Pour le moment, la masse est l’une des grandeurs définies de manière axiomatique dans le système MKS (mètre, kilogramme, seconde). Comme pour les axiomes en mathématiques, d'autres unités peuvent et ont été définies, puis les unités (MKS) deviennent dérivées.

Les modèles théoriques de la physique utilisent les mathématiques avec leurs axiomes, et en plus imposent des axiomes et des énoncés axiomatiques supplémentaires pour relier les solutions mathématiques aux observations et données et pour prédire de nouvelles situations. En physique des particules, c'est le modèle standard.

Depuis l'Antiquité, il existe deux écoles de pensée, la platonicienne, qui peut être encapsulée dans «les mathématiques créent la réalité», et la pragmatique, qui peut être résumée en «observations et données de modèles mathématiques» .

Dans mon observation, de nombreux théoriciens et physiciens théoriquement enclins appartiennent à l'école platonicienne. Habituellement, les physiciens expérimentaux appartiennent au pragmatique, car ils savent comment la théorie de la physique d'une génération devient une théorie émergente de la théorie actuelle dans la prochaine génération.

Si les platoniciens ont raison et qu'il existe une théorie de tout (TOE) et que les masses des particules élémentaires dans le modèle standard de la physique des particules sortent comme des prédictions de la TOE, la réponse à votre question sera "oui" .

Pour le moment, les pragmatistes sont sur l'ascendant donc la réponse est que non, il n'y a pas de prédiction de masses élémentaires dans les modèles actuels de physique.

Oui, la masse a une explication géométrique.La masse d'un système est la grandeur ou la «longueur» de son énergie-impulsion à quatre vecteurs $ p = (E, p_x, p_y, p_z) $ , en utilisant leMétrique de Minkowski $ \ text {diag} (1, -1, -1, -1) $ d'espace-temps à quatre dimensions.C'est l'interprétation standard de

$$ m ^ 2 = p \ cdot p = E ^ 2-p_x ^ 2-p_y ^ 2-p_z ^ 2 $$

en unités où $ c = 1 $ .

Oui; vous pouvez dériver la masse de la théorie des représentations du groupe de Lie $ {\ rm Spin} (3,1) $ .

C'est une longue histoire, mais je pense que je peux la résumer utilement. Si vous avez besoin d'élargir davantage certains domaines, veuillez le dire dans les commentaires.

Tout d'abord, une définition. Le groupe de Lie $ {\ rm SO} (3,1) $ décrit le monde dans lequel nous vivons selon la relativité restreinte. C'est le groupe de jauge local de l'espace-temps, c'est donc la signification exacte de la géométrie dans votre question. Le groupe de Lie $ {\ rm Spin} (3,1) $ est la double couverture de $ {\ rm SO} (3,1) $ , et c'est simplement connecté [note 1].

Comment la théorie de la représentation apparaît-elle? Imaginez que vous fassiez une expérience, avec des entrées $ x $ et que vous obteniez une sortie $ y = f (x) $ . Les résultats doivent être invariants sous le groupe de jauges $ G $ , qui pourrait être $ {\ rm SO} (3) $ si nous ne sommes pas relativistes ou $ {\ rm SO} (3,1) $ si nous utilisons la relativité restreinte. Il inclut également les traductions par $ {\ mathbb R} ^ 3 $ ou $ {\ mathbb R} ^ 4 $ span> mais ceux-ci sont moins importants pour l'histoire de la masse. Quoi qu'il en soit, l'invariance sous $ G $ signifie que $ f (gx) = gf (x) $ pour $ g \ in G $ . Cela signifie que $ f $ est en fait une représentation de $ G $ . Ainsi, une particule fondamentale est en fait décrite par une représentation de $ {\ rm SO} (3,1) $ .

Alors pourquoi $ {\ rm Spin} (3,1) $ ? En physique, nous notons que nous devons inclure des représentations de spin de $ {\ rm SO} (3,1) $ , nous entendons par là des représentations de la double couverture $ {\ rm Spin} (3,1) $ . Phénoménologiquement, c'est certainement vrai, car les fermions sont décrits par une représentation de spin, et ils existent!

