Non.Il n'y a aucune preuve de cela.

Ce que nous savons, c'est que les modèles qui en découlent nous permettent de prédire correctement le résultat de toutes les expériences à ce jour.Par conséquent, il est accepté pour la même raison que la plupart des hypothèses en physique sont acceptées: cela fonctionne.

Votre question semble être la suivante: les réels tels que définis par les mathématiciens sont caractérisés par une structure algébrique très proche, alors pourquoi devrait-elle avoir quelque chose à voir avec les distances?

Eh bien, le point de la physique est exactement cela: nous utilisons des structures mathématiques pour construire des modèles de choses qui peuvent être mesurées.

Le champ des nombres réels est une structure mathématique. La distance, par contre, est quelque chose que nous pouvons mesurer. En fait, il est en un sens défini par la façon dont il est mesuré.

En fin de compte, votre question est: pourquoi le champ des réels en tant que structure mathématique est un bon modèle pour les distances?

Maintenant, une réponse possible est la suivante. Comment mesurons-nous les distances? Eh bien, nous choisissons quelque chose pour appeler notre unité fondamentale de distance, puis nous prenons deux emplacements $ A $ et $ B $ , et nous demandons "combien de copies de cet objet tiennent entre $ A $ et $ B $ span >? "

Pour être concret, imaginez que vous prenez un bâton en bois comme cet objet fondamental. Appelez-le $ \ mathcal {W} $ . Il est clair que nous avons besoin de $ \ mathcal {W}, 2 \ mathcal {W}, \ dots, n \ mathcal {W} $ pour tout nombre naturel $ n \ in \ mathbb {N} $ pour pouvoir mesurer les distances possibles. La propriété de comptage des naturels fait alors un bon modèle.

Mais cela ne suffit pas. En fait, prenez $ A $ et $ B $ que $ \ mathcal {W} $ à part. Il existe de nombreux endroits entre les deux. Quelles sont leurs distances par rapport à $ A $ ? Il est clair que nous devons également pouvoir parler de $ \ frac {n} {m} \ mathcal {W} $ . Des fractions sont donc également nécessaires pour faire un bon modèle de distances. Nous nous retrouvons donc avec $ \ mathbb {Q} $ .

Maintenant, vous pourriez dire: très bien mais pourquoi des réels qui impliquent maintenant des limites de séquences de Cauchy de $ \ mathbb {Q} $ ?

La réponse est: prenez 2 copies de votre bâton en bois. Placez-en un dans l'horizontale et un autre dans la réunion verticale à un emplacement $ O $ , constituant un $ 2 $ span > -système cartésien dimensionnel. Maintenant, considérons $ A $ l'emplacement auquel vous êtes arrivé en marchant d'une unité le long de chacune de ces directions. Vous vous retrouvez dans le point à travers la diagonale du carré formé par les bâtons de bois.

Serait-il raisonnable que la distance jusqu'à ce point $ A $ ne soit pas définie? Eh bien, dans la situation $ \ mathbb {Q} $ c'est le cas. Mais si vous allez dans les réels, alors ce n'est pas le cas. C'est $ \ sqrt {2} \ mathcal {W} $ distance de $ O $ .

Donc, à la fin, $ \ mathbb {Q} $ est un modèle quelque peu médiocre pour les distances, alors que $ \ mathbb {R} $ en est une bonne. Nous utilisons donc $ \ mathbb {R} $ pour les distances car c'est un bon modèle et en l'utilisant, nous obtenons des prédictions qui peuvent être vérifiées et en accord avec les observations.

À propos, dans le système international d'unités (SI), cette "distance standard" est appelée un mètre.

Une telle preuve n'existe pas.En fait, ce numéro correspond à ce que l'on appelle souvent le «postulat de la règle » dans le jargon du School Mathematics Study Group de l'ère 1960-1970, et peut être attribué à l'axiomatisation de Hilbert de la géométrie euclidienne, oucelle de Birkhoff.

Il est nécessaire de postuler que les points de la ligne géométrique (physique) sont en correspondance avec le continuum des nombres réels tel que construit mathématiquement.Le postulat du souverain est indépendant des autres postulats.Il existe des modèles où d'autres axiomes de Hilbert sont vrais, mais où le postulat de la règle ne l'est pas.

La physique fait des modèles de la réalité.Il y a toujours une certaine inexactitude ou approximation impliquée.Nous ne connaissons pas une description vraie et exacte de l'univers.

