Question:
Comment la non-commutativité conduit-elle à l'incertitude?
vonjd
2011-05-25 12:14:09 UTC
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J'ai lu que la non-commutativité des opérateurs quantiques conduit au principe d'incertitude.

Ce que je ne comprends pas, c'est comment les deux choses sont liées. Est-ce que lorsque vous mesurez une chose en premier et que l'autre, vous obtenez un résultat prévisible différent de la mesure inverse?

Je sais ce que signifie la non-commutativité (même l'opérateur moins est non commutatif ) et je pense que je comprends le principe d'incertitude (lorsque vous mesurez une chose, la mesure de l'autre chose est un peu floue - et vice versa) - mais je ne comprends pas le lien.

Peut-être que vous pourriez donnez un exemple quotidien très simple avec des opérateurs non-navetteurs (comme la soustraction ou la division) et comment cela induit de l'incertitude et / ou donnez un exemple avec les opérateurs navetteurs (addition ou multiplication) et montrez qu'il n'y aurait pas d'incertitude impliquée.

J'ai répondu à une question très similaire [ici] (http://physics.stackexchange.com/q/240543/).
Un nouvel article dans Nature le montre directement sur un qubit http://www.nature.com/nature/journal/vaop/ncurrent/full/nature19762.html
Quatre réponses:
Mark Eichenlaub
2011-05-25 15:19:44 UTC
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Il y a pas mal de mathématiques de base à cette question, donc il faudra un certain temps avant la ligne de poinçon.

En mécanique quantique, nous ne travaillons pas avec des nombres pour représenter l'état d'un système. À la place, nous utilisons des vecteurs. Aux fins d'une introduction simple, vous pouvez considérer un vecteur comme une liste de plusieurs nombres. Par conséquent, un nombre lui-même est un vecteur si nous laissons la longueur de la liste être un. Si la longueur de la liste est de deux, alors $ (. 6, .8) $ est un vecteur d'exemple.

Les opérateurs ne sont pas des choses comme plus, moins, multiplier, diviser . Au lieu de cela, ce sont des fonctions; ils prennent un vecteur et en émettent un autre. La multiplication n'est pas un opérateur, mais la multiplication par deux l'est. Un opérateur agit sur un vecteur. Par exemple, si l'opérateur "multiplier par deux" agit sur le vecteur $ (. 6, .8) $, on obtient $ (1.2, 1.6) $.

La commutativité est une propriété de deux opérateurs considérés ensemble. Nous ne pouvons pas dire que "l'opérateur $ A $ est non commutatif", car nous ne le comparons à rien. Au lieu de cela, nous pouvons dire "l'opérateur $ A $ et l'opérateur $ B $ ne font pas la navette". Cela signifie que l'ordre dans lequel vous les appliquez est important.

Par exemple, laissez l'opérateur $ A $ être "changer les deux nombres de la liste" et l'opérateur $ B $ être "soustraire le premier du second" . Pour voir si ces opérateurs font la navette, nous prenons le vecteur général $ (a, b) $ et appliquons les opérateurs dans des ordres différents.

À titre d'exemple de notation, si nous appliquons l'opérateur $ A $ à $ (a, b) $, nous obtenons $ (b, a) $. Cela peut être écrit $ A (a, b) = (b, a) $.

$$ BA (a, b) = (b, ab) $$

$ $ AB (a, b) = (ba, a) $$

Lorsque nous appliquons les opérateurs dans les différents ordres, nous obtenons un résultat différent. Par conséquent, ils ne font pas la navette. Le commutateur des opérateurs est défini par

$$ \ textrm {commutateur} (A, B) = [A, B] = AB - BA $$

Ceci est un nouvel opérateur. Sa sortie pour un vecteur d'entrée donné est définie en prenant le vecteur d'entrée, en agissant dessus avec $ B $, puis en agissant sur le résultat avec $ A $, puis en retournant au vecteur d'origine et en faisant de même dans l'ordre inverse, puis en soustrayant le deuxième résultat du premier. Si nous appliquons cet opérateur composite (à savoir: le commutateur) à $ (a, b) $, nous obtenons (par soustraction en utilisant les deux résultats précédents)

$$ (AB - BA) (a, b) = (-a, b) $$

Le commutateur de $ A $ et $ B $ est donc l'opérateur qui multiplie la première entrée par moins un.

