Question:
Calcul des variations - comment est-il judicieux de faire varier la position et la vitesse indépendamment?
grizzly adam
2010-11-16 11:50:57 UTC
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Dans le calcul des variations, en particulier de la mécanique lagrangienne, les gens disent souvent que nous faisons varier la position et la vitesse indépendamment. Mais la vitesse est la dérivée de la position, alors comment pouvez-vous les traiter comme des variables indépendantes?

Pourriez-vous clarifier un peu, s'il vous plaît? Le calcul des variations en lui-même est un sujet mathématique, alors quelle application physique particulière avez-vous en tête? Voulez-vous dire quelque chose du genre "Est-il judicieux d'appliquer les équations d'Euler-Lagrange au problème de la minimisation d'une action, étant donné que cela nécessite de traiter la position et la vitesse comme des variables indépendantes, alors que physiquement, si vous connaissez la position comme un fonction du temps, la vitesse est complètement spécifiée? "
Superbe question posée sur le fondement même de tout ce que nous calculons. En outre - provoquant de grandes réponses. Vous êtes les bienvenus pour partager vos doutes avec nous @grizzly adam :) Salutations
Connexes: https://physics.stackexchange.com/q/60706/, https://physics.stackexchange.com/q/119992/
Je m'inquiète à ce sujet depuis des années, cela m'a arrêté net en essayant d'apprendre les mathématiques appliquées et j'ai rencontré de très bons mathématiciens purs qui étaient également troublés. Une explication qui a un sens pour moi est dans le livre bon marché "Mécanique classique - le minimum théorique" qui utilise une approche infinitésimale semblable à une école, répondant à mon avis à une question que l'auteur ne pose pas réellement. Merci d'avoir posté cette question.
Question connexe sur Math.SE: https://math.stackexchange.com/q/1798396/11127
Sept réponses:
#1
+77
Greg Graviton
2010-11-16 15:01:59 UTC
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Contrairement à ce que suggère votre question, il n'est pas vrai que la vitesse varie indépendamment de la position. Une variation de position $ q \ mapsto q + \ delta q $ induit une variation de vitesse $ \ partial_t q \ mapsto \ partial_t q + \ partial_t (\ delta q) $ comme vous vous en doutez.

Le la seule chose qui peut paraître étrange est que $ q $ et $ \ partial_t q $ sont traités comme des variables indépendantes du lagrangien $ L (q, \ partial_t q) $. Mais ce n'est pas surprenant; après tout, si vous demandez "quelle est l'énergie cinétique d'une particule?", alors il ne suffit pas de connaître la position de la particule, il faut aussi connaître sa vitesse pour répondre à cette question.

En d'autres termes, vous pouvez choisir indépendamment la position et la vitesse comme conditions initiales , c'est pourquoi la fonction lagrangienne les traite comme indépendantes; mais le calcul de la variation ne les fait pas varier indépendamment , une variation de position induit une variation de vitesse adaptée.

Pour être plus précis: il ne s'agit pas seulement de devoir choisir des conditions initiales indépendantes.Les vitesses et les positions en tant que coordonnées sont toujours indépendantes * sauf si * nous sommes sur une solution de l'équation du mouvement.Autrement dit, $ v ^ j = \ dot {q} ^ j $ uniquement sur les trajectoires qui résolvent les équations d'Euler-Lagrangiennes.Sur ceux-ci, les variations de la première impliquent des variations de la seconde.Ailleurs, ils ne sont pas liés.
Veuillez expliquer les premières lignes.La position et la vitesse sont indépendantes.Ils ne dépendent explicitement que du temps.Ils dépendent bien sûr implicitement les uns des autres mais pas du tout explicitement.Vous ne pouvez pas changer v en changeant simplement x.Lorsque vous changez x, il est entendu que t change.C'est à cause de ce changement de t que v change.Essentiellement la dérivée de partialité de v avec x est 0 mais la dérivée de v avec x n'est pas 0. C'est pourquoi, je pense que nous n'appliquons aucune "règle de chaîne" ici!
@Shashaank la dérivée de v par rapport à x ** est ** 0.
La dérivée partielle @jak n'est pas la dérivée totale
@Shashaank oui.Vous avez mentionné le dérivé partiel dans votre commentaire, alors j'ai pensé que ce serait clair.
@jak oui c'est clair ce qui ne l'est pas, c'est que ces réponses bien notées ne mentionnent tout simplement pas cette réponse en 1 ligne
@Shashaank ouais, je n'en ai aucune idée.
@Greg Graviton Donc, selon votre réponse, si je peux choisir l'accélération de manière indépendante, sera-t-elle également traitée comme une variable indépendante?
@Theoretical En principe, le lagrangien peut également dépendre de l'accélération, par ex.être représenté par une fonction $ L (q, v, a) $ où $ q, v, a $ sont des variables indépendantes.Cependant, il n'est évalué que sur les courbes $ q (t) $ où $ q \ equiv q (t) $, $ v \ equiv \ partial_t q (t) $ et $ a \ equiv \ partial ^ 2_t q (t) $.
#2
+39
Kostya
2011-01-14 23:03:40 UTC
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La réponse à votre question principale est déjà donnée - vous ne faites pas varier la coordiante et la vitesse indépendamment. Mais il semble que votre problème principal soit d'utiliser les coordonnées et la vitesse comme variables indépendantes.

