Question:
Comment la dilatation du temps peut-elle être symétrique?
John Rennie
2018-01-30 23:09:02 UTC
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Supposons que nous ayons deux jumeaux qui s'éloignent l'un de l'autre, chacun se déplaçant à une certaine vitesse $ v $:

enter image description here

Twin $ A $ observe l'heure de dilatation du jumeau $ B $ afin que son horloge tourne plus vite que celle du jumeau $ B $.Mais le jumeau $ B $ observe le temps de dilatation du jumeau $ A $ afin que son horloge tourne plus vite que celle du jumeau $ A $.Chaque jumeau pense que son horloge tourne plus vite.Comment se peut-il?N'est-ce pas un paradoxe?

Neuf réponses:
John Rennie
2018-01-30 23:09:02 UTC
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La réponse à cela est que nos jumeaux, $ A $ et $ B $, ne mesurent pas la même chose sur leurs horloges. Puisqu'ils ne mesurent pas la même chose, il n'y a pas de paradoxe dans le fait que chaque jumeau pense que son horloge tourne plus vite.

Je vais essayer de donner une idée intuitive de ce qui se passe, et pour ce faire, je vais utiliser une analogie. Cela va sembler un peu étrange au début, mais supportez-moi et j'espère que tout deviendra clair.

Supposons que moi, Albert, et mes deux amis Bill et Charlie conduisons tous des voitures roulant à 1 $ mètre par seconde. Je conduis plein nord, Bill conduit à un angle $ \ theta $ à ma droite et Charlie conduit à un angle $ \ theta $ à ma gauche:

Driving North

Considérez la vitesse à laquelle nous voyageons vers le nord, c'est-à-dire la composante de notre vitesse dans la direction nord. Je voyage vers le Nord à 1 $ m / s tandis que mes amis voyagent vers le Nord à $ \ cos \ theta $ m / s, donc mes amis voyagent vers le Nord plus lentement que moi.

Maintenant, il s'avère que nos boussoles ont la particularité de montrer le nord comme la direction dans laquelle nos voitures se déplacent. Cela signifie que Bill et Charlie se considèrent également comme voyageant vers le Nord. Examinons la situation du point de vue de Bill:

Bill's perspective

Bill considère qu'il voyage vers le nord à $ 1 $ m / s alors que de son point de vue je voyage plus lentement vers le nord, à $ \ cos (\ theta) $, et Charlie se déplace vers le nord encore plus lentement, à $ \ cos (2 \ thêta) $ m / s. Et pour être complet, montrons la vue de Charlie:

Charlie's perspective

Comme Bill, Charlie considère qu'il voyage vers le Nord à 1 $ m / s alors qu'il me considère comme voyager plus lentement vers le Nord, à $ \ cos (\ theta) $, et Bill voyager vers le Nord encore plus lentement, à $ \ cos (2 \ theta) $ m / s.

Nous pensons donc tous les trois qu'ils voyagent vers le Nord plus rapidement que les deux autres. Permettez-moi de souligner ceci car c'est le point clé de mon argumentation:

Tout le monde pense voyager dans le Nord plus vite que tout le monde

Ce n’est pas sorcier. La raison pour laquelle nous pensons tous que nous voyageons le plus rapidement vers le nord est que nous avons des idées différentes sur la direction dans laquelle se trouve le nord. Mais c'est exactement ce qui se passe en relativité restreinte si nous remplaçons la direction Nord dans nos diagrammes par le temps direction. Et la raison pour laquelle tout le monde pense que le temps de tout le monde est dilaté est que nous sommes tous en désaccord sur la direction de l’axe des temps.

En relativité restreinte, nous utilisons généralement des diagrammes d'espace-temps avec l'axe du temps vertical et l'axe $ x $ horizontal (nous omettons les axes $ y $ et $ z $ car il est difficile de dessiner des graphiques 4D). Je vais sortir de ma voiture, donc je ne bouge pas, alors si je dessine mon diagramme spatio-temporel, il ressemble à ceci:

My spacetime diagram

Bien que je ne sois plus dans la voiture, je monte toujours dans l’axe du temps car, bien sûr, je me déplace dans le temps à raison d’une seconde par seconde. Nous avons donc un diagramme qui ressemble beaucoup à celui avec lequel j'ai commencé, sauf que maintenant la direction verticale est le temps et non le Nord , et je me déplace dans la direction du temps et non dans la direction du nord.

