Une arme à feu exerce-t-elle suffisamment de gravité sur la balle qu'elle a tirée pour l'arrêter?

Non.

Est-ce que, compte tenu d'un laps de temps assez long, la balle retomberait sur l'arme?

No.

Ou y a-t-il une limite à la distance que la gravité peut atteindre?

Non.

Mais la vitesse de la balle dépasse la vitesse d'échappement. Voir Wikipedia où vous pouvez lire que la vitesse d'échappement à une distance donnée est calculée par la formule

$$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$

Imaginez que vous jouez ce scénario à l'envers. Vous avez une balle et un pistolet, distants de plusieurs milliards d'années-lumière, immobiles les uns par rapport aux autres. Vous regardez et attendez, et après un milliard d'années, vous remarquez qu'ils se rapprochent les uns des autres à cause de la gravité. (Pour simplifier les choses, nous dirons que le pistolet est immobile et que la balle tombe vers le pistolet). Après un autre bazillion d'années, vous avez suivi la balle jusqu'à l'arme et vous remarquez qu'elle entre en collision à 0,001 m / s. Vous vérifiez vos sommes et vous vous rendez compte que c'est à peu près correct, étant donné que si l'arme était aussi massive que 5,972 × 10 $ ^ {24} $ kg de la Terre, la balle l'aurait heurtée à 11,7 km / s. La vitesse de fuite est la vitesse finale d'un corps en chute qui commence à une distance «infinie». Si vous lancez un projectile depuis la Terre avec plus que la vitesse d’échappement, il ne reviendra jamais.

OK, revenons maintenant au scénario d'origine. Vous tirez avec le pistolet et la balle part à 1000 m / s. Lorsque la balle est à un million d'années-lumière, sa vitesse est réduite à 999,999 m / s. Parce que la vitesse d'échappement du pistolet est de 0,001 m / s. La gravité de l'arme ne sera jamais suffisante pour arrêter cette balle, même si elle avait tout le temps du monde et tout le thé en Chine.

Comme mentionné par Stephen Mathey dans les commentaires, pour chaque corps de masse $ M $ et de rayon $ r $, il y a une vitesse à atteindre pour échapper complètement à la gravité du corps. C'est la vitesse d'échappement $$ v_e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$ où $ G $ est la constante de gravité de Newton, $ M $ est la masse du corps dont vous vous échappez, et $ r $ est la distance du centre de masse à laquelle la vitesse de fuite doit être atteinte.

Habituellement, on applique ce concept aux planètes (ou lunes) où $ r $ est le rayon de la planète (lune) et la vitesse d'échappement est la vitesse dont une fusée aurait besoin (en termes de Delta-v) pour s'échapper de la planète (lune). Ici, vous pouvez prendre la distance entre le centre de masse du pistolet et l'ouverture du canon. Alors qu'elle est toujours dans le canon, la balle peut encore accélérer en raison de l'expansion des gaz. Disons que la distance est de 10 $ ~ \ mathrm {cm} $. Supposons également que le pistolet pèse un kilogramme. Ensuite, la vitesse d'échappement est aussi petite que $ 37 ~ \ mu \ mathrm {m} / \ mathrm s $.

Donc, oui, cette balle ne reviendra certainement pas.

Pour une réponse un peu extrême: quelle doit être la masse du pistolet pour avoir une vitesse de fuite supérieure à la vitesse de la balle? Je suppose que nous utilisons un 357 Magnum tiré d'un Desert Eagle, qui se trouve en fait sur l'extrémité basse à moyenne de l'échelle de vitesse initiale:

source: http://wredlich.com/ny/2013/01/projectiles-muzzle-energy-stopping-power/

Un Desert Eagle a un canon de 15 cm. En utilisant la formule fournie dans d'autres réponses:

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2GM} {r}} $$

Remplissez les nombres:

$$ v_ \ mathrm e = \ sqrt {\ frac {2 \ fois G \ fois M} {0.15 \ \ mathrm m}} $$ $$ (410 \ \ mathrm {m / s}) ^ 2 = \ frac {2 \ fois G \ fois M } {0,15 \ \ mathrm m} $$ $$ 1,68 \ times10 ^ 5 \ \ mathrm {m ^ 2 \ s ^ {- 2}} = 13 \ \ mathrm {m ^ {- 1}} \ fois G \ fois M $$ $$ M = 1,9 \ times10 ^ {14} \ \ mathrm {kg} $$