Permettez-moi de me référer à ce grand livre: "Applied Differential Geometry". Par William L. Burke. La toute première ligne du livre (où un auteur dit généralement à qui ce livre est consacré) est la suivante:

William Burke

Il est vrai que de temps en temps les étudiants font posez cette question. Mais les tentatives pour l'expliquer «de haut en bas» ne conduisent généralement qu'à de plus en plus de questions. Il faut vraiment créer un ordre mathématique "ascendant" dans le sujet. Eh bien, comme le nom du livre l'indique, la discipline mathématique dont on a besoin est la géométrie différentielle.

Je ne peux pas raconter tous les détails, mais brièvement cela ressemble à ceci:

  • Vous commencez avec un espace de configuration $ M $ de votre système. $ M $ est une variété (différentiable), et $ q $ sont les coordonnées de cette variété.
  • Ensuite, il y a une procédure spécifique, qui vous permet d'ajouter toutes les "vitesses" possibles à chaque point donné de $ M $. Et vous arrivez au bundle tangent $ TM $, qui est aussi une variété, et ($ q $, $ \ dot {q} $) sont des coordonnées différentes dessus.
  • Lagrangien est une fonction sur $ TM $.
J'ai ce livre et j'ai essayé de le lire. Mais il manque de définitions claires, et je l'ai trouvé plus frustrant qu'éclairant. De plus, je ne pense pas qu'il soit nécessaire de connaître la géométrie différentielle pour comprendre le calcul des variations. C'est comme dire que vous ne pouvez comprendre l'arithmétique que si vous connaissez la théorie des ensembles.
Tout d'abord, comme je l'ai dit, vous mélangez deux points différents: sur les calculs variationnels et sur l'indépendance des vitesses et des coordonnées. Deuxièmement - je n'ai pas dit qu'il fallait lire un seul livre pour comprendre DG.
Je pense que pour vraiment apprécier la mécanique lagrangienne et hamiltonienne, vous devez ** comprendre ** une géométrie différentielle.Arnold dit dans son livre * Mathematical Methods of Classical Mechanics * que «la mécanique hamiltonienne ne peut être comprise sans formes différentielles».Ce livre, en passant, vous apprendra la géométrie différentielle dont vous avez besoin pour commencer, en supposant juste quelques calculs.
#3
+23
grizzly adam
2010-11-17 12:19:39 UTC
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Compte tenu de ce que Greg Graviton a écrit, je vais écrire la dérivation et voir si je peux lui donner un sens.

$$ S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} L (q, \ dot q, t) \, \ mathrm {d} t $$

où S est l'action et L le lagrangien. Nous varions le chemin et trouvons l'extremum de l'action:

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left ({\ partial L \ over \ partial q} \ delta q + {\ partial L \ over \ partial \ dot q} \ delta \ dot q \ right) \, \ mathrm {d} t = 0 \ ,. $$

Ici, q et $ \ dot q $ varient indépendamment. Mais ensuite, à l'étape suivante, nous utilisons cette identité,

$$ \ delta \ dot q = {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} \ delta q. $$

Et c'est ici que la relation entre q et $ \ dot q $ entre dans l'image. Je pense que ce qui se passe ici, c'est que q et $ \ dot q $ sont traités comme indépendants au départ, mais ensuite l'indépendance est supprimée par l'identité.

