Un étudiant de premier cycle m'a posé cette question. Je pense que si nous enlevions les molécules d'air autour du crayon et le refroidissions à zéro absolu, ce crayon équilibrerait théoriquement.
Ai-je raison?
TL; DR: de nombreux facteurs empêchent un crayon de rester parfaitement équilibré. Le plus important d'entre eux est le principe d'incertitude qui fera tomber le crayon en moins de quatre secondes. Pour plus de détails, lisez la suite ...
Réponse courte: NON. Le premier photon de lumière qui l'atteindrait perturberait votre équilibre parfait. Les forces de marée de la lune (qui ne pointent pas toujours dans la même direction) la perturberaient. Les forces de marée du soleil le dérangeraient. Je pourrais continuer.
L'équation du mouvement d'un crayon nous dit que dès que vous êtes décentré par la plus petite quantité, le mouvement s'accumule. Ce n’est pas un équilibre stable.
Et le graphite ne peut pas supporter le poids d’un crayon sur une pointe mono-atomique tranchante ... Selon ce fournisseur de graphite de haute qualité, la compression la résistance est d'environ 25 ksi (~ 170 MPa - figure 5-2 de la référence). La plus petite pointe pouvant supporter le poids de 0,05 N serait un cercle d'un rayon de 0,01 mm. C'est une astuce assez pointue, pour un crayon. Ce n'est pas presque "atomique".
Enfin, même à zéro absolu, le principe d'incertitude exige que la position du centre de gravité ne soit pas parfaitement connue. Les fluctuations (nécessaires mécaniquement quantiques) de la position du centre de masse devraient être suffisantes pour que le crayon finisse par tomber.
MISE À JOUR - l'impact d'un seul photon
Il est instructif de calculer combien de temps il faut à un crayon pour tomber pour un écart donné par rapport à l'équilibre (en supposant pour un moment un pivot parfait en bas - c'est-à-dire que le seul couple appliqué est dû à la gravité). Je le montre ici pour un crayon qui a été frappé par un seul photon vert - et le résultat est étonnamment court.
Modéliser le crayon comme une tige uniforme de masse $ m $, longueur $ \ ell $, moment d'inertie $ I = \ frac {1} {3} m \ ell ^ 2 $, le couple $ \ Gamma $ lorsqu'il est à un angle $ \ theta $ par rapport à la verticale est
$$ \ Gamma = \ frac12 mg \ ell \ sin \ theta $$
Pour les petites déviations, $ \ sin \ theta = \ theta $ et nous utiliserons cette hypothèse ci-dessous. Alors l'équation du mouvement devient
$$ I \ ddot \ theta = \ frac12 mg \ ell \ theta \\\ frac13 m \ ell ^ 2 \ ddot \ theta = \ frac12 mg \ ell \ theta \ ddot \ theta = \ frac {3 g} {2 \ ell} \ theta $$
Cela ressemble beaucoup à l'équation d'un oscillateur harmonique simple, mais avec le mauvais signe. Nous obtenons en effet une solution très similaire, mais avec des fonctions hyperboliques.
En mettant $ \ frac {3 g} {2 \ ell} = \ alpha ^ 2 $, nous pouvons l'intégrer deux fois pour obtenir un
$$ \ theta = C_1 e ^ {\ alpha t} + C_2 e ^ {- \ alpha t} $$
Si le crayon commence à l'équilibre, on peut mettre $ \ theta = 0 $ at $ t = 0 $, ce qui réduit ce qui précède à
$$ \ theta = 2C_1 \ sinh {\ alpha t} $$
Étant donné une vitesse initiale $ v_0 $, on voit que
$$ v_0 = \ frac {\ ell} {2} \ dot \ theta = \ ell C_1 \ alpha \ cosh {\ alpha t} $$ donc
$$ C_1 = \ frac {v_0} {\ ell \ alpha} = \ frac {v_0} {\ ell \ sqrt {3 g / 2 \ ell}} = \ frac {v_0} {\ sqrt {\ frac32 g \ ell}} $$
Nous avons maintenant une expression pour $ \ theta $, nous pouvons résoudre avec une vitesse initiale donnée:
$$ t = \ frac {1} {\ alpha} \ sinh ^ {- 1} \ frac {\ theta} {C_1} $$
$$ = \ sqrt {\ frac {2 \ ell} {3 g}} \ sinh ^ {-1} \ left (\ frac {\ theta \ sqrt {\ frac32 g \ ell}} {v_0} \ right) $$
Vient maintenant la partie amusante. Supposons que nous frappions le crayon parfaitement équilibré avec un seul photon de lumière verte. L'élan d'un tel photon est approximativement
$$ p = \ frac {E} {c} = \ frac {h} {\ lambda} \ approx 10 ^ {- 27} Ns $$
Supposons que le crayon soit noir pour que le photon ne soit pas réfléchi. La masse d'un crayon est d'environ 0,005 kg, longueur 20 cm. La vitesse du crayon après la collision avec le photon est approximativement (oui, il y a quelques facteurs pour tenir compte de l'impact de décalage, etc. J'ignore tous ceux-ci - cela ne change pas la réponse de base):
$$ v_0 = \ frac {p} {m} = 2 \ cdot 10 ^ {- 25} m / s $$
Supposons que "tomber définitivement" correspond à un angle de 0,5 degré, ou environ 0,01 rad. Nous pouvons mettre les valeurs dans l'équation ci-dessus et trouver t $ \ environ $ 6 s.
