Réponse courte: nous ne savons pas, mais cela fonctionne.

Comme le souligne la question commentée, nous ne savons toujours pas si le monde peut être considéré comme fluide et différenciable partout. Cela peut tout aussi bien être discret. Nous n'avons vraiment pas (encore) de réponse à cela. Et alors que fait le physicien, quand il n'a pas de réponse théorique à quelque chose? Ils utilisent l'épée laser flamboyante de Newton, un rasoir philosophique qui dit que "si ça marche, c'est assez bien". Vous pouvez effectuer des expériences sur les ondes, les oscillateurs harmoniques et l'équation que vous avez écrite fonctionne. Au fur et à mesure que l'on apprend la physique, il y a d'autres équations, et pour l'instant nous pouvons faire des expériences sur à peu près toutes sortes de choses, et jusqu'à ce que vous deveniez vraiment vraiment bizarre comme dans les trous noirs ou plus petits que les électrons, le les équations que nous avons nous donnent la bonne réponse, nous continuons donc à les utiliser.

Question bonus: supposons que, l'année prochaine, nous ayons une Théorie du Tout qui dit que l'univers est discret et non différentiable. Pensez-vous que l'applicabilité de l'équation des vagues changerait? Et qu'en est-il des résultats, seraient-ils moins bons?

De nombreux physiciens vous diront que peu importe si les solutions aux équations physiques sont lisses, tant que vous pouvez en tirer des prédictions significatives. Une telle vision est trop simpliste. Il y a des circonstances où des caractéristiques non lisses apparaissent dans les solutions d'équations physiques et sont elles-mêmes très significatives . La raison pour laquelle les cours de physique du lycée ne se soucient pas de ces questions est simplement qu'ils dépassent généralement le cadre de ce qui peut être enseigné dans un tel cours.

Un exemple classique de discontinuité significative dans un système physique est une onde de choc. Dans certaines équations d'ondes (non linéaires), vous pouvez avoir une solution qui commence doucement mais qui finit par devenir discontinue en temps fini. Ces discontinuités vous disent quelque chose d'utile: elles peuvent apparaître dans la vraie vie comme des ondes voyous dans la dynamique des fluides ou des embouteillages dans les modèles de trafic. Un exemple de l ' équation de Burgers est présenté ci-dessous.

Des discontinuités peuvent se former dans de nombreux autres systèmes, en particulier les systèmes de matière condensée, et indiquer la présence de défauts . Les exemples incluent les tourbillons dans les superfluides (illustrés ci-dessous) et les dislocations dans les cristaux. Le comportement de ces défauts joue souvent un rôle dominant dans le comportement global (c'est-à-dire la thermodynamique) du matériau.

L'une des principales raisons pour lesquelles il est utile d'examiner ce qui se passe lorsque les équations de la physique s'effondrent est que ce sont précisément les circonstances dans lesquelles nous pouvons en apprendre davantage sur la nouvelle physique. Par exemple, le comportement près des discontinuités dans les équations d'ondes non linéaires peut être soit diffusif (où la discontinuité est étalée dans le temps) soit dispersif (où la discontinuité rayonne sous forme d'ondes plus petites), et savoir de quoi il s'agit vous dit quelque chose sur la structure microscopique du fluide. Pour cette raison, identifier où les équations physiques ne parviennent pas à être well-posed ou self cohérent est vraiment important. Il existe un célèbre problème ouvert en mathématiques connu sous le nom d' existence et fluidité de Navier-Stokes , dont l'importance peut être considérée de cette manière. Si les équations de Navier Stokes se révèlent générer des discontinuités en temps fini, cela pourrait avoir de profondes implications pour la compréhension des phénomènes turbulents.