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left ({\ partial L \ over \ partial q} \ delta q + {\ partial L \ over \ partial \ dot q} {d \ over \ mathrm {d} t} \ delta q \ right) \, \ mathrm {d} t = 0 $$

Et puis suit le reste de la dérivation. Nous intégrons le deuxième terme par parties:

$$ \ delta S = \ left [{\ partial L \ over \ partial \ dot q} \ delta q \ right] _ {t_1} ^ {t_2} + \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left ({\ partial L \ over \ partial q} - {d \ over dt} {\ partial L \ over \ partial \ dot q} \ right) \ delta q \, \ mathrm {d} t = 0 \ ,, $$

et l'expression entre crochets est égale à zéro car les points de terminaison sont maintenus fixes. Et puis nous pouvons extraire l'équation d'Euler-Lagrange:

$$ {\ partial L \ over \ partial q} - {\ mathrm {d} \ over \ mathrm {d} t} {\ partial L \ over \ partial \ dot q} = 0 \ ,. $$

Maintenant, cela a plus de sens pour moi. Vous commencez par traiter les variables comme indépendantes, puis supprimez l’indépendance en imposant une condition pendant la dérivation.

Je pense que cela a du sens. Je pense qu'en général, d'autres problèmes peuvent être traités de la même manière.

(J'ai copié les équations ci-dessus de Mechanics par Landau et Lifshitz.)

Eh bien, au lieu de dire "$ q $ et $ \ point q $ varient indépendamment", vous pourriez aussi dire "$ q $ et $ \ point q $ sont variés (peut-être indépendamment, peut-être pas)" et noter plus tard que la variation $ \ delta \ dot q $ est donné par $ \ delta \ dot q = \ frac d {dt} \ delta q $.
La notation des arguments $ L $ est quelque peu déroutante, auquel cas il est instructif de considérer l'exemple suivant: prendre $ F (x, 2x-y) $ et varier $ F (x + \ delta x, 2 (x + \ delta x) -y) = \ frac {\ partial F} {\ partial x} \ delta x + \ frac {\ partial F} {\ partial (2x-y)} 2 \ delta x $. Vous pourriez dire que les arguments de $ F $ varient indépendamment, mais cela semble étrange. Si quoi que ce soit, c'est juste que la notation des dérivées partielles de $ F $ est mauvaise; il vaut mieux écrire $ F (u, v) $ et $ (u, v) = (x, 2x-y) $ pour obtenir $ \ delta F = \ frac {\ partial F} {\ partial u} \ delta u + \ frac {\ partial F} {\ partial v} \ delta v $
... et d'exprimer les variations $ \ delta u $ et $ \ delta v $ en termes de $ \ delta x $ par la suite.
Oui, la notation prête à confusion. C'est un autre problème.
Landau est un grand physicien mathématicien mais il n'est pas connu comme un simple écrivain :-)
"Pas un mot de Landau, pas une pensée de Lifshitz."
@grizzlyadam donc au final, ils ne sont pas indépendants mais peuvent être traités autant car les mathématiques le prouvent, non?
#4
+16
Qmechanic
2011-03-30 21:38:39 UTC
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Voici ma réponse, qui est essentiellement une version étendue de la réponse de Greg Graviton.

La question de savoir pourquoi on peut traiter la position et la vitesse comme des variables indépendantes se pose dans la définition du lagrangien $ L $ lui-même, avant on utilise l'équation de mouvement, et avant on pense faire varier l'action $ S: = \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ L $, et n'a donc rien à voir avec le calcul des variations.

I) D'une part, considérons d'abord le rôle du lagrangien .On donne un instant de temps arbitraire mais fixe $ t_0 \ in [t_i, t_f] $. Le lagrangien (instantané) $ L (q (t_0), v (t_0), t_0) $ est une fonction à la fois de la position instantanée $ q (t_0) $ et de la vitesse instantanée $ v (t_0) $ à l'instant $ t_0 $. Ici, $ q (t_0) $ et $ v (t_0) $ sont des variables indépendantes . Notez que le lagrangien (instantané) $ L (q (t_0), v (t_0), t_0) $ ne dépend pas du passé $ t<t_0 $ ni du futur $ t>t_0 $. (On peut objecter que le profil de vitesse $ \ dot {q} \ equiv \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}: [t_i, t_f] \ to \ mathbb {R} $ est le dérivée du profil de position $ q: [t_i, t_f] \ to \ mathbb {R} $, alors comment $ q (t_0) $ et $ v (t_0) $ peuvent-ils être des variables vraiment indépendantes? Le point est que depuis l'équation de mouvement est de 2ème ordre, on est toujours en droit de faire 2 choix indépendants de conditions initiales: 1 position initiale et 1 vitesse initiale.) On peut répéter cet argument pour tout autre instant $ t_0 \ in [ t_i, t_f] \,. $

