Question:
Théorie des nombres en physique
crskhr
2010-11-09 17:45:38 UTC
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En tant qu'étudiant diplômé en mathématiques, je m'intéresse à la théorie des nombres. Je suis curieux de savoir si la théorie des nombres a des connexions ou des applications à la physique. Je n'ai même jamais entendu parler d'applications de la théorie des nombres à la physique. J'ai entendu des applications de l'algèbre linéaire et de l'analyse à de nombreuses branches de la physique, mais pas à la théorie des nombres.

En attendant de recevoir des réponses intéressantes!

Bonne question, je me posais la même question lorsque j'écrivais une question ou une réponse récemment. J'ai dû supprimer la théorie des nombres parce que j'ai réalisé que je ne connaissais aucun lien évident avec la physique.
Question connexe sur TP.SE: http://theoreticalphysics.stackexchange.com/q/609/189 maintenant http://physics.stackexchange.com/q/26856/2451
Comme si la fonction Riemann Zeta n'était pas déjà assez cool, elle a de nombreuses applications à la physique. La température à laquelle la matière change de phase pour devenir un condensat de Bose-Einstein utilise $ \ zeta (3/2) $ dans son calcul. Cela peut également être intéressant: http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function#Specific_values
Dans les moteurs à cage d'écureuil, les barres sont utilisées en nombres premiers.
@WaqarAhmad: Ce n'est pas vraiment de la physique - c'est plus de l'ingénierie.
Des groupes apparaissent partout (formes cristallographiques, familles de particules ...) et le nombre de groupes possibles, ou leurs tailles (voir le nombre de symétries possibles en 3D) sont généralement étroitement liés à la théorie des nombres.
Le chaos quantique a des liens profonds avec l'hypothèse de Riemann: http://www.ams.org/samplings/math-history/prime-chaos.pdf
Si vous êtes intéressé par la théorie analytique des nombres, regardez l'article [Série Eisenstein pour les groupes de rang supérieur et les amplitudes de la théorie des cordes] (http://arxiv.org/abs/1004.0163) par [Michael Green] (http: // www.damtp.cam.ac.uk / people / mbgreen /) (l'un des fondateurs de la théorie des cordes), [Stephen Miller] (http://www.math.rutgers.edu/~sdmiller/) (un théoricien des nombres), [Jorge Russo] (http://www.ecm.ub.es/usuari.php?email=jrusso) (physicien) et [Pierre Vanhove] (https://sites.google.com/site/vanhovepierre /) (physicien).
Voici un lien de journal (divulgation complète: je suis sur le comité de rédaction).[Communications en théorie et physique des nombres] (http://www.intlpress.com/CNTP/)
Voici un bel article d'une chaîne d'information: - http://www.sciencemag.org/content/274/5295/2014.full
Sept réponses:
#1
+44
Daniel
2010-11-10 12:04:57 UTC
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Je ne suis pas sûr de pouvoir publier tous les liens que je souhaite (pas encore assez de «points de réputation»), mais j'essaierai de pointer vers les principales références que je connais.

Matilde Marcolli a un joli article intitulé " Théorie des nombres en physique" expliquant les différents endroits de la physique où la théorie des nombres apparaît.

[Tangentiellement, il y a un article de Christopher Deninger intitulé " Quelques analogies entre la théorie des nombres et les systèmes dynamiques sur les espaces foliés" qui peut ouvrir des fenêtres sur ce thème: après tout, les systèmes locaux sont à la base d'une grande partie de la physique moderne (formulations groupées, etc).]

Il existe un site Web appelé " Théorie des nombres et archives de physique" qui contient une vaste collection de liens vers des œuvres dans cette interface.

Monsieur Michael Atiyah vient de donner une conférence (la semaine dernière) à la conférence inaugurale du Simons Center, parlant de l'interaction récente entre la physique et les mathématiques. Et il a clôturé son discours en spéculant sur le lien entre la gravité quantique et l'hypothèse de Riemann. Il était censé donner une conférence à l'IAS sur ce dernier sujet, mais elle a été annulée.