Une théorie physique où la rigueur mathématique est particulièrement loin d'être établie est la théorie quantique des champs. QFT est célèbre pour ses nombreux calculs qui crachent $ \ infty $ s'ils sont effectués naïvement. Les raisons de cela ne sont pas entièrement comprises, mais nous pensons que cela a quelque chose à voir avec le fait qu'il existe des théories plus fondamentales, encore inconnues, qui interviennent à de très petites échelles de longueur. Un autre problème historique lié au non-sens mathématique en QFT concerne le boson de Higgs: en l'absence de boson de Higgs, certains calculs en QFT donnent des probabilités supérieures à 1, ce qui est bien sûr impossible. L'échelle d'énergie à laquelle ces calculs ont commencé à s'effondrer nous a non seulement dit qu'il y avait une certaine physique que nous ne comprenions pas encore - à savoir qu'il existait une nouvelle particule à découvrir - mais nous a également dit à peu près ce que la masse de la particule avait. être.

Il est donc important de comprendre le bien-fondé des théories mathématiques de la physique.Pourquoi alors les gens ne s'inquiètent-ils pas de cela en physique au lycée?La réponse est simplement que nos théories actuelles de la physique ont été si bien affinées que nos modèles pour la plupart des phénomènes quotidiens sont totalement cohérents et ne produisent aucune discontinuité.Et la raison pour laquelle ils ne vous demandent jamais de vérifier que vos solutions sont sensées est simplement qu'ils ne veulent pas que vous vous ennuyiez, car la réponse est toujours oui.

En fait, il existe des résultats très généraux dans les domaines mathématiques des systèmes dynamiques et des équations aux dérivées partielles qui garantissent que la plupart des équations physiques ont des solutions uniques et lisses.Une fois que vous connaissez certains de ces théorèmes, vous n'avez même pas besoin de vérifier que la plupart des solutions sont lisses - cela vous est garanti par la structure des équations elles-mêmes.(Par exemple, le théorème de Picard-Lindelof accomplit cela pour la plupart des problèmes de dynamique des particules newtoniennes.)

De manière générale, vous pouvez supposer que les fonctions que vous gérez en physique au lycée se comportent correctement. Ceci est considéré comme acquis et la plupart des élèves ne le remettront jamais en question, ni même se rendront compte qu'il y a quelque chose à remettre en question - bravo à vous d'avoir réfléchi à ce problème.

Même en physique plus avancée, on a tendance à ne pas s'inquiéter des subtilités des modèles mathématiques tant qu'ils produisent des résultats physiquement réalistes qui correspondent aux résultats expérimentaux. La plupart des physiciens ne remettront pas en question les hypothèses fondamentales d'un modèle jusqu'à ce qu'il prédit une singularité ou un paradoxe ou un autre résultat «pathologique». Et même dans ce cas, la solution à court terme est souvent d'éviter les résultats pathologiques en restreignant le domaine dans lequel le modèle est appliqué.

Les mathématiciens, par inclination et formation, ont tendance à être plus prudents. Ce que le physicien voit comme une focalisation sur la réalité, le mathématicien le perçoit comme un manque de rigueur. Ce qui est rigoureux pour le mathématicien est trop pointilleux et pédant pour le physicien.

À titre d'exemple, les ingénieurs et les physiciens utiliseront volontiers la fonction delta de Dirac, tandis qu'un mathématicien soulignera que $ \ delta (x) $ n'est pas en fait un (techniquement, c'est une distribution) et la traiter comme si c'était une fonction peut conduire à des résultats incorrects. Le mathématicien dit "si $ \ delta (x) $ est une fonction alors quelle est la valeur de $ \ displaystyle \ int_ {-1} ^ {1} \ delta (x) ^ 2 dx $ ? ". Le physicien dit "dans quelle situation physique aurais-je besoin d'utiliser une intégrale aussi bizarre?".

La réponse de @MauroGiliberti est excellente, mais nous travaillons avec des discontinuités en physique comme le dit la réponse ici. En fait, de nombreuses analyses minutieuses et rigoureuses sont en cours en relativité générale, car des problèmes de régularité / singularité se posent facilement.

La physique newtonienne est cependant très intuitive et simple. Vous n'avez pas que des entités mathématiques aléatoires, vous avez des entités qui doivent décrire le monde réel. Les mathématiques représentent un mécanisme et par intuition, vous savez comment les mathématiques devraient se comporter.