Remarque: je ne suis pas sûr de la précision de ce nombre. J'ai entré ces variables dans 2 calculatrices en ligne. 1 d'entre eux a trouvé cette réponse ( http://calculator.tutorvista.com/escape-velocity-calculator.html), l'autre a proposé un nombre qui est le même, mais plusieurs ordres de grandeur plus petits: 1889,4434 $ \ \ mathrm {kg} $ ( https://www.easycalculation.com/physics/classical-physics/escape- velocity.php). Je ne sais pas pourquoi ces 2 nombres sont si différents.

La gravité de l'arme exercera toujours une force sur la balle. La balle ralentira de plus en plus pour toujours. Le taux de sa décélération est inversement proportionnel au carré de la distance du canon. Plus il est loin, plus la décélération est lente.

Il est logique de penser que quelque chose qui ralentit pour toujours finira par s'arrêter. Mais ce n'est pas toujours vrai.

À mesure que la balle ralentit, elle perd de l'énergie cinétique. Cela peut être calculé comme l'intégrale de la force agissant sur elle lorsqu'elle se déplace de la distance $ r_1 $ à $ r_2 $.

$$ \ Delta K = - \ int_ {r_1} ^ {r_2} \ frac {GMm} {r ^ 2} \, dr $$

Cette perte d'énergie n'est jamais nulle, pourtant sa somme totale est bornée. (Par une logique similaire à la façon dont une série géométrique peut être convergente.) Si l'énergie cinétique initiale était supérieure à la limite de la perte d'énergie, il en restera peu importe le temps écoulé. En d'autres termes, la balle ralentira continuellement, mais ne tombera jamais en dessous d'une certaine vitesse.

La vitesse d'échappement mentionnée dans les autres réponses est la vitesse initiale à laquelle la balle a tout aussi beaucoup d'énergie cinétique comme la limite de l'énergie perdue. Si c'est exactement la vitesse initiale, la balle ralentira et sa vitesse tendra à zéro. Si la vitesse initiale est plus élevée, la vitesse de la balle tendra vers une valeur positive. Si la vitesse initiale est inférieure, la balle perdra toute sa vitesse après un certain temps fini et commencera à retomber.

En supposant que la masse du pistolet ($ M $) est beaucoup plus grande que celle de la balle ($ m $), la force nette sur la balle est: (À partir du cadre du pistolet.)

$$ m \ frac {d ^ 2r} {dt ^ 2} = mv \ frac {dv} {dr} = - \ frac {GMm} {r ^ 2} $$

Le l'égalité est obtenue du fait que l'accélération est $ \ frac {dv} {dt} $, ce qui équivaut à $ \ frac {dv} {dr} \ frac {dr} {dt} $, (via la règle de la chaîne) le deuxième terme étant la vitesse.

Après avoir intégré ceci, nous obtenons:

$$ \ frac {mv ^ 2} {2} - \ frac {GMm} {r} = c $$

Si nous supposons que la balle s'arrête à une distance infinie (c'est-à-dire qu'elle échappe au pistolet, pour ne jamais revenir), son énergie à ce moment-là serait nulle.

De ceci, nous obtenons:

$$ v_i = \ sqrt \ frac {2GM} {r} $$ (où $ r $ est la distance du centre de masse de l'arme jusqu'au point où elle a laissé l'arme.)

C'est la vitesse de sortie de la balle. (comme @Jonas et @Steven Mathey et @John Duffield l'ont mentionné.)

Pour toutes les vitesses initiales supérieures à cela, la force gravitationnelle du pistolet serait incapable de ramener la balle. Compte tenu de la faible valeur de $ v_i $ par rapport à la vitesse moyenne des balles, la balle s'échappera la plupart du temps.

(L'hypothèse initiale facilite les calculs, mais ce n'est pas une hypothèse absurde. Cette hypothèse est l'équivalent mathématique de dire que l'arme ne bougerait pas du tout à cause de la force exercée par la balle dessus.)