Question:
Que sait-on de la structure topologique de l'espace-temps?
Eric
2010-12-10 11:55:02 UTC
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La relativité générale dit que l'espace-temps est une 4-variété lorentzienne $ M $ dont la métrique satisfait les équations de champ d'Einstein. J'ai deux questions:

  1. Quelles restrictions topologiques les équations d'Einstein mettent-elles sur la variété? Par exemple, l'existence d'une métrique de Lorentz implique certaines choses topologiques, comme la disparition de la caractéristique d'Euler.

  2. Y a-t-il des expériences en cours ou même des expériences hypothétiques qui peuvent donner des informations sur la topologie? Par exemple. y a-t-il un groupe d'étudiants diplômés qui essaient de contracter des boucles pour découvrir le groupe fondamental de l'univers?

Six réponses:
#1
+43
user346
2010-12-10 14:15:58 UTC
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C'est une excellente question! Ce que vous demandez, c'est l'un des chaînons manquants entre la gravité classique et quantique.

À elles seules, les équations d'Einstein, $ G _ {\ mu \ nu} = 8 \ pi G T _ {\ mu \ nu} $, sont des équations de champ locales et ne contiennent aucune information topologique. Au niveau du principe d'action,

$$ S _ {\ mathrm {eh}} = \ int_ \ mathcal {M} d ^ 4 x \, \ sqrt {-g} \, \ mathbf { R} $$

le terme que nous incluons généralement est le scalaire de Ricci $ \ mathbf {R} = \ mathrm {Tr} [R _ {\ mu \ nu}] $, qui ne dépend que du premier et secondes dérivées de la métrique et est, encore une fois, une quantité locale. L'action ne nous renseigne donc pas non plus sur la topologie, sauf si vous êtes en deux dimensions, où la caractéristique d'Euler est donnée par l'intégrale du scalaire ricci:

$$ \ int d ^ 2 x \, \ mathcal {R} = \ chi $$

(modulo certains facteurs numériques). La gravité en 2 dimensions est donc entièrement topologique. Cela contraste avec le cas 4D où l'action Einstein-Hilbert semble ne contenir aucune information topologique.

Cela devrait couvrir votre première question.

Tout n'est pas perdu, cependant. On peut ajouter des degrés de liberté topologiques à la gravité 4D par l'addition de termes correspondant à divers invariants topologiques (Chern-Simons, Nieh-Yan et Pontryagin). Par exemple, la contribution de Chern-Simons à l'action ressemble à:

$$ S_ {cs} = \ int d ^ 4 x \ frac {1} {2} \ left (\ epsilon_ {ab} {} ^ {ij} R_ {cdij} \ right) R_ {abcd} $$

Voici un très bel article de Jackiw et Pi pour les détails de cette construction.

Il y a beaucoup plus à dire sur la topologie et la relativité générale. Votre question ne fait qu'effleurer la surface. Mais il y a une mine d'or en dessous! Je vais laisser quelqu'un d'autre répondre à votre deuxième question. La réponse courte est "oui".

Merci d'avoir répondu. Je ne vois pas pourquoi les EFE ne peuvent pas contenir de données topologiques puisque vous avez besoin d'une solution globale pour eux (vous pouvez le résoudre localement mais ils ont besoin de patcher ensemble pour former une métrique globale). Par exemple, si les EFE impliquaient quelque chose comme une courbure scalaire positive, cela limiterait vraiment la topologie (être positif en un point est local, être positif partout est global). L'ajout d'invariants topologiques semble très intéressant - je vais devoir en lire plus.
Je comprends ce que vous essayez de dire. Les EFE devraient coder une sorte d'informations topologiques en plus de l'ajout de termes topologiques à l'action. Ou peut-être est-ce parce que nous considérons les EFE comme fondamentaux, lorsque le terme de Ricci et les autres termes topologiques peuvent provenir de quelque chose de plus général tel que $ BF $ théorie [Référence] (http://xxx.lanl.gov/abs/ gr-qc / 9905087) qui est une théorie topologique. Quoi qu'il en soit, si vous aimez la réponse, pourriez-vous l'accepter comme * la * réponse. Merci :-)
@user346 "La gravité en 2 dimensions est donc entièrement topologique" Pourriez-vous s'il vous plaît développer cela en termes moins techniques pour moi?
Je ne comprends pas non plus cette implication pour la théorie de la gravité 2D.En 2-d, la caractéristique d'Euler est une restriction sérieuse grâce à la classification des surfaces fermées 2D.Cependant, il y a encore des tonnes de structures riemanniennes éventuellement différentes dessus a priori.J'espère que quelqu'un pourra y donner un sens.
#2
+28
Willie Wong
2010-12-14 05:36:58 UTC
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Juste un point supplémentaire que je n'ai pas vu mentionné ci-dessus: si l'espace-temps a un groupe fondamental non trivial, il ne sera pas vu par un observateur à l'infini . Tel est le contenu du théorème de censure topologique . L'implication est que pour un espace-temps asymptotiquement plat, toute topologie intéressante sera cachée derrière l'horizon des événements. La preuve du théorème est assez étonnamment simple: c'est plus ou moins une extension directe du théorème de singularité de Penrose.

