La relativité générale est une théorie mathématique qui généralise la théorie spéciale de la relativité et de la mécanique. Il s'avère que l'on peut traiter les effets gravitationnels comme des forces non inertielles, grâce à l'un des principes qui régit cette théorie, qui est également considéré comme le plus important, à savoir le principe d'équivalence postulé par Einstein. Que la métrique de l'espace-temps doive être localement plate, c'est-à-dire minkowskienne, est une conséquence de ce principe. En fait, le principe d'équivalence stipule que dans un référentiel en chute libre, c'est-à-dire une référence où il n'y a pas de forces d'inertie, les lois de la physique sont celles de la relativité restreinte. Comme vous êtes mathématicien, il n'est pas nécessaire que je vous rappelle que si une variété a un tenseur de courbure nul, alors il y a des coordonnées globales sur la variété telles que les composantes du tenseur métrique, disons $ g $, sont exactement celles du Métrique de Minkowski $ \ eta = \ operatorname {diag} (1, -1, -1, -1) $.

La métrique $ g $ sur la variété $ M $ décrivant l'espace-temps n'est pas a-priori donné, mais il est déterminé par la distribution de la matière. Vient maintenant votre question sur les objets de la relativité générale. Ces objets sont toutes sortes d'objets géométriques que vous pouvez construire sur une variété (lisse). Ainsi, vous aurez des tenseurs de n'importe quel rang, et même des spineurs de n'importe quel rang. Ce qui en fait des objets physiques, c'est simplement leur interprétation. Equations de champ d'Einstein

$$ \ text {Ric} - \ frac12 \ operatorname {Tr} (\ text {Ric}) g = \ chi T, $$

où $ \ text {Ric} \ in T ^ * M \ otimes T ^ * M $ est le tenseur de Ricci, $ g \ in T ^ * M \ otimes T ^ * M $ la métrique sur $ M $, et $ T \ in T ^ * M \ otimes T ^ * M $ le tenseur énergie-contrainte, vous donne la métique $ g $ en termes de distribution énergie-matière $ T $ sur $ M $, c'est-à-dire juste une densité de tenseur sur $ M $.

Le problème mathématique de l'étude des géodésiques sur une variété $ M $ décrite par une métrique $ g $ est l'équivalent du problème physique de détermination du mouvement d'une particule tombant librement dans le champ gravitationnel généré par une distribution de matière $ T $ tel que la métrique résultante soit $ g $.

L'une des prédictions les plus spectaculaires de la théorie de la relativité générale est l'existence de soi-disant trous noirs. Encore une fois, vous trouvez ces objets en étudiant les propriétés mathématiques des solutions des équations d'Einstein et en leur donnant ensuite une interprétation physique. Il y a une situation difficile en physique où vous ne pouvez pas baser vos théories sur des observations et des expériences. Par conséquent, vous devez commencer par une théorie mathématique et la développer aussi loin que possible. Chaque résultat obtenu est ensuite interprété physiquement. C'est tout à fait la situation de la relativité générale (voir, par exemple, le problème de la détection des ondes gravitationnelles, ou l'observation des singularités nues).

Ces ensembles de paramètres sont généralement appelés champs de matière . Ils contribuent au GR du "côté droit" de l'équation

$$ G _ {\ mu \ nu} = T _ {\ mu \ nu} $$

Depuis que vous avez mentionné que vous êtes mathématicien, permettez-moi d'être un peu plus technique et verbeux. L ' espace-temps est donné par une variété lorentzienne $ (M, g) $. Les champs de matière doivent être considérés comme une collection $ \ {\ Phi_A \} _ {A \ in \ mathcal {A}} $ où $ \ mathcal {A} $ est un ensemble d'indexation, avec chaque individu $ \ Phi_A $ étant une section d'un faisceau de fibres $ (E_A, M, \ pi_A) $ sur $ M $. (Il existe des possibilités plus générales pour les champs de matière, mais tenons-nous-en à celles-ci maintenant.) Par exemple, le champ scalaire est donné par un faisceau de lignes complexes trivial sur $ M $, alors que la description habituelle de la théorie de l'électro-magnétisme de Maxwell admet la formulation du champ (le potentiel vectoriel) comme une section du fibré cotangent $ T ^ * M $.

La dynamique des champs est généralement prescrite par certaines équations de mouvements, et leur contribution à la gravité est considérée comme étant leur contribution au tenseur d'impulsion d'énergie

$$ T _ {\ mu \ nu} = T _ {\ mu \ nu} (\ {\ Phi_A \} _ {A \ in \ mathcal {A}}) $$

de cette manière que la condition

$$ \ nabla ^ \ mu T _ {\ mu \ nu} = 0 $$

où $ \ nabla $ est la dérivée covariante de la métrique $ g $ est satisfait. (Ceci est dû au fait que l'identité doit tenir pour le côté gauche de l'équation d'Einstein selon l'identité de Bianchi contractée.)

Notez que la relativité générale en elle-même est une théorie de la gravité. Il ne spécifie pas vraiment quels sont les champs de matière. Elle exige seulement que les champs de matière, lorsqu'ils existent, aient une dynamique qui obéit à la loi de conservation donnée par la condition de divergence sur le tenseur énergie-impulsion. Pour obtenir un modèle physique réel du monde, vous devrez trouver des règles qui régissent le comportement des champs de matière. En physique moderne, c'est généralement par une sorte de principe d'action , puisque les équations d'Euler-Lagrange seront automatiquement compatibles avec la condition de divergence ci-dessus, si vous prenez $ T _ {\ mu \ nu} $ à être l'énergie de contrainte d'Einstein-Hilbert générée à partir du principe d'action.