Pour terminer, permettez-moi d'apporter la Langlands Duality à la table: c'est liés aux formes modulaires et, à ce titre, à la théorie des nombres. (Version Cavalier: Pensez à l'intégrale de chemin QFT comme ayant une symétrie de Möbius par rapport aux constantes de couplage dans le lagrangien.)

Avec cela à l'écart, je pense que le meilleur angle pour voir la connexion entre La théorie des nombres et la physique consiste à penser le problème de physique d'une manière différente: pensez aux points critiques du potentiel et à ce qu'ils signifient dans l'espace des phases (flux hamiltonien et / ou géodésique: Jacobi s'est converti en un autre; pensez aux champs de Jacobi en Géométrie différentielle), pensez à la façon dont cela se joue dans QFT, pensez aux espaces de modules et à sa connexion avec ce qui précède. C'est un peu comme ça que je vois ce framework ... ;-)

Bienvenue, Daniel, merci pour le partage. Vous devriez pouvoir les publier maintenant. Je suis content d'avoir un chercheur dans les parages! Oh, ton blog est en portugais, tant pis (pour moi).
Merci Mark - cela aide vraiment (je pensais que mon score de réputation serait "transféré" de certains des autres sites StackExchange que j'ai déjà utilisés, mais ...). ;-) Bref, comme pour pt_BR, essayez Google Translate: pas parfait mais, ça vous donne une saveur. 8-)
une fois que vous obtenez 200 points de réputation ou plus sur un site Stack Exchange, vous obtiendrez un bonus de +100 rep lorsque vous associez un compte sur un autre site SE à celui-ci. C'est peut-être ce à quoi tu pensais.
#2
+16
j.c.
2010-11-10 03:54:07 UTC
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Une idée semi-idiote que j'ai lue est le gaz Primon, un modèle où la fonction zêta de Riemann apparaît comme la fonction de partition d'un système mécanique statistique quantique.

Plus sérieusement, jetez un œil aux articles de Yuri Manin et Matilde Marcolli sur l'hep-th arxiv, qui tentent de relier le principe holographique à la géométrie arithmétique. Je pense qu'il y a beaucoup d'espoir que les techniques de physique inspirées par la théorie quantique des champs et la théorie des cordes puissent avoir des applications à diverses branches des mathématiques, y compris la théorie des nombres (pour ce genre de choses, je ne peux pas faire mieux que de vous indiquer les écrits de John Baez) - Je ne suis pas aussi au courant des applications de la théorie des nombres au type de physique qui peut être testé expérimentalement (même si j'aimerais être corrigé).

Un exemple sans rapport - Freeman Dyson a fait de vagues spéculations sur les quasi-cristaux et l'hypothèse de Riemann, vous pouvez lire à ce sujet avec une histoire divertissante dans cet article.

Le gaz primon n'est pas idiot, juste sous-développé. C'est la raison pour laquelle les gens pensent que l'hypothèse de Riemann a quelque chose à voir avec les valeurs propres des matrices aléatoires et le théorème du cercle de Lee Yang.
Autant que je sache, le gaz primon jusqu'à présent n'a pas été rigoureusement lié à la conjecture de Hilbert-Polya à laquelle vous faites référence (en particulier, les opérateurs conjecturés dans ce dernier ne ressemblent en rien à l '«hamiltonien» du gaz primon). Veuillez me corriger si je me trompe.
@j.c .--- vous n'avez pas tort, il n'y a pas beaucoup de rigueur dans ces choses. Mais la principale raison pour laquelle les opérateurs ne se ressemblent pas est que le gaz "primon" est dans le régime du nombre d'occupation infini dans la bande critique. Il n'y a pas de conjectures solides pour l'hamiltonien de Hilber-Polya dans la bande infinie, pour autant que je sache. L'activité primon-gas est surtout utile pour refondre les identités standard de la fonction zêta afin qu'elles deviennent évidentes pour quelqu'un qui connaît la mécanique statistique.
#3
+10
grautur
2011-06-20 10:11:36 UTC
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Il y a un article fantastique sur la relation entre l'hypothèse de Riemann et le "chaos quantique" à www.msri.org/ext/Emissary/EmissarySpring02.pdf (commence à la page 1, continue à la page 12) ).