Prenons par exemple la chute d'une pierre de hauteur $ h_0 $ . L'équation du mouvement est $ md ^ 2h / dt ^ 2 = F, $ où F est la force. Doit-on montrer que $ h $ est deux fois différentiable partout et que $ F $ est une fonction? Bien sûr que non, car nous savons comment le système est censé se comporter. Et il n'est pas deux fois différentiable partout (et la force n'est en fait pas fonction), puisque le mouvement de la roche est décrit par cette fonction: $$ h (t) = \ left (h_0- \ frac {1} {2} gt ^ 2 \ right) H (\ sqrt {2h_0 / g} -t), $ $ où $ H $ est la fonction d'étape heaviside.

Du mécanisme de gravitation, nous savons qu'avant que la roche ne touche le sol, le système est censé se comporter correctement et nous savons également ce qui se passe lorsque la roche touche le sol. Pour cette raison, vous ne voyez jamais une analyse comme celle-ci dans un cours de physique, où vous utiliseriez la fonction d'étape discontinue de heaviside en solution à une simple chute de roche.

On ne m'a jamais demandé de vérifier si la fonction que j'analyse elle-même est définie partout

Pourquoi faudrait-il le définir partout? Lorsque vous analysez la vague, vous vous souciez de la chose que vous observez. Vous ne vous souciez pas de ce qui se passe avec cette vague de l'autre côté de l'univers. Il vaut donc mieux que le calcul soit indépendant de ce qui s'y passe.

Le physicien a juste une idée du mécanisme de fonctionnement de l'univers, et comprend intuitivement pourquoi les mathématiques qu'il utilise sont censées le représenter correctement.Ensuite, il peut simplement supposer que les fonctions se comportent bien, comme l'exige la physique.Parfois, il utilise même les mathématiques sciemment de manière incorrecte, car il pourrait avoir des raisons de penser que cette manipulation incorrecte représente le mécanisme qu'il a en tête.

Ensuite, il vérifie simplement si les résultats concordent avec les expériences.S'ils le font, il créera du travail pour de nombreux mathématiciens essayant de donner un sens à ce qu'il a fait.Et ils ne réussissent pas toujours.Prenons par exemple la physique statistique.Il a 100 ans, a produit une quantité énorme de preuves de son efficacité, mais les mathématiciens ont encore du mal à montrer que les calculs sont en fait la conséquence des lois connues de la physique.

Pour revenir un peu sur @MauroGiliberti, l'une des principales raisons de l'utilisation de l'épée laser flamboyante de Newton est le contexte dans lequel la plupart des physiciens travaillent. La physique mathématique s'intéresse souvent aux modèles du monde réel. Un modèle par sa nature même n'est pas une représentation parfaitement exacte du phénomène en question mais une approximation utile. Cela est toujours vrai même si le modèle est très précis.

Par conséquent, même si le système sous-jacent est discret, si sa granularité est telle qu'il peut être raisonnablement modélisé comme un processus continu, alors une fonction continue est adaptée à son objectif.

Cela se produit également dans d'autres domaines. L'économie et la finance mathématique empruntent et réutilisent un grand nombre de modèles physiques pour modéliser le flux de monnaie dans une économie ou pour évaluer les instruments financiers. Techniquement parlant, l'argent est discret. Pourtant, lorsque les sommes sont suffisamment importantes, il peut aussi bien s'agir d'une quantité continue car son grain devient si fin qu'il est pratiquement lisse.

N'oubliez pas que les idées de calcul étaient motivées par la physique. Pensez aux situations où des fonctions non différentiables apparaissent: par exemple $ \ theta (x) $ , la fonction d'étape Heaviside. Ceci est défini comme 1 lorsque $ x \ geq 0 $ et 0 sinon. Comment différencieriez-vous cette fonction? En utilisant les propriétés de la distribution Dirac Delta, on peut montrer que $ \ frac {d} {dx} \ theta (x) = \ delta (x) $ . Cela a du sens intuitivement: $ \ delta (x) $ est égal à zéro lorsque $ x $ est différent de zéro mais il augmente à 0 de telle sorte que son intégrale sur toute plage qui inclut 0 est 1. Un mathématicien regarderait cela et dirait «Hé, tu ne peux pas faire ça!» et de son point de vue, il aurait raison. Mais la raison pour laquelle cela fonctionne pour un physicien est la même raison pour laquelle communiquer avec une grammaire et une orthographe incorrectes fonctionne toujours: vous avez une intuition pour ce que l'orateur ou l'écrivain essaie de dire.

