Contrairement à ce que suggère votre question, il n'est pas vrai que la vitesse varie indépendamment de la position. Une variation de position $ q \ mapsto q + \ delta q $ induit une variation de vitesse $ \ partial_t q \ mapsto \ partial_t q + \ partial_t (\ delta q) $ comme vous vous en doutez.

Le la seule chose qui peut paraître étrange est que $ q $ et $ \ partial_t q $ sont traités comme des variables indépendantes du lagrangien $ L (q, \ partial_t q) $. Mais ce n'est pas surprenant; après tout, si vous demandez "quelle est l'énergie cinétique d'une particule?", alors il ne suffit pas de connaître la position de la particule, il faut aussi connaître sa vitesse pour répondre à cette question.

En d'autres termes, vous pouvez choisir indépendamment la position et la vitesse comme conditions initiales , c'est pourquoi la fonction lagrangienne les traite comme indépendantes; mais le calcul de la variation ne les fait pas varier indépendamment , une variation de position induit une variation de vitesse adaptée.

La réponse à votre question principale est déjà donnée - vous ne faites pas varier la coordiante et la vitesse indépendamment. Mais il semble que votre problème principal soit d'utiliser les coordonnées et la vitesse comme variables indépendantes.

Permettez-moi de me référer à ce grand livre: "Applied Differential Geometry". Par William L. Burke. La toute première ligne du livre (où un auteur dit généralement à qui ce livre est consacré) est la suivante:

Il est vrai que de temps en temps les étudiants font posez cette question. Mais les tentatives pour l'expliquer «de haut en bas» ne conduisent généralement qu'à de plus en plus de questions. Il faut vraiment créer un ordre mathématique "ascendant" dans le sujet. Eh bien, comme le nom du livre l'indique, la discipline mathématique dont on a besoin est la géométrie différentielle.

Je ne peux pas raconter tous les détails, mais brièvement cela ressemble à ceci:

• Vous commencez avec un espace de configuration $ M $ de votre système. $ M $ est une variété (différentiable), et $ q $ sont les coordonnées de cette variété.
• Ensuite, il y a une procédure spécifique, qui vous permet d'ajouter toutes les "vitesses" possibles à chaque point donné de $ M $. Et vous arrivez au bundle tangent $ TM $, qui est aussi une variété, et ($ q $, $ \ dot {q} $) sont des coordonnées différentes dessus.
• Lagrangien est une fonction sur $ TM $.

Compte tenu de ce que Greg Graviton a écrit, je vais écrire la dérivation et voir si je peux lui donner un sens.

$$ S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} L (q, \ dot q, t) \, \ mathrm {d} t $$

où S est l'action et L le lagrangien. Nous varions le chemin et trouvons l'extremum de l'action:

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left ({\ partial L \ over \ partial q} \ delta q + {\ partial L \ over \ partial \ dot q} \ delta \ dot q \ right) \, \ mathrm {d} t = 0 \ ,. $$

Ici, q et $ \ dot q $ varient indépendamment. Mais ensuite, à l'étape suivante, nous utilisons cette identité,

$$ \ delta \ dot q = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ delta q. $$

Et c'est ici que la relation entre q et $ \ dot q $ entre dans l'image. Je pense que ce qui se passe ici, c'est que q et $ \ dot q $ sont traités comme indépendants au départ, mais ensuite l'indépendance est supprimée par l'identité.

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left ({\ partial L \ over \ partial q} \ delta q + {\ partial L \ over \ partial \ dot q} {d \ over \ mathrm {d} t} \ delta q \ right) \, \ mathrm {d} t = 0 $$

Et puis suit le reste de la dérivation. Nous intégrons le deuxième terme par parties:

$$ \ delta S = \ left [{\ partial L \ over \ partial \ dot q} \ delta q \ right] _ {t_1} ^ {t_2} + \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left ({\ partial L \ over \ partial q} - {d \ over dt} {\ partial L \ over \ partial \ dot q} \ right) \ delta q \, \ mathrm {d} t = 0 \ ,, $$

et l'expression entre crochets est égale à zéro car les points de terminaison sont maintenus fixes. Et puis nous pouvons extraire l'équation d'Euler-Lagrange:

$$ {\ partial L \ over \ partial q} - {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial L \ over \ partial \ dot q} = 0 \ ,. $$

Maintenant, cela a plus de sens pour moi. Vous commencez par traiter les variables comme indépendantes, puis supprimez l’indépendance en imposant une condition pendant la dérivation.