Un vecteur propre d'un opérateur est un vecteur qui est inchangé lorsqu'il est actionné par cet opérateur, sauf que le vecteur peut être multiplié par une constante. Tout est un vecteur propre de l'opérateur "multiplier par deux". Les vecteurs propres de l'opérateur de commutation $ A $ sont $ \ alpha (1,1) $ et $ \ beta (1, -1) $, avec $ \ alpha $ et $ \ beta $ des nombres quelconques. Pour $ (1,1) $, changer les entrées ne fait rien, donc le vecteur est inchangé. Pour $ (1, -1) $, changer les entrées multiplie par moins un. D'un autre côté, si nous changeons les entrées de $ (. 6, .8) $ pour obtenir $ (. 8, .6) $, le nouveau vecteur et l'ancien ne sont pas des multiples l'un de l'autre, donc ce n'est pas un vecteur propre. Le nombre par lequel le vecteur propre est multiplié lorsqu'il est agi par l'opérateur est appelé sa valeur propre. La valeur propre de $ (1, -1) $ est $ -1 $, du moins quand nous parlons de l'opérateur de commutation.

En mécanique quantique, il existe une incertitude pour un état qui n'est pas un vecteur propre et une certitude pour un état qui est un vecteur propre. La valeur propre est le résultat de la mesure physique de l'opérateur. Par exemple, si l'opérateur énergétique agit sur un état (vecteur) sans incertitude sur l'énergie, il faut trouver que cet état est un vecteur propre, et que sa valeur propre est l'énergie de l'état. D'un autre côté, si nous faisons une mesure d'énergie alors que le système n'est pas dans un état de vecteur propre, nous pourrions obtenir différents résultats possibles, et il est impossible de prédire lequel il sera. Nous obtiendrons une valeur propre, mais c'est la valeur propre d'un autre état, puisque notre état n'est pas un vecteur propre et n'a même pas de valeur propre. La valeur propre que nous obtenons dépend du hasard, bien que les probabilités puissent être calculées.

Le principe d'incertitude stipule en gros que les opérateurs non navetteurs ne peuvent pas tous les deux avoir une incertitude nulle en même temps car il ne peut y avoir de vecteur qui soit un vecteur propre des deux opérateurs. (En fait, nous verrons dans un moment qui n'est pas exactement correct, mais il en comprend l'essentiel. En réalité, les opérateurs dont les commutateurs ont un espace nul de dimension zéro ne peuvent pas avoir de vecteur propre simultané.)

Le seul vecteur propre de l'opérateur de soustraction $ B $ est $ \ gamma (0,1) $. Pendant ce temps, les seuls vecteurs propres de l'opérateur de commutation $ A $ sont $ \ alpha (1,1) $ et $ \ beta (1, -1) $. Il n'y a pas de vecteurs qui soient des vecteurs propres à la fois de $ A $ et de $ B $ en même temps (sauf le trivial $ (0,0) $), donc si $ A $ et $ B $ représentaient des observables physiques, nous ne pourrions pas être certains d'entre eux à la fois $ A $ et $ B $ en même temps. ($ A $ et $ B $ ne sont pas réellement des observables physiques dans QM, je les ai juste choisis comme exemples simples.)

Nous aimerions voir que cela fonctionne en général - chaque fois que deux opérateurs ne font pas la navette (avec certaines restrictions), ils n'ont pas de vecteurs propres simultanés. Nous pouvons le prouver par contradiction.