Bill et Charlie s'éloignent de moi le long de l'axe $ x $ à des vitesses $ + v $ et $ -v $, tout comme les jumeaux dans la question:

Bill and Charlie

Mais, et c'est le point clé, ce que la relativité restreinte nous dit, c'est que pour un observateur en mouvement, les axes temps et x tournent par rapport au mien. Plus précisément, si l'autre observateur se déplace par rapport à moi à une vitesse $ v $ alors son axe du temps est tourné d'un angle $ \ theta $ donné par:

$$ \ tan \ theta = \ frac {v} {c} $$

Donc, si je dessine les axes de temps de Bill et Charlie sur mon graphique, j'obtiens:

Bill and Charlie's time axes

J'espère que vous pouvez maintenant voir le but de mon analogie. Dans les images de repos de Bill et Charlie, ils sont stationnaires, donc en ce qui les concerne, ils se déplacent vers le haut de l’axe des temps à 1 $ la seconde par seconde, tout comme moi. Mais parce que leurs axes de temps sont tournés par rapport à moi, je les observe se déplacer dans la direction du temps à moins de 1 $ seconde par seconde, c'est-à-dire que leur temps est dilaté par rapport au mien.

En gardant à l'esprit mon analogie, pour découvrir ce que Bill observe, nous faisons tout pivoter vers la gauche pour rendre l'axe du temps de Bill vertical, et maintenant Bill considère qu'il se déplace le plus rapidement vers le haut de l'axe du temps. De même, nous tournons vers la droite pour rendre l'axe du temps de Charlie vertical, et nous constatons que Charlie considère qu'il se déplace le plus rapidement vers le haut de l'axe du temps.

Et cela répond à notre question. Nous pensons tous les trois que nous traversons le temps le plus rapidement, et le temps des deux autres personnes est dilaté, car lorsque nous mesurons le temps, nous mesurons tous le temps dans une direction différente. Nos horloges diffèrent parce que nous mesurons des choses différentes.

@JohnRennie: Vous avez très bien décrit la perception.Et la réalité?Lorsque des jumeaux sur terre avec des horloges synchronisées, maintenant, l'un reste sur terre, l'autre fait un aller-retour rapide et long et rapide, puis compare les horloges.On s'attend à ce que l'horloge du voyage ait des années de retard sur celle qui reste sur terre.Cela ne nous dit-il pas que le tic-tac de l'horloge a été en fait ralenti en raison de l'accélération initiale, puis accéléré à nouveau pendant le retard à l'extrémité distante.Et même répété sur le voyage de retour.Cela me dit ce que l'accélération fait aux horloges, un retard dans le même sens l'inverse.
@kpv: L'aller-retour implique une accélération, ce qui introduit une asymétrie objective.Le paradoxe jumeau décrit ci-dessus n'implique pas d'accélération, seulement des transformations.
@kpv https: // physics.stackexchange.com / questions / 242043 / quelle-est-la-bonne-maniere-d'expliquer-le-paradoxe-des-jumeaux
Les commentaires ne sont pas destinés à une discussion approfondie;cette conversation a été [déplacée vers le chat] (http://chat.stackexchange.com/rooms/72508/discussion-on-answer-by-john-rennie-how-can-time-dilation-be-symmetric).
Excellente explication!Question cependant, et je pourrais être loin de la base ici (n'hésitez pas à me le dire;)).Si votre exemple de déplacement était 1D au lieu de 2D, cela ne s'appliquerait pas (car tout le monde serait coincé dans la même direction ou dans la direction opposée).Votre exemple met-il en évidence le fait que le temps (à lui seul) est plus qu'une seule dimension?
L'analogie se décompose dans l'avant-dernier paragraphe;aller à partir d'un cadre de référence ne peut pas être représenté par une rotation standard mais implique plutôt une transformation hyperbolique.Si Bill et Charlie voyageaient à une vitesse proche de la lumière, alors de votre point de vue, vous et Charlie êtes séparés de près de 45 degrés, mais le point de vue de Bill, vous et Charlie êtes à peu près à la même vitesse.
@Acccumulation c'est vrai.Cependant, quiconque comprend les mathématiques à ce niveau comprend qu'il n'y a pas de paradoxe de toute façon.Je cherchais un moyen d'expliquer la situation à des personnes sans connaissance de la RS.J'ai envisagé d'étendre la réponse pour ajouter une discussion rigoureuse en annexe, mais je pense que cela existe déjà dans les réponses existantes.
Albert
2018-01-31 04:01:23 UTC
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Cet effet (B est plus lent à partir de p.o.v de A et vice versa) ne semble pas très mystérieux et peut être observé même dans un modèle très simple. L’effet est la conséquence directe d’Einstein - la synchronisation des horloges dans le cadre de référence d’un observateur.