Un photon. Six secondes. C'est une période extrêmement courte ... mais elle est sur le point de s'aggraver:
MISE À JOUR 2 - l'importance du principe d'incertitude
C'est aussi intéressant pour voir combien de temps il faudrait à un crayon pour tomber étant donné une déviation initiale par rapport à la verticale - parce que nous pouvons alors nous débarrasser du photon unique et utiliser le principe d'incertitude pour estimer le temps maximum que le crayon équilibrera.
Si le centre de masse est décalé de $ \ Delta x $, alors l'angle est $ \ Delta \ theta = \ frac {2 \ Delta x} {\ ell} $.
En utilisant le même équations comme précédemment, on trouve $ C_1 + C_2 = \ Delta \ theta $. Supposons que la vitesse initiale soit nulle - car "en moyenne" elle le sera, étant donné que la direction de la vitesse initiale est également susceptible de pointer vers l'équilibre et de s'en éloigner - nous obtenons donc $ C_1 = C_2 $, et la solution est une fonction $ \ cosh $:
$$ \ theta = 2 C_1 \ cosh (\ alpha t) $$
Où $ C_1 = \ frac {\ Delta \ theta} { 2} = \ frac {\ Delta x} {\ ell} $.
Nous avons maintenant le temps de tomber (temps pour atteindre un certain $ \ theta $) comme
$ $ t = \ frac {1} {\ alpha} \ cosh ^ {- 1} \ left (\ frac {\ theta \ ell} {2 \ Delta x} \ right) $$
L'équation nous avons dérivé plus tôt pour le temps pris avec une vitesse initiale donnée peut être réécrit comme
$$ t = \ frac {1} {\ alpha} \ sinh ^ {- 1} \ left (\ frac {\ theta \ ell \ alpha} {\ Delta v} \ right) $$
et nous savons que
$$ \ Delta x \ Delta p = \ hbar $$
Évidemment, le temps d'équilibre le plus long sera atteint lorsque les deux temps sont identiques - sinon, l'un sera plus long et l'autre plus court, et c'est le temps le plus court qui dominera. Pour résoudre, nous substituons $ \ Delta x = \ frac {\ hbar} {m \ Delta v} $ et obtenons
$$ \ cosh ^ {- 1} \ left (\ frac {\ theta \ ell m \ Delta v} {\ hbar} \ right) = \ sinh ^ {- 1} \ left (\ frac {\ theta \ ell \ alpha} {\ Delta v} \ right) $$
Si le terme entre parenthèses est suffisamment grand, alors nous pouvons (dans le but d'estimer) définir
$$ \ frac {\ theta \ ell m \ Delta v} {\ hbar} = \ frac {\ theta \ ell \ alpha} {\ Delta v} $$
D'où il suit que
$$ \ Delta v = \ sqrt {\ frac {\ theta \ ell \ alpha \ hbar} {\ theta \ ell m}} = \ sqrt \ frac { {\ alpha \ hbar}} {m} $$
En remplaçant les valeurs du crayon, nous trouvons
$$ \ Delta v = 4 \ cdot 10 ^ {- 16} m / s $$
qui est de plusieurs ordres de grandeur plus grande que la vitesse en raison du crayon frappé par un photon. Le temps de tomber est alors
$$ t = \ frac {1} {\ alpha} \ sinh ^ {- 1} \ left (\ frac {\ theta \ ell \ alpha} {\ Delta v } \ right) \ approx 3.7 s $$
Ainsi, un crayon "théorique" parfaitement équilibré, posé sur sa pointe mono-atomique, tombera en moyenne en quelques secondes à cause du principe d'incertitude.
