas le concept de la force Abraham-Lorentz!)

Il a déjà été noté dans d'autres réponses que les domaines de la physique ne sont pas toujours régis par des équations aux dérivées partielles du second ordre (EDP). On a dit, par exemple, que l'équation de Dirac est une PDE du premier ordre. Cependant, l'équation de Dirac est un système d'EDP pour quatre fonctions complexes - composants du spineur de Dirac. Il a également été mentionné que toute PDE est équivalente à un système de PDE du premier ordre.

J'ai mentionné précédemment que l'équation de Dirac dans le champ électromagnétique est généralement équivalente à une équation différentielle partielle du quatrième ordre pour un seul composant complexe, lequel composant peut également être rendu réel par une transformation de jauge (http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (mon article publié dans le Journal of Mathematical Physics) ou http://arxiv.org/abs/1008.4828). Permettez-moi également de mentionner mon article http://arxiv.org/pdf/1111.4630.pdf, où il est montré que les équations de l'électrodynamique des spineurs (l'électrodynamique de Dirac-Maxwell) sont généralement équivalentes à un système des PDE du troisième ordre pour des complexes à quatre potentiels de champ électromagnétique (produisant le même champ électromagnétique que les quatre potentiels réels habituels du champ électromagnétique).

(ajout d'un commentaire comme réponse)

En fait, toute la mécanique classique (et la mécanique quantique) peut être formulée uniquement avec des dérivés du 1er ordre (avec le coût d'ajouter des dimensions supplémentaires, c'est-à-dire l'espace des phases, le formalisme hamiltonien ).

Cela fait en effet une description dynamique d'un système physique. De plus, tout ordre d'équations différentielles peut être transformé en 1er ordre par le même jeton.

La dynamique non linéaire (c'est-à-dire la théorie du chaos) fait un usage intensif des seules lois dynamiques du 1er ordre dans leurs études.

L'ajout de plus d'ordres aux lois dynamiques nécessite plus d'informations à ajouter (conditions initiales) et devient impossible à résoudre de manière explicite ou algorithmique dans la plupart des cas.

De plus, les lois dynamiques du premier ordre fournissent (au moins) de bonnes approximations ou même une couverture complète de l'évolution dynamique d'un système à l'étude