Pour le démontrer, considérons le comportement des objets qui, bien que lents, agissent néanmoins conformément aux lois de la théorie spéciale de la relativité.
enter image description here Fig. 1. Le bateau de gauche est au repos sur la surface de l'eau. Une navette se déplace à une vitesse de $ V $ d'un navire vers le bas et vers l'arrière. Le navire à droite se déplace à une vitesse de $ v $ le long de la surface du plan d'eau. La vitesse de déplacement de la navette est égale à $ V $, la composante de vitesse horizontale de la navette est égale à $ v $ et la composante verticale, $ V_Z $, est égale à $ V \ sqrt {1- (v / V) ^ 2} $

Imaginons la surface d’un plan d’eau à fond plat d’une profondeur de $ h $, rempli d’eau stagnante. Un navire équipé d'une horloge à pendule et d'instruments qui fonctionnent sur la base des signaux générés par cette horloge (en temps avec cette horloge) est situé à la surface du plan d'eau. Une navette à grande vitesse qui est en mouvement continu le long d'un fil à plomb (par rapport à un navire donné) entre le navire et le fond remplit la fonction de pendule de l'horloge. Chaque trajet de navette vers le bas et le retour nécessite un temps de $ Δt = 2h / V_Z $, où $ V_Z $ - taux de descente et de montée de la navette sous-marine, et est accompagné d'un changement de lecture de l'horloge. La navette se déplace à une vitesse constante de V par rapport à l’eau, et si le navire est au repos, la navette se déplace perpendiculairement au fond et le taux de descente et d’ascension de la navette, $ V_Z $, est égal à $ V $. Le temps, $ Δt $, d'un trajet en navette aller-retour est égal à 2 $ / V $. La valeur de vitesse de $ V $ dépasse la vitesse du navire de $ v $; c'est-à-dire que la condition $ v < V $ est satisfaite.

Si un navire avance à une vitesse de $ v $, le taux de tick d'horloge et la vitesse de fonctionnement des instruments sur les navires sont diminués. Cela est dû au fait que lorsqu'un navire se déplace à une vitesse de $ v $, le taux de montée et de descente, $ V_Z $, d'une navette effectuant des voyages dans l'eau entre un navire et le fond du plan d'eau selon l'hypoténuse des triangles rectangles est égale à $ V \ sqrt {1- (v / V) ^ 2} $. Le temps sur le navire en mouvement, qui peut être appelé temps simulé, $ t '$, passe plus lentement que le temps, $ t $, sur le navire au repos également de $ 1 \ sqrt {1- (v / V) ^ 2} $ fois. Ainsi, plus un navire se déplace rapidement dans l'eau, moins le pendule «balance» et plus lentement les opérations des instruments situés sur ce navire sont effectuées, dont la vitesse de fonctionnement est proportionnelle à la fréquence du pendule de la navette.

Il est facile de simuler la dilatation du temps en utilisant des vaisseaux de ce type.

Supposons que deux navires au repos soient situés sur une surface d'eau à une certaine distance l'un de l'autre. Imaginons que les navires soient équipés de vedettes rapides qui, comme les navettes, roulent à une vitesse de $ V $, mais uniquement à la surface de l’eau. Supposons que les instruments du navire synchronisent les horloges à l'aide d'un hors-bord pour transmettre les informations, qui vont d'un navire à l'autre et inversement. Si les instruments ont des informations indiquant que la vitesse du bateau par rapport aux navires dans des directions opposées est égale, alors en utilisant le bateau, les instruments synchronisent les horloges, comme cela est fait à l'aide d'un signal lumineux dans la théorie de la relativité restreinte.