Il existe plus d'un modèle.La physique classique fonctionne bien dans la plupart des situations.Quand ce n'est pas le cas, la mécanique quantique ou la relativité peuvent fournir une réponse plus précise.Quand ils ne suffisent pas, il y a qed ou qcd.

Les nombres réels sont utilisés dans tous ces modèles.Nous n'avons pas besoin de preuves ici.Nous définissons simplement les distances comme des nombres réels ou des vecteurs.

Les modèles ne représentent pas parfaitement la réalité ou notre capacité à mesurer la réalité.PAR EXEMPLE.Deux nombres réels peuvent être arbitrairement proches l'un de l'autre ou éloignés l'un de l'autre.Il y a des nombres si petits ou si grands que nous ne pouvons pas mesurer la distance correspondante.Si vous vous trouvez en dessous de l'échelle de Planck ou au-dessus de la taille de l'univers observable, nous ne pouvons même pas dire s'il existe des distances physiquement significatives correspondantes.

D'autres réponses ont abordé ce sujet, mais je voudrais faire un défi de cadre explicite.

Pour que nous puissions faire cela, nous devons établir ce qui suit: ... En d'autres termes, une correspondance individuelle. Y a-t-il une preuve de cela?

Votre question utilise des mots qui n'ont pas de sens dans ce contexte. La preuve est une chose mathématique abstraite qui relie d'autres choses mathématiques abstraites; il part d'une construction mathématique (une proposition), applique des transformations mathématiques (étapes de preuve, axiomes, etc.) et arrive à une construction mathématique différente (par exemple, une valeur de vérité). De même, des concepts tels que "un à un" sont des propriétés d'objets mathématiques tels que des ensembles, des fonctions et des groupes.

Donc, demander si quelque chose d'abstrait (comme des nombres réels) peut être prouvé comme étant "dans une correspondance individuelle avec" quelque chose de physique (comme les distances), c'est un peu comme demander si 1 "égale" une pomme. Ce n'est pas significatif parce que ce sont des choses différentes. Les mathématiques ne s'appliquent pas au monde physique. C'est bien sûr la raison pour laquelle nous avons la physique: pour définir des modèles mathématiques utiles du monde réel sur lesquels nous pouvons raisonner et prouver des propriétés.

La distance est donc définie en termes de nombres réels, non pas parce que l'univers est construit à partir de nombres réels, mais parce que les opérations sur les nombres réels correspondent à des preuves expérimentales sur le comportement de l'univers.

Cela dit, nous avons continué à utiliser des nombres réels pour modéliser les distances, car ils semblent modéliser la réalité "suffisamment bien" pour que nous puissions continuer à faire des prédictions utiles à ce sujet.Et le fait que certaines branches de la physique n'utilisent pas de nombres réels dans des contextes où elles ne font pas de prédictions utiles (par exemple, des entiers en physique des particules et des nombres complexes en mécanique quantique) est en un certain sens leexception qui confirme la règle: si les nombres réels ne modélisent pas suffisamment la distance, de meilleures prédictions utilisant d'autres objets mathématiques inciteraient les physiciens à réviser leurs modèles.

Ce n'est bien sûr pas une preuve formelle (car cela ne peut pas l'être).Nous pouvons découvrir des choses demain pour des expériences qui nous amèneront à réévaluer nos modèles.Nous pouvons constater que la modélisation de la distance avec des nombres réels se décompose dans certaines situations encore inconnues.Mais nous ne pouvons pas le savoir tant que nous n'avons pas trouvé l'expérience qui le montre.

Il y a au moins deux sens de ce que nous pourrions dire ici. Les deux ont des normes de preuve séparées et distinctes, et pour les deux, il est impossible de fournir une telle preuve. Dans les deux cas, la question se résume fondamentalement à "quelle est la structure microscopique des points sur une ligne?" Autrement dit, "comment pouvons-nous décrire tous les points sur eux individuellement et leurs relations les uns avec les autres d'une manière explicite et concrète basée sur des constructions indiscutables?" Il existe, en fait, mathématiquement, de nombreuses, nombreuses manières différentes de mettre en réseau ces points et de nombreux niveaux de détails différents auxquels vous pouvez parler de tels arrangements, ce qui rend cette question d'autant plus pertinente et définitivement loin d'être aussi évident que vous pourriez le penser au premier abord avoir été conditionné par l'enseignement, le forage et la réprimande / "takemywordism".