En GR, les "objets" (quels qu'ils soient pour votre problème) doivent être mappés sur le tenseur énergie-contrainte, que les équations du champ GR relient à la courbure de la variété. Cette cartographie ne fait pas vraiment partie de GR, mais elle fait sûrement partie de l'application quotidienne de GR, bien qu'elle diffère selon le problème et le niveau de description des objets physiques utilisé.

Une introduction objet physique qui est souvent utilisé comme exemple dans les textes introductifs de GR pour autant que je sache est «poussière», pour citer Schutz: «« poussière »est définie comme une collection de particules, qui sont toutes au repos dans un Lorentz Cadre". Vous définissez une densité des particules dans un volume, et la composante de flux d'impulsion $ \ alpha $ des particules à travers chaque surface perpendiculaire de constante $ \ beta $ dans l'espace-temps est l'une des composantes du tenseur d'énergie de contrainte $ T ^ { \ alpha \ beta} $. Donc $ T ^ {00} $ sont les composantes énergétiques des particules de poussière sur une surface de temps constant, c'est-à-dire la densité d'énergie.

À partir de là, vous pouvez continuer à ajouter des objets plus complexes tels que des fluides ou des champs électromagnétiques, etc. tant que vous les associez au tenseur énergie-stress.

Je dirais qu'en ce qui concerne la relativité générale, "objet" est un terme assez vague. Ce que l'on regarde vraiment, c'est une certaine perturbation du tenseur énergie-stress. Les équations d'Einstein (sans constante cosmologique) sont $ G _ {\ mu \ nu} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} T _ {\ mu \ nu} $, qui définit une relation entre la courbure d'Einstein, et donc la métrique, et le tenseur énergie-contrainte en un point donné. Je pense que ce tenseur est ce que ces "paramètres" que vous recherchez, car il définit la densité d'énergie, le flux d'énergie, la contrainte de cisaillement et la pression.

Les «objets» qui sont des études en physique relativiste sont les mêmes que ce que les gens étudient en physique non relativiste. Prenons quelques exemples:

• Si vous êtes concerné par la mécanique relativiste, vous pouvez considérer des objets étendus comme des bâtons de longueur L et calculer des moments d'interaction. (Ici l'objet est la tige)

• Si vous étudiez la mécanique quantique, vous étudierez l'équation de Dirac plutôt que l'équation de Schrodenger (ici les objets étudiés sont des électrons)

• Si vous étudiez la mécanique statistique, vous pouvez étudier l'équation d'état en utilisant un gaz de photons plutôt qu'un gaz non relativiste. (pas si l'objet ici s'applique à moins que nous ne parlions de la collection de photons eux-mêmes)

Les choses de base qui sont étudiées sont toujours les mêmes que vous étudieriez en non -physique relativiste. Rien n'y change vraiment. Ce qui change, c'est la géométrie des variétés sous-jacentes où vivent les objets d'étude. Cela ajoute généralement deux choses, que vous parliez de relativité restreinte ou générale:

• Des termes supplémentaires dans les potentiels utilisés pour décrire les interactions entre les 'objets'

• Termes supplémentaires dans les équations de mouvements qui résultent de la géométrie de l'espace-temps dans lequel vivent les objets.

La relativité générale est toujours la physique, alors regardez d'abord la physique pour comprendre ce que vous essayez d'étudier. Les questions posées sont toujours les mêmes. Je sais que parfois, il est difficile de voir que lorsque vous ouvrez un livre qui parle de relativité générale et que la discussion tourne autour des connexions, de la courbure, de l'algèbre extérieure, etc., mais les objets d'étude sont toujours là, comme vous l'affirmez correctement. :) Ma suggestion est d'ouvrir un livre de physique de base et ensuite d'essayer de trouver les analogues relativistes de ce que vous voyez là-bas dans des livres plus avancés comme Misner, Thorne et Wheeler Gravitation ou la Relativité Générale de Robert Wald. Ils ont tous deux des approches très physiques de la GR et vous aurez peut-être plus de facilité à trouver les «objets» de cette façon.

Le GR classique ne peut étudier que des objets modélisables par des champs tensoriels (sur la variété lorentzienne de l'espace-temps). La métrique, bien sûr, est elle-même un champ tenseur, et les lois de la nature doivent prendre la forme d'assimiler deux champs tensoriels avec les mêmes propriétés de covariance , c'est-à-dire du même type. Maintenant, ce serait assez idiot si la métrique elle-même n'était pas utilisée dans l'équation, donc cela impose des limites à sa recherche ...

Si la matière est considérée comme une sorte de distribution continue, comme une densité, il peut être bien modélisé par le tenseur énergie-contrainte mentionné par les autres affiches. L'hydrodynamique peut également être très bien réalisée. L'électromagnétisme, moins bien, mais quelque chose peut être fait. Pour répondre très directement à votre question, alors, les seuls paramètres sont les coordonnées de l'espace et du temps et les seuls objets sont ces champs tensoriels, et cela limite GR de sorte qu'il ne peut pas faire un bon travail compte tenu des effets quantiques comme les ondicules ou le spin. Les particules classiques peuvent être traitées en laissant la densité de la matière, considérée comme une sorte de «fluide» (je pense que c'est un meilleur mot que poudre ou poussière) de masse-énergie, avoir des singularités, elles n'ont définitivement pas obtient n'importe quel type de paramètre qui lui est propre. À cet égard, cela ressemble beaucoup à la dynamique et à l'hydrodynamique newtonienne et eulérienne.