Après avoir synchronisé les horloges, les instruments sur les navires au repos peuvent comparer leur fréquence d'horloge à celle d'un navire qui les dépasse le long de la ligne qui les relie. En prenant les lectures d'horloge du navire en mouvement aux emplacements des navires au repos et en les comparant aux lectures des horloges synchronisées sur leurs propres navires, les instruments enregistrent la dilatation du temps du navire en mouvement 1 $ \ sqrt {1- (v / V) ^ 2} $ fois.

Imaginez maintenant deux navires en route l'un après l'autre à une vitesse de $ v $. Supposons que le premier navire passe devant un navire au repos à un moment donné, puis le deuxième navire passe également au-delà du navire au repos à un moment ultérieur. En comparant les lectures d'horloge du navire au repos avec celles des horloges précédemment synchronisées de leurs propres navires, les instruments des navires en mouvement détectent une différence dans la cadence de leur horloge et celle de l'horloge du navire en mouvement. Le résultat d'une comparaison de l'horloge du navire au repos et des horloges des navires en mouvement dépendra de la technique de synchronisation de l'horloge.

Si les instruments sur les navires en mouvement sont capables de mesurer la vitesse, $ v $, de leurs navires, ou s'ils ont des informations concernant le fait que leurs navires se déplacent à une vitesse de $ v $, alors en synchronisant leurs horloges utilisant un bateau se déplaçant entre les navires, ils prennent en compte la disparité de la vitesse du hors-bord qu'ils utilisent par rapport à leurs navires dans le sens et l'opposé du sens de leur mouvement. En synchronisant les horloges de cette manière, ils obtiennent un vrai résultat, selon lequel le temps sur le navire au repos passe $ 1 \ sqrt {1- (v / V) ^ 2} $ fois plus vite que leur propre temps.

Cependant, ce résultat peut être tout le contraire si les instruments des navires en mouvement n'ont aucune information concernant le mouvement de leurs navires et aucun autre moyen de communication entre les navires autre qu'un hors-bord. La vérité est qu'en envoyant un bateau qui transporte les informations requises d'un navire à l'autre, les instruments ne peuvent enregistrer que le fait du mouvement des navires les uns par rapport aux autres. Les calculs de base révèlent que les instruments n'ont aucun moyen de déterminer quel navire est en mouvement et quel navire est au repos par rapport à l'eau. Si les instruments utilisent de fausses informations concernant le repos de leurs navires, prenant alors leurs navires en mouvement par rapport à l'eau pour des navires au repos, ils prennent le navire au repos dans l'eau pour un navire en mouvement par rapport à eux. Ici, ils utilisent la fausse condition d'égalité de la vitesse du bateau par rapport à leurs navires dans le sens de leur mouvement et en face de celui-ci.

Dans ce cas, en synchronisant les horloges à l'aide de la technique Einstein , les instruments sur les navires en mouvement, strange que cela puisse paraître, enregistrent une fausse dilatation du temps sur le navire au repos dans l'eau , qui dans leur estimation est en mouvement par rapport à eux.

Quelques références:

Dorling, J. „Contraction de longueur et synchronisation d'horloge: l'équivalence empirique des théories Einsteinienne et Lorentzienne“, The British Journal for the Philosophy of Science, 19, pp. 67-9

Chapitre 3.5.5 La réciprocité de la transformation de Lorentz https://www.mpiwg-berlin.mpg.de/litserv/diss/janssen_diss/Chapter3.pdf

Simulation de la cinématique de la théorie spéciale de la relativité au moyen de la mécanique classique https://arxiv.org/abs/1201.1828

robphy
2018-01-31 11:32:37 UTC
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Voici quelques diagrammes d'espace-temps qui affichent la symétrie de la dilatation du temps.
Ces schémas sous-tendent les différentes analogies que l'on peut utiliser pour motiver la symétrie.


Premièrement, nous dessinons des diagrammes d'espace-temps sur du papier millimétré tourné afin de pouvoir visualiser plus facilement les graduations le long des lignes du monde de l'observateur inertiel.