Voir :

Friedman, J. L .; Schleich, K. & Witt, D. M. Censure topologique Phys. Rev. Lett., American Physical Society, 1993, 71, 1486-1489

Schleich, K. & Witt, DM Singularities from the Topology and Differentiable Structure of Asymptotically Flat Spacetimes http: // arxiv .org / abs / 1006.2890

Galloway, GJ. Sur la topologie du domaine de la communication externe. Classe. Quantum Grav. 12 No 10 (octobre 1995) L99 (3pp)

Vous êtes mathématicien, n'est-ce pas? Alors s'il vous plaît, expliquez-moi les choses au niveau d'un physicien :-) Ma question est, comment cette conclusion change-t-elle si l'espace-temps est asymptotiquement désitter ou anti-désitter? Que pensez-vous également de l'hypothèse de [l'univers dodécaédrique] (http://arxiv.org/abs/astro-ph/0310253)?
@space_cadet: Je ne sais pas grand-chose sur l'hypothèse de l'univers dodécaédrique, mais d'après ce que je sais, n'est-ce pas une tentative d'expliquer certaines «caractéristiques» des données WMAP? Je ne pense pas qu'il y ait de raison a priori de l'exclure ou de l'exclure: seules les données le diront. Quant à la censure topologique dans les espaces dS ou AdS: l'argument de Penrose lui-même n'utilise que la condition d'énergie nulle, qui n'est pas affectée par la constante cosmologique. Mais la déclaration de censure topologique, je pense, nécessite un Scri temporel ou nul pour avoir un sens. En effet, dans le cas AdS, il existe un article de 2001 de ...
... Galloway, Schleich, Witt et Woolgar qui montre que le même résultat (censure topologique) vaut pour des espaces-temps asymptotiquement anti-de-sitter. Autrement dit, en définissant le domaine des communications externes comme l'intersection du passé et du futur de Scri, ils ont montré que pour (n + 1) dimensions (avec n au moins 3) asymptotiquement AdS espace-temps, le domaine des communications externes simplement connecté, en ce sens que toute courbe temporelle allant de Scri à (le même morceau connecté de) Scri peut être déformée en continu en une courbe causale dans Scri.
Réponse intéressante, mais celle-ci pourrait vous intéresser: http://link.springer.com/article/10.1134%2FS0202289313010064.
#3
+12
Eric Zaslow
2010-12-11 09:45:57 UTC
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Je ne connais pas la réponse, mais votre intuition est juste - le fait que les équations soient locales ne signifie pas qu'il ne peut pas y avoir de contrainte sur la topologie d'une solution globale . Par exemple, dans la signature euclidienne, $ R_ {ij} = g_ {ij} $ implique immédiatement que la courbure scalaire est positive, ce qui conduit à son tour à des contraintes topologiques. Si la variété à quatre est un complexe d'Einstein et , alors il doit s'agir d'une surface del Pezzo (fortement contrainte). Je ne sais pas grand-chose sur la signature lorentzienne, mais je sais que les PDE sont une toute autre bête. J'ai vu quelques résultats sur la classification des groupes d'holonomie possibles des variétés lorentziennes d'Einstein, mais je ne connais rien de global (en fait je ne sais rien du tout).