Voici un extrait (rappelez-vous que la conjecture de Montgomery est une conjecture sur le nombre attendu de zéros de la fonction zêta de Riemann qui suivent un zéro dans un intervalle d'une certaine longueur):

Montgomery a été surpris de découvrir que Dyson connaissait très bien la fonction plutôt compliquée apparaissant dans la conjecture de Montgomery, et la savait même dans le contexte de la comparaison des écarts entre les points avec l'écart moyen. Cependant, voici la chose étonnante: ce n’était pas de la théorie des nombres que Dyson connaissait cette fonction mais de la mécanique quantique. C'est précisément la fonction que Dyson lui-même avait trouvée une décennie plus tôt en modélisant les niveaux d'énergie dans des systèmes dynamiques complexes en adoptant un point de vue en physique quantique. On pense maintenant que les mêmes statistiques décrivent les niveaux d'énergie des systèmes chaotiques; en d'autres termes, le chaos quantique!

L'article décrit également d'autres connexions surprenantes, entre différentes fonctions zêta et les niveaux d'énergie d'autres types de systèmes chaotiques. Au lieu de les copier ici (je ne peux pas les résumer, car je ne les comprends pas bien moi-même), je terminerai par une citation de l'article:

En résumé, le un développement plus intuitif du chaos quantique permet des prédictions plus fructueuses sur la distribution des nombres premiers (et au-delà). D'un autre côté, le développement plus prudent de la théorie des nombres premiers conduit à des prédictions plus précises dans le chaos quantique.

#4
+6
lurscher
2012-12-19 00:36:46 UTC
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Je n'étais pas au courant de cela jusqu'à très récemment, lorsque j'ai lu avec désinvolture cet article sur les expressions Ramanujan pour les formes modulaires (qui sont une forme de fonctions holomorphes qui laissent certains treillis invariants, et qui sont étudiés pour leurs applications en théorie des nombres). Apparemment, il y a quelque chose appelé "trous noirs modulaires" dont je n'ai pas la moindre idée de quoi il s'agit, mais il mentionne qu'ils sont thermodynamiquement proches des trous noirs normaux, ils peuvent donc être utilisés pour calculer certaines fonctions de brouillage de l'horizon des événements degrés de liberté

Je préférerais que quelqu'un fournisse une réponse faisant autorité mentionnant plus de détails à ce sujet, car mes divagations sont plus ou moins extraites sans modification de l'article. J'espère que quelqu'un qui comprend vraiment cela sera assez ennuyé par ma réponse et en donnera une vraie.

#5
+5
Marcel
2011-02-13 08:48:13 UTC
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Je suis sur de la glace mince ici, mais je sais que les personnes en théorie des nombres étudient les formes modulaires, et cela est lié aux fonctions de partition par exemple de la théorie des champs conformes.

#6
+3
NitinCR
2011-09-19 01:21:08 UTC
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Le 2 volumes " Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry ", édité par Cartier et al est une grande collection d'articles.

Mon autre suggestion serait de jeter un œil à cette page (atelier "Théorie des nombres et physique à la croisée des chemins" tenu à Banff) - la moitié inférieure de la page répertorie un nombre important de ces domaines où la physique et la théorie des nombres s'épanouissent ensemble.

#7
  0
Jose Javier Garcia
2011-07-10 19:27:08 UTC
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il existe une conjecture appelée HYPOTHÈSE RIEMANN, qui a une relation profonde entre les racines de la fonction Riemann Zeta et les valeurs propres d'un hamiltonien

http://arxiv.org/abs /1101.3116

http://findarticles.com/p/articles/mi_m1200/is_7_174/ai_n30887057/

et mon humble article sur le sujet http://vixra.org/pdf/1007.0005v8.pdf en fait RIEMANN HYPOTHESIS est juste pour utiliser WKB pour trouver un hamiltonien dont les valeurs propres sont le carré des zéros de RIemann (partie imaginaire) et son DETERMINANT FONCTIONNEL est juste la fonction RIemann Xi



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