Dans notre exemple,
nos observateurs ont une vitesse relative de $ v / c = \ tanh \ theta = (6/10) $,
et le facteur de dilatation du temps correspondant est $ \ gamma = \ cosh \ theta = (10/8) $,
où $ \ theta $ est l'angle de Minkowski [la "rapidité"] entre les lignes du monde semblables au temps.

Nous avons dessiné le diagramme à partir du cadre d'Alice. Alice considère P et P 'comme simultanés, tandis que Bob (voyageant avec la vitesse (6/10) c par rapport à Alice) considère Q et Q' comme simultanés.
Notez que:

  • $ \ triangle OPP '$ est un triangle rectangle de Minkowski, où $ OP $ est perpendiculaire à Minkowski à $ PP' $.
    $$ \ cosh \ theta = \ gamma = \ frac {OP} {OP '} = \ frac {10} {8} $$
  • $ \ triangle OQQ '$ est un triangle rectangle de Minkowski [similaire], où $ OQ $ est Minkowski-perpendiculaire à $ QQ' $.
    $$ \ cosh \ theta = \ gamma = \ frac {OQ} {OQ '} = \ frac {10} {8} $$

RRGP-rotatedGraphPaper-1

Dans mon diagramme, les «diamants de l'horloge lumineuse» ont des bords semblables à de la lumière et une surface égale. En plus, les diagonales des "diamants de l'horloge lumineuse" sont perpendiculaires à Minkowski.

En dessinant les hyperboles avec le centre lors de l'événement de réunion $ O $, on peut voir que $ PP '$ est tangente à cette hyperbole à l'événement $ P $, où "rayon vecteur" $ OP $ rencontre l'hyperbole. De même, $ QQ '$ est tangente à cette hyperbole à l'événement $ Q $, où le "vecteur de rayon" $ OQ $ rencontre l'hyperbole. RRGP-rotatedGraphPaper-2-hyperbola


Pour voir que cette construction "tangente est perpendiculaire au rayon" est analogue à la construction euclidienne (et pour voir l'analogue galiléen), jouez avec ma visualisation https://www.desmos.com/calculator/wm9jmrqnw2 en réglant le paramètre E.
(Dans cette visualisation, le temps s'écoule vers la droite [comme les graphiques position / temps standard].)

  • Minkowski (E = + 1 cas) TimeDilationSymmetry-wm9jmrqnw2-Mink
  • Galiléen (E = 0 cas) TimeDilationSymmetry-wm9jmrqnw2-Gal
  • Euclidienne (E = -1 cas) TimeDilationSymmetry-wm9jmrqnw2-Euc

Le premier diagramme est basé sur la Fig. 17 de mon article "Relativity on Rotated Graph Paper" [American Journal of Physics 84, 344 (2016)] http://dx.doi.org/10.1119/1.4943251

WillO
2018-01-31 06:37:45 UTC
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Je suppose que les vaisseaux décollent simultanément de la Terre, avec les trois horloges réglées sur 0. Les événements reliés par des lignes bleues sont simultanés selon l'observateur sur terre. Les événements reliés par des lignes rouges sont simultanés selon l'observateur du navire A. Les événements reliés par des lignes vertes sont simultanés selon l'observateur du navire B:

(Remarque: ces heures sont approximatives; pour rendre cela pleinement réaliste, je devrais montrer les événements qui se produisent à des heures comme 1:47, que j'aurai arrondi à 14 heures.)

enter image description here

L'observateur terrestre dit des choses comme ceci:

Je vois à mon horloge qu'il est maintenant 16h00. En ce moment, les deux horloges du navire indiquent 3h00. Ils courent lentement.

Ou

Je vois à mon horloge qu'il est maintenant 8 heures. En ce moment, les deux horloges disent 6h00. Ils courent lentement.

Le capitaine du navire A dit des choses comme:

Je vois à mon horloge qu'il est maintenant 16h00. A ce moment, l'horloge terrestre indique 3h00. Il tourne lentement. À ce moment également, l'horloge B indique 2h00. Il fonctionne encore plus lentement.

Ou:

Je vois à mon horloge qu'il est maintenant 8 heures. À ce moment, l'horloge terrestre indique 6h00. Il tourne lentement. À ce moment également, l'horloge B indique 4h00. Il fonctionne encore plus lentement.