AFTERWORD ma fille vient de me diriger vers un article intéressant qui calcule la même chose - et propose une réponse très similaire. L'auteur se signe comme "Alemi". Il y a un contributeur sur ce site avec le même descripteur. Je pense que je reconnais le style du processus de pensée, alors je vais donner un bout du chapeau tardif. Incidemment, ce message a une valeur d'environ 3,6 secondes. Ce qui est étonnamment similaire à la valeur que j'ai obtenue.
Non. Pour s'équilibrer parfaitement, le crayon devrait être parfaitement droit et parfaitement immobile. Le principe d'incertitude limite dans quelle mesure vous pouvez faire les deux en même temps.
Momentum et position forment une paire conjuguée. $ \ Delta x \ Delta p \ geq \ hbar $.
Moment angulaire et position angulaire en forment un aussi. $ \ Delta L \ Delta \ Theta \ geq \ hbar $
Cela ne garantit pas que le moment cinétique et la position angulaire seront non nuls. C'est une incertitude - Les valeurs réelles peuvent être n'importe quoi, y compris 0.
Mais cela vous empêche de les disposer toutes les deux pour que le crayon reste droit. De plus, si vous demandez quelle est la probabilité de trouver les deux valeurs très proches de 0, vous constatez qu'elle est très petite. À la limite, infiniment improbable.
S'il s'avère que $ L = \ Theta = \ sqrt {\ hbar} $, et que vous branchez des valeurs raisonnables pour la masse et la longueur du crayon, vous constaterez qu'il tombe en quelques secondes.
J'attendais jusqu'au week-end pour ajouter une mise à jour. Au moment où il est arrivé ici, Floris avait laissé très peu à ajouter. Et il a fait un meilleur travail que moi. Bonnes réponses.
Un certain nombre d'utilisateurs ont estimé qu'un crayon idéal taillé à une pointe atomique n'était pas réaliste. Le crayon doit avoir un plat en bas.
Ma propre pensée est que le crayon devrait être monté sur l'une de ces poulies sans masse et sans friction qui semblent si courantes dans les classes de physique des lycées.
Néanmoins, un crayon avec un plat peut être traité de manière semi-classique. En raison du principe d'incertitude, le crayon a une impulsion initiale, et donc une énergie initiale. Cela fera basculer le crayon. Ce qui à son tour fera tourner le crayon autour d'un bord de l'appartement. Le centre de gravité s'élèvera jusqu'à ce qu'il soit directement au-dessus du bord de l'appartement. Si l'énergie «d'incertitude» initiale est supérieure à l'énergie nécessaire pour élever le centre de gravité, le crayon basculera.
Un traitement mécanique quantique traiterait la région où se trouve le centre de masse à l'intérieur de l'appartement comme un puits potentiel. Il y a une probabilité de tunnel.
Ces deux scénarios sont traités en détail (avec des diagrammes au cas où ma description ne serait pas claire) ici. J'ai trouvé ce lien en suivant «le post intéressant de Floris qui calcule la même chose». Ce message contenait quelques commentaires en bas. Le tout dernier commentaire contient le lien.
Non. Le poids du crayon est d'environ 1 Newton et la surface est d'environ 500 picomètres carrés (5 * 10 -22 ), ce qui signifie que la pression sur la pointe est d'environ 2 ZettaPascal. C'est un peu plus que ce que le graphite (ou le diamant) peut supporter (mesuré en GigaPascal)
La question est si ambiguë qu'elle permet un oui retentissant. En effet, «l'équilibre» n'est pas défini, ni les dimensions et le matériau utilisé pour le crayon, ni l'emplacement où «l'équilibrage» doit se produire.
Le matériau et la forme de la surface pour équilibrer le crayon on, ne sont pas spécifiés, ni la durée pendant laquelle il doit rester équilibré. Donc, si vous utilisez un «crayon» à pointe de titane, sur une planète / lune avec une force gravitationnelle 1/10 000 de la terre sans atmosphère, sur une surface faite d'un matériau «complémentaire» de telle sorte que la molécule de titane «rentre» dans un «trou» créé par les molécules complémentaires environnantes, alors «équilibrer» le «crayon» sera un jeu d'enfant.