1. L’un d’eux est un sens purement mathématico-philosophique: la droite numérique réelle représente-t-elle fidèlement ce que nous pensons intuitivement que les distances sont? Il s'agit en fait de quelque chose de connu sous le nom de "Cantor-Dedekind Thesis", et il l'affirme dans l'affirmative ou, plus précisément, que la ligne a voulu et honorée dans la tradition de la géométrie grecque antique et ses élaborations modernes dans les époques post-classiques de L'histoire européenne et islamique a sa microstructure mieux capturée par la construction de ligne réelle moderne de Dedekind.
2. Le second est une question de physique et de science empirique, en particulier une application à l'Univers dans lequel nous vivons: la droite numérique réelle capture-t-elle fidèlement la microstructure des distances le long d'une ligne réelle (où " real "signifie réalité et non" nombres réels ") entre deux points de l ' espace du monde réel dans lequel nos vies réelles se déroulent?

Nous ne pouvons pas fournir de preuve pour l'un ou l'autre. Dans le premier cas, différentes personnes peuvent avoir des intuitions différentes et, de plus, d'un point de vue purement formellement mathématique, cette thèse est comme d'autres comme la "thèse de Church-Turing" concernant le calcul: c'est fondamentalement une affirmation d'une position standard sur le sens d'un terme - ici «distance» ou «microstructure de la ligne», là «calcul» - qui est par nature sujet à contestabilité. Le sens n'est pas quelque chose qui peut être prouvé / réfuté: comme l'illustre la question séculaire du prescriptivisme dans le langage.

Pour le second, nous pouvons, au mieux, réfuter cela en montrant qu'il existait, disons, une échelle de distance minimale absolue. (Soit dit en passant, la longueur de Planck n'est qu'une proposition pour une telle échelle - elle n'est pas prouvée par quelque moyen que ce soit et, en fait, il peut y avoir Nous ne pouvons pas prouver que la structure de l'espace physique est vraiment celle de la droite numérique réelle, ou toute autre chose qui implique des questions sur ce à quoi il ressemble avec une résolution infinie, car toutes nos mesures empiriques ne peuvent jamais avoir une résolution finie si rien d'autre que le simple fait que nous ne pouvons pas réellement stocker la quantité infinie d'informations qu'une mesure infiniment précise représenterait. Cela signifie qu'il n'y a pas de moyen empirique de distinguer l'espace physique de l'isomorphe à $ \ mathbb {R} $ , ou à un espace pixelisé avec une taille de grain 10 $ ^ {- \ mbox {numéro de Graham}} \ \ mbox {US survey feet} $ . Ou, à partir des nombres hyperréels et surréalistes, ou de systèmes plus restreints mais encore assez complexes comme les nombres calculables, qui posent des différences de détail à des échelles infiniment fines inaccessibles. Tout ce que nous pouvons supposer, c'est que l'espace est au moins aussi détaillé et fin que les meilleures mesures que nous avons effectuées jusqu'à présent.

En fin de compte, $ \ mathbb {R} $ est un scientific model, tout comme toutes les autres parties de nos théories physiques sont modèles, et qui est utilisé pour représenter l'espace physique dans toutes les théories qui sont effectivement validées empiriquement. À aucun moment, un modèle ne doit être supposé être réalité, mais plutôt une histoire que nous racontons et langage que nous utilisons pour parler , la réalité , et sa validation empirique que c'est une façon de parler de la réalité qui lui est fidèle en ce qu'elle ne nous amènera pas à croire que des choses arrivent qui n'arrivent pas ou qui n'arrivent pas qui se produisent, dans la mesure de cela. Il y a probablement beaucoup, beaucoup d'autres histoires que nous pourrions raconter à ce sujet qui sont tout aussi bonnes, mais pour lesquelles la contingence historique nous a effectivement aveuglés.

Et la raison pour laquelle nous utilisons $ \ mathbb {R} $ pour créer des modèles est principalement pratique : $ \ mathbb {R} $ est très agréable de travailler mathématiquement. Conceptuellement, il bénéficie d'une structure simple: effectivement, il peut être considéré comme le résultat naturel de vouloir un système numérique intégré et rationalisé dans lequel vous pouvez parler de mesures à des niveaux de précision arbitraires, jusqu'à une précision infinie "propre" ce qui est utile à des fins théoriques. (En effet, il n'est pas trop difficile du tout de passer de cela à une définition formelle ou du moins à une axiomatisation.) De plus, en tant que tel, il finit par être très propre lorsqu'il s'agit de formuler des choses comme le calcul, un outil indispensable de la pratique moderne et construction de modèles physiques et scientifiques.