Le capitaine du navire B dit des choses comme:

Je vois à mon horloge qu'il est maintenant 16h00. A ce moment, l'horloge terrestre indique 3h00. Il tourne lentement. À ce moment également, l'horloge A indique 2h00. Il fonctionne encore plus lentement.

Ou:

Je vois à mon horloge qu'il est maintenant 8 heures. À ce moment, l'horloge terrestre indique 6h00. Il tourne lentement. En ce moment également, l'horloge A indique 4h00. Il fonctionne encore plus lentement.

Où est le prétendu paradoxe?

jpa
2018-02-03 18:31:07 UTC
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Ceci est souvent exprimé par "Chacun des jumeaux pense que son horloge avance plus vite" . Cependant, une façon plus précise de dire que ce serait "Chacun des jumeaux pense que son horloge se déplace plus rapidement lorsqu'elle est observée dans son propre système de coordonnées."

La différence est importante en ce que si les voyageurs comprennent la relativité, ils sauront que leur observation ne s'applique qu'à leur propre système de coordonnées. Ils peuvent également calculer et être d'accord avec ce que pense l'autre voyageur, donc ils ne sont pas en désaccord .

Une analogie peut être faite avec le mouvement. Lorsque le voyageur A regarde par la fenêtre et voit la distance par rapport au navire de B augmenter, il peut penser "Je bouge et il reste là où il est". Mais B peut penser exactement la même chose. Et pourtant, tous deux comprennent que leurs observations ne sont pas en conflit, car le mouvement est toujours relatif. Un autre exemple tiré de Wikipédia:

Bien que cela semble contradictoire, une bizarrerie similaire se produit dans la vie quotidienne. Si la personne A voit la personne B, la personne B lui paraîtra petite; en même temps, la personne A apparaîtra petite à la personne B. Connaissant les effets de la perspective, il n'y a pas de contradiction ou de paradoxe dans cette situation.

Une autre partie importante des différents systèmes de coordonnées est qu'il n'y a pas de moyen direct de mesurer simultanément les temps d'horloge lorsqu'ils ne sont pas côte à côte. Parce que la vitesse de la lumière est la vitesse maximale de toute information, ce que vous voyez de l'autre horloge est de plus en plus retardé à mesure qu'il s'éloigne.

Cependant, si le voyageur B décide de faire demi-tour et de rattraper A, la situation change. Le système de coordonnées du voyageur B change maintenant à mesure que sa vitesse change. Cela brise la symétrie. Au moment où B rattrape A, les deux remarqueront que l'horloge de B est en retard par rapport à l'horloge de A.

Moonraker
2018-01-31 02:10:15 UTC
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Ce phénomène découle directement du principe de dilatation temporelle de la relativité restreinte:

Proper time = temps avant la dilatation du temps

Otemps de coordonnée observé = temps après dilatation du temps

Cela signifie dans ce cas: Lorsque chaque jumeau observe sa propre horloge, le temps de coordonnée observé est le temps approprié (facteur de dilatation du temps 1, c'est-à-dire absence de toute dilatation du temps).Lorsqu'il observe une autre horloge se déplaçant à une vitesse relative par rapport à lui-même, la dilatation du temps n'est pas une, elle est plus grande qu'une, cela signifie qu'il y a une certaine dilatation du temps.

Anders Gustafson
2018-01-31 06:08:16 UTC
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Une façon de comprendre la relativité est de penser l'espace-temps comme étant décrit par une géométrie, dans laquelle $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $, avec $ x $ et $ y $ étant les deux jambes d'un triangle rectangle, et $ z $ comme hypoténuse, est remplacé par $ x ^ 2-y ^ 2 = z ^ 2 $ avec $ x $ représentant la distance dans l'espace entre deux événements dans l'espace-temps, $ y $ étant la distance dans le temps entre deux événements dans l'espace-temps, et $ z $ étant la distance dans l'espace-temps entre deux événements.