D'accord, alors quelle est la théorie de la représentation de $ {\ rm Spin} (3,1) $ ? Utilisons la convention de signe $ (+, -, -, -) $ . Il existe 3 types de représentation, correspondant à un $ p_i = (p_0, p_1, p_2, p_3) $ [note 2] de longueur au carré $ p ^ 2 = p_0 ^ 2-p_1 ^ 2-p_2 ^ 2-p_3 ^ 2 $ pour lequel $ p ^ 2<0 $ , $ p ^ 2 = 0 $ ou $ p ^ 2>0 $ . Dans chaque cas, on regarde le sous-groupe $ H_p<G $ qui corrige $ p_i $ , on trouve les représentations de $ H_p $ , et nous induisons ces représentations vers $ G $ . C'est ce qu'on appelle la théorie de Mackey. Pour $ p ^ 2<0 $ , nous obtenons des tachyons, qui peuvent ou non être physiques, mais dans tous les cas, nous n'en discuterons pas davantage. Pour $ p ^ 2 = 0 $ (mais $ p_i $ n'est pas le vecteur 4 nul), nous obtenons des particules légères sans masse avec $ H_p \ cong {\ rm SO} (2) $ [note 3]. La théorie des représentations de $ {\ rm SO} (2) $ décrit la polarisation. Mais le cas important pour nos besoins est $ p ^ 2>0 $ . Ici, $ H_p \ cong {\ rm Spin} (3) $ , qui est la double couverture de $ {\ rm SO} (3) $ [note 4]. Le groupe de Lie $ {\ rm Spin} (3) $ a une représentation irréductible dans chaque dimension. Si une particule correspond à une représentation irréductible de dimension $ m $ , on dit que la particule a un spin $ (m-1 ) / 2 $ . Si $ m $ est impair (donc le spin est un entier) nous avons un boson, sinon nous avons un fermion.

Nous avons fait un petit voyage dans la théorie de la représentation, mais le point important pour nos besoins est que la représentation correspondant à une particule massive dépend fondamentalement du 4-momentum $ p_i $ par sa longueur au carré $ p ^ 2>0 $ . Mais la longueur est sa masse. Le 4-momentum est $ p_i = (E, {\ bf p}) $ , où $ E $ span > est l'énergie (combinée de la masse au repos et de la cinétique) et $ {\ bf p} = (p_1, p_2, p_3) $ est le moment non relativiste. Dans l'image restante de la particule, le 4-momentum est $ (E, {\ bf 0}) $ , donc $ p = E $ . Maintenant l'équation probablement la plus connue en physique, $ E = mc ^ 2 $ , termine l'histoire et vous dit qu'une particule fondamentale doit avoir une masse bien définie .

Notes

• [note 1]: Vous pouvez voir $ {\ rm Spin} (3,1) $ décrit comme $ {\ rm SL} (2, {\ mathbb C}) $ . Ces groupes sont isomorphes, mais je trouve qu'il est plus utile pour cette histoire de considérer cela comme une coïncidence.
• [note 2]: Les physiciens écrivent en fait $ p ^ i $ plutôt que $ p_i $ , mais le sens est essentiellement le même.
• [note 3]: En fait, la double couverture $ {\ rm Spin} (2) $ de $ {\ rm SO} (2) $ , mais ils sont isomorphes, donc ce n'est pas trop important.
• [note 4]: Encore une fois, $ {\ rm Spin} (3) $ est souvent décrit comme $ { \ rm SU} (2) $ , mais pour nos besoins, il vaut mieux considérer cela comme une coïncidence.

Flectures supplémentaires

• Gerald B. Folland, Théorie quantique des champs: un guide touristique pour les mathématiciens

Cette question peut être considérée comme un doublon de https://physics.stackexchange.com/questions/434664/physical-meaning-of-the-casimir-operators-of-poincarè-algebra.

La masse ou plutôt $ m ^ 2 $ est un invariant de Casimir de l'algèbre de Poincaré.Le deuxième invariant est spin, ou plutôt $ - m ^ 2 s (s + 1) $ .

En physique de base, les grandeurs fondamentales sont définies en fonction de la façon dont elles sont mesurées: longueur avec une règle, temps avec une horloge et masse avec une balance inertielle.(Je pense qu'il serait plus judicieux de mesurer la force avec une échelle à ressort, puis de définir la masse avec la loi de Newton.)