II) Par contre, considérons le calcul de variation. La fonctionnelle d'action $$ S [q] ~: = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f } \ mathrm {d} t \ L (q (t), \ dot {q} (t), t) \ tag {1} $$ dépend du chemin entier (peut-être virtuel) $ q: [t_i, t_f] \ vers \ mathbb {R} $. Ici, la dérivée temporelle $ \ dot {q} \ equiv \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t} $ dépend de la fonction $ q: [t_i, t_f ] \ to \ mathbb {R} \,. $ Extrémisation de l'action fonctionnelle

\ begin {align} 0 ~ = ~ \ delta S ~ & = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left. \ frac {\ partial L (q (t ), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ delta q (t) + \ left. \ frac { \ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ delta \ dot {q } (t) \ right] \\ & = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ delta q (t) + \ left. \ frac {\ partial L (q (t ), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ delta q (t) \ right] \\ & = ~ \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ left [\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} - ​​\ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ left (\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} ( t)} \ right) \ right] \ delta q (t) \ end {align} $$ + \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathrm {d} t \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t} \ left [\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ point {q} (t)} \ delta q (t) \ right] \ tag {2} $$

avec ap des conditions aux limites appropriées mène à l ' équation d'Euler-Lagrange, qui est l' équation du mouvement.

$$ \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm {d} t} \ left (\ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} \ right) ~ = ~ \ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ { v (t) = \ dot {q} (t)} ~. \ tag {3} $$

III) Notez que

$$ \ frac {\ mathrm {d }} {\ mathrm {d} t} ~ = ~ \ dot {v} (t) \ frac {\ partial} {\ partial v (t)} + \ dot {q} (t) \ frac {\ partial} {\ partial q (t)} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ tag {4} $$

est un dérivé du temps total , pas un explicite dérivée temporelle $ \ frac {\ partial} {\ partial t} $, de sorte que l'équation d'Euler-Lagrange (3) est vraiment une équation différentielle ordinaire du second ordre (ODE),

$$ \ left (\ ddot {q} (t) \ frac {\ partial} {\ partial v (t)} + \ dot {q} (t) \ frac {\ partial} {\ partial q ( t)} + \ frac {\ partial} {\ partial t} \ right) \ left. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial v (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} ~ = ~ \ gauche. \ frac {\ partial L (q (t), v (t), t)} {\ partial q (t)} \ right | _ {v (t) = \ dot {q} (t)} ~. \ tag {5} $$

Pour résoudre le chemin $ q: [t_i, t_f] \ to \ mathbb {R} $, il faut spécifier deux conditions initiales, par exemple $$ q (t_i ) ~ = ~ q_i \ qquad \ text {et} \ qquad \ dot {q} (t_i) ~ = ~ v_i. \ tag {6} $$

Je ne pense pas que la question de traiter la position et la vitesse comme des variables indépendantes se pose dans le contexte du lagrangien mais la mécanique lagrangienne est construite parce que les 2 sont indépendants.
La position et la vitesse sont indépendantes.Ils ne dépendent explicitement que du temps.Ils dépendent bien sûr implicitement les uns des autres mais pas du tout explicitement.Vous ne pouvez pas changer v en changeant uniquement x.Lorsque vous changez x, il est entendu que t change.C'est à cause de ce changement de t que v change.Essentiellement la dérivée de partialité de v avec x est 0 mais la dérivée de v avec x n'est pas 0. C'est pourquoi, je pense que nous n'appliquons aucune "règle de chaîne" ici!Parce que de toute façon si nous obtenons la même réponse que la dérivée partielle de v avec x est 0 .......
Si vous pensez que les réponses actuelles laissent certaines pierres non retournées, envisagez d'expliquer le problème (de manière autonome) dans une réponse séparée.
#5
+7
Ben
2011-01-14 21:47:58 UTC
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S'il est vrai que la fonction $ \ dot {q} (t) $ est le dérivé de la fonction $ q (t) $ w.r.t. temps, il n'est pas vrai que la valeur $ \ dot {q} $ soit du tout liée à la valeur $ q $ à un instant donné, puisqu'une valeur n'est qu'un nombre, pas une fonction. L'action est une fonctionnelle de $ q (t) $, et donc cela n'aurait aucun sens de faire varier l'action à la fois w.r.t. $ q $ et $ \ dot {q} $. Mais leLagrangien $ L (q, \ dot {q}) $ est une fonction des valeurs $ q $ et $ \ dot {q} $, pas une fonctionnelle des fonctions $ q (t) $ et $ \ dot {q } (t) $. On peut promouvoir $ L $ en fonction du temps si on branche $ q (t) $ et $ \ dot {q} (t) $ au lieu de seulement $ q $ et $ \ dot {q} $. (Rappelez-vous qu'une fonctionnelle transforme une fonction en un nombre, par exemple, $ S [q] $, alors qu'une fonction transforme une valeur en un nombre, par exemple, $ L (q, \ dot {q}) $.

