Les opérateurs p et x en tant qu'opérateurs n'ont pas de vecteurs propres au sens strict. Ils ont des vecteurs propres distributionnels qui ne sont définis que dans un espace de fonctions plus grand que l'espace des fonctions d'onde à normalisation carrée, et qui ne devraient être considérés comme significatifs que lorsqu'ils sont légèrement enduits par une fonction de test lisse.

La normalisation pour $ \ langle \ psi_p | \ psi_p \ rangle $ est infini, car l'onde p est étendue sur tout l'espace. De même, la normalisation de la fonction d'onde de la fonction delta, le vecteur propre de l'opérateur x, est infinie, car le carré d'une fonction delta a une intégrale infinie.

Vous pouvez énoncer votre paradoxe en utilisant $ | x \ rangle $ déclare aussi:

$$ i \ hbar \ langle x | x \ rangle = \ langle x | (\ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x}) | x \ rangle = x \ langle x | \ hat {p} | x \ rangle - \ langle x | \ hat { p} | x \ rangle x = 0 $$

parce que $ | x '\ rangle $ n'est défini que lorsqu'il est un peu enduit, vous devez utiliser une variable séparée pour les deux occurrences de x' . Alors écrivez la matrice complète pour ce cas:

$$ i \ hbar \ langle x | y \ rangle = x \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle - \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle y = (xy) \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle $$

Et maintenant x et y sont des variables séparées qui peuvent être étalées indépendamment, comme obligatoire. Les éléments de la matrice de l'opérateur p sont le dérivé d'une fonction delta:

$$ \ langle x | \ hat {p} | y \ rangle = -i \ hbar \ delta '(xy) $$

Donc ce que vous obtenez est

$$ (xy) \ delta '(xy) $$

Et vous prenez $ x = y $ naïvement en définissant le premier facteur à zéro sans remarquer que le facteur de la fonction delta est horriblement singulier, et le résultat est donc mal défini sans une évaluation plus attentive. Si vous multipliez par des fonctions de test lisses pour x et y, pour étaler un peu la réponse:

$$ \ int f (x) g (y) (xy) \ delta '(xy) dx dy = \ int f (x) g (x) dx = \ int f (x) g (y) \ delta (xy) $$

Où le premier identifiant vient de l'intégration par parties dans x, et de la mise à zéro de tous les termes qui disparaissent sous l'évaluation de la fonction delta. Le résultat est que

$$ (xy) \ delta '(xy) = \ delta (xy) $$

Et le résultat n'est pas nul, il est en fait cohérent avec la relation de commutation. Cette équation à fonction delta apparaît, avec explication, dans le premier chapitre mathématique des «Principes de la mécanique quantique» de Dirac.

Il est malheureux que des manipulations formelles avec des distributions conduisent à des paradoxes si faciles. Pour un paradoxe apparenté mais différent, considérons la trace de $ \ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x} $.

Comme il semble que vous n'êtes pas entièrement satisfait de la réponse de Ron Maimon, je vais la présenter d'une manière un peu différente.

Le problème est que dans votre dérivation, vous avez une ambiguïté cachée. $$ \ langle {\ psi} _p \ vert \ hat {x} \ vert \ psi_p \ rangle = \ infty \; \; \; \; \; \Flèche droite \;\;\;\;\; \ langle [\ hat {x}, \ hat {p}] \ rangle = ... = (pp) \ langleψ_p | \ hat {x} | ψ_p \ rangle = 0 \ cdot \ infty = \ text {n'importe quel nombre} $$ Le problème vient des fonctions. Les fonctions propres de l'opérateur momentum et de l'opérateur coordonné ne sont pas vraiment des fonctions. Ils n'appartiennent pas à l'espace des fonctions intégrables et vous ne pouvez donc pas travailler librement avec eux en prétendant qu'ils le sont. Parfois, vous pouvez, mais si vous le faites à un moment donné, vous vous retrouvez en difficulté.

Si vous prenez une fonction "correcte" et faites le calcul, vous ne trouverez aucun problème. Prenons par exemple $$ \ psi (x) = \ frac1 {\ sqrt {\ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$ Puis $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x) x \ left (-i \ hbar \ frac {∂} {∂x} \ right) \ psi (x) dx = i \ hbar \ frac1 {\ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ 2 e ^ {x ^ 2} dx = i \ hbar \ frac1 {2 \ sqrt {\ pi}} $$$$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi (x) \ left (-i \ hbar \ frac {∂} {∂x} \ right) x \ psi (x) dx = i \ hbar \ frac1 {\ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left (x ^ 2- 1 \ right) e ^ {x ^ 2} dx = i \ hbar \ frac1 {2 \ sqrt {\ pi}} - i \ hbar $$ La différence est ce à quoi vous vous attendiez.

Si vous prenez $ \ psi_a (x) = \ frac1 {a} \ psi (x / a) $ et notez que $ \ lim_ {a \ to0} \ psi_a (x) = \ delta ( x) = \ vert x \ rangle $ vous aurez une idée de la façon dont ce paradoxe pour $ \ vert x \ rangle $ peut être résolu et vérifier que la solution est une manière correcte de gérer $ 0 \ cdot \ infty $. Une astuce similaire peut être utilisée pour résoudre votre paradoxe. Seules les fonctions qui ont $ \ psi_p $ comme limite sont moins commodes.

Je pense que le paradoxe vient du fait que $ \ hat {p} $ n'est pas un opérateur hermitien dans la représentation $ x $ au sens strict $ \ langle \ alpha | \ hat {p} |\ beta \ rangle \ neq \ langle \ beta | \ hat {p} | \ alpha \ rangle ^ * $ en représentation $ x $. Puis nous suivons de près l'action de $ \ hat {p} $, $ \ langle x | \ hat {p} | \ alpha \ rangle = -i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} \ langle x |\ alpha \ rangle $.

$$ \ langle x |\ hat {x} \ hat {p} - \ hat {p} \ hat {x} | x \ rangle = \ langle x |\ hat {x} \ hat {p} | x \ rangle - \ langle x |\ hat {p} \ hat {x} | x \ rangle = x \ langle x |\ hat {p} | x \ rangle + i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} \ langle x | \ hat {x} | x \ rangle $$ $$ = x (-i \ hbar) \ frac {\ partial} {\ partial x} \ delta (0) + i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial x} x \ delta (0) = i \hbar $$