De plus, sur le plan pédagogique, il y a toujours la question de l'aspect pratique. Il n'est pas possible d'enseigner à chaque étudiant en physique et en génie la quantité de mathématiques rigoureuses dont il aurait besoin pour prouver chaque théorème qu'ils vont utiliser. Certains (théoriciens de l'espagnol) pourraient ne pas le faire, mais la grande majorité des étudiants trouveront que devoir apprendre l'analyse fonctionnelle est une condition préalable à la mécanique quantique fastidieuse.

Maintenant, cela ne veut pas dire que toute la physique n'est pas rigoureuse. Les gens travaillent sur les fondements mathématiques de la théorie quantique des champs et les mathématiciens sont très intéressés par des domaines tels que la théorie des cordes. Mais c'est un autre domaine spécialisé et même la plupart des gens qui travaillent avec QFT ne vont pas tout prouver rigoureusement au fur et à mesure qu'ils apprennent et appliquent leur travail. Ce qui est important, c'est d'acquérir une intuition fonctionnelle de la manière dont les différentes parties fonctionnent ensemble pour former un tout cohérent.

Je ne suis pas d'accord avec @MauroGiliberti que nous ne connaissons pas. Dans votre exemple de l'équation d'onde classique, la raison pour laquelle nous ne nous soucions pas de vérifier la continuité et la différentiabilité des solutions est que nous exigeons que ces propriétés soient satisfaites. Pour approfondir cette notion, considérons ce qui suit: la théorie de la mécanique classique nous dit que certains phénomènes physiques (comme les ondes sur les cordes) suivront l'équation $ \ square f = 0 $ . Les principales questions que nous voulons poser à propos de cette équation pour l'utiliser sont les suivantes

1. Quels phénomènes physiquement observables cette équation prévoit-elle?

2. Les observations expérimentales sont-elles cohérentes avec ces prédictions?

Notez que nous ne demandons pas si c'est ce qui se passe réellement à un niveau fondamental.

Pour répondre à la première question, il est trivial de montrer que la solution d'une équation différentielle du second ordre est deux fois différentiable, il n'est donc pas nécessaire de le montrer explicitement. Concernant la deuxième question, il peut sembler que vous deviez vérifier que vos données expérimentales consistent en une fonction deux fois différentiable, mais ce n'est pas le cas car vous ne pouvez pas mesurer directement $ f $ span > (une fonction définie à d'innombrables points, nécessitant ainsi des mesures innombrables). Au lieu de cela, vous effectuez un nombre fini de mesures, notez que votre théorie nécessite une fonction deux fois différentiable et choisissez une fonction deux fois différentiable pour s'adapter à vos données pour vérifier l'équation. De plus, chacun de vos points de données est associé à une certaine incertitude, tandis que la condition de continuité nécessite une précision infinie.

Je veux juste ajouter mes 2 ¢ dans la discussion et mentionner une vue plus mathématique de ce problème.

Fonctions intégrables

En physique, nous sommes souvent très intéressés par les fonctions Lebesgue-intégrables, ce qui est une contrainte très raisonnable: sur un intervalle fini, une fonction bornée est Lebesgue intégrable ssi elle est mesurable - et chaque fonction saine qui pourrait correspondre à quelque chose de réel l'est certainement! Les fonctions non mesurables sont vraiment interrompues au niveau infinitésimal et leur construction est considérée "physiquement impossible". Rejeter les fonctions non mesurables, c'est postuler que la physique n'est pas un pur chaos et une folie.

Les fonctions qui ne sont pas limitées sont beaucoup plus courantes et raisonnables en physique. Les plus belles sont également intégrables à Lebesgue et la plupart du reste provient d'idéalisations non physiques, mais nous avons développé beaucoup de techniques pour gérer les infinis physiques qui ne peuvent pas être apprivoisés autrement.