Non. Premièrement, la pointe du crayon n'est généralement pas assez tranchante pour n'avoir qu'un seul atome. Les gens essaient de faire ce genre de pourboire dans les STM. Même si vous avez réussi à le rendre assez net, le graphite est si doux que le poids du crayon écrasera la pointe. Il ne restera pas un seul atome de large. Il n'y a donc aucun moyen d'équilibrer le crayon sur un seul atome car il n'y a pas de pointe d'atome unique.
Deuxièmement, même si vous obtenez une pointe de quelques atomes de large, il est impossible de faire un parfaitement symétrique crayon. Cette asymétrie peut être introduite de plusieurs manières. Lorsque vous affûtez le crayon, il y a un point auquel le bois forme une structure en forme d'étape (où se trouvait la lame lorsque vous avez arrêté d'affûter), ce qui rend la structure asymétrique. Si vous avez utilisé une machine CNC pour l'aiguiser, vous devrez vous demander si la peinture a été appliquée parfaitement, si le noyau en graphite a une densité uniforme et, plus important encore, si le bois est absolument uniforme. Habituellement, vous pouvez distinguer les deux types de bois au crayon simplement en regardant la différence de couleur.
En bref, «théoriquement» dans ce cas n'est pas réalisable simplement en refroidissant tout à zéro et en créant un vide. Le niveau de finition requis par le crayon lui-même est trop élevé pour ne plus l'appeler crayon.
DONNEZ-LE UN TOUR , avec le nombre de tours maximum possible pour un objet aussi massif. Faites l'expérience à l'ISS, bien au-dessus de la surface de la Terre.
Libérez le problème du problème de la «surface». Retirez la «surface» sous la pointe de l'atome - où est le soufflet sans gravité? - ou rapprocher la surface autant que vous le pouvez mais sans contact (le nuage électronique de l'atome empêche cela, donc la définition du «contact» est sensée, c'est-à-dire remplacer par un transfert d'impulsion).
La Terre n'est pas une sphère uniforme parfaite et l'expérience est sensible à ces changements. Alors déplacez l'expérience sur une orbite géostationnaire .
Je peux utiliser un ensemble de lasers pulsés contrôlés pour mettre le crayon en rotation, en même temps j'ai choisi d'aligner l'axe de rotation avec le centre de la Terre .
Je peux utiliser la lévitation magnétique ( effet Meissner - vidéo) pour contrer et contrôler automatiquement tout changement d'orientation.
Je ne peux pas faire de calcul réel du temps que l'installation reste en rotation - cela dépend du régime maximum - mais j'attends un temps très long, peut-être plusieurs années , tant que le liquide Il reste confiné (voir Herschel sort de l'observatoire spatial). Les autres réponses parlent de secondes?.
J'ai traduit l'OP théoriquement en: la meilleure configuration physique favorable.
Permettez-moi d'être le premier à répondre «Oui» (plus ou moins).
Comme le dit le proverbe:
En théorie, il n'y a pas de différence entre la théorie et entraine toi. En pratique, il y en a.
Ce que je veux dire, c'est qu'il y aura toujours des différences entre la théorie et la pratique, et qu'il appartient au physicien de décider quelles hypothèses / simplifications conviennent et lesquels ne le sont pas.
Par conséquent, si vous décrivez théoriquement votre crayon d'une manière suffisamment simple, par exemple mécanique classique, un vide, pas d'influences extérieures, ..., alors oui, dans cette théorie vous pourrez équilibrer un crayon sur sa pointe.
Cependant, en ce qui concerne cela vous envisagez déjà la nature atomique de la matière comme élément important de la théorie, il est probable que les autres effets que mes collègues ont mis en avant, et qui feront tomber le crayon, ne seront pas non plus négligeables. Par conséquent, dans ces théories, il est impossible d'équilibrer un crayon sur sa pointe.
Edit: Je pense que le vrai point pourrait être que «théoriquement» est au mieux mal défini, et au pire complètement absurde. Je vois deux interprétations:
Si le crayon était à zéro absolu, il supposerait nécessairement son état d'énergie le plus bas, qui n'est pas l'état vertical.