Je pense que cela a du sens. Je pense qu'en général, d'autres problèmes peuvent être traités de la même manière.

(J'ai copié les équations ci-dessus de Mechanics par Landau et Lifshitz.)

Voici ma réponse, qui est essentiellement une version étendue de la réponse de Greg Graviton.

La question de savoir pourquoi on peut traiter la position et la vitesse comme des variables indépendantes se pose dans la définition du lagrangien $ L $ lui-même, avant on utilise l'équation de mouvement, et avant on pense faire varier l'action $ S: = \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ L $, et n'a donc rien à voir avec le calcul des variations.

I) D'une part, considérons d'abord le rôle du lagrangien .On donne un instant de temps arbitraire mais fixe $ t_0 \ in [t_i, t_f] $. Le lagrangien (instantané) $ L (q (t_0), v (t_0), t_0) $ est une fonction à la fois de la position instantanée $ q (t_0) $ et de la vitesse instantanée $ v (t_0) $ à l'instant $ t_0 $. Ici, $ q (t_0) $ et $ v (t_0) $ sont des variables indépendantes . Notez que le lagrangien (instantané) $ L (q (t_0), v (t_0), t_0) $ ne dépend pas du passé $ t<t_0 $ ni du futur $ t>t_0 $. (On peut objecter que le profil de vitesse $ \ dot {q} \ equiv \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}: [t_i, t_f] \ to \ mathbb {R} $ est le dérivée du profil de position $ q: [t_i, t_f] \ to \ mathbb {R} $, alors comment $ q (t_0) $ et $ v (t_0) $ peuvent-ils être des variables vraiment indépendantes? Le point est que depuis l'équation de mouvement est de 2ème ordre, on est toujours en droit de faire 2 choix indépendants de conditions initiales: 1 position initiale et 1 vitesse initiale.) On peut répéter cet argument pour tout autre instant $ t_0 \ in [ t_i, t_f] \,. $

II) Par contre, considérons le calcul de variation. La fonctionnelle d'action $$ S [q] ~: = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f } \ mathrm {d} t \ L (q (t), \ dot {q} (t), t) \ tag {1} $$ dépend du chemin entier (peut-être virtuel) $ q: [t_i, t_f] \ vers \ mathbb {R} $. Ici, la dérivée temporelle $ \ dot {q} \ equiv \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t} $ dépend de la fonction $ q: [t_i, t_f ] \ to \ mathbb {R} \,. $ Extrémisation de l'action fonctionnelle

\ begin {align} 0 ~ = ~ \ delta S ~ & = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left. \ frac {\ partial L (q (t ), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ delta q (t) + \ left. \ frac { \ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ delta \ dot {q } (t) \ right] \\ & = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ delta q (t) + \ left. \ frac {\ partial L (q (t ), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ delta q (t) \ right] \\ & = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} - ​​\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ left (\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} ( t)} \ right) \ right] \ delta q (t) \ end {align} $$ + \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left [\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ point {q} (t)} \ delta q (t) \ right] \ tag {2} $$

avec ap des conditions aux limites appropriées mène à l ' équation d'Euler-Lagrange, qui est l' équation du mouvement.

$$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ left (\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ right) ~ = ~ \ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ { v (t) = \ dot {q} (t)} ~. \ tag {3} $$

III) Notez que

$$ \ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t} ~ = ~ \ dot {v} (t) \ frac {\ partial} {\ partial v (t)} + \ dot {q} (t) \ frac {\ partial} {\ partial q (t)} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ tag {4} $$

est un dérivé du temps total , pas un explicite dérivée temporelle $ \ frac {\ partial} {\ partial t} $, de sorte que l'équation d'Euler-Lagrange (3) est vraiment une équation différentielle ordinaire du second ordre (ODE),

$$ \ left (\ ddot {q} (t) \ frac {\ partial} {\ partial v (t)} + \ dot {q} (t) \ frac {\ partial} {\ partial q ( t)} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ right) \ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} ~ = ~ \ gauche. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} ~. \ tag {5} $$

Pour résoudre le chemin $ q: [t_i, t_f] \ to \ mathbb {R} $, il faut spécifier deux conditions initiales, par exemple $$ q (t_i ) ~ = ~ q_i \ qquad \ text {et} \ qquad \ dot {q} (t_i) ~ = ~ v_i. \ tag {6} $$