La distance dans le temps entre deux événements, si ces deux événements sont reliés par une ligne du monde d'un objet qui se trouve dans un référentiel inertiel, est le temps propre de la ligne du monde. Ainsi, le temps propre d'une ligne mondiale qui est dans un référentiel inertiel peut être exprimé en utilisant l'équation $ \ tau ^ 2 = - \ left (\ frac {\ Delta_x} {c} \ right) ^ 2 + {\ Delta_t} ^ 2 $, avec $ \ tau $ étant le temps propre, $ \ Delta_x $ étant le déplacement des objets dans l'espace, $ c $ étant la vitesse de la lumière, et $ \ Delta_t $ étant le déplacement des objets dans le temps.

Si les jumeaux A et B sont dans des référentiels inertiels et que B se déplace par rapport à A, alors vous pouvez dessiner un triangle rectangle avec l'une des jambes représentant le temps propre du jumeau A, l'autre jambe représentant le déplacement dans l'espace du jumeau B par rapport à A du temps initial pour A au temps final pour A et l'hypoténuse étant le temps propre pour B donc $ {\ tau_b} ^ 2 = - \ left (\ frac {\ Delta_ {x_a}} { c} \ droite) ^ 2 + \ tau_a ^ 2 $. La direction du temps propre d'un objet est également la direction de l'axe du temps de cet objet, donc A et B sont également en désaccord sur la direction du temps et c'est ainsi qu'ils peuvent tous les deux dire que c'est l'autre dont l'horloge a ralenti. Alors que différents observateurs peuvent être en désaccord sur le déplacement dans l'espace et le déplacement dans le temps, ils peuvent s'entendre sur la distance dans l'espace-temps entre deux événements.

Chiral Anomaly
2018-11-18 06:05:42 UTC
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(Cette réponse a été publiée à l'origine pour une question plus récente, posée le 10 novembre 2018, qui a ensuite été marquée comme une question en double et liée à celle-ci, j'ai donc déplacé ma réponse ici.)

Il existe deux types de situation différents qui ont tous deux été décrits sous le nom de «paradoxe jumeau». L'un est symétrique et l'autre ne l'est pas.

Fpremière situation

Considérez deux objets qui se rencontrent deux fois . Chaque objet peut enregistrer l'heure proper entre ces deux réunions en fonction de sa propre horloge interne. Si $ \ tau_A $ est le temps approprié écoulé entre les réunions selon l'objet $ A $ , et $ \ tau_B $ est le temps approprié écoulé entre les réunions en fonction de l'objet $ B $ , alors ils peuvent ont $ \ tau_A = \ tau_B $ , mais généralement ils auront $ \ tau_A \ neq \ tau_B $ . Dans le cas typique $ \ tau_A \ neq \ tau_B $ , la situation n'est pas symétrique . L'un des deux objets vieillira moins que l'autre, et les deux objets seront d'accord pour savoir lequel d'entre eux a le moins vieilli . Par exemple, dans l'espace-temps plat (Minkowski), supposons que:

  • L'objet $ A $ reste en chute libre (c'est-à-dire en apesanteur) entre les deux réunions.

  • L'objet $ B $ subit une accélération constante (dans le sens où il a un poids constant) entre les deux réunions.

Dans ce cas, l'objet $ B $ vieillit moins entre les réunions que l'objet $ A $ , et les deux objets sont d'accord à ce sujet . Cette situation n'est pas symétrique.

Seconde situation

Considérons maintenant deux objets volant l'un à côté de l'autre avec des vitesses constantes. Ils ne se réunissent pas deux fois ; ils continuent juste après s'être croisés une fois . Chaque objet a sa propre horloge interne, et chaque objet est capable d'observer (voir) l'horloge interne de l'autre objet. Dans cette situation, les deux affirmations suivantes sont vraies:

  • L'objet $ A $ voit l'horloge de l'objet $ B $ tourner plus lentement que sa propre horloge.

  • L'objet $ B $ voit l'horloge de l'objet $ A $ tourner plus lentement que sa propre horloge.

Ce est symétrique. Les deux objets se comportent de manière symétrique, de sorte que leurs observations des horloges de l'autre sont nécessairement également symétriques.

La deuxième situation est plus compliquée, car pour que chaque objet observe l'horloge de l'autre objet, une sorte de signal doit voyager de chaque objet à l'autre. Par exemple, chaque objet pourrait diffuser continuellement l'heure selon sa propre horloge interne, en utilisant une sorte de signal radio pour la diffusion. Plus important encore, cette situation implique plus que les deux objets; il s'agit aussi des signaux radio qui voyagent d'un objet à l'autre. C'est pourquoi la deuxième situation est plus compliquée.