Si le crayon était modélisé comme un rotor quantique avec une barrière de potentiel infinie couvrant la moitié de son espace angulaire solide (ie le tableau) alors il y a certes des états excités mais stables où le crayon reste dans une position plus ou moins verticale.
S'il n'y avait pas le mot théorétique, la question pourrait simplement être répondue qu'il est practiquement impossible d'équilibrer un tel crayon. La pointe s'effondrerait sous la pression. Il est intrinsèquement instable et basculerait en quelques secondes, à cause des courants d'air, des vibrations, du mouvement brownien, de l'impact d'un seul photon. Etc etc.
Quand vous dites théoriquement , à quoi pensez-vous theory? Le contexte original de la question, tel que publié, était Newtonian Mechanics. Des balises pour la gestion de la qualité et le principe d'incertitude ont été ajoutées ultérieurement par d'autres, sans modifier la question elle-même pour supprimer les ambiguïtés.
Comme indiqué, la question est contradictoire et déroutante. Il demande à theorétiquement si le crayon peut s'équilibrer sur une pointe à un atome. Mais ensuite, il mentionne les précautions practical pour éviter les perturbations du monde réel telles que les courants d'air et (vraisemblablement) les vibrations thermiques du crayon. Les atomes et les vibrations thermiques font partie de la physique classique mais pas de la mécanique newtonienne, alors que signifie une pointe à un atome dans ce contexte?
Une autre difficulté est qu'il n'y a pas de définition de ce que signifie le crayon pour balance. Il serait très instable même si la pointe était un cône émoussé d'un atome de diamètre. Cependant, en théorie, nous pouvons positionner le crayon avec une précision suffisante pour qu'il faudrait un temps arbitrairement grand (par exemple l'âge de l'univers) pour basculer. (La précision de position requise serait d'un ordre de grandeur inférieure à la longueur de Planck, mais ce n'est pas une objection inhérente au modèle théorique de la mécanique newtonienne.) Inversement, si équilibré signifie que le crayon n'a pas commencé à basculer, alors il n'est jamais équilibré . En théorie, il est toujours en train de basculer.
Je suis donc d'accord avec Guill pour dire qu'theorétiquement, et avec une définition appropriée de équilibré , le crayon peut être équilibré.
Je suis également d'accord avec Daniel Sank pour dire que l'utilisation du principe Uncertainty pour calculer un temps maximum d'environ 3 secondes pendant lequel le crayon pourrait rester "équilibré" est trompeur. Parce que cela est proche des temps réalisés dans la pratique, cela donne la fausse impression que le crayon tombe à cause de la mécanique quantique, comme dans cette réponse à Expliquez pourquoi le comportement quantique n'est pas observé dans la vie quotidienne. Comme l'explique Floris, tout petit écart par rapport à l'équilibre parfait donnera un résultat similaire.
Peter Lynch (University College Dublin) montre dans Balancing a Pencil on its Point, mai 2014, que le crayon tombe en 3,72s si le principe d'incertitude est utilisé pour décider de l'incertitude initiale dans sa position, et en 2,51s si l'incertitude de position est arbitrairement choisie pour être la largeur 1 atome. Il conclut que «le basculement n'est pas un effet quantique». Toute valeur raisonnablement petite de l'incertitude - qu'elle soit de 0,1 mm ou 0,1 nm ou 0,1 fm - donne un temps d'environ 2-3 s. Le principe d'incertitude fixe une limite supérieure pour le temps, mais ce n'est pas la cause pratique du basculement.
Dans Le crayon à pointe mécanique quantique - une mise en garde pour les professeurs de physique, Don Easton de l'Université de Stony Brook utilise le principe d'incertitude pour estimer le temps maximum pendant lequel la COM du crayon pourrait rester dans son atome -size base à environ 10 $ ^ {12} $ s - soit environ 1 million d'années. Dans un autre calcul, il estime la même valeur pour le temps qu'il faut au crayon pour creuser son puits potentiel. Ce n'est que lorsque le modèle à pendule inversé du crayon est utilisé - avec son instabilité exponentielle - que la réponse est d'environ 3s.
voici une réponse courte et simple: l'hamiltonien du crayon peut être approché par un oscillateur harmonique inversé près de l'équilibre (parabole descendante). C'est un exercice facile à résoudre.