Aucune des autres alternatives proposées - et il y en a beaucoup - ne s'est jusqu'à présent montrée aussi agréable pour la construction de modèles.Si la réalité n'est pas si belle, très bien, mais même si nous pouvions prouver d'une manière ou d'une autre, $ \ mathbb {R} $ continuerait à être très utile pour travailler avecmodèles approximatifs pour les situations où nous pouvons ignorer sa vraie structure - par exempleà peu près toutes les applications professionnelles et technologiques d'aujourd'hui.Même aujourd'hui, il est utilisé dans les cas où nous savons que les phénomènes sous-jacents ne sont pas vraiment comme $ \ mathbb {R} $ , par exemplede nombreux modèles de croissance démographique décrivent la population comme un nombre réel, de sorte que l'on peut se servir d'outils comme le calcul pour les construire, même si bien sûr nous savons que les populations réelles d'organismes réels ne peuvent jamais être des nombres entiers. $ \ mathbb {R} $ est littéralement aussi bien.

Après une exposition sur la façon dont Descartes fut le premier mathématicien moderne à affirmer une correspondance biunivoque entre les nombres et les segments de ligne (notant que les Grecs auraient pu aussi avoir cette idée, mais l'ont rejetée autrefois incommensurable comme la diagonale d'un carrés ont été trouvés), David Hestenes écrit ce qui suit dans les premières pages de son livre "New Foundations of Classical Mechanics":

"Une notion claire de" l'infini "et avec elle une notion claire du" continuum des nombres réels "n'a été réalisée qu'à la fin du XIXe siècle, lorsque le système numérique a été" arithmétisé "par Weierstrauss, Cantor, et Dedekind. "Arithmétiser" signifie définir les nombres réels en termes de nombres naturels et de leur arithmétique, sans faire appel à aucune intuition géométrique du "continuum". Certains disent que ce développement a séparé la notion de nombre de la géométrie. Il a consommé l'union du nombre et de la géométrie en établissant enfin que les nombres réels peuvent être mis en correspondance un à un avec les points d'une ligne géométrique. La définition arithmétique des "nombres réels" a donné une expression symbolique précise au notion intuitive de ligne continue (Figure 2.4). "

C'est à la page 11 et la figure à la page 10, qui contient une élaboration de la logique mathématique à laquelle il fait allusion. Je pense que vous pouvez le trouver sur Google Livres. Il y a d'autres détails intéressants dans la section concernant les pensées de Newton sur la relation entre la géométrie, la mécanique et la mesure (il dit que la géométrie est un sous-ensemble de la mécanique et que les figures géométriques sont ce qui permet de mesurer le monde physique), les pensées d'Euclide sur la relation entre le nombre et la grandeur, et le rôle de Descartes dans le développement et la vulgarisation de ce que vous avez demandé, la correspondance biunivoque entre les nombres réels et les segments de ligne. Je crois que Descartes a introduit cette idée sans justification formelle et Hestenes note qu'elle a été acceptée sans trop de brouhaha par ses contemporains, probablement parce que la notion de nombre avait subi un changement au cours des millénaires précédents qui a rendu l'équivalence plausible.

Ce que vous demandez se rapporte bien sûr aux axiomes que nous choisissons pour donner un sens au monde et découvrir ce qui est vrai. Vous ne pouvez pas raisonner de nulle part. On pourrait faire un cas similaire à celui de Newton, que la notion de nombre nous est suggérée en observant un monde d'objets différenciés, et la notion de grandeur ou de longueur est suggérée par la forme géométrique prise par le monde et ses objets, de sorte que plus d'une justification est nécessaire pour traiter ces objets comme abstraits et significatifs en dehors d'un contexte physique!

Alors, tout d'abord, qu'est-ce qu'une mesure? Eh bien, en utilisant l'exemple de la longueur, je prends mon bâton de mesure et le pose jusqu'à ce que j'atteigne le point auquel je mesure. Bien sûr, il n'atterrira probablement pas exactement sur le point. Alors je prends un plus petit bâton de mesure et répète avec la distance restante. Cela n'atterrira pas exactement non plus, alors je répète le processus jusqu'à ce que je décide que c'est assez bon. Je m'arrête alors là et appelle cela une mesure.

Cependant, ce n'est pas parce que j'ai décidé que c'était assez bon que ce serait définitif. Peut-être ai-je laissé mes lunettes à la maison ce jour-là et je n'ai pas pu bien juger, ou peut-être que quelqu'un d'autre vient avec un microscope et peut voir que ce n'est pas le cas, ou peut-être que quelqu'un invente un bâton de mesure encore plus petit à utiliser. A chaque amélioration de notre appareil de mesure, les mesures doivent se rapprocher de plus en plus (elles forment une séquence de Cauchy). Nous aimerions certainement penser qu'une telle séquence de mesures converge vers la longueur réelle de tout ce que nous mesurons - c'est-à-dire que toutes les séquences de longueurs de Cauchy convergent. Cela signifie que quel que soit le type de longueur des objets mathématiques, ils forment un espace métrique complet .