Pour résoudre pour $ q (t) $, nous extrémisons l'action $ S $, en exigeant qu'elle soit extrémale en tout point, $ t $. Cela équivaut à résoudre les équations d'Euler-Lagrange en chaque point $ t $. Puisque à tout moment $ t $ les valeurs $ q $ et $ \ dot {q} $ sont indépendantes, elles peuvent être modifiées indépendamment.

#6
+2
auxsvr
2014-04-03 12:29:02 UTC
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La dérivée d'une fonction $ f (t) $ est la fonction $ \ dot {f} (t) $ en général différente de $ f $, et dans le cas général les deux ne sont même pas linéairement dépendantes, ce qui est simple à voir si vous prenez l'extension Taylor. Ce n'est qu'après avoir défini des équations différentielles avec elles qu'elles sont liées algébriquement, et c'est ce que fait le calcul des variations.

#7
+2
jak
2019-12-29 15:53:16 UTC
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Si nous avons une fonction $ f (x, v) $ , les dérivées partielles sont définies par $$ \ frac {\ partial f (x, v)} {\ partial x} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h, v) -f (x, v)} {h} $$ et $$ \ frac {\ partial f (x, v)} {\ partial v} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x , v + h) -f (x, v)} {h} $$ Ceci implique, par exemple, pour $ f = v ^ 2 $ que $$ \ frac {\ partial v ^ 2} {\ partial x} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {v ^ 2-v ^ 2} {h } = 0. $$ De plus, pour $ v = \ frac {dx} {dt} $ nous trouvons que $ x \ to x + h $ implique $ v = \ frac {dx} {dt} \ to v '= \ frac {d (x + h) } {dt} = \ frac {dx} {dt} = v $ . Ainsi $$ \ frac {\ partial \ frac {dx} {dt} ^ 2} {\ partial x} \ equiv \ lim_ {h \ to 0} \ frac {\ frac { dx} {dt} ^ 2- \ frac {dx} {dt} ^ 2} {h} = 0. $$ Il est donc logique de considérer les dérivées partielles du lagrangien par rapport à $ x $ et $ v $ séparément et en ce sens les traiter indépendamment.


En termes plus physiques, rappelons que notre objectif dans le formalisme lagrangien est de trouver le chemin correct dans l'espace de configuration entre deux emplacements fixes. Un chemin est caractérisé par un emplacement et une vitesse à chaque instant. Nous sommes aussi généraux que possible et considérons vraiment tous les chemins possibles. Cela implique que nous considérons tous les appariements possibles d'emplacements et de vitesses. Le chemin physique classique est spécial pour deux raisons:

  • c'est une solution de l'équation d'Euler-Lagrange (= extremum de l'action)
  • les emplacements et les vitesses à chaque instant dans le temps sont liés par $ v \ equiv \ frac {dq} {dt} $ .(Si vous le souhaitez, $ v \ equiv \ frac {dq} {dt} $ est la deuxième équation dont nous avons besoin dans le formalisme lagrangien analogue à la façon dont il y a deux Hamiltonéquations dans le formalisme hamiltonien. La deuxième équation de Hamilton définit la quantité de mouvement canonique comme un dérivé du lagrangien. Pour les chemins généraux dans l’espace des phases, tout appariement de l’emplacement et de la quantité de mouvement est possible.donné comme le dérivé approprié du lagrangien.)


Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 2.0 sous laquelle il est distribué.
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