Fonctions différentiables

Maintenant, comment cela est-il lié à la différentiabilité? Eh bien, considérons le plus bel espace de fonctions que vous puissiez imaginer: des fonctions infiniment différentiables qui diminuent plus vite que n'importe quel polynôme à l'infini. Il s'agit de l ' espace Schwartz $ \ mathcal {S} $ . Avec ces fonctions, vous pouvez faire pratiquement tout ce que vous voulez. Un fait remarquable à propos de l'espace de Schwartz est que il est dense en $ L ^ p $ pour tout $ p \ in [1, \ infty) $ - cela signifie que vous pouvez approximer n'importe quelle fonction intégrable avec une fonction de $ \ mathcal {S} $ span > avec une précision arbitraire. Ainsi, vous pouvez décrire votre modèle en utilisant des fonctions infiniment différentiables et tant que le modèle lui-même est continu, vous pouvez toujours le généraliser à $ L ^ p $ simplement en prenant la limite . Vous ne trouvez pas cela incroyable?

Distributions

Mais souvent, travailler avec $ \ mathcal {S} $ puis trouver la limite peut être assez laborieux. Par exemple, en électrodynamique, vous voulez parler des densités de charge ainsi que des charges ponctuelles et même des surfaces chargées - pour décrire de tels systèmes, vous devez approximer la densité de charge avec une fonction lisse et résoudre les équations de Maxwell pour cela . Heureusement, quelque chose appelé théorie de la distribution a été inventé. Cette théorie nous donne un cadre mathématique rigoureux dans lequel nous pouvons parler des limites elles-mêmes , en un sens.

Par exemple, si vous imaginez que vous preniez un dérivé d'une fonction sigmoïde et que vous preniez ensuite la limite qui le transforme en fonction Heaviside, le dérivé exploserait en infini, comme dans cette vidéo. Mais si votre modèle était une bonne représentation de la réalité, vous n'êtes probablement pas intéressé par le dérivé lui-même, mais vous l'utilisez comme résultat intermédiaire, peut-être dans une intégrale. Ensuite, vous pouvez également éviter de faire la limite et prendre le dérivé faible d'une distribution Heaviside, qui équivaut à la distribution delta. Les dérivées faibles sont définies sur toutes les fonctions intégrables, de sorte que l'équation différentielle que vous avez écrite dans votre question peut être évaluée même avec n'importe quelle fonction intégrable. Cependant, rappelez-vous que cela donne toujours le même résultat que de faire la limite, juste d'une manière simplifiée.

Wavefunctions et QM

Dans les paragraphes précédents, je parlais de fonctions qui ont une signification physique spécifique.Ce n'est cependant pas le cas de la fameuse fonction d'onde en mécanique quantique.Les fonctions d'onde sont spéciales dans le sens où QM peut être naturellement modélisé comme un espace vectoriel (éventuellement ∞ dimensionnel) et les fonctions sont des vecteurs ∞ dimensionnels très pratiques.Cependant, comme les espaces ∞ dimensionnels sont bizarres, tous les covecteurs n'ont pas de représentation sous forme de vecteur.Vous avez probablement déjà une intuition pour cela: les distributions sont les «covecteurs» des fonctions différentiables, et alors que les fonctions différentiables sont des distributions, la distribution delta n'est pas une fonction différentiable.En raison de cette nature non conventionnelle de la gestion de la qualité, les distributions sont des objets parfaitement valides de la théorie, pas seulement des résultats intermédiaires.Par exemple, vous pourriez avoir $ \ psi (p) = \ delta (p) $ .

Pour une "enquête" agréable (du côté physique de la médaille) de ce numéro, profitez de cette vidéo sur YouTube:

https://www.youtube.com/watch?v=xPzR_D9qKeo

Je crois que l’oubli de base montré capture parfaitement l’interaction entre la question et le commentaire "... il y a une tendance à ne pas se soucier des subtilités des modèles mathématiques tant qu’ils produisent des résultats physiquement réalistes qui correspondent aux résultats expérimentaux."dans la réponse de gandalf61.

Ce qui est triste, c'est que des choses intéressantes se produisent généralement là où quelque chose de bon presque partout n'est pas bon quelque part.

Je suppose cependant que chaque chercheur en physique aspire secrètement à pouvoir agir comme un ingénieur alors ...