OK, mais il y a beaucoup d'espaces métriques complets en mathématiques. Que voudrions-nous faire d'autre avec les longueurs? Eh bien, regardons de plus près cette procédure de mesure. Il était assez clair que nous devions être en mesure d'ajouter des longueurs lors de la disposition de nos bâtons de mesure, et je ne pense pas qu'il soit trop controversé de suggérer que nous devrions également être en mesure de les soustraire. Cela signifie que les longueurs forment un groupe . De plus, nous devons être en mesure de dire que certaines longueurs sont plus longues que d'autres d'une manière qui interagit sensiblement avec leur addition. Cela signifie que les longueurs sont un groupe ordonné . Enfin, il semble clair que nous ne devrions avoir à disposer notre bâton de mesure qu'un nombre fini de fois pour une longueur raisonnable. Les longueurs doivent donc également être un groupe ordonné d'Archimède .

Bien qu'il existe de nombreuses structures mathématiques qui possèdent certaines de ces propriétés, il n'y a que trois groupes ordonnés archimédiens qui sont également des espaces métriques complets: $ \ { 0 \} $ , $ \ mathbb Z $ et $ \ mathbb R $ .

• Si des longueurs habitent $ \ mathbb Z $ , alors l'univers est discret. Chaque longueur est un multiple fixe d'une longueur de base et, à petite échelle, l'univers ressemble à une grille. Il existe un certain nombre de théories qui le postulent, mais aucune expérience n'a trouvé une longueur fondamentale indivisible. Il est possible qu'ils le soient - on pensait autrefois que la charge était continue, mais nous savons maintenant qu'elle se présente sous forme de multiples entiers de $ e $ .
• Si des longueurs habitent $ \ mathbb R $ , alors l'univers est continu. Les longueurs sont divisibles à l'infini, et quelle que soit la distance à laquelle vous zoomez, il existe toujours un continuum de points. L'univers semble certainement semble continu, bien qu'il soit difficile de penser à un moyen de le distinguer du cas discret avec une très petite longueur indivisible.
• Si des longueurs habitent $ \ {0 \} $ , l'univers ne contient qu'un seul point. Ceci est largement considéré comme exclu par l'expérience.

C'est donc à peu près tout ce que nous pouvons faire.Il est difficile de prouver expérimentalement que $ \ mathbb R $ décrit vraiment l'univers au lieu d'être un très bon $ \ mathbb Z $.Mais nous pouvons au moins être à peu près sûrs que si les mesures sont significatives, c'est l'une des deux.Et puisque $ r \ mathbb Z \ subseteq \ mathbb R $ pour chaque réel non nul $ r $ , mêmesi l'univers est $ \ mathbb Z $ , nous pouvons toujours utiliser $ \ mathbb R $ pour le décriresi on aime.

Je n'entrerai pas dans une discussion sur l'axiome du choix et l'hypothèse du continuum généralisé (et le travail connexe de Godel et Cohen dans ce sens), je laisse cela pour les autres réponses.Je tiens à mentionner cependant que Godel croyait que la puissance du continuum (et je pense qu'il voulait dire le continuum physique) était aleph 2, pas aleph 1. Puisqu'il travaillait aussi en physique (GR), pas seulement en logique mathématique, je me demandepourquoi il croyait cela.Le formalisme lagrangien et hamiltonien (et le principe d'action min) sont fondamentaux en physique.Toute théorie de la physique (de QFT à GR) peut être coulée dans ce cadre mathématique.Si la puissance du continuum physique est aleph k (avec k supérieur à 1), ou inférieure à aleph 1 (dans un univers où GCH est faux), quelles en seraient les conséquences par rapport au cadre mathématique fondamental mentionné ci-dessus?Cette question est étroitement liée à la vôtre.

Si une correspondance biunivoque entre des distances physiques dans une région confinée de rayon $ r $ et l'intervalle $ [0, r] \ subset \ mathbb {R} $ devaient exister d'une manière physiquement significative, alors la région devrait contenir une quantité infinie d'informations.Mais l'existence d'une quantité infinie d'informations dans une région de volume et d'énergie finis violerait la borne de Bekenstein.