#4
+8
Kostya
2010-12-10 14:28:03 UTC
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  1. Les équations d'Einstein décrivent la structure locale de l'espace-temps. Ils ne contiennent aucune information globale ou topologique.

    Bien que j'aie entendu dire que certaines restrictions à l ' échelle de la topologie peuvent être dérivées de la courbure de l'Univers si la courbure est négative. (Quelque chose comme "échelle = multiple entier de 1 / courbure".)

  2. Eh bien, si notre espace a une topologie non triviale, alors les rayons lumineux "envelopperont" notre univers plusieurs fois et vous pourrez voir les mêmes copies (similaires) de galaxies. J'ai entendu parler de personnes cherchant de telles similitudes sans succès.

    De plus, la topologie non triviale doit entraîner une corrélation dans CMB - aucune corrélation de ce type n'a été trouvée (encore?) non plus.

Qu'entendez-vous par échelle de la topologie? Mais les équations d'Einstein doivent être résolues globalement, alors ne pourraient-elles pas mettre certaines restrictions sur la topologie? Par exemple, si les équations d'Einstein impliquaient une courbure scalaire positive, cela limiterait les variétés possibles. De plus, étant donné qu'il n'y a pas de classification des 4-variétés, même simplement connectées, il semble probable qu'il y en ait des non triviales qui n'auraient pas la propriété «enveloppante» des rayons lumineux.
Exemple le plus simple - considérez l'espace-temps plat. Vous pouvez l'imaginer "enveloppant", donc lorsque vous parcourez la distance L dans une direction, vous arriverez au même endroit. Autant que je sache, cela s'appellerait le tore 3D (dans le cas le plus simple). La distance L est l'échelle de la topologie. Cela peut être arbitraire - les équations d'Einstein ne lui imposent aucune restriction.
Oh ok, donc ce serait encore une chose géométrique: la mise à l'échelle d'un cylindre ne change aucune topologie.
@Kostya Pouvez-vous énumérer quelques articles où les gens tentent de modéliser "De plus, la topologie non triviale doit entraîner une certaine corrélation dans CMB ..."?
@MoreAnonymous https: // arxiv.org / pdf / astro-ph / 0412569.pdf
Merci @Kostya Je cherchais quelque chose comme ça ici ... https://physics.stackexchange.com/questions/438454/can-solutions-of-gr-have-non-zero-genus?noredirect=1#comment984331_438454 (Je n'ai pas encore lu le tout encore pensé: P)
#5
+8
user566
2010-12-11 10:01:16 UTC
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Ce sont deux questions indépendantes, une mathématique et une sur les observations.

  1. Quelles contraintes les équations d'Einstein impliquent-elles sur la structure globale de l'espace et / ou de l'espace-temps? Je ne connais pas la réponse générale, j'ai l'impression que ce n'est pas autant que l'on sache sur les variétés lorentziennes que sur les variétés euclidiennes. De plus, il n'y a aucune raison de soupçonner que l'espace / espace-temps est sans singularité (du moins nous connaissons de nombreux trous noirs dans l'univers), et je doute que l'on puisse dire beaucoup de choses sur la structure globale de toute variété si vous le permettez singularités.

  2. À propos de la physique d'observation: le seul observable auquel je puisse penser qui est sensible à la structure globale est les faibles multipôles du CMB, et de temps en temps, il y a des articles sur le sujet, pour expliquer les anomalies dans ces multipôles (par exemple, des histoires sur l'univers en forme de football). Hélas, la variance cosmique limite le sérieux avec lequel vous pouvez prendre de telles observations et modèles visant à les expliquer.

#6
+7
Vagelford
2010-12-11 18:22:36 UTC
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Sur la question des expériences et de la topologie, il y a des travaux sur le sujet de Glenn Starkman et al. Dans leur travail, ils recherchent des structures dans le CMB qui indiqueraient une topologie particulière pour l'univers. Il y a une très belle conférence donnée en PI sur le sujet ainsi que sur d’autres questions liées au CMB. Pour vous donner un spoiler sur la conférence, ils n'ont rien trouvé dans les corrélations à grand angle.



Ce Q&R a été automatiquement traduit de la langue anglaise.Le contenu original est disponible sur stackexchange, que nous remercions pour la licence cc by-sa 2.0 sous laquelle il est distribué.
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