S'il est vrai que la fonction $ \ dot {q} (t) $ est le dérivé de la fonction $ q (t) $ w.r.t. temps, il n'est pas vrai que la valeur $ \ dot {q} $ soit du tout liée à la valeur $ q $ à un instant donné, puisqu'une valeur n'est qu'un nombre, pas une fonction. L'action est une fonctionnelle de $ q (t) $, et donc cela n'aurait aucun sens de faire varier l'action à la fois w.r.t. $ q $ et $ \ dot {q} $. Mais leLagrangien $ L (q, \ dot {q}) $ est une fonction des valeurs $ q $ et $ \ dot {q} $, pas une fonctionnelle des fonctions $ q (t) $ et $ \ dot {q } (t) $. On peut promouvoir $ L $ en fonction du temps si on branche $ q (t) $ et $ \ dot {q} (t) $ au lieu de seulement $ q $ et $ \ dot {q} $. (Rappelez-vous qu'une fonctionnelle transforme une fonction en un nombre, par exemple, $ S [q] $, alors qu'une fonction transforme une valeur en un nombre, par exemple, $ L (q, \ dot {q}) $.

Pour résoudre pour $ q (t) $, nous extrémisons l'action $ S $, en exigeant qu'elle soit extrémale en tout point, $ t $. Cela équivaut à résoudre les équations d'Euler-Lagrange en chaque point $ t $. Puisque à tout moment $ t $ les valeurs $ q $ et $ \ dot {q} $ sont indépendantes, elles peuvent être modifiées indépendamment.

La dérivée d'une fonction $ f (t) $ est la fonction $ \ dot {f} (t) $ en général différente de $ f $, et dans le cas général les deux ne sont même pas linéairement dépendantes, ce qui est simple à voir si vous prenez l'extension Taylor. Ce n'est qu'après avoir défini des équations différentielles avec elles qu'elles sont liées algébriquement, et c'est ce que fait le calcul des variations.

Si nous avons une fonction $ f (x, v) $ , les dérivées partielles sont définies par $$ \ frac {\ partial f (x, v)} {\ partial x} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h, v) -f (x, v)} {h} $$ et $$ \ frac {\ partial f (x, v)} {\ partial v} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x , v + h) -f (x, v)} {h} $$ Ceci implique, par exemple, pour $ f = v ^ 2 $ que $$ \ frac {\ partial v ^ 2} {\ partial x} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {v ^ 2-v ^ 2} {h } = 0. $$ De plus, pour $ v = \ frac {dx} {dt} $ nous trouvons que $ x \ to x + h $ implique $ v = \ frac {dx} {dt} \ to v '= \ frac {d (x + h) } {dt} = \ frac {dx} {dt} = v $ . Ainsi $$ \ frac {\ partial \ frac {dx} {dt} ^ 2} {\ partial x} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ frac { dx} {dt} ^ 2- \ frac {dx} {dt} ^ 2} {h} = 0. $$ Il est donc logique de considérer les dérivées partielles du lagrangien par rapport à $ x $ et $ v $ séparément et en ce sens les traiter indépendamment.

En termes plus physiques, rappelons que notre objectif dans le formalisme lagrangien est de trouver le chemin correct dans l'espace de configuration entre deux emplacements fixes. Un chemin est caractérisé par un emplacement et une vitesse à chaque instant. Nous sommes aussi généraux que possible et considérons vraiment tous les chemins possibles. Cela implique que nous considérons tous les appariements possibles d'emplacements et de vitesses. Le chemin physique classique est spécial pour deux raisons:

• c'est une solution de l'équation d'Euler-Lagrange (= extremum de l'action)
• les emplacements et les vitesses à chaque instant dans le temps sont liés par $ v \ equiv \ frac {dq} {dt} $ .(Si vous le souhaitez, $ v \ equiv \ frac {dq} {dt} $ est la deuxième équation dont nous avons besoin dans le formalisme lagrangien analogue à la façon dont il y a deux Hamiltonéquations dans le formalisme hamiltonien. La deuxième équation de Hamilton définit la quantité de mouvement canonique comme un dérivé du lagrangien. Pour les chemins généraux dans l’espace des phases, tout appariement de l’emplacement et de la quantité de mouvement est possible.donné comme le dérivé approprié du lagrangien.)