Les deux situations décrites ci-dessus, la première et la seconde, sont décrites par relativité restreinte en utilisant précisément les mêmes principes. Les principes sont les mêmes, mais les situations sont différentes. La deuxième situation est symétrique, et la première ne l’est pas.


Appendix

Pour plus de commodité, cette annexe résume comment les "principes" mentionnés dans le dernier paragraphe peuvent être exprimés mathématiquement. Dans l'espace-temps plat (qui est l'arène de la relativité restreinte), nous pouvons choisir un système de coordonnées $ t, x, y, z $ dans lequel l'incrément de temps propre $ d \ tau $ est donné par $$ d \ tau ^ 2 = dt ^ 2 - \ frac {dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2} {c ^ 2} \ tag {1} $$ $ c $ est la vitesse d'aspiration de la lumière et $ dt, dx, dy, dz $ sont les les incréments de coordonnées le long de toute partie infinitésimale de la ligne du monde de l'objet. L'équation (1) n'a de sens que lorsque le côté droit est non négatif, ce qui est un autre principe: la ligne du monde d'un objet physique doit être telle que le côté droit de (1) soit non négatif. Un autre principe donne une recette pour convertir l'équation du temps propre en une équation qui décrit le mouvement d'objets tombant librement. Appliquée à l'équation (1), cette recette dit que la ligne du monde d'un objet tombant librement est telle que $ x, y, z $ sont tous proportionnels à $ t $ . Pour une entité sans masse tombant librement, comme une impulsion de lumière, la ligne du monde est telle que le côté droit de (1) est zéro . Cela revient à appeler la constante $ c $ la "vitesse de la lumière". En utilisant ces principes, nous pouvons analyser les deux types de situation décrits ci-dessus. Les principes relatifs au mouvement d'entités sans masse tombant librement sont utilisés, par exemple, pour déterminer comment la lumière ou les signaux radio se propagent d'un objet à l'autre dans le deuxième type de scénario.

Shuheng Zheng
2019-09-16 08:27:42 UTC
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Tout est clair une fois que vous vous souvenez que la simultanéité est relative.

Regardons un cas simple où l'image F 'se déplace vers la droite avec la vitesse v par rapport à l'image F, en d'autres termes, F se déplace à -v par rapport à F'.

La transformation de Lorentz dans une direction est donnée par \ begin {align} x '& = \ gamma (x-vt) \\ t '& = \ gamma (t - \ frac {v} {c ^ 2} x) \ end {align}

Si vous corrigez $ x '= 0 $ , alors $ t' $ serait l'heure de l'horloge à l'intérieur de F '. Spectacles de substitution simples \ begin {align} x = vt & \ Rightarrow t '= \ gamma (t- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2} t) \\ & \ Rightarrow t '= \ frac {t} {\ gamma} \ end {align}

Nous désignons généralement ce $ t '$ par $ \ tau $ et l'appelons l'heure appropriée car l '"horloge" est fixée à $ x' = 0 $ dans l'image F '. Nous pouvons voir la dilatation du temps dans ce cas.

Cependant, à l'instant $ \ tau $ dans l'image F ', on peut se poser la question de ce que l'observateur à l'image F' voit à ce moment sur le horloge assise à l'image d'origine F? L'essentiel ici est que at ce moment signifie différentes choses pour F 'et pour F en raison de la relativité de la simultanéité. Dans le diagramme de Minkowski, il est incliné.

Si nous corrigeons $ t '= \ tau $ pour une valeur de $ \ tau $ , nous pouvons comprendre ce que se trouve $ t $ à $ x = 0 $ . \ begin {align} \ tau& = \ gamma (t-0) \\ \ frac {\ tau} {\ gamma} & = t \ end {align} Ici, nous pouvons désigner $ t $ par quelque chose d'autre comme $ \ overline {t} $ le signifiantc'est ce que l'observateur F 'voit sur l'horloge à l'origine de F. Vous pouvez voir que les deux observateurs pensent qu'il y a un ralentissement et à la racine ça marche parce que la simultanéité est relative.



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