Supposons que $ (a, b) $ est un vecteur propre de $ A $ et $ B $. Alors $ A (a, b) = \ lambda_a (a, b) $, avec $ \ lambda_a $ la valeur propre. Une équation similaire vaut pour $ B $.

$$ AB (a, b) = \ lambda_a \ lambda_b (a, b) $$

$$ BA (a, b ) = \ lambda_b \ lambda_a (a, b) $$

Puisque $ \ lambda_a $ et $ \ lambda_b $ ne sont que des nombres multipliés, ils font la navette et les deux valeurs sont les mêmes. Ainsi

$$ (AB-BA) (a, b) = (0,0) $$

Donc le commutateur de $ A $ et $ B $ donne zéro quand il agit sur leur vecteur propre simultané. Cependant, de nombreux commutateurs ne peuvent pas donner zéro lorsqu'ils agissent sur un vecteur non nul. (C'est ce que signifie avoir un espace nul de dimension zéro, mentionné plus tôt.) Par exemple, nos opérateurs de commutation et de soustraction avaient un commutateur qui multipliait simplement le premier nombre par moins un. Un tel commutateur ne peut pas donner zéro quand il agit sur quelque chose qui n'est pas déjà zéro, donc notre exemple $ A $ et $ B $ ne peut pas avoir de vecteur propre simultané, donc ils ne peuvent pas être sûrs en même temps, il y a donc un "principe d'incertitude" pour eux.

Si le commutateur avait été l'opérateur zéro, qui transforme tout en zéro, alors il n'y a pas de problème. $ (a, b) $ peut être ce qu'il veut tout en satisfaisant l'équation ci-dessus. Si le commutateur avait été quelque chose qui transforme certains vecteurs en vecteur zéro, ces vecteurs seraient des candidats pour des états d'incertitude zéro, mais je ne peux penser à aucun exemple de cette situation en physique réelle.

En mécanique quantique, l'exemple le plus célèbre du principe d'incertitude concerne les opérateurs de position et d'impulsion. Leur commutateur est l'identité - l'opérateur qui ne fait rien aux états. (En fait, ce sont les temps d'identité $ i \ hbar $.) Cela ne peut clairement pas transformer quoi que ce soit en zéro, donc la position et l'élan ne peuvent pas être tous les deux certains en même temps. Cependant, comme leur commutateur se multiplie par $ \ hbar $, un très petit nombre par rapport aux choses courantes, le commutateur peut être considéré comme presque nul pour les grands objets énergétiques. Par conséquent, la position et l'élan peuvent tous deux être presque certains pour les choses de tous les jours.

D'un autre côté, le moment cinétique et les opérateurs d'énergie font la navette, il est donc possible que les deux soient certains.

Les opérateurs non-navetteurs les plus mathématiquement accessibles sont les opérateurs de spin, représentés par les matrices de spin de Pauli. Ceux-ci traitent des vecteurs avec seulement deux entrées. Ils sont légèrement plus compliqués que les opérateurs $ A $ et $ B $ que j'ai décrits, mais ils ne nécessitent pas un cours complet de mathématiques de la mécanique quantique à explorer.

En fait, le principe d'incertitude en dit plus que j'ai écrit ici - j'ai laissé des parties pour la simplicité. L'incertitude d'un état peut être quantifiée via l'écart type de la distribution de probabilité pour diverses valeurs propres. Le principe d'incertitude totale est généralement énoncé

$$ \ Delta A \ Delta B \ geq \ frac {1} {2} \ mid \ langle [A, B] \ rangle \ mid $$

où $ \ Delta A $ est l'incertitude sur le résultat d'une mesure dans l'observable associée à l'opérateur $ A $ et les parenthèses indiquent la recherche d'une valeur d'espérance. Si vous souhaitez obtenir des détails à ce sujet, j'ai écrit il y a quelque temps quelques notes auxquelles vous pouvez accéder ici.

+1: Wow, quelle explication! Très impressionnant - merci beaucoup!
Je suppose que vous avez oublié de prendre la valeur absolue du côté droit de votre relation d'incertitude. (De plus, les gens mettent classiquement un facteur $ \ tfrac12 $. Cependant, cela dépend sans doute de la définition de ∆A et ∆B.)
Si je pouvais proposer cette réponse pour un prix, je le ferais. Puisqu'il n'y en a pas, +1 devra suffire. Excellent travail cependant.
Si vous aviez écrit la littérature de physique que j'ai déjà lue, j'aurais été un homme plus sage. Réponse fantastique.
Bonjour @MarkEichenlaub, excellente réponse.Je suis conscient que vous avez des notes gratuites disponibles, et à en juger par la clarté et l'intuition de votre réponse, je voudrais certainement les vérifier si vous pouvez me fournir un lien!
Qu'est-ce que $ B (a, b) $?Selon votre définition, il n'est pas clair quel type de quantité résulte de l'application de $ B $ au vecteur.
"Je ne peux penser à aucun exemple de cette situation en physique réelle" - exemple: opérateurs de projection de moment angulaire $ \ hat L_z $ et $ \ hat L_x $ pour les états avec $ l = 0 $.
Qmechanic
2011-05-25 14:28:28 UTC
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Un exemple simple de non-commutativité est les rotations en 3D, cf. figure.

http://www.lightandmatter.com/html_books/genrel/ch07/figs/noncommuting-rotations.png

( Source de l'image: Benjamin Crowell, Relativité générale, p. 256.)

Physiquement, les rotations autour de l'axe $ x $ - et de l'axe $ y $ sont respectivement générées par les opérateurs de moment angulaire $ \ hat {L} _x $ et $ \ hat {L} _y $, respectivement, qui font pas faire la navette.

À partir des expressions mathématiques pour $ \ hat {L} _x $ et $ \ hat {L} _y $, vous pouvez procéder à la dérivation mathématique, que vous avez déjà liée , et dériver la relation d'incertitude correspondante.

Enfin, permettez-moi de mentionner que la soustraction et la division sont des exemples d ' opérations binaires, alors que, pour commencer, les opérateurs de la mécanique quantique n'en ont qu'un d'entrée, ce sont des opérations unaires.

Je vous remercie.Je comprends enfin pourquoi les matrices Sx et Sz de l'expérience EPR originale ne font pas la navette.Ils sont exactement comme les rotations le long des axes x et y qui ne commutent pas et ils ne peuvent pas avoir une base propre commune.
Luboš Motl
2011-05-25 13:50:43 UTC
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Cher vonjd, vous voulez juste regarder une preuve du "principe d'incertitude", à savoir une inégalité qui a les incertitudes sur le côté gauche et le commutateur sur le côté droit, par ex. à

http://en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle#Mathematical_derivations

Votre commentaire que "soustraction et division "sont des exemples d'opérateurs qui ne font pas la navette ne signifie pas que vous comprendrez réellement tout ce qui précède. En mécanique quantique, on parle toujours d'opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert. Même les opérateurs non-navetteurs doivent être des opérateurs linéaires sur l'espace de Hilbert, comme la position, le moment, le moment angulaire ou un autre observable. Il n'y a pas de «division» ni même de «soustraction» entre eux.

Je ne voterais normalement pas pour un lien vers Wikipédia, mais je pense en fait que c'est un article très utile et qui donne une bonne réponse à la question ci-dessus, qui est une question que j'avais également.
Merci, mais la page Wikipédia a été réorganisée depuis 2011 et la partie # n'existe plus - même pas sous un autre nom.Je dirais donc que même si la page s'est agrandie, elle est devenue pire.Heureusement, je peux aussi créer un lien vers d'anciennes versions sauvegardées de pages Wikipedia.Donc, l'URL que je voulais dire en 2011 est aujourd'hui à https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Uncertainty_principle&oldid=429108555#Mathematical_derivations
Oui, maintenant que j'ai eu un moment pour la regarder, l'ancienne page répond beaucoup plus directement à la question.
Abhimanyu Pallavi Sudhir
2019-07-13 15:56:00 UTC
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Quand j'ai appris la réduction de la fonction d'onde pour la première fois, j'ai été surpris par l'idée que la fonction d'onde ne ferait que devenir un état propre de l'observable - perdant tous les autres composants du vecteur d'état.Eh bien, ce n'est pas aussi grave que prévu, car l'espace Hilbert est vraiment grand.

Mais si deux opérateurs n'ont pas de base propre commune - c'est-à-dire s'ils ne font pas la navette, vous «perdez des informations» sur l'un des observables lors de la mesure de l'autre.C'est précisément ce que codifie le principe d'incertitude.



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 3.0 sous